因式分解培优题型归纳总结完美
因式分解题型归纳总结
知识梳理
一、因式分解得定义：
把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．
二、因式分解常见形式：
三、因式分解基本方法：
“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．
①提取公因式法
几个整式都含有的因式称为它们的公因式．
例如：()
2+4+6=2+2+3
ma mb mc m a b c
把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体．
②公式法
因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．
平方差公式：()()a b a b a b 22+-=-
完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+；()a b a ab b 222-=-2+ 立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+
三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2
完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+ ；()a b a a b ab b 33223-=-3+3- 大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++--- n 次方差公式：1
221()()n
n
n n n n a b a b a
a b ab b -----=-++++（n 为正整数） n 次方差差公式：1
221()()n
n
n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+
-+（n 为正奇数）
③分组分解法
一般地，分组分解大致分为三步：
i ．将原式的项适当分组；ii ．对每一组进行处理（“提”或“代”）； iii ．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 四、
十字相乘法
五、
双十字相乘法
双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为于二元二次六项式的多项式的因式分解，双十字相乘法的步骤：
对于形如Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F 的多项式的因式分解，基本步骤是： （1）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；
（2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数与含y 的项的交叉之积的和等于原多项式中含y 的一次项Ey ，同时这两个因数与含x 的项的交叉之积的和等于原多项式中含x 的一次项Dx ． 六、
换元法
如果在多项式中某个数或式子多次出现，那么可将这个数或式子用一个字母代替，这样做常常使多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式． （1）整体换元（2）和积换元 七、
主元法
在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解． 八、
拆项和添项法
1、拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．
2、添项：在代数式中添加两个相反项，叫做添项． 九、
待定系数法
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式．然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法，其实质就是对于含有待定系数的恒等式，利用恒等概念和恒等定理，采用系数比较法或数值代入法． 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等．即，如果n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b -1-21-1-21-1-210-1-210+++
++=+++
++恒成立，那么
n n a b =，n n a b -1-1=，…，a b 11=，a b 00=．
待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解． 十、
余数定理与因式定理法
1、余数定理：多项式f （x ）除以x －c ，所得的余数为f （c ）．
2、因式定理：若多项式f （x ）有一个因式x －c ，则f （c ）＝0；反之，若f （c ）＝0，则x
－a 必为多项式f （x ）的一个因式．
3、整数系数多项式f （x ）＝a n x n ＋a n －1x n －
1＋…＋a 1x ＋a 0的两个性质：
性质1：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ＝1，且它有因式x －p （p 为整数），那么p 一定是常数项a 0的约数．
例如x 2－2x －8的首项系数是1，它有因式x ＋2和x －1，－2和4都是常数项－8的约数． 性质2：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ≠1，且它有因式p x q -（p
q
为整数），那么q 一定是首项系数a n 的约数，p 一定是常数项a 0的约数． 例如，6x 3＋x 2－1的首项系数a n ＝6不为1，它有因式1
2
x -
，不难看出分母2是a n ＝6的约数，分子1是常数项－1的约数．例如：分解因式：x x 3-3+2．
观察可知，当x =1时，x x 3-3+2=0，则()x x x A 3-3+2=-1，其中A 为整式，即()x -1是多项式x x 3-3+2的一个因式．若要确定整式A ，则可用大除法．
x x x x x x x x x x x x x x 23232
22+-2
-1+0?-3+2
--3--2+2-2+2
∴()()()()()()()x x x x x x x x x x 322-3+2=-1+-2=-1-1+2=-1+2．
题型一 因式分解的定义
例题1： 下列因式分解正确的是（ ） A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2 B ．()m m m m 323-12=3-4
C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7
D ．()()m m m 24-9=2+32-3
解析：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。故选 巩固1： （1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ．()ab a b a b ab 223+=3+3 B ．x x x x 222??
2+4=21+ ???
C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2
D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2
（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．
①()x y x y 224-3+7； ②()m m 23-4； ③()()a b a b -4+2-2； ④()[()]y x 22+1-1-3；
⑤x x x 1?
?+ ???；
⑥()x x x 1??
+1-2 ?2??；
⑦()()y x x 2-+3-+3；
⑧()()()()x y x y x y x y 2244++++．
解析：（1）C ；（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误． 总结：这道题主要讲解因式分解的概念： （1）因式分解是一种恒等变形．
（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．
题型二 提公因式法
如多项式),(c b a m cm bm am ++=++
其中m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 例题2： 因式分解：（1）a x abx y acx 232212+6-15 （2）()()()()a b x y b c a b x y b c 223322++-6++ （3）()()()x y x y x y 322+-2++2+ （4）abx acx ax 43-3+-
（5）()()()()x y x y y x x y 2-33-2+2-32+3 （6）a b a b ab 322327
3-6+
4
解析：这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：
（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取． 原式()ax ax by c 2=34+2-5
（2）视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母．
原式2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c =+++--
（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．
原式2(2)[(2)(2)1]x y x y x y =++-++22(2)(4421)x y x xy y x y =+++--+ （4）提负数：原式32(31)ax bx cx =--+
