静态电磁场边值问题计算方法
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第3章 静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】
第3章 静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E 可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。
3.2“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
因为电场强度大小是该点电位的变化率。
3.3“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
此时该点电位可能是任一个不为零的常数。
3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？答：边界条件起到给方程定解的作用。
3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。
答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。
答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。
计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为；导线2和大地间的等效电容为图3-1-13.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。
表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。
静态电磁场边值计算的探讨
静态电磁场边值计算的探讨作者：陈福强来源：《数字化用户》2013年第05期【摘要】基于静态电磁场边值的求解问题的实例，分别通过解析法，有限差分法以及有限元法进行了求解，并得到了电位分布示意图，最后阐述了三种方法的各自的特征。
【关键词】电磁场边值数值解一、引言场分布不随着时间的变化而变化的场被称为静态场，静态场的求解对电磁场的分布是至关重要的。
事实上，求解静态电磁场就是对已知区域内的电荷分布以及已知区域边界电位及电荷分布进行求解，对已知区域内的场量的分布进行求解，这类问题的求解也被叫做静电场边值问题的求解。
静态场的分布求解是基于已知区域边界条件及电荷分布基础上，对满足边界分布的拉普拉斯方程或者泊松方程的求解。
通常情况下，求解的方法是数值法和解析法。
本文通过对静态电磁场边值的求解，帮助人们加深对电磁场的理解。
二、静态电磁场边值求解的解析法通过解析法对静态电磁场的边值问题进行求解，实际上主要针对在场域边界上场量的值已知，而对场域内的场的分布进行求解的情况。
求解的结果通常是解析表达式的形式，并且一般较为复杂。
解析法虽然不能对体现场的分布进行形象的描述，然而，由于其结果能够对场域内的每一个点的分量都能够进行精确的表述，因此，是解析法得到的是精确解。
为了将场的分布描述的更加生动，对位函数自变量进行离散，同时带入到位函数，对位函数的离散值进行求解，同时将等位线画出。
三、静态电磁场边值求解的有限差分法四、静态电磁场边值求解的有限元法在有限差分基础上，结合洛伦兹变换得到的有限元法，其实质也是一种数值解法。
其求解过程为把所求位函数当成是能量泛函的变量，能量泛函在边界条件下得到极小值，此时的电位函数能够满足拉普拉斯方程。
也就是说，将静态电磁场边值求解转化为对泛函极值求解的问题。
其中，表示极化常数。
该方法把通过偏微分方程表示的连续函数的封闭场域进行划分，分成若干个小的三角形的单元，任何一个单元都通过一个选定的泛函表示。
边值问题
第二节 镜像法
1、导体与介质间边界的镜象法 、
1、导体与介质间边界的镜像法 、
是求解静态场的一种有效且直观的方法。 镜像法 是求解静态场的一种有效且直观的方法。 适用于求解某些涉及平面边界或圆形边界的边值问题。 适用于求解某些涉及平面边界或圆形边界的边值问题。 在两种不同媒质的边界外， 基本思想 在两种不同媒质的边界外，用虚设的场源 (电荷或电流)来代替边界上实际分布的感应电荷(或束缚电荷) 电荷或电流)来代替边界上实际分布的感应电荷(或束缚电荷) 或磁化电流对场的作用。镜像的个数、 或磁化电流对场的作用。镜像的个数、大小和位置由边界条件 确定。这样，可以撤去边界面，并将场源所在区域的媒质扩展 确定。这样，可以撤去边界面， 到整个空间，待求场则由场源及其镜象共同确定。 到整个空间，待求场则由场源及其镜象共同确定。 是以场源的镜像代替边界面上电荷或电流的作用， 实质 是以场源的镜像代替边界面上电荷或电流的作用， 将实际 上非均匀媒质的问题简化为均匀媒质来处理。 上非均匀媒质的问题简化为均匀媒质来处理。
注意： ，这是因为Q所发出的电力线并不全部 终止与导体球上，有一部分将终止于无穷远处之故。 Q受到导体球的作用力
如果导体不接地，原来又不带电，则其表面电势不 为零，而球面上的净感应电荷为零。
不接地金属球的镜像
设想导体球接地,且在中心放置点电荷
不破坏导体球面为等势面的条件
不接地金属球的镜像
任一点场强
边 值 问 题 基 本 解 法
实验法
实测法 模拟法 解析法 直接积分法 分离变量法 镜像法 格林函数法 复变变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法
计算法
数值法
3、唯一性定理
解决边值问题的理论基础 内容：对于任一静态场(也包括准静态场)，满足一定边 内容 界条件的拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，即在 区域V内给定自由电荷(或电流)分布，在V的边界S上给 定电势 或其法向导数 或者矢势A或 )的 值，则V内的场便被唯一地确定。 表明泊松方程(拉普拉斯方程)的解在什么条件 具有 唯一性.
