2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(31)数列的综合应用)
响水中学2013-2014学年高二上学期数学学案：《第31课时 数列的综合应用》
【基础训练】1．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第100项是 ．2. 已知首项不为0的等差数列的第2，3, 6项依次构成一个等比数列，则该数列的公比为 ．3.某种产品平均每三年降低价格41,目前售价为640元,则9年后的价格为 元． 4.一凸多边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小内角为100°，则凸多边形的边数n ＝ ．5． 等差数列}{n a 与等比数列{}n b 中，若1111110,0,a b a b =>=>则66,a b 的大小关系是 ．6. 在等比数列}{n a 中，12378450,16,n a a a a a a a a >=+ 则的最小值是 ．7. 已知数列}{n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{}cos n a 是等比数列，则其公比是 ． 【例题分析】例1．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足111,2(2)2n n n a a S S n -==-≥ ． （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求证：32n S >-．例 2.已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥,*n ∈N .(1)求证;数列{}n a 为等差数列,并求其通项公式;(2)设n n n a b -⋅=2,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求使n T >2的n 的取值范围.(3)设λλ(2)1(41n an n n c ⋅-+=-为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n c c >+1成立.例3．将正奇数如下分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…， （1）2013出现在第几组中？（2）求第n 组之和及前n 组之和是多少？例4．一件商品现价20000元，购买者实行分期付款，每期付款数相同，第一期为购买后一个月付款，以后每隔一个月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8％，按复利计算，那么每期应付款多少？（参考数据：1.00812＝1.1）【巩固迁移】1．在小时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如下图所示的规则练习数数，数到2008时对应的指头是 ．(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)．2．如下图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列125,,,a a a 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列。
2013届高三数学一轮复习课时作业11 函数模型及其应用 新人教A版 理
课时作业(十一) [第11讲 函数模型及其应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．[2011·某某模拟] 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )A ．100元B ．110元C ．150元D ．190元3．[2011·某某模拟] 某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中( )A ．不能确定哪种省钱B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱4．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x ，y )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x能力提升5．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别如图K11－2所示．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面7．[2011·某某模拟] 某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台8．图K11－3是统计图表，根据此图表得到以下说法，其中正确的有( ) ①这几年人民的生活水平逐年得到提高；②人民的生活收入增长最快的一年是1998年； ③生活价格指数上涨最快的一年是1999年；④虽然2000年生活收入增长量缓慢，但由于生活价格指数有较大下降，因而人民的生活仍有较大改善．A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项9．[2011·某某模拟] 将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt.若5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m min 后甲桶中的水只有a8L ，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．1010．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y 是经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成________．11．某出租车公司规定乘车收费标准如下：3 km 以内为起步价8元(即行程不超过3 km ，一律收费8元)；若超过3 km ，除起步价外，超过的部分再按1.5元/km 计价；若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱．已知该乘客下车时乘车里程数为7.4 km ，则该乘客应付的车费为________．12．[2011·某某模拟] 计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．13．[2011·某某一中月考] 某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝pq x，②f (x )＝log a x＋q ，③f (x )＝(x －1)·(x －q )2＋p (其中p ，q 为正常数，且q >2)．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若f (1)＝4，f (3)＝6，则所选函数f (x )的解析式为________________．14．(10分)电信局为了配合客户不同需要，设有A ，B 两种优惠方案．这两种方案应付话费y (元)与通话时间x (min)之间的关系如图K11－4所示，其中MN ∥CD .(1)若通话时间为2 h ，按方案A ，B 各应付话费多少元？ (2)方案B 从500 min 以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么X 围内，方案B 比方案A 优惠？15．(13分)[2011·潍坊模拟] 某企业拟在2011年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，当年促销费用t ＝0万元时，年销量是1万件．已知2011年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．(1)将2011年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数； (2)该企业2011年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)难点突破16．(12分)如图K11－5所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB ＝1 m ，高0.5 m ，CD ＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞12 m ．上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．△EMN 是一个由电脑控制形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD 平行的伸缩横杆．(1)设MN 与AB 之间的距离为x m ，试将三角通风窗EMN 的通风面积S (m 2)表示成关于x 的函数；(2)当MN 与AB 之间的距离为多少m 时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积．－5课时作业(十一)【基础热身】1．A [解析] 从汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，可比较图象中所反映的速度，速度是由慢到快，再到匀速，最后到减速，所以A 选项正确．2．C [解析] 设售价在100元基础提高x 元，则依题意y ＝(100＋x )(1 000－5x )－80×1000＝－5x 2＋500x ＋20 000，故当x ＝50元时，y 取最大值32 500元，此时售价为150元．3．D [解析] 方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)， 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)， ∵210＜211.6，故方法①省钱．4．B [解析] 由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x. 【能力提升】5．C [解析] 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额y 为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0x ≤800，x －800×14%800<x ≤4 000，11%·x x >4 000，如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800.6．A [解析] 由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0、0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0、t 1时刻，甲车均在乙车前面，选A.7．