高考数学专题讲义：不等式与线性规划 (2)

高考数学专题讲义：不等式与线性规划

【考向解读】

不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容,对不等式的考查一般以选择题、填空题为主。(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域,往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合,在知识的交汇处命题,难度中档；在解答题中,特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解,但难度偏高。

【命题热点突破一】不等式的解法

1．一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集．

2．简单分式不等式的解法

(1)f x

g x>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；

(2)f x

g x≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0。

3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式,可利用函数的单调性求解．

例1、（2018年北京卷）设集合则

A。对任意实数a,

B。对任意实数a,（2,1）

C。当且仅当a<0时,（2,1）

D。当且仅当时,（2,1）

【答案】D

【变式探究】【2017江苏,10】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是▲ 。

【答案】30

【解析】总费用,当且仅当

900

x

x

=,即30

x=时等号成

立。

【变式探究】若

,则( )

（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ） （D ）

【答案】C

【解析】用特殊值法,令3a =,2b =,1

2

c =得112232>,选项A 错误,,选项B 错

误,

,选项C 正确,

,选项D 错误,故选C ．

【变式探究】设变量x ,y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为

（ ）

（A ）4- （B ）6

（C ）10

（D ）17

【答案】B

【感悟提升】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误．

【变式探究】

(1)定义运算“?”：x ?y ＝x 2－y 2

xy (x ,y ∈R,xy ≠0),当x ＞0,y ＞0时,x ?y ＋(2y )?x 的最小值为________。

(2)函数y ＝x －1

x ＋3＋x －1的最大值为________。 【答案】(1)2 (2)1

5

【解析】(1)由题意,得x ?y ＋(2y )?x ＝x 2－y 2

xy ＋2y 2－x 22yx

＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 2

2xy ＝2,当且仅当

x ＝2y 时取等号。

(2)令t ＝x －1≥0,则x ＝t 2＋1,

所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝t

t 2＋t ＋4。 当t ＝0,即x ＝1时,y ＝0； 当t >0,即x >1时,y ＝1

t ＋4

t ＋1

, 因为t ＋4

t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号), 所以y ＝1t ＋4

t ＋1

≤1

5, 即y 的最大值为1

5(当t ＝2,即x ＝5时y 取得最大值)。

【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式。在利用基本不等式时往往都需要变形,变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件,即“和”或“积”为定值。等号能够取得。

【命题热点突破三】简单的线性规划问题

解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决．

例3、（2018年全国I 卷）设变量满足约束条件

则目标函数

的最大

值为

A 。 6

B 。 19

C 。 21

D 。 45 【答案】C

【变式探究】【2017山东,文3】已知x ,y 满足约束条件,则z =x +2y 的最大值

是

A 。-3

B 。-1

C 。1

D 。3 【答案】D

【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示,平移直线20x y +=,可知当其经过直线

与2y =的交点()1,2-时, 2z x y =+取得最大值,为

,故选D 。

3。 （2018年浙江卷）若满足约束条件

则

的最小值是___________,

最大值是___________．

【答案】 (1)。 -2 (2)。 8

4。（2018年天津卷）已知a,b∈R,且a–3b+6=0,则2a+的最小值为__________．【答案】

【解析】由可知,且：,因为对于任意x,恒成立, 结合均值不等式的结论可得：。

当且仅当,即时等号成立。

综上可得的最小值为。

5。（2018年北京卷）若x,y满足,则2y?x的最小值是_________。

【答案】3

【解析】不等式可转化为,即

满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图

令,

由图象可知,当过点时,取最小值,此时,

的最小值为。

6。（2018年江苏卷）在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________．

【答案】9

7。（2018年全国III 卷）若变量满足约束条件则的最大值是________．

【答案】3

【解析】作出可行域

1。【2017课标1,文7】设x,y满足约束条件

33,

1,

0,

x y

x y

y

+≤

?

?

-≥

?

?≥

?

则z=x+y的最大值为

A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D

2。【2017课标II,文7】设,x y 满足约束条件

,则2z x y =+的最小值是

A 。15-

B 。9-

C 。1

D 9 【答案】A

【解析】x 、y 满足约束条件的可行域如图：

5。【2017山东,文3】已知x ,y 满足约束条件,则z =x +2y 的最大值是

A 。-3

B 。-1

C 。1

D 。3 【答案】D

6。【2017浙江,4】若x ,y 满足约束条件

,则y x z 2+=的取值范围是

A ．[0,6]

B ．[0,4]

C ．[6,)∞+

D ．[4,)∞+

【答案】D

【解析】如图,可行域为一开放区域,所以直线过点(2,1)时取最小值4,无最大值,选D ．

7。【2017江苏,10】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ 。

【答案】30 【解析】总费用,当且仅当900

x x

=

,即30x =时等号成立。

1。 【2016高考新课标1卷】若,则( )

（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ） （D ）

【答案】C

2。【2016高考天津文数】设变量x ,y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的

最小值为（ ）

（A ）4- （B ）6

（C ）10

（D ）17

【答案】B

【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中

,直线z 25x y =+过点

x

o

y

2

x y -=

02=-y x

03=-+y x

B 时取最小值6,选B 。

3。【2016高考山东文数】若变量x ,y 满足

,则2

2x y 的最大值是（ ）

（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12

【答案】C

【解析】不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为2

10OC =,故选C 。

6。【2016年高考四川文数】设p ：实数x ,y 满足

,q ：实数x ,y 满足1,

1,1,y x y x y ≥-??

≥-??≤?

则p 是q 的( )

（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

【答案】A

x y O

P

7。【2016高考新课标3文数】若,x y满足约束条件则z x y

=+的最大值为_____________。

【答案】3 2

【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示。由图知,当直线z x y

=+经过点A时,z取得最大值。由得

1

1

2

x

y

=

?

?

?

=

??

,即

1

(1,)

2

A,则．

8。【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1。5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0。5kg,乙材料0。3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．

【答案】216000

作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域。

将变形,得

,平行直线7

3

y x =-,当直线

经过

点M 时,z 取得最大值。

【答案】A

8。(2015·广东卷)若变量x ,y 满足约束条件???4x ＋5y ≥8，

1≤x ≤3，0≤y ≤2，

则z ＝3x ＋2y 的最小值为(

)

A 。315

B 。6

C 。235

D 。4

【解析】不等式组所表示的可行域如下图所示,

【答案】C

9。(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝?????x ＋2x

－3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________,f (x )的最小值

是________。

【解析】f (f (－3))＝f (1)＝0,当x ≥1时,f (x )＝x ＋2

x －3≥22－3,当且仅当x ＝2时,取等号；当x ＜1时,f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0,当且仅当x ＝0时,取等号,

∴f (x )的最小值为22－3。 【答案】0 22－3