（5）提相反数：原式(32)[(23)(23)]x y x y x y =---+6(32y x y =--）
（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数提出，使第一项系数称为正整数． 原式32231(122427)4a b a b ab =-+22
3(489)4
ab a b ab =-+
巩固2： 因式分解：（1）abc a b a b 2336-14+12 （2）a a a 324-6+15-12 （3）()x a x a x 22224+-- （4）()()p q p 22-1-4-1
（5）()()()(a b m p a b m p 5-22+3-2-72+3） （6）()()()x y x y x y 232++6+-4+
解析：（1）()ab a c ab 22=26+3-7原式；（2）()a a a 22-34+2-5=原式； （3）()()a x x 22=+4-1原式；（4）原式()()p p q =2-1-2-1； （5）=()()m p a b 2+33+5原式；
（6）()[()()]x y x y x y 2=2+1+3+-2+原式()()x y x y x y xy 22=2+1+3+3-2-2-4．
巩固3： 已知b c a +-=-2，求()()a a b c b c a b c b c a 22
221??--+-++2+2-2 ?33
333??的值．
解析：()()a b c a b c 2=----3原式()a b c 22
=--3．
∵b c a +-=-2，∴a b c --=2，则原式8
=3
．
题型三 公式法
例题3： 因式分解： （1）()x 2-1-9
（2）()()m n m n 229--4+
（3）()()a b a b 22-4-+16+ （4）()()a b a b 222222-3-5+5-3 （5）x xy y 229-24+16 （6）a a 28-4-4
（7）()c a b a b 222222---4 解析：（1）()()x x +2-4；
（2）[()()][()()]m n m n m n m n =3-+2+3--2+原式
()()m n m n m n m n =3-3+2+23-3-2-2 ()()m n m n =5--5；
（3）原式()()a b a b 43++3=；
（4）()()a b a b a b a b 22222222=5-3+3-55-3-3+5原式
()()
a b a b 2222=8-82+2
()()()a b a b a b 22=16+-+；
（5）()x y 2=3-4原式；
（6）()a a 2=-4-2+1原式()a 2=-4-1；
（7）原式()()()()c a b c a b c a b c a b +--+++--=． 总结：该题主要考查平方差公式和完全平方公式． 例题4： 因式分解：
（1）x 38+27 （2）y 3-+64
（3）x x y 5239-72 （4）a b 66+
（5）a b 66- 解析：（1）()()x x x 2=2+34-6+9原式； （2）()()y y y 2=4-+4+16原式；
（3）()x x y 233=9-8原式()()x x y x xy y 222=9-2+2+4； （4）()()a b 2323=+原式()()a b a a b b 224224=+-+； （5）()()a b 3232=-原式()()a b a b 3333=+-
()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++
另解：
()()a b 2323=-原式()()a b a a b b 224224=-++
()()()a b a b a a b b a b 422422=+-+2+- ()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++；
总结：这道题主要考查立方差和立方和公式． 例题5： 因式分解：
（1）a b c bc ca ab 2224+9+9-18-12+12 （2）x x y xy y 32238-36+54-27 解析：
（1）()a b c 2=2+3-3原式； （2）()x y 3=2-3原式．
总结：该题主要考查三项完全平方和完全立方公式．
例题6： 分解因式：x 15＋x 14＋x 13＋…＋x ＋1
解析：：原式＝
()()
()()()()()1514842
16111111111
11
x x x x x x x x x x x x x -++
++++++--==--- ＝()()()
()8
4
2
1111x x x x ++++
总结：该题主要考查立方和差公式拓展。
例题7： 分解因式：x 12＋x 9＋x 6＋x 3＋1 解析：y ＝x 3
，则
原式＝y 4
＋y 3
＋y 2
＋y ＋1＝
()()
()()5
3
4
3
2
355
331111
11
111
y y
y y y x x y y y x x -++++---=
==---- ＝
()()
()()
5
10521111x x x x x x -++-++
∵x 10
＋x 5
＋1＝x 10
＋x 9
＋x 8
－x 9
－x 8
－x 7
＋x 7
＋x 6
＋x 5
－x 6
－x 5
－x 4
＋x 5
＋x 4
＋x 3
－x 3
－x 2
－x ＋x 2
＋x ＋1
＝x 8（x 2＋x ＋1）－x 7（x 2＋x ＋1）＋x 5（x 2＋x ＋1）－x 4（x 2＋x ＋1）＋x 3（x 2＋x ＋1）－x （x 2
＋x ＋1）＋（x 2
＋x ＋1）
＝（x 2
＋x ＋1）（x 8
－x 7
＋x 5
－x 4
＋x 3
－x ＋1）
∴10587
5432
111
x x x x x x x x x x ++=-+-+-+++
∵
54321
11
x x x x x x -=++++- 原式＝（x 4
＋x 3
＋x 2
＋x ＋1）（x 8
－x 7
＋x 5
－x 4
＋x 3
－x ＋1） 法二：（x 10
＋x 5
＋1）÷（x 2
＋x ＋1）也可以直接用长除法.
巩固4： 因式分解：（1）()a b 216-3+2 （2）x y x y 62575-12
（3）a b c 444-81+16
（4）()()a b a b 2222223---3
（5）()()x y z x y z 22+-6++9 （6）()x y x y 22222+-4 （7）m m 4216-72+81
解析：（1）()()a b a b =4+3+24-3-2原式；
（2）()x y x y 244=325-4原式()()x y x y x y 22222=35+25-2；
（3）()()c a b c a b 222222=4-94+9原式()()()c ab c ab c a b 222=2+32-34+9； （4）()()a b a b a b a b 22222222=3-+-33--+3原式 ()()a b a b 2222=4-42+2()()()a b a b a b 22=8+-+；
（5）原式()x y z 2+-3=； （6）原式()()x y x y 22=+-；
（7）()()m m 2222=4-2?4?9+9原式()m 22=4-9()()m m 22=2-32+3． 总结：主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．
巩固5： 因式分解：（1）()y z x 224-2-
（2）(m x y mn 2
232--3）
（3）x y 88-
（4）x x 516-
（5）()()x x x x 22225+2-3--2-3 （6）()()x x x x 2222+4+8+4+16
（7）n n n a a a +2-2+8+16
解析：（1）=()()y z x y z x 2+2-2-2+原式； （2）原式=()()m x y n x y n 32-+2--；
（3）=()()x y x y 4444-+原式()()()x y x y x y 222244=-++ ()()()()x y x y x y x y 2244=+-++；
（4）()()()x x x x x 422=16-1=4-14+1原式()()()x x x x 2=2-12+14+1； （5）()()x x x 22=6-64+4原式()()()x x x x =24+1-1??+1()()x x x 2=24-1+1； （6）()x x 22=+4+4原式()x 4=+2； （7）()n a a a -242=+8+16原式()n a a -222=+4
巩固6： 因式分解： （1）a b c 3338-1
（2）a b b 33932-4
（3）x y y 631564+
解析：
（1）()()abc a b c abc 222=2-14+2+1原式；
（2）=原式()b a b 33648-()()b a b a ab b 32224=42-4+2+； （3）()y x y 3612=64+原式()()y x y x x y y 3244248=4+16-4+．
题型四 分组分解法
例题8： 因式分解：
（1）ax by bx ay --+
（2）a b a b 2222--+1
（3）x x x 325-15-+3 （4）a m am abm bm 25-15+3-9 （5）x x x x x 3254-2-+2+-2
（6）x x x x 432+++
解析：（1）()()ax bx ay by =-+-原式()()()()x a b y a b a b x y =-+-=-+； （2）原式()()a b b 222=-1--1()()a b 22=-1-1()()()()a a b b =+1-1+1-1； （3）原式()()()()x x x x x 22=5-3--3=5-1-3 或原式()()()()x x x x x 222=5-1-35-1=5-1-3；