C [解析] 由y ≤25x ，得(x ＋200)(x －150)≥0，x ≥150，选C. 8．D [解析] 根据图象可以分析出各项指数的特征．9．D [解析] 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.10．y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m ) [解析] 依题意有y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )．11．15元 [解析] 依题意得，实际乘车费用为：8＋1.5×(7.4－3)＝14.6，应付车费15元．12．300 [解析] 设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313，∴9年后的价格y ＝8100⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－19＝8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)．13．③f (x )＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x ≤12，x ∈Z )[解析] 因为f (x )＝pq x ，f (x )＝log a x ＋q 是单调函数，f (x )＝(x －1)(x －q )2＋p 中，f ′(x )＝3x 2－(4q ＋2)x ＋q 2＋2q .令f ′(x )＝0，得x ＝q ，x ＝q ＋23，f (x )有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f (x )＝(x －1)(x －q )2＋p 为其成绩模拟函数．由f (1)＝4，f (3)＝6得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，23－q2＋p ＝6，q >2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，q ＝4.故f (x )＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x ≤12，且x ∈Z )．14．[解答] (1)设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为f A (x )和f B (x )，由图知M (60,98)，N (500,230)，C (500,168)，MN ∥CD ，则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧980≤x ≤60，310x ＋80x >60，f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1680≤x ≤500，310x ＋18x >500，故通话2小时的费用分别是116元、168元．(2)f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－⎝ ⎛⎭⎪⎫310n ＋18＝0.3(n >500)， ∴方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元． (3)由图知，当0≤x ≤60时，f A (x )＜f B (x )； 当60<x ≤500时，由f A (x )＞f B (x )得 310x ＋80>168，解得x >8803，∴8803<x ≤500. 当x ＞500时，f A (x )＞f B (x )．综上，通话时间在⎝ ⎛⎭⎪⎫8803，＋∞内，方案B 比方案A 优惠． 15．[解答] (1)由题意：3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入得k ＝2，∴x ＝3－2t ＋1，当年生产x (万件)时，年生产成本＝32x ＋3＝323－2t ＋1＋3， 当销售x (万件)时，年销售收入＝150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t ， 由题意，生产x 万件产品正好销完．∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，即y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1(t ≥0)．(2)∵y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－216＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42，∴当促销费投入7万元时，企业年利润最大． 【难点突破】16．[解答] (1)当0≤x <12时，由平面几何知识，得MN －12a －1＝x12，∴MN ＝2(2a －1)x ＋1，S ＝12MN ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14，当12<x <a ＋12时，S ＝12·2a 2－⎝⎛⎭⎪⎫x －122·⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫x －122·⎝⎛⎭⎪⎫x －12，∴S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a －1x 2＋a －1x ＋14，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a ＋12.(2)①当0≤x <12时，S ＝f (x )＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14，∵a >12，∴a －122a －1－12＝－a 22a －1<0，∴a －122a －1<12.当a －122a －1≤0时，12<a ≤1，此时当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝14， 当0<a －122a －1<12时，a >1，此时当x ＝a －122a －1时，f (x )max ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －122a －1＝a 242a －1，②当12<x <a ＋12时，S ＝f (x )＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1222＝12a 2， 等号成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122⇔x ＝12(2a ＋1)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a ＋12.∴当x ＝12(2a ＋1)时f (x )max ＝a22.(i)12<a ≤1时，∵a 22－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22， ∴12<a ≤22时，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝14； 22<a ≤1时，当x ＝12(2a ＋1)时，f (x )max ＝a 22. (ii)a >1时，∵12a 2－a 242a －1＝4a －342a －1a 2>0，∴当x ＝12(2a ＋1)时，f (x )max ＝a22.综上，12<a ≤22时，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝14，即MN 与AB 之间的距离为0 m 时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为14 m 2.a >22时，当x ＝12(2a ＋1)时，f (x )max＝a 22，即MN 与AB 之间的距离为12(2a ＋1) m 时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为a 22.。
数列的综合应用【十二大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习
数列的综合应用【十二大题型】【题型1 等差、等比数列的交汇问题】................................................................................................................3【题型2 数列中的数学文化问题】........................................................................................................................4【题型3 数列的实际应用问题】............................................................................................................................5【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】....................................................................................................7【题型5 数列中的不等式证明问题】....................................................................................................................8【题型6 子数列问题】............................................................................................................................................9【题型7 数列与函数的交汇问题】......................................................................................................................11【题型8 数列与导数的交汇问题】......................................................................................................................12【题型9 数列与概率统计的交汇问题】..............................................................................................................13【题型10 数列与平面几何的交汇问题】............................................................................................................14【题型11 数列中的结构不良题】........................................................................................................................16【题型12 数列的新定义、新情景问题】............................................................................................................17