静态电磁场及其边值问题的解chap3
ϕ ( P) = ∫
∞
P
v v E ⋅d l
（以无限远处为零电位做参考，任意点P的电位表示） 以无限远处为零电位做参考，任意点P的电位表示）
2、静电位的微分方程
v E = −∇ϕ ⇒ D = ε E = −ε∇ϕ
∇ ⋅ D = ρ ⇒ ∇⋅ ( −ε∇ϕ ) = ρ ⇒ ∇⋅ ( ∇ϕ ) = − ρ ⇒ ∇2ϕ = − ρ
ρS = 0
∂ϕ1 ∂ϕ2 ε1 =ε2 ∂n ∂n
导体
∂ϕ ε =−ρS ∂n
【例3.1.1】 求电偶极子 p = qdl 的电位 ϕ ( r ) 3.1.1】
当
z
+q d
r+ r− = r
P ( r,θ ,ϕ )
r >> d 1 1 1 ≈ + 2 d cosθ r+ r r
因此
ϕ=
θ
−q
解：取如图所示坐标系，场点 P ( r,θ ,ϕ ) 取如图所示坐标系， 的电位等于两个点电荷电位的叠加
a a
Cl =
ρl
U
=
D−a ln a
πε 0
≈
πε 0
ln( D / a)
ρl 1 ρl D − a 1 ( + )dx = ln 2πε 0 x D − x πε 0 a
F /m
【例3.1.5】同轴线的内导体的半径为a，外导 3.1.5】同轴线的内导体的半径为a 体的半径为b 体的半径为b，内外导体间填充介电常数为 ε 的均匀电介质，试求同轴线单位长度的电容。 的均匀电介质，试求同轴线单位长度的电容。
电 位 的 泊 松 方 程
ε
ε
若空间电荷分布为零， 若空间电荷分布为零，则有 ∇2ϕ = 0
电磁场数值计算边值问题
电磁场数值计算
在均匀媒质中， 0 。因此
2 0
上式为导电媒质中恒定电流场的基本方程。 在两种导电媒质的分界面上，对应于场矢量的
分界面衔接条件 E2t E1t 和 J2n J1n 。
电位的分界面衔接条件为
2 1，
2
2 n
1
1 n
2021/7/27
电磁场数值计算
2、边值问题及其外部边界条件 恒定电流场的基本方程为拉普拉斯方程
在平行平面场和轴对称场中，内部衔接条件和外部边 界条件设置在材料的分界线和外部边界线上。
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电磁场数值计算
在三维坐标系（直角坐标系、圆柱坐标系 和球坐标系）中，如果场源、材料和边界条件 沿两个坐标方向都不变化，则静电场可进一步 简化为一维场。
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电磁场数值计算
2.2 恒定电流场的边值问题
设置。
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电磁场数值计算
2.3 恒定磁场的边值问题
1、矢量磁位的基本方程和内部分界面衔接条件 根据恒定磁场基本方程微分形式和辅助方程，得
H
1
B
J
将矢量磁位与磁感应强度的关系 B A代入，得
1
A
1
A
A
1
J
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电磁场数值计算
在均匀磁媒质中， 1 0 ,
第三类边值问题表述为
2
n
0 0
第三类边值问题包含第二类边值问题，或第二
类边值问题是第三类边值问题的特例。 0 ?