（4）原式[]()()()()()m a a ab b m a a b a m a a b 2=5-15+3-9=5-3+3-3=-35+3； （5）原式()()()x x x x x 5432=-2+-2--2
()()()x x x x x 42=-2+-2--2()()x x x 42=-2+-1；
（6）原式()()()()x x x x x x x 32=+1++1=+1+1． 总结：该题主要考查分组分解的第一个原则：平均分配
①有公因式的分为一组；②按照系数配比分组；③次数相近的分成一组
例题9： 因式分解：
（1）x x y 22-1-2-+ （2）x x x x 432++2++1 （3）a a ab a b 322-+-2 （4）x xy y 22
11-+-
4
（5）x x y y 3232+--
（6）x y x xy y 3322+++2+
（7）()()()a b b c c a a b c 333333++++++++
解析：（1）原式()()()x y y x y x 2=-1++=++1--1；
（2）原式()()x x x x 423+2+1++=()()x x x 222+1++1=()()x x x 22=+1++1 （3）原式()()()a a b ab a a b a b 22=-1+-2=-+1--1；
（4）原式[()][()]x xy y x y 222114-4-=4-2-44=4+()()x y y x 1
=2-+2-2+24
；
（5）()()()()x y x xy y x y x y 22=-++++-原式()()x y x xy y x y 22=-++++； （6）()()()x y x xy y x y 222=+-+++原式()()x y x xy y x y 22=+-+++；
（7）原式[()][()][()]()()a b c b c a c a b a b c a b c 333333222=++++++++=3++++． 总结：该题主要考查分组分解的第二个原则：按公式分组． 例题10：
因式分解：（1）22(3)(43)x ab x a b -+- （2）(1)(1)x x y y ---
（3）(1)(1)2x x y y xy ++-- （4）2231()b a x abx +--
解析：
（1）x ab ax bx 2=2-6+4-3原式()()x x a b a x =2+2-32+()()x a x b =+22-3； （2）原式x x y y 22=--+()()x y x y 22=--- ()()()x y x y x y =+---()()x y x y =-+-1；
（3）原式x x y y xy 22=++--2()()x y x y 2=-+-()()x y x y =--+1； （4）原式()()()()a x bx abx ax ax bx 22232=1-+-=1-1++．
总结：该题主要考查拆开再重新组合，再组合时按照上面两个原则． 巩固7： 因式分解： （1）x xy y 22-4+4-1
（2）x y y 229--4-4 （3）x x y y 22--9-3
（4）()()()()a b a c c d b d 2222+++-+-+ （5）n n m x x y 2411
+-+94
解析：
（1）=原式()x y 2-2-1()()x y x y =-2+1-2-1； （2）原式()()x y x y =3++23--2；
（3）原式()()()()()()()x y x y x y x y x y x y x y 22=-9-+3=+3-3-+3=+3-3-1； （4）原式()()()()()()a d a b d a d a c d a d a b c d =-+2++-+2+=2-+++；
（5）n m x y 2
411?
?=+- ?29??原式n m n m x y x y 221111????=+++- ???2323????
()()n m n m x y x y 221
=
6+3+26+3-236
． 巩固8： 因式分解：
（1）()()ax y b by bx a y 3322+++ （2）()()x x z y y z +-+ （3）()()x x x -1-2-6 解析：
（1）=axy axb b x y a by 332222+++原式()()ay xy ab b x xy ab 22=+++
()()xy ab ay b x 22=++；
（2）x xz y yz 22=+--原式()()()()()x y x y z x y x y x y z =+-+-=-++； （3）x x x 32=-3+2-6原式()()()()x x x x x 222=+2-3+2=-3+2．
题型五 十字相乘法
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例题11：
分解因式：652
++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，
即2+3=5。
解析：652
++x x =32)32(2
?+++x x =)3)(2(++x x
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
巩固9： 因式分解：（1）x x 2+5+6 （2）x x 2+6+8
（3）x x 2-3+2
（4）x x 2-8+15 （5）x x 2+-6
（6）x x 2-2-3
解析：（1）原式=()()x x +2+3；
（2）原式()()x x =+2+4；
（3）原式()()x x =-1-2；
（4）原式()()x x =-3-5； （5）原式()()x x =+3-2；
（6）原式()()x x =-3+1；
总结：该题主要讲解十字相乘法适用的类型，注意二次项系数为负数，先提负号．，方法都是一样的．（1）二次三项式ax bx c 2++；（2）二次齐次式ax bxy cy 22++． （二）二次项系数不为1的二次三项式——2
ax +bx +c 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++ 例题12：
因式分解：
（1）a a 23-7-6
（2）x x 25+12-9
（3）x x 2-6-11+7
（4）x x 232-12-27
解析：（1）()()a a a a 23-7-6=3+2-3； （2）()()x x x x 25+12-9=+35-3； （3）()()()x x x x x x 22-6-11+7=-6+11-7=-2-13+7； （4）()()()x x x x x x 2232-12-27=-27+12-32=-3+49-8．
总结：该题主要讲解十字相乘法适用的类型，注意二次项系数为负数，先提负号．，方法都是一样的．（1）二次三项式ax bx c 2++；（2）二次齐次式ax bxy cy 22++． （三）二次项系数为1的齐次多项式 例题13：
分解因式：2
21288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b
1 -16b 8b +(-16b )= -8b
解析：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2
b b a b b a -?+-++=)16)(8(b a b a -+ 巩固10：
因式分解：()x b x b 2-+1+
解析：()()()x b x b x x b 2-+1+=-1-；
（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例题14：
因式分解：
（1）()kx k x k 2+2-3+-3；（2）(m x x m 2+1--） 解析：
（1）()()()kx k x k x kx k 2+2-3+-3=+1+-3；
（2）()()[()]()()m x x m x m x m x mx x m 2+1--=-1+1+=-1++． 总结：这道题主要讲解含参的可看成二次三项式的十字相乘．
巩固11：
用合适的方法因式分解：
（1）()()ax by bx ay 22+-+
（2）x y y xy xy 2223+28+7+12
（3）()()()x x y x y +2-2-4-
（4）()()ab a b a b 22+-++1 解析：
（1）原式()()()()a b a b x y x y =+-+-（先平方差再分组分解）； （2）原式()()y x x y =+43+7（先提取公因式再分组分解）； （3）原式()()x y x y =-2+2-2-2（先拆开再分组分解）； （4）原式()()a ab b ab 22=+-1+-1（十字相乘法）． 总结：这道题主要考查几个方法的综合，让他们练下．
题型六 换元法
（1） 整体换元思想 例题15：
因式分解：
（1）()()x x x x 22+5+2+5+3-12 （2）()()x x x x 22--3--5-3 解析：（1）
解法一：将x x 2+5看作一个整体，设x x t 2+5=，则
原式()()=t t t t 2=+2+3-12+5-6=()()=()()()t t x x x x 2-1+6+2+3+5-1； 解法二：将x x 2+5+2看作一个整体，设x x t 2+5+2=，则
原式()==()()=()()()t t t t t t x x x x 22=+1-12+-12-3+4+2+3+5-1； 解法三：将x x 2+5+3看作一个整体，过程略． （2）
解法一：令=x x y 2--4，则 原式=()()y y -1+1-3()()y y =-2+2
()()x x x x 22=--6--2=()()()()x x x x +1-2+2-3；
解法二：令x x y 2--3=，则
原式=()y y -2-3=y y 2-2-3=()()y y +1-3 ()()x x x x 22=--3+1--3-3()()x x x x 22=--2--6
=()()()()x x x x +1-2+2-3.