2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(52)曲线与方程
曲线与方程1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上2．] 已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线3．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( ) A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝04．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y248＝1能力提升5． 设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)6．已知|AB →|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP →＝13OA →＋23OB →，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C ．.x 29＋y 2＝1 D ．.x 2＋y 29＝1 7．已知二面角α－l －β的平面角为θ，点P 在二面角内，P A ⊥α，PB ⊥β，A ，B 为垂足，且P A ＝4，PB ＝5，设A ，B 到棱l 的距离分别为x ，y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x 2－y 2＝9(x ≥0)B ．x 2－y 2＝9(x ≥0，y ≥0)C ．y 2－x 2＝9(y ≥0)D ．y 2－x 2＝9(x ≥0，y ≥0)8．] 已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x <－1) B ．x 2－y 28＝1(x >1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y210＝1(x >1)9． 已知动点P 在直线x ＋2y －2＝0上，动点Q 在直线x ＋2y ＋4＝0上，线段PQ 中点M (x 0，y 0)满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2，则x 20＋y 20的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤55，34 B.⎣⎡⎦⎤15，34 C.⎣⎡⎦⎤15，10 D ．[10,34] 10．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2OQ →＝QP →，则点Q 的轨迹方程是________________．11．已知F 1、F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．13． 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 14．(10分)[·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．15．] 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆短半轴长为1，动点M (2，t )(t >0)在直线x ＝a 2c(a 为长半轴长，c 为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．难点突破16． 已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，D 是AB 的中点．(1)求动点D 的轨迹C 的方程；(2)过点N (1,0)作与x 轴不垂直的直线l ，交曲线C 于P 、Q 两点，若在线段ON 上存在点M (m,0)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，试求m 的取值范围．课时作业(五十二)【基础热身】1．B [解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．B [解析] 设点P (x ，y )，则P A →＝(1－x,1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )，所以P A →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆．3．A [解析] 设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2， 整理，得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.4．A [解析] 由题意|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，所以轨迹方程为y 2－x248＝1(y ≤－1)．【能力提升】5．A [解析] 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2P A →得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.由题知点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax＋by ＝1.将a ，b 代入上式得，所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．6．A [解析] 设A (0，a )，B (b,0)，则由|AB →|＝3得a 2＋b 2＝9.设P (x ，y )，由OP →＝13OA →＋23OB →得(x ，y )＝13(0，a )＋23(b,0)，由此得b ＝32x ，a ＝3y ，代入a 2＋b 2＝9得9y 2＋94x 2＝9⇒x 24＋y 2＝1.7．B [解析] 实际上就是求x ，y 所满足的一个等式，设平面P AB 与二面角的棱的交点是C ，则AC ＝x ，BC ＝y ，在两个直角三角形Rt △P AC ，Rt △PBC 中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x ，y 所满足的关系式．如图，x 2＋42＝y 2＋52，即x 2－y 2＝9(x ≥0，y ≥0)．8．B [解析] 设直线PM 、PN 、D .由切线长定理知|AM |＝|MB |，|PD |＝|P A |，|DN |＝|NB |，所以|PM |－|PN |＝|P A |＋|AM |－|PD |－|DN |＝|MB |－|NB |＝2<|MN |，由双曲线的定义知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点、实轴长为2的双曲线的右支(除去点B )．9．B [解析] x ＋2y ＋1＝0，点M (x 0，y 0)就是直线x ＋2y ＋1＝0位于区域⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2内的线段上，如图．根据几何意义，坐标原点到直线x ＋2y ＋1＝0的距离是15，故最小值是15，根据图形在点A 处取得最大值，点A 的坐标是(5，－3)，故最大值是34. 10．2x ＋4y ＋1＝0 [解析] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 1，y 1)．根据2OQ →＝QP →得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，为所求轨迹方程．11．x 2＋y 2＝4 [解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连接DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．y 2＝2(x －1) [解析] F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2.又A 、B 、M 、F 四点共线，y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1,0)也适合这个方程，即y 2＝2(x －13．②③ [解析] a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P 2≤a 22，很显然S△F 1F 2P ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝a22.所以②③正确．14．[解答] (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0， 即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0，所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝||2y 0－x 20x 20＋4，又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2，当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.15．[解答] (1)由点M 在直线x ＝a 2c 上，得a 2c＝2，又b ＝1，故1＋c2c＝2，∴c ＝1，从而a ＝ 2.∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t24＋1， 其圆心为⎝⎛⎭⎫1，t 2，半径r ＝t 24＋1. 