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电磁场数值计算
更为一般的，已知求解区域内部的自由电荷分布，
给定求解区域部分边界 1 上电位和另一部分边界 2
静态场边值问题的解法
第四章 静态场边值
问题的解法
在无源区，二维静电场的电位满足拉普拉斯方 程，即二维静电场的电位可用解析函数的实部或 虚部表示。 对于解析函数 w(z) u(x, y) jv(x, y) 曲线簇 u(x, y) C1 和曲线簇 v(x, y) C2 处处相互正交 。即任意解析函数的实部和虚部均满足二维拉普 拉斯方程，且实部和虚部的等值线相互垂直。
v
v
Ex x , Ey y
如图所示，通过曲面的电通量为
v v
E dS (Exdy Eydx) ( x dy y dx)
(
u y
dy
u x
dx)
du
第四章 静态场边值
问题的解法
BE
y
dl dS
导体
E
A x 电通量函数
V
V
s () ds
即
s
ds n
(2 )dV = ds
V
s n
第四章 静态场边值
问题的解法
2 格林第二公式
(2 2)dV = ( )ds
V
s n n
4.2.2 唯一性定理
对任意的静电场,当空间各点的电荷分布与整个
第四章 静态场边值
问题的解法
4.2 唯一性定理
4.2.1 格林公式
数值法求解静态电磁场边值问题
解得 到的方程组 。
图ｌ 所示 的一个长直接地 金属矩形槽 ，其横截面为正 方形Ｄ：０ ≤ ≤三 ， ｏ ≤Ｙ ≤三，其侧壁和地板均接地 ，电位为
０ ，顶盖与侧壁绝缘 ，电位为 ，求该区域 中的 电位分布。 由于该 槽沿 长度方 向为均 匀分 布 ，故可 以将 其 简化 成二 维 电磁 场 问题 。区域 中无 电荷 源 ，故该 区域 中的 电 位符合二维拉普拉斯分布 。设电位为 ，则 有：
Ｅ Ｌ Ｅ Ｃ Ｔ Ｒ ＯＮ Ｉ法 求解 静态 电磁 场边值 问题
电子科技 大 学物理 电子 学院 薛 冰
【 摘要 】求 解线性方程组 的数值 方法 包括 直接 法和迭代 法 。本 文针 对有 限差分法求解静 态 电磁 场 边值 问题得到 的线性 方程组 ，分别采用属 于直接 法的三角分解法 ，以及属 于迭代 法的 高斯一 赛德 尔迭代法和超松 弛迭代 法进行 求解 ，并 比较 了不 同方法 的运 算效 率。结果表 明 ，当方程 组阶数较低 时 ，直接 法计算效 率更 高；而当方程组阶数较 高 时，迭代 法有
＝
窘 瓠 ‘ 芬－ ｏ
（ Ｉ ）
本文采 用三角分解法 、高斯一 赛德 尔迭代法及 超松弛
迭 代法 ，针 对用有 限差 分法 求解静 态 电磁 场边 值 问题 得
到 的差 分方 程组进 行求 解 。采用不 同网格步长 离散 化待 求 区域 ，得 到规模 不 同的差分 方程 组 。采 用不 同数值 方 法 求解 方程 组 ，可 以发 现不 同方法有 不 同 的运 算效 率及
更好的表现 。
【 关键词 】 数值 法 ；高斯一 赛德 尔迭代 法 ；超松 弛迭代 法；三 角分解 法 ；有 限差分法 ；静 态 电磁 场边值 问题
二维静态电磁场边值问题的数值计算.
二维静态电磁场边值问题的数值计算作者：高汉超（陕西理工学院物理与电信工程学院物理1103 班汉中723001）指导教师：潘峰［摘要］基于静态电磁场边值的求解问题的实例，分别通过解析法，数值法，有限差分法以及有限元法进行了求解，并得到了电位分布示意图，求出了数值解，并与解析法得到的精确解进行比较，得出了用数值法求解电磁场问题基本满足工程需要的结论。
采用数值计算时，对如何减小计算机内存，取消冗余数据，也做了进一步的讨论。
最后阐述了三种方法的各自的特征。
［关键词］电磁场;边值;数值解;数值分析;解析法引言场分布不随着时间的变化而变化的场被称为静态场，静态场的求解对电磁场的分布是至关重要的。
事实上知区域内的电荷分，求解静态电磁场就是对已布以及已知区域边界电位及电荷分布进行求解，对已知区域内的场量的分布进行求解，这类问题的求解也被叫做静电场边值问题的求解。
静态场的分布求解是基于已知区域边界条件及电荷分布基础上，对满足边界分布的拉普拉斯方程或者泊松方程的求解。
通常情况下，求解的方法是数值法和解析法。
本文通过对静态电磁场边值的求解，帮助人们加深对电磁场的理解。
1.静态电磁场边值求解的解析法通过解析法对静态电磁场的边值问题进行求解，1864 年，Maxwell 在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是Maxwell 方程组。