总结：该题主要考查整体换元，但整体换元最好是找平均数换元． 例题16：
因式分解:
（1）()()()()x x x x +1+3+5+715+ （2）()()()()x x x x x 26-12-13-1-1+
解析：（1）原式=()()()()x x x x +1+7+3+5+15()()x x x x 22=+8+7+8+15+15 令x x t 2+8+11=，则
原式=()()t t -4+4+15()(t t =-1+1）
()()x x x x 22=+8+10+8+12()()()x x x x 2=+2+6+8+10；
（2）原式()()()()()()x x x x x x x x x x 2222=6-1-12-13-1+=6-7+16-5+1+ 设x x t 26-6+1=，
原式()()()t x t x x t x x 2222=-++==6-6+1． 总结：该题主要考查先两两组合，再整体换元． 例题17：
因式分解：
（1）()()x x x x 22+6+8+14+48+12 （2）()()x x x x 22+3+23+8+4-90 解析：
（1）原式=()()()(x x x x +2+4+6+8+12）()()x x x x 22=+10+16+10+24+12 令t x x 2=+10+16，
原式()()()t t t t =+8+12=+2+6()()x x x x 22=+10+18+10+22；
（2）原式()()()()()()x x x x x x x x 22=+1+22+12+3-90=2+5+32+5+2-90， 令y x x 2=2+5，
则原式()()y y y y 2=+3+2-90=+5-84()()()()()y y x x x x 2=+12-7=2+5+122+7-1． 总结：该题主要考查先拆开，再重新组合，最后再整体换元． （2） 平均值换元思想 例题18： 分解因式：（x ＋1）4＋（x ＋3）4－272
解析：令13
22
x x y x +++=
=+，
原式＝（y －1）4
＋（y ＋1）4
－272＝2（y 4
＋6y 2
＋1）－272 ＝2（y 4
＋6y 2
－135）＝2（y 2
－9）（y 2
＋15）
＝2（y ＋3）（y －3）（y 2
＋15）＝2（x ＋5）（x －1）（x 2
＋4x ＋19）
（3） 和积换元思想 例题19：
因式分解：（1）
()()x xy y xy x y 22222
++-4+ （2）()()()xy xy xy x y x y 21?
?+1++3-2++-+-1 ?2?
?
解析：（1）设x y a 22+=，xy b =，
则原式(()()a b ab a b x y xy 2
2222=+-4=-=+-）；
（2）设xy a =，x y b +=，
则原式()()()a a a b b 2=+1++3-2-1--1()()()a a b a b a b a b 2222=+2+1-=+1-=+1++1-
()()()()x y x y =+1+1-1-1．
总结：该题主要考查和积换元． 巩固12：
因式分解：（1）()()xy x y xy x y +-2-3++6
（2）()()()a b ab a b ab 2+-2+-2+1-
解析：
（1）设xy a =，x y b +=，
原式()()()()ab a b a b xy x y =-2-3+6=-3-2=-3+-2； （2）设a b x +=，ab y =，
原式()()()x y x y x xy y y x 222=-2-2+1-=-2++2-2+1
()()()()()()x y x y x y a b ab a b 22222=--2-+1=--1=+--1=1-1-．
巩固13： 因式分解：
（1）()()a b a b 2-2-8-2+12 （2）()()a a 25+7+1-6+1 （3）()x x x x 222+-14-14+24 （4）()()x x x x x x 2222+4+8+3+4+8+2 解析：
（1）原式[()][()]()()a b a b a b a b =-2-2-2-6=-2-2-2-6； （2）原式[()][()]()()a a a a =5-3+11+2+1=2-32+3；
（3）原式()()x x x x 222=+-14++24()()x x x x 22=+-2+-12()()()()x x x x =-1+2-3+4； （4）令x x t 2+4+8=，
原式==()()t xt x t x t x 22+3+2++2=()()x x x x x x 22+4+8++4+8+2
=()()x x x x 22+5+8+6+8=()()()x x x x 2+2+4+5+8．
总结：该题主要考查整体换元，换元后再十字相乘． 巩固14：
因式分解：
（1）()()()()a a a a -1-2-3-4-24 （2）()()()()a a a a a 2+1+2+3+6+ （3）()()x x x x 22+6+5+10+21-9 解析：
（1）原式()()a a a a 2=-5-5+10；
（2）原式()()a a a a a 222=+5+6+7+6+，设a a t 2+6+6=，
原式()()()t a t a a t a a 2222=-++==+6+6；
（3）原式()()()()x x x x =+1+3+5+7-9()()x x x x 22=+8+7+8+15-9，设t x x 2=+8+11
原式()()()(()()t t t t x x x x 22=-4+4-9=-5+5=+8+6+8+16）
()()x x x 22=+4+8+6． 巩固15： 因式分解：
（1）x x 42+3-28 （2）()()x y x y 2+-4+-12
（3）()()x x x x 222+4+8+4+4+8+3 （4）()()x x x x 22++1++2-12 解析：
（1）()()()()()x x x x x x x 42222+3-28=-4+7=-2+2+7； （2）()()()()x y x y x y x y 2+-4+-12=++2+-6；
（3）原式=()()x x x x 22+4+9+4+11； （4）原式()()()x x x x 2=-1+2++5．
题型七 主元法
例题20：
因式分解：
（1）a b c ab ac bc abc 1+++++++ （2）()()a a b b b 6+11+4+3-1-2 （3）()()()y y x x y y 22+1+1+2+2+1 解析：
（1）把a 视为未知数，其它视为参数．
原式a ab ac abc b c bc =++++1+++()()a b c bc b c bc =1++++1+++ ()()a b c bc =+11+++()()()a b c =+1+1+1；
（2）将原式展开并写成关于a 的二次三项式：()a b a b b 226+11+4+3--2，b b 23--2可以分解为：()()b b 3+2-1，
再次运用十字相乘法可知原式()()a b a b =2+3+23+-1； （3）选x 为主元，原式()()yx y yx x y =++1++． 巩固16：
因式分解：
（1）a b ab bc ac 222--++2（2）()x a b x a ab b 222+2+-3+10-3 解析：
（1）首先将原式按a 的降幂排列，写成关于a 的二次三项式()a c b a bc b 222+2-+-， 此时的“常数bc b 2-”提取公因式b 即可分解成()b c b -，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成()()a b a b c 2+-+；
（2）这是x 的二次式，“常数项”可分解为()()a ab b a b a b 22-3+10-3=-3--3再对整个式子运用十字相乘()()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3． 巩固17：
因式分解：a b ab a c ac abc b c bc 222222-+--3++
解析：原式()()()b c a b c bc a b c bc 22222=+-++3++()()()b c a b c bc a bc b c 222=+-++3++
[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-．
题型八 双十字相乘法
例题21：
因式分解：
（1）x xy y x y 22+2-3+3++2 （2）x xy y x y 223+4-4+8-8-3
解析：