因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t2，所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. (3)证法一：设OM ，FN 交于点K .由平面几何的性质知|ON |2＝|OK ||OM |，直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝t 2x ，y ＝－2t(x －1)，得x K ＝4t 2＋4.∴|ON |2＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24x K ·⎝⎛⎭⎫1＋t 24x M ＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2，所以线段ON 的长为定值 2. 证法二：设N (x 0，y 0)，则FN →＝(x 0－1，y 0)，OM →＝(2，t )， MN →＝(x 0－2，y 0－t )，ON →＝(x 0，y 0)， ∵FN →⊥OM →，∴2(x 0－1)＋ty 0＝0，∴2x 0＋ty 0＝2，又∵MN →⊥ON →，∴x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0， ∴x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2，所以，|ON →|＝x 20＋y 20＝2为定值． 【难点突破】16．[解答] (1)设D (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，33x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，－33x 2.因为D 是线段AB 的中点，所以x ＝x 1＋x 22，y ＝33·x 1－x 22.因为|AB |＝23，所以(x 1－x 2)2＋⎝⎛⎭⎫33x 1＋33x 22＝12，所以(23y )2＋⎝⎛⎭⎫33×2x 2＝12，即x29＋y 2＝1. 故点D 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆方程x 29＋y 2＝1，得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，所以x 1＋x 2＝18k 21＋9k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋9k 2. 所以PQ 中点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫9k 21＋9k 2，－k 1＋9k 2. 因为以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， 所以k MH ·k ＝－1.所以－k 1＋9k 29k 21＋9k 2－m ·k ＝－1，即m ＝8k 21＋9k 2.因为k ≠0，所以0<m <89.又点M (m,0)在线段ON 上，所以0<m <1.综上，0<m <89.。
2013高考数学一轮复习试题 1-1 理
2013高考数学一轮复习试题 1-1 理A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·某某)已知集合A＝{(x，y)|x，y是实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y是实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．3解析集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合，集合B表示直线y＝x上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A∩B的元素个数为2.答案 C2．(2011·某某)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N 等于( )．A．M B．N C．I D．∅解析∵N∩∁I M＝∅，∴N⊆M，∴M∪N＝M.答案 A3．(2011·某某)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件解析若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案 A4．(2011·海淀二模)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )．A．{0,1} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}解析因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}．答案 B5．(★)(2012·某某五校联考)设集合M＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x2－y＝0，x∈R}，y∈R，则集合M∩N中元素的个数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析 (数形结合法)x 2＋y 2＝1表示单位圆，y ＝x 2表示开口方向向上的抛物线，画出二者的图形，可以看出有2个交点，故选B.答案 B【点评】 本题画出方程的曲线，立即得到正确的答案，避免了计算求解，提高了解题速度.二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·某某)已知集合A ＝{－1,1,2,4}，B ＝{－1,0,2}，则A ∩B ＝________.解析 A ∩B ＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．答案 {－1,2}7．(2011·某某)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.解析 ∁U A ＝{x |x ＜1}．答案 {x |x ＜1}8．(2011·某某模拟)已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案 {(0,1)，(－1,2)}三、解答题(共23分)9．(11分)若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}且 A ＝B ，某某数a ，b .解 ∵A ＝B ，∴B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－1＋3＝2，b ＝－1×3＝－3，∴a ＝－2，b ＝－3.10．(12分)(2012·某某质检)设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B .解 由9∈A ，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}；当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A∪B＝{－8，－4,4，－7,9}．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·某某八校联考(二))若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B 中的元素个数是( )．A．2 B．3 C．4 D．5解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．答案 B2．(2011·某某二检)已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i}(a∈R，i是虚数单位)，若A⊆R，则a ＝( )．A．1 B．－1 C．±1 D．0解析∵A⊆R，∴A中的元素为实数，所以a2－1＝0，即a＝±1.答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(★)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值X围是________．解析(数形结合法)A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1.如图．答案(－∞，1]【点评】本题采用数形结合法，含参数的集合运算中求参数的X围时，常常结合数轴来解决，同时注意“等号”的取舍．4．(2012·某某模拟)设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝____________________.解析由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[1,3]，∴A*B＝[0,1)∪(3，＋∞)．答案[0,1)∪(3，＋∞)三、解答题(共22分)5．(10分)A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，某某数a，b的值．解∵A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴b＝3，又A∪B＝{x|x＞－2}，∴－2＜a≤－1，又A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴－1≤a ＜1， ∴a ＝－1.6．(★)(12分)设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，某某数a 的取值X 围．思路分析 本题体现了分类讨论思想，应对集合B 中所含元素个数分类讨论．解 ∵A ＝{0，－4}，∴B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＋12－4a 2－1＞0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. (2)当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1.综上所述，所某某数a 的取值X 围是(－∞，－1]∪{1}．【点评】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，是历年来高考考查的重点，其基本思路是将一个复杂的数学问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.。
2013届高考数学(理)一轮复习教案：第三篇 导数及其应用专题一 高考函数与导数命题动向(人教A版)