笼统而言，所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell 方程组在各种边界条件下的求解问题。
解析法包括建立和求解偏微分方程或积分方程。
严格求解偏微分方程的经典方法是分离变量法，即在可分离变量的坐标系中求解Maxwell 方程组或其退化形式，最后得到解析解。
实际上主要针对在场域边界上场量的值已知，而对场域内的场的分布进行求解的情况。
求解的结果通常是解析表达式的形式，并且一般较为复杂。
解析法虽然不能对体现场的分布进行形象的描述，然而，由于其结果能够对场域内的每一个点的分量都能够进行精确的表述，就有一个相对的解。
边值问题
a, b, c
x, y ax by c
一般形式： x, y i Ni
i 1
3 2 Nie ( ) i j 1 x x 3 Nie 2 ( y ) y i j 1
3
e
与坐标有关 的形函数
N e j x N e j y
i j i j
其中
1 e N1 (b1 x c1 y a1 ) 2 e 1 e (b2 y c2 y a2 ) N2 2 e 1 e N3 (b3 x c3 y a3 ) 2 e
X Y Z
上式（4）的第一项只有x的函数，第二项只有y的函数， 第三项只有z的函数。要使这一方程对任意一组（x,y,z） 成立，这三项必须分别为常数，形成常数微分方程，即 （5） ''
X 2 X Y '' 2 Y
（6）
（7） Z '' 2 Z 、 、 是分离常数，都是待定常数，于边界条件有关。 它们可以是实数，也可以是虚数，并且由式（4）得 （8） 2 2 2 0 这里的常微分方程（5）-（7）解的形式，以式（5） 为例说明X的形式与α的关系。
5-1 分离变量法 分离变量法：将偏微分方程变量分离得到通解，利用边 界条件得到其定解的过程。 在直角坐标系中，拉普拉斯方程为 2 2 2 2 2 0 （1） 2 x y z 设可以表示为三个函数的乘积，即 ( x, y, z ) X ( x)Y ( y)Z ( z) （2） 其中X只是x的函数，同时Y只是y的函数，Z只是z的函 数。将上式代入式（1）得 2 X 2Y 2Z YZ 2 XZ 2 XY 2 0 （3） x y z 然后用XYZ除上式得 X '' Y '' Z '' （4） 0
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点一、知识概述准静态电磁场和边值问题①基本定义：- 准静态电磁场呢，简单说就是一种近似的电磁场情况。
在一些情况下，电磁场变化不是那么快，就可以把它当作准静态的。
比如说电场或者磁场的变化率相对比较小的时候，就像是大家走路的时候一步一步慢慢走，而不是跑来跑去那种很剧烈的变化。
电场准静态的时候，可以近似用静电场的一些方法去分析，磁场准静态的时候也类似能用上一些静磁场的办法。
边值问题呢，就是在给定的边界条件下，去求解电磁场的问题。
就好比你要在一个限定的区域里，根据这个区域四周的情况来确定里面电磁场是啥样的，这个区域周围的情况就是边界条件。
②重要程度：- 在工程电磁场导论这个学科里，这可是很重要的一部分呢。
因为实际工程中很多电磁场的情况都可以用准静态的概念简化分析，让复杂的问题变得好理解一些。
边值问题相当于把电磁场的理论和实际应用连接起来的一座桥，如果搞不定边值问题，很多实际工程中的电磁场就没法准确计算和设计。
③前置知识：- 得先掌握静电场、静磁场的基本概念和计算方法。
比如说库仑定律得知道吧，安培定律这些也得有个印象。
就像你要学烧复杂的菜，那得先把切菜洗菜、基本的煎炒烹炸先学会。
④应用价值：- 在电气设备的设计里经常用到。
比如电机的电磁场分析，就可以用准静态电磁场的概念简化计算。
还有像变压器的设计，要考虑铁芯周围的磁场分布，这时候就会涉及到边值问题。
如果这些搞不清楚，电机可能性能就不好，变压器效率也上不去。
二、知识体系①知识图谱：- 准静态电磁场和边值问题在工程电磁场导论这个学科里就像是大树的树干分出来的一个大树枝。
它跟之前学的静电场、静磁场有联系，又为后面学习更复杂的时变电磁场打基础。
②关联知识：- 和麦克斯韦方程组里的各个方程关系密切。
像准静态电磁场很多时候就是在麦克斯韦方程组在特殊情况下的一种反映。
和电磁感应原理也有关联，因为磁场变化产生感应电场之类的。
③重难点分析：- 重点是确定不同情况下的准静态电磁场的近似条件，还有就是高效准确地根据边界条件求解边值问题。