（1）如果只有二次项x xy y 22+2-3，如图（1），那么()()x xy y x y x y 22+2-3=-+3
(1) (2) -1 3
3
y 常1 11 2 1 + 2 = 3
x 常数x y -1 + 3 = 2
1 31 -1 (3)-1 1
3 23 + -2 = 1y 常数
（1） （2） （3）
如果没有含y 的项，如图（2），那么对于多项式()()x x x x 2+3+2=+1+2 如果没有含x 的项，如图（3），那么对于多项式()()y y y y 2-3++2=-+13+2 把以上三个算式“拼”在一起，写成
1 -1 11 3 2
x y 常数
（4）
便得到所需要的分解：()()x xy y x y x y x y 22+2-3+3++2=-+1+3+2；
（2）将原式写成关于x 的二次三项式：()x y x y y 223+4+8-4-8-3，y y 2-4-8-3可以用十字相乘法分解为：()()y y y y 2-4-8-3=-2+12+3， 再次运用十字相乘法可得，原式()()x y x y =3-2-1+2+3．
总结：这两个小题建议老师讲解的时候用三种方法来讲解——双十字相乘法，选主元和分组分解（把前三项看成一组），当然双十字相乘解决这样的二次六项式是比较简单的． 巩固18：
因式分解：
（1）x xy y x y 222-7+6+2--12 （2）x y x y 22-+5+3+4 （3）xy y x y 2++--2 解析：
（1）原式()()x y x y =-2+32-3-4； （2）原式()()x y x y =++1-+4； （3）原式()()y x y =+1+-2．
总结：该题主要让孩子们练习下，当然遇到第（2）（3）小题也就是二次五项式的时候仍然用双十字相乘的方法． 巩固19：
因式分解：（1）x xy y xz yz z 222-5+6-+5+6
（2）x xy y xz yz z 2226-5-6-2-23-20
解析：（1）原式()()x y z x y z =-2-3-3+2； （2）原式()()x y z x y z =2-3-43+2+5． 总结：这道题主要讲解双十字相乘主要用于： （1）二次六项式；（2）二次六项齐次式．
题型九 添项和拆项
例题22：
因式分解：（1）x 4+4 （2）x y 44
1+
4
（3）x x 42-3+1
（4）x x 42-23+1 （5）x x 84++1
解析：（1）原式()()()x x x x x x x x 422422222=+4+4-4=+4+4-4=+2-2
()()()()x x x x x x x x 2222=+2+2+2-2=+2+2-2+2；
（2）原式()()x y x y x y x y xy 442222222211
=+
+-=+-42
()()x xy y x xy y 22221
=2+2+2-2+4
； （3）原式()()()x x x x x x x x x 42222222=-2+1-=-1-=-1--1+； （4）原式()()x x x x x 422222=+2+1-25=+1-5()()x x x x 22=+1+5+1-5； （5）原式()()x x x x x x x x x 848444242++1=+2+1-=+1++1-
()()x x x x x 42242=+1+2-+1- ()()()x x x x x x 2242=+1++1-+1-．
总结：该题是按照完全平方公式进行拆添项．
巩固20： 因式分解：a a a 32+3+3+2
解法一：
原式()a a a 32=+3+3+1+1()a 33=+1+1()()()a a a 2
??=+1+1+1-+1+1??()()a a a 2=+2++1．
解法二：
原式()()()a a a a a 322=+2++2++2()()()a a a a a 2=+2++2++2()()a a a 2=+2++1． 解法三：
原式()()a a a a a 322=+++2+2+2()()a a a a a 22=++1+2++1()()a a a 2=+2++1． 解法四：
原式()()a a a 32=-1+3+3+3()()()a a a a a 22=-1++1+3++1()()a a a 2=+2++1．
浙教版七年级下《第4章因式分解》单元培优试题有答案-(数学)
浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题 班级_________ 姓名_____________ 得分_____________ 注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10 C﹒x2－8x+16＝(x－4)2D﹒6ab＝2a·3b 2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（） A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1 3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（） A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn2 4﹒下列因式分解正确的是（） A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)B﹒x2+9＝(x+3)2 C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x)D﹒a3－4a2＝a2(a－4) 5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（） C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+1 4 y2 6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定 7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（）A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1 8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（） A﹒－1B﹒1 C﹒－2D﹒2 9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，
精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)
因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结 果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解 ：
八年级数学上册 因式分解40题 培优练习卷(含答案)
2017-2018学年八年级数学上册因式分解培优练习卷 1、分解因式：6xy2-9x2y-y3. 2、分解因式：1-16y4. 3、分解因式：4+12(x-y)+9(x-y)2. 4、分解因式:(a-3)(a-5)+1. 5、分解因式:4(a-b)2-9(a+b)2. 6、分解因式：x3-4x2-45x. 7、分解因式：(a2+b2)2-4a2b2. 8、分解因式：(a+b)2-4b(a+b)+4b2. 9、分解因式：(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2 10、分解因式：x4－y4 11、分解因式：(x+2)(x+4)+x2-4. 12、分解因式：(a+1)(a-1)-8. 13、分解因式：4x3y+4x2y2+xy3. 14、分解因式：4-12(x+y)+9(x+y)2. 15、分解因式：x2-2xy+y2-z2. 16、分解因式：36a2-(a2+9)2. 17、分解因式：2a2-8axy+8ay2. 18、分解因式：10b(x－y)2－5a(y－x)2； 19、分解因式：x2-2xy+y2-9. 20、分解因式：(x2+y2)2-4x2y2. 21、分解因式：(a 2+1)2-4a2 22、分解因式：(1-x2)(1-y2)-4xy. 23、分解因式：(x2+y2-z2)2-4x2y2. 24、分解因式：a2(x-2a)2+a(2a-x)3. 25、分解因式：(a＋2b)2－10(a＋2b)＋25. 26、分解因式：x n＋4－169x n＋2 (n是自然数)； 27、分解因式：9(2a+3b)2-4(3a-2b)2. 28、分解因式：9(m+n)2-4(m-n)2.