2013届高考数学（理）一轮复习教案：第三篇导数及其应用专题一高考函数与导数命题动向高考命题分析函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一；导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点．所以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地．高考命题特点函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题．其命题特点如下：(1)全方位：近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖率依然没有减小．(2)多层次：在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且题型齐全．低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透．(3)巧综合：为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．(4)变角度：出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活．(5)重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、数列等)交汇命题．利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养．高考动向透视函数的概念和性质函数既是高中数学中极为重要的内容，又是学习高等数学的基础．函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单调性、奇偶性、周期性等内容．纵观全国各地的高考试题，可以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等偏下，在解答题中主要与多个知识点交汇命题，难度中等．【示例1】►(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 法一 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故选A.法二 设x ＞0，则－x ＜0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.答案 A本题考查函数的奇偶性和函数的求值，解题思路有两个：一是利用奇函数的性质，直接通过f (1)＝－f (－1)计算；二是利用奇函数的性质，先求出x ＞0时f (x )的解析式，再计算f (1)．指数函数、对数函数、幂函数指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位，因此高考对指数函数的考查有升温的趋势，重点是指数函数的图象和性质，以及函数的应用问题．对于幂函数应重点掌握五种常用幂函数的图象及性质，此时，幂的运算是解决有关指数问题的基础，也要引起重视．对数函数在新课标中适当地降低了要求，因此高考对它的考查也会适当降低难度，但它仍是高考的热点内容，重点考查对数函数的图象和性质及其应用．【示例2】►(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b解析因为c＝5－log30.3＝5log3103，又log23.4＞log33.4＞log3103＞1＞log43.6＞0，且指数函数y＝5x是R上的增函数，所以a＞c＞b.故选C.答案 C本题主要考查指数函数单调性的应用、对数式的大小比较．一般是利用指数函数单调性进行比较．对数式的比较类似指数式的比较，也可以寻找中间量．函数的应用函数的应用历来是高考重视的考点，新课标高考更是把这个考点放到了一个重要的位置．相对于大纲的高考，新课标高考无论在考查内容上还是力度上都有所加强，这主要体现在函数与方程方面，函数与方程已经成为新课标高考的一个命题热点，值得考生重视．【示例3】►(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．9解析由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．故选B.答案 B本小题考查对周期函数的理解与应用，考查三次方程根的求法、转化与化归思想及推理能力，难度较小．求解本题的关键是将f(x)＝x3－x进行因式分解，结合周期函数的性质求出f(x)＝0在区间[0,6]上的根，然后将方程f(x)＝0的根转化为函数图象与x轴的交点问题．导数的概念及运算从近两年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点既在切线上又在曲线上．【示例4】►已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x －y＝0，则点P的坐标为________．解析由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．答案(1,0)本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力．利用导数求函数的单调区间、极值、最值从近两年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性和极、最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．【示例5】►已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′⎝⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a＋3b＋4＝0②由①②解得a＝2，b＝－4. 设切线l的方程为y＝3x＋m由原点到切线l的距离为10 10，则|m|32＋1＝1010，解得m＝±1.∵切线l不过第四象限∴m＝1，由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝2 3.f(x)和f′(x)的变化情况如下表：在x＝23处取得极小值f⎝⎛⎭⎪⎫23＝9527.又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为95 27.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．突出以函数与导数为主的综合应用高考命题强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识的综合性和应用性的考查．中学数学的内容可以聚合为数和形两条主线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识，我们可以把方程看作函数为零，不等式看成两个函数值的大小比较、数列、三角则是特殊的一类函数．所以，高考试题中涉及函数的考题面很广．新课标高考对有关函数的综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．【示例6】►(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋ax ln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．解 (1)由f (e)＝2得b ＝2.(2)由(1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x .从而f ′(x )＝a ln x .因为a ≠0，故①当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞1，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1；②当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得x ＞1.综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x ，f ′(x )＝ln x .由(2)可得，当x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又2－2e ＜2，所以函数f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎨⎧m ＝1，M ＝2.则对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点； 并且对每一个t ∈(－∞，m )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点．本题主要考查函数、导数等基础知识．考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．。
2013届高三数学一轮复习课时作业1 集合及其运算 新人教A版 理
课时作业(一) [第1讲集合及其运算][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·课标全国卷] 已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．[2011·某某模拟] 已知全集是实数集R，M＝{x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(∁R M)∩N 等于( )A．{4} B．{3,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}3．[2011·嘉和一中模拟] 已知集合A＝{y|y＝lg x，x>1}，B＝{x|0<|x|≤2，x∈Z}，则下列结论正确的是( )A．A∩B＝{－2，－1} B．A∪B＝{x|x<0}C．A∪B＝{x|x≥0} D．A∩B＝{1,2}4．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图K1－1(阴影区域及其边界)，其中为凸集的是( )图K1－1A．①③ B．②③ C．③④ D．①④能力提升5．[2011·某某模拟] 已知集合M＝{－4，－3，－2，－1，0,1,4}，N＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，且M，N都是全集I的子集，则图K1－2中阴影部分表示的集合为( )A．{－1，－2，－3} B．{0,1,2,3}C．{2,3} D．{0，－1，－2，－3}6．[2011·某某卷] 若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值X围是( )A．－3≤m≤4 B．－3<m<4C．2<m<4 D．2<m≤48．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是( )A ．m >－1且n <5B ．m <－1且n <5C ．m >－1且n >5D ．m <－1且n >59．设集合A ＝{x |y ＝ln(x －3)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ y ＝1－4＋5x －x 2，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)10．