因式分解培优练习题及答案
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2）（（1）3p﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3322．﹣6a b+3ab2 （）3a ）（1x y﹣xy ．分解因式32 22222）﹣4x y）﹣）1（）a（x﹣y+16（yx）（2（x+y 4．分解因式：22（ 2 2x（1）﹣x ）16x﹣1 3 2 2 2 （）yx+9yx4+12﹣﹣6xy3（）9xyy4）（﹣）（﹣ 5．因式分解：2 223﹣2am1（）8a y+xy+4x4x）2（ ．将下列各式分解因式：6． 322222 yx﹣+y4x）（2）（1（）3x﹣12x 223 22 y﹣2xy）+y﹣2）（x+2y（7．因式分解：（1）xy 8．对下列代数式分解因式： 2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（（1）nx﹣3）+1
2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b．分解因式：．分解因式：9 11．把下列各式分解因式： 42422 a﹣2）x+2ax+1+x （x﹣7x +1 （1） 22242432+2x+1 x+3x+2x （4（1﹣y+x））（1﹣y）1+y（3）（）2x﹣ 12．把下列各式分解因式： 32222224445+x+1；x ） b +2ac（+2bc3﹣a﹣b﹣c ；2a2 ；4x1（）﹣31x+15 （） 32432．a+2﹣6a﹣a﹣2a）5（；9﹣+3x+5xx）4（． 2﹣6pq=3p（p﹣2q1）3p），解答：解：（222．（x+2x）+4x+4），=2（2）2x+8x+8，=2（ 2．将下列各式分解因式 3322．6a （2）3ab+3ab﹣（1）x y﹣xy 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 2﹣1）=xy（x+1）（x﹣解：（1）原式=xy（x1）；解答：222．﹣b））=3a（（2）原式=3a（aa﹣2ab+b 3．分解因式 222222．）y﹣（2）（x4x+y﹣y）+16（y﹣x）；（1）a （x 22﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4（）+16y﹣x），=（x﹣y）（a）；解答：解：（1）a （x﹣y22222222222．）（x﹣2xy+y），﹣4x=y（，=（xx+y+2xy+y））（（2）（xx+yy）﹣ 4．分解因式： 222232．）（x﹣y4+12（x﹣）6xyy﹣9x）y﹣y+9；（4（1）2x16x﹣x；（2））﹣1；（3 2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；解答：解：2﹣1=（4x+1）（16x4x﹣1）；（2）223222；﹣y），）=﹣yy，=﹣y（9x（﹣6xy+y（3）6xy3x﹣9xy﹣222．﹣3y+2），=（3x﹣y）﹣，=[2+3（xy）]（（4）4+12x﹣y）+9（x 5．因式分解： 2322 y+xy+4x （2）4x （1）2am ﹣8a； 22﹣4）=2a（m+2）（8a=2a（mm﹣2）；解答：解：（1）2am﹣322222．），=x4x，=x（（+4xy+y （2）4x2x+y+4x）y+xy 6．将下列各式分解因式： 322222．y（x﹣+y4x）（2）（1）3x﹣12x 32）=3x（1+2x）（1﹣2x）1（）3x﹣12x；=3x（1﹣4x 解答：解：22222222222．）y （x+y﹣﹣2xy）（x）+y）=﹣4x（y（=xx+y+yx+2xy）（）（2
因式分解培优复习进程
因式分解培优
分解因式 一、分解因式的定义：（关键：看等号右边是否为几个整式的积的形式） 二、分解因式一般步骤：一提、二套、三分、四查 三、分解因式常用方法： Ⅰ、提公因式法：（关键：确定公因式） ma +mb +mc = 。 Ⅱ、运用公式法：（关键：确定a 、b ） ①平方差公式：22a b -= ②完全平方公式： 22 2a ab b ±+= 。 （一）将下列多项式因式分解（填空） 1、 _______________________2、322363x x y xy -+=___________________ 3、=__________________4、 =________________ 5、= ___________________ 6、= （二）分解因式（写出详细过程） 1、)()()(23m n n m n m +--+ 2、 3、 4、2222224)(b a b a c --- （三）已知x 、y 都是正整数，且，求x 、y 。 （四）化简：，且当时，求原式的值。
Ⅲ、十字相乘法： （一）二次项系数为1的二次三项式：))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++ 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 1、分解因式：（1）652++x x （2）276m m -+ (3)1522--y y (4)245a a +- 2、分解因式(1)2 223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a -- （4）221288b ab a -- （5）10)(3)(2 -+-+y x y x （二）二次项系数不为1的二次三项式：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 1、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y 2、分解因式（1）17836--x x （2）8622+-ax x a （3）2 2151112y xy x --
(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．
新浙教版数学七年级(下册)第四章《因式分解》培优题
新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题 一．选择题（共6小题） 1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（） A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2 2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（） A．0 B．2 C．4 D．6 3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则． 那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）． 即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n． ∴解得，n=﹣7，m=﹣21， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（） A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4 5．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（） A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056D．1.1111111×1017
6．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 二．填空题（共7小题） 7．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为． 8．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：． 9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是． 10．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是． 11．若a+b=5，ab=，则a2﹣b2= ． 12．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论： ①2★（﹣2）=3 ②a★b=b★a ③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab ④若a★b=0，则a=1或b=0． 其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）． 13．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．
初中数学因式分解培优训练