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．11．若全集U ＝{0,1,2,4,16}，集合A ＝{0,2，a }，∁U A ＝{1，a 2}，则a 的值为________．12．设数集M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫n －13≤x ≤n ，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．13．已知集合A ＝{x |1≤log 2x ≤2}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值X 围是________．14．(10分)[2012·某某名校联考] 已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x |x 2＋ax －6<0}，C ＝{x |x 2－2x －15<0}．(1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值X 围；(2)是否存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．15．(13分)设函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B .(1)求证：函数f (x )的图象关于原点成中心对称；(2)a ≥2是A ∩B ＝∅的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)？并证明你的结论．难点突破16．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，某某数m 的取值X 围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，某某数m 的取值X 围．作业手册课时作业(一)【基础热身】1．B [解析] 因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M ∩N ＝{1,3}，所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．2．C [解析] 因为∁R M ＝{x |x >1}，所以(∁R M )∩N ＝{2,3,4}．3．D [解析] A ＝{y |y >0}，B ＝{－1，－2,1,2}，故A ∩B ＝{1,2}．4．B [解析] 只有②③两个图形内任意两点所连线段仍在图形内．【能力提升】5．C [解析] 根据补集和交集的运算，把N 中属于M 的元素去掉即可．6．D [解析] 方法一：∵M ∪N ＝{1,2,3,4}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}．故选D.方法二：∵∁U M ＝{1,4,5,6}，∁U N ＝{2,3,5,6}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}．故选D. 7．D [解析] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2＜m ≤4.8．A [解析] ∵P ∈A ，∴m >－1，又∁U B ＝{(x ，y )|x ＋y －n >0}，∵P ∈(∁U B )，∴n <5，故选A.9．B [解析] 集合A ，B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．集合A ＝(3，＋∞)，集合B 中的x 满足－4＋5x －x 2>0，即x 2－5x ＋4<0，即得1<x <4，即集合B ＝(1,4)，故A ∩B ＝(3,4)．故选B.10．1 [解析] ∵A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，∴a ＋2＝3或a 2＋4＝3，又∵a 2＋4＝3不符合题意，无解．∴a ＝1，经检验，符合题意．11．4 [解析] a 只可能等于4.12.112 [解析] 由题意，知集合M 的“长度”是34，集合N 的“长度”是13，由集合M 、N 是{x |0≤x ≤1}的子集，知当且仅当M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}时，集合M ∩N 的“长度”最小，最小值是34＋13－1＝112. 13．(－∞，－2] [解析] 集合A 是不等式1≤log 2x ≤2的解集，求出这个集合，根据集合之间的关系得a ，b 满足的条件，即可求出a －b 的取值X 围．由题意，集合A ＝[2,4]，因为A ⊆B ，故a ≤2，b ≥4，故a －b ≤2－4＝－2，即a －b 的取值X 围是(－∞，－2]．14．[解答] A ＝{x |－1<x <3}，C ＝{x |－3<x <5}．(1)由A ∪B ＝B 知，A ⊆B ，令f (x )＝x 2＋ax －6，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－12－a －6≤0，f 3＝32＋3a －6≤0， 解得－5≤a ≤－1，即a 的取值X 围是[－5，－1]．(2)假设存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆B 知A ⊆B ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆C 知B ⊆C ，于是A ⊆B ⊆C ，由(1)知若A ⊆B ，则a ∈[－5，－1]，当B ⊆C 时，由Δ＝a 2＋24>0，知B 不可能是空集， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ f －3＝－32－3a －6≥0，f 5＝52＋5a －6≥0，－3<－a 2<5，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－195，1，综合a ∈[－5，－1]知存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－195，－1满足条件． 15．[解答] (1)证明：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2x ＋1－1>0， 由2x ＋1－1>0⇔x －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1，∴A ＝(－1,1)，故f (x )的定义域关于原点对称．又f (x )＝lg 1－x x ＋1，则f (－x )＝lg 1＋x －x ＋1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x x ＋1－1＝－lg 1－x x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．即函数f (x )的图象关于原点成中心对称．(2)B ＝{x |x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a ]． 若A ∩B ＝∅，则只需要－1－a ≥1或者1－a ≤－1，解得a ≤－2或者a ≥2， 故A ∩B ＝∅等价于a ≤－2或者a ≥2，而{a |a ≥2}{a |a ≤－2或a ≥2}． 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件．【难点突破】16．[解答] (1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅满足B ⊆A .②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3. 综上，m 的取值X 围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅， 则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2，满足条件．②若B ≠∅，则要满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得m >4.综上，m 的取值X 围是m <2或m >4.。
高考数学一轮总复习 5.34 等差、等比数列的性质及综合应用课件 理
三、等差、等比数列综合
例3已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的
积为 8.
(1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若 a2，a3，a1 成等比数列，求数列{|an|}的前 n 项和．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
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当 n≥3 时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋（n－2）[2＋2 （3n－7）]＝23n2－121n＋10. 当 n＝2 时，满足此式．
4, n 1,
综上，Sn＝
3 2
n2
11 2
n
10,
n
2.
【点评】本例(2)小问求解的关键是确定项的正负取值情况 (qíngkuàng)，以去掉绝对值，化归为等差数列的和．
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②证法一：对任意 k∈N＋， Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk) ＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1 ＝2ak＋1＋ak＋1·(－2) ＝0， 所以，对任意 k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1 成等差数列． 证法二：对任意 k∈N＋，2Sk＝2a1（11－－qqk），
【点评】本例第(3)小问题的求解，实质上是探究数列{dn}的 通项公式，然后(ránhòu)依通项公式确定其为等比数列．
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〔备选题〕例5在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84， a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意 m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m，92m) 内的项的个数记为 bm，求数列{bm}的前 m 项和 Sm.
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(31)等比数列
则
S3－ S5－
SS23的值为
(
)
A．2 B．3 1
C.5 D ．4
10． 在△ ABC 中， tanA 是以－ 4 为第三项， 4 为第七项的等差数列的公差， tanB 是以
1为第三项， 9 为第六项的等比数列的公比，则 3
11．设项数为 10 的等比数列的中间两项与
tanC＝ ________. 2x2＋ 9x＋ 6＝0 的两根相等，则数列的各项
课时作业 (三十一 ) [第 31 讲 等比数列 ]
基础热身
[时间： 45 分钟
分值： 100 分 ]
1．下列四个结论中，正确的个数是 ( ) ①等比数列 { an} 的公比 q>0 且 q≠ 1，则 { an} 是递增数列； ②等差数列不是递增数列就是递减数列；
③ { an} 是递增数列， { bn} 是递减数列，则 { an－ bn} 是递增数列； ④ { an} 是递增的等差数列，则 {2 an} 是递增的等比数列．
14． (10 分) 设等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn.已知 a2 ＝6,6a1＋ a3＝ 30，求 an 和 Sn .
1
15． (13 分)
已知等比数列
{ an} 的公比
q＝ 3，前
3 项和
S3＝
13 3.
(1)求数列 { an} 的通项公式； (2)若函数 f(x)＝ Asin(2 x＋ φ)( A>0,0< φ<π)在 x＝π6处取得最大值，且最大值为
9． A [ 解析 ] 设等差数列 { an} 的公差为 d，则有 (a1＋ 2d)2＝ a1( a1＋ 3d)，得 a1＝－ 4d，
所以
S3 S5
2013届高三数学一轮复习课时作业29 等比数列B 新人教A版 理
课时作业(二十九)B [第29讲 等比数列][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2012·某某外国语月考] 已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和．若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 10的值是( )A ．511B ．1 023C ．1 533D ．3 0692．[2011·某某模拟] 在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－43．[2011·抚州二模] 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则数列{a n }的公比等于( )A ．1 B.12 C ．－12 D.1＋524．[2011·某某期末] 在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C ＝________.能力提升5．[2011·某某二模] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2 011＝3S 2 010＋2 012，a 2 010＝3S 2 009＋2 012，则公比q 等于( )A ．3 B.13 C ．4 D.146．[2011·某某一检] 在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－37．[2011·丰台一模] 设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( )A ．3或－1B ．3或1C ．3D ．18．[2011·琼海一模] 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 为( )A ．0B ．1C ．－1D ．29．[2011·某某调研] 在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，则{a n }的前6项和等于________．10．[2011·株洲调研] 已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．11．[2011·某某质检] 在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ，则公比q为________．12．(13分)[2011·某某二诊] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(λ＋1)－λa n ，其中λ是不等于－1和0的常数．(1)证明：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q ＝f(λ)，数列{b n }满足b 1＝13，b n ＝f(b n －1)(n ∈N ，n ≥2)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .难点突破13．(12分)[2011·某某一模] 设数列{a n }为等比数列，数列{b n }满足：b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *，已知b 1＝m ，b 2＝3m 2，其中m ≠0.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)当m ＝1时，求b n ；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有S n ∈[1,3]，某某数m 的取值X 围．课时作业(二十九)B【基础热身】1．D [解析] 由已知a 2a 4＝144，得a 1q ·a 1q 3＝144，则q 4＝14432＝16，即q ＝2，∴S 10＝a 11－q 101－q ＝31－2101－2＝3 069，故选D.2．B [解析] 根据等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 26，又已知a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 56＝32，即a 6＝2，a 1q 5＝2，∴a 29a 12＝a 1q 82a 1q11＝a 1q 5＝2，故选B. 3．C [解析] 由已知S 1，S 3，S 2成等差数列，得2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，化简，得2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(2＋q )，即2q 2＋q ＝0，解得q ＝－12，故选C.4．1 [解析] 由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧－4＋4tan A ＝4，13tan 3B ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＝2，tan B ＝3，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝1.【能力提升】5．C [解析] 由已知，有a 2 011＝3S 2 010＋2 012，a 2 010＝3S 2 009＋2 012， 两式相减，得a 2 011－a 2 010＝3a 2 010，即a 2 011＝4a 2 010， 则公比q ＝4，故选C.6．C [解析] 由已知，有S 1＝a 1＝4，S 2＝a 1＋a 2＝4(1＋q )，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝4(1＋q ＋q 2)，因为数列{S n ＋2}是等比数列，所以(S 2＋2)2＝(S 1＋2)(S 3＋2)，即(4q ＋6)2＝6(6＋4q ＋4q 2)，解得q ＝3，故选C.7．C [解析] 由数列{a n }是等差数列，得a k ＝a 1＋(k －1)d ，a 2k ＝a 1＋(2k －1)d . ∵a k 是a 1与a 2k 的等比中项， ∴a 2k ＝a 1a 2k ，即[a 1＋(k －1)d ]2＝a 1[a 1＋(2k －1)d ]，化简，得(k －1)2d 2－a 1d ＝0.把a 1＝4d 代入，得k ＝3，故选C.8．C [解析] 解法一：由S n ＝3n ＋k ，得a 1＝S 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝(32＋k )－(3＋k )＝6，a 3＝S 3－S 2＝(33＋k )－(32＋k )＝18.