第一讲:因式分解(一） 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强, 学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必 需的，而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. １.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2－b2＝(a＋b）（a-b)； (2）a2±２ab+b２=(a±b)２; （3)a3＋ｂ3＝(a＋b)(a２-ab+b２)； (4)a3-b３=(ａ-b)(a２＋ａb+b2）． 下面再补充几个常用的公式： (５）ａ2+ｂ2+c2+2ab＋2bc+2ca=(a+b+c）2； （6）a３＋b3+c3-3abc=(ａ+b+c)(a2＋b2＋c２-aｂ－bc-c ａ); (7)a n－b n=（a－b）(aｎ-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-２+b n-1)其中n为正整数； (8)aｎ－ｂn=(a+b）(aｎ-１-a n-2b+a n-3b2-…+ａｂn-2-bｎ-1),其中ｎ为偶数; (9)ａn+b n=(ａ+b)(aｎ-1-a n－2b+a n－３b2－…-ａｂn-2+ｂｎ-1),其中ｎ为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式: (１）-2x5n-1y n+4ｘ3n-1yｎ+２－2x n-1yｎ+4； (2)x3-８y3-z３-6xyz; (3）a２+b2+c２－2bc+2cａ-2ab; 7５2２５7 ＝-２xｎ-1yｎ［(x２n）２-2x２ｎy2＋(y2)2] ＝－2ｘn-1yｎ(x2n-y２)２ =-2x n-１ｙｎ(xｎ-ｙ）2(x n＋y)２． （２)原式=x３+(-2y)3+（－z)3-3x(－2y)（-Ｚ) =(x-2y-z)（x2+４y2＋z2＋2xy+xz-2yｚ). （3）原式=(a２－２ab+b2)+(-2ｂc+2cａ)+ｃ2 =(a-b)２＋２c（ａ-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形，直接使用公式(５）,解法如下: 原式=a2+(－b)2+c2+2(－b)c＋２ca+2a(－b) =(a-b+c）2 （4)原式=(a7-a5b２)+(ａ2b5－ｂ7) =ａ５(ａ２-b2)+b５(a２－ｂ2） =(a2-b2）（a5+b５） =（a+b）(ａ-ｂ）(a＋ｂ)(a4-a３b+a2b2-ab3+ｂ４）＝(ａ+ｂ）2(ａ-b)(ａ4-ａ3ｂ+a２ｂ2-ａｂ3+ｂ4) 例2 分解因式：a3＋ｂ３+c3－３ａbc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析我们已经知道公式 (a+b)３＝ａ3+3ａ2b+３ａb2+b3 的正确性，现将此公式变形为 ａ3＋b3=（ａ+b)3-3ab（a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导． 解原式=（a＋b)3-３aｂ（a+b)+c3－３ａｂc =[(a＋b)3+ｃ3]-3ab(ａ+b+ｃ) ＝（ａ+b+ｃ)［(a+ｂ）2-c（a+b)+c2]-3ab（a+ｂ+c) =(a+b+c)(a2＋b2+c2-aｂ-ｂc－ca). 说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推
培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)
3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：
因式分解培优专题
把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程 例? 计算 987 987 例：计算123 268 - 1368 1368 分析：算式中每一项都含有 竺 1368 987 521 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 456 987 1368 解: 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。 举一反三： 1、分解因式： (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是： (1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解 析】 1. (1) (2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10的倍数 即可。 解： 一项系数是正数，在提出“―”号后，多项式的各项都要变号。 解： (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自 然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中 常用的因式变换。 解： 5、中考点拨： 例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式：4q(1 p)3 2( p 1)2 解：
最新整式乘除与因式分解培优精练专题答案
整式乘除与因式分解培优精练专题答案 一．选择题（共9小题） 222 2．（2014?盘锦）计算（2a2）3?a正确的结果是（） 7776 可． 解：原式= =4a7， 故选：B． 22 ．3D．2 故选：B． 4．（2014?拱墅区二模）如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（） A．2，0 B．4，0 C． 2，D． 4， 运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解：∵ax2+2x+=4x2+2x++m， ∴， 解得．
5．（2014?江阴市模拟）如图，设（a＞b＞0），则有（） A．B．C．1＜k＜2 D．k＞2 解：甲图中阴影部分的面积=a2﹣b2，乙图中阴影部分的面积=a（a﹣b）， =， ∵a＞b＞0， ∴， ∴1＜k＜2． 故选：C． 6．（2012?鄂州三月调考）已知，则的值为（）A．B．C．D．无法确定 解：∵a+=， ∴两边平方得：（a+）2=10， 展开得：a2+2a?+=10， ∴a2+=10﹣2=8， ∴（a﹣）2=a2﹣2a?+=a2+﹣2=8﹣2=6， ∴a﹣=±，
7．已知，则代数式的值等于（） A．B．C．D． 分析： 先判断a是正数，然后利用完全平方公式把两边平方并整理成的平方的形式，开方即可求解． 解：∵， ∴a＞0，且﹣2+a2=1， ∴+2+a2=5， 即（+|a|）2=5， 开平方得，+|a|=． 故选C． 8．（2012?滨州）求1+2+2+2+…+2的值，可令S=1+2+2+2+…+2，则 2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012 ．D． 根据题目提供的信息，设S=1+5+5+5+…+5，用5S﹣S整理即可得解． 解：设S=1+5+52+53+...+52012，则5S=5+52+53+54+ (52013) 因此，5S﹣S=52013﹣1， S=． 故选C． 9．（2004?郑州）已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc A．4B．3C．2D．1
八年级数学下培优卷因式分解
八年级数学下培优卷：因式分解 知识点一、因式分解的意义 1．下列由左边到右边的变形，是分解因式的有（ ） ①a 2﹣9=（3）（a ﹣3） ②（2）（m ﹣2）2﹣4 ③a 2﹣b 2=（）（a ﹣b ）+1 ④2π2π2π（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ． a 2x ﹣（﹣1） B ． a 2﹣32（a ﹣3）+2 C ． 2x （x ﹣1）=2x 2﹣22x D ． x 21=（1）2 知识点二、提公因式法：1．观察下列各式：①2和； ②5m （a ﹣b ）和﹣； ③3（）和﹣a ﹣b ；④x 2﹣y 2和x 22；其中有公因式的是（ ） A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④ 2．把多项式9a 2b 2﹣182分解因式时，应提出的公因式是（ ） A ． 9a 2b B ． 92 C ． a 2b 2 D ． 182 3．分解因式﹣22+6x 3y 2﹣10时，合理地提取的公因式应为（ ） A ． ﹣22 B ． 2 C ． ﹣2 D ． 2x 2y 4．把多项式p 2（a ﹣1）（1﹣a ）分解因式的结果是（ ） A ． （a ﹣1）（p 2） B ． （a ﹣1）（p 2﹣p ） C ． p （a ﹣1）（p ﹣1） D ． p （a ﹣1）（1） 5．下列多项式的分解因式，正确的是（ ） A ． 8﹣12a 2x 2=4（2﹣3） B ． ﹣6x 3+6x 2﹣12﹣6x （x 2﹣2） C ． 4x 2﹣622x （2x ﹣3y ） D ． ﹣3a 29﹣6﹣3y （a 2+3a ﹣2） 6、22)()(y x x y -=-； （2）)2)(1()2)(1(--=--x x x x 7．多项式10a （x ﹣y ）2﹣5b （y ﹣x ）的公因式是 ． 8、不解方程组23532x y x y +=-=-??? ，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++ 9、分解因式：(1)、322x x x ()()--- （2）412132q p p ()()-+- （3）-+-41222332m n m n mn （4）2 1222+ +x x
因式分解培优专题(一)
初三数学因式分解培优专题（一） 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解： 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 9875211368 9874561368 9872681368 987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有9871368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解： 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 解：
(完整)因式分解提高培优
因式分解拓展提高(1) ① 2 x 7x 6 ; ②3x 2 2x 1 ； ③ x 2 5x 6 ； ④ 4x 2 5x 9; 2 ⑤15x 23x 8 ； ⑥ x 4 11x 2 12 A . 2个 B . 3个 C . 4个 D .5个 -二、填空题 7 . 2 x 3x 10 & 2 m 5m 6 (m + a)(m + b). a = ,b = 9 . 2x 2 5x 3 (x — 3)( ). 10 2 .x 2y 2 (x — y)( ____ ). 11. a 2 -a ( _________ ) ( _________ 2. m 12 .当k= _____ 时，多项式3x 2 7x k 有一个因式为( ___________ 17 3 22 3 13 .若x — y = 6, xy ，则代数式x y 2x y xy 的值为 36 三、解答题 14 .把下列各式分解因式： (1) x 4 7x 2 6 ； (3) 4x 4 65x 2 y 2 16y 4 ； (5) 6a 4 5a 3 4a 2 ； 4 2 (2) x 5x 36 ; (4) a 6 7a 3b 3 8b 6 ； (6) 4a 6 37a 4b 2 9a 2b 4. 15 .把下列各式分解因式： 2 2,2 (1) (x 3) 4x ； 2 2 2 2 一、选择题 1.如果X 2 px q (x a)(x b)，那么p 等于 A . ab 2 2.如杲 x (a b) x 5b C . — ab 2 x x 30，贝y b 为 D . - (a + b) B . — 6 C . — 5 D . 6 3.多项式x 2 3x a 可分解为(x — 5)(x — b)，则a , b 的值分别为 A . 10 和一2 B . — 10 和 2 C . 10 和 2 D . — 10 和一2 4.不能用十字相乘法分解的是 A . x 2 x 2 C . 4x 2 x 2 B . 3x 2 10x 2 3x D . 5x 2 6xy 8y 2 5. 分解结果等于(x + y — 4)(2x + 2y — 5)的多项式是 A . 2(x y)2 13(x y) 20 B . (2x 2y)2 13(x y) 20 C . 2(x y)2 13(x y) 20 D . 2(x y)2 9(x y) 20 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x — 1的多项式有 () () () () () () .). (2) x 2(x 2)2 9; (4) (x 2 x)2 2 17(x x) 60 ；
七年级数学因式分解培优试题
1.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求 的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-，求 x y -的值。______ 6．因式分解： （1）.提公因式法： a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 （2）.公式法： 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+
因式分解提高培优
一、选择题 1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________， b ＝__________． 9．=--3522 x x (x －3)(__________)． 10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22 ____)(____(_____)+=++a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： （1）6724+-x x ； （2）3652 4--x x ； （3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）4 22469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式： （1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ； （3）2222)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ． 16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2； （2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-； （3）81023222-++--y x y xy x ； （4）310434422-+---y x y xy x ； （5）120)127)(23(22-++++x x x x ； （6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++． 17．已知6019722 3+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．
因式分解方法培优试题
2015年因式分解方法培优试题 专题一、（1）提公因式法. （2）运用公式法. 例（1）分解因式 （2） 专题二、分组分解法 在分解因式时，有时为了创造运用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，再进行因式分解。 （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、（1）分解因式：ay ax y x ++-2 2（2）2 222c b ab a -+- 例4、已知x －2y ＝3，求 的值。 专题三、配方法 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式． 例5、分解因式：34442 2-+--y y x x
练习5（1）分解因式：3242 2+++-b a b a 的结果是 ． （2）若25)(22 2++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ． 专题四、十字相乘法 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合 条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项（a 、b 、c 都是整数，且 ）来说，如果存在四 个整数满足 ，并且，那么二次三 项式 即 可以分解为 。 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复 杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 例6、分解因式：652 ++x x 练习6、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 例7、分解因式：672+-x x 练习7、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 例8、分解因式：101132+-x x 练习8、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y
因式分解培优提高题用
1、因式分解： （1）34x x - （2）42 82a a - （3）22 33m n m n --- （4）2 2 24x xy y ++- （5）2 25x xy x +- （6）2 2 25x y xy xy +- （7）432 462x x x --+ （8）4 2 3 4 462x y x y xy --+ （9）()()2232a x y b x y --- （10）()()()223242a x y b y x c x y ----- （11）()()2 2 4292a b a b --+ （13）22111439 x xy y -+- （12）()()2961a b a b ++++ （13）22111439 x xy y -+-
（14）()()() 22 2316131p x y p x y p x +++++2 15(2)(3)4x x x +++-（） （16）y y x x 3922--- （17）yz z y x 22 22--- （18）652++x x （19）672 +-x x （20）101132+-x x （21）6752 -+x x 2、求证：不论x 、y 为何有理数，2 2 10845x y x y +-++的值均为正数。 3、若a 为整数，证明()2 211a +-能被8整除。 4、计算：3232 2002220022000 200220022003 -?-+-
5、已知22 26100a a b b ++-+=，求a 、b 的值。 6、 如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干，如果要拼一个长为(a ＋2b)、 宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 ． 利用1个a a ?的正方形，1个b b ?的正方形和2个a b ?的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式__________. 7、 给出三个多项式： 21212x x +-，21412 x x ++，21 22x x -．请选择你最喜欢的两个 多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8、在三个整式2 2 2 2,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得 整式可以因式分解，并进行因式分解． 9、当a 、b 的值为多少时，多项式2 2 3625a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值。 10、若一个三角形的三边长a ，b ，c ，满足2 2 2 2220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的