由a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，知数列{a n }是等比数列，则a 22＝a 1a 3，即62＝18(3＋k )，解得k ＝－1，故选C.解法二：由题意知，数列{a n }是公比为c 的等比数列，且c ≠0，c ≠1.设a 11－q＝t ，则 S n ＝a 11－q n 1－q＝－tq n ＋t ＝3n＋k ，∴k ＝t ＝－1，故选C.9．63 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝q ，a 3＝q 2，由a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，得 2(a 2＋2)＝(a 1＋1)＋(a 3＋2)，即2(q ＋2)＝(1＋1)＋(q 2＋2)，化简，得q 2－2q ＝0，解得q ＝2.则数列{a n }的前6项和为S 6＝1－261－2＝63.10．20 [解析] 依题意，得 ①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac 或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc 或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab ， 由①得a ＝b ＝c 与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾； 由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，∴a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c ＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.11．3 [解析] a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ＝(x ＋x 2)⎪⎪ 41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，又a 4＝a 1q 3，a 1＝23，则q 3＝27，即q ＝3.12．[解答] (1)证明：∵S n ＝(λ＋1)－λa n ， ∴S n －1＝(λ＋1)－λa n －1(n≥2)，∴a n ＝－λa n ＋λa n －1，即(1＋λ)a n ＝λa n －1.又λ≠－1且λ≠0，∴a n a n －1＝λ1＋λ.又a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，λ1＋λ为公比的等比数列．(2)由(1)知q ＝f(λ)＝λ1＋λ，∴b n ＝f(b n －1)＝b n －11＋b n －1(n≥2)，故有1b n ＝1＋b n －1b n －1＝1b n －1＋1，∴1b n －1b n －1＝1(n≥2)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是以3为首项，1为公差的等差数列． ∴T n ＝3n ＋n n －12＝n 2＋5n2.【难点突破】13．[解答] (1)由已知b 1＝a 1，所以a 1＝m ；b 2＝2a 1＋a 2，所以2a 1＋a 2＝32m ，解得a 2＝－m2；所以数列{a n }的公比q ＝－12.(2)当m ＝1时，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，① －12b n ＝na 2＋(n －1)a 3＋…＋2a n ＋a n ＋1，② ②－①得－32b n ＝－n ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1，所以－32b n ＝－n ＋－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－n －13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，b n ＝2n 3＋29－29⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝6n ＋2＋－21－n9.(3)S n ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2m 3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n>0，所以由S n ∈[1,3]得11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，注意到，当n 为奇数时，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32； 当n 为偶数时，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1， 所以1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n的最大值为32，最小值为34.对于任意的正整数n 都有11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，所以43≤2m3≤2，解得2≤m≤3.。
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课时作业(三十一) [第31讲 数列的综合应用] [时间：45分钟 分值：100分] 基础热身 1．[2012·惠州调研] “lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．[2011·德州二模] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－18，S13＝－52，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，那么b15的值为( ) A．64 B．－64 C．128 D．－128 3．[2011·珠海综测] 设正项等比数列{an}，{lgan}成等差数列，公差d＝lg3，且{lgan}的前三项和为6lg3，则数列{an}的通项公式为( ) A．nlg3 B．3n C．3n D．3n－1 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为( )
A．2 B．3 C.12 D.13 能力提升 5．[2011·忻州联考] 成等比数列的三个数a＋8，a＋2，a－2分别为等差数列的第1、4、6项，则这个等差数列前n项和的最大值为( ) A．120 B．90 C．80 D．60
6．[2011·南平质检] 已知函数f(x)满足f(x＋1)＝32＋f(x)，x∈R，且f(1)＝52，则数列{f(n)}(n∈N*)的前20项的和为( ) A．305 B．315 C．325 D．335 7．[2011·大连双基检测] 已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为
Sn，若a1>1，a4>3，S3≤9，设bn＝1nan，则使b1＋b2＋„＋bn<99100成立的最大n值为( ) A．97 B．98 C．99 D．100
图K31－1 8．2011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图K31－1，在区域{(x，y)|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在点A1(0,1)，第二棵树在点B1(1,1)，第三棵树在点C1(1,0)，第四棵树在点C2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是( ) A．(13,44) B．(12,44) C．(13,43) D．(14,43) 9．[2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A．①和⑳ B．⑨和⑩ C．⑨和⑪ D．⑩和⑪ 10．[2012·永州调研] 已知等差数列{an}，对于函数f(x)＝x5＋x3满足：f(a2－2)＝6，f(a2
010－4)＝－6，Sn是其前n项和，则S2 011＝________.
11．[2011·菏泽二模] 已知an＝2n－1(n∈N＋)，把数列{an}的各项排成如图K31－2所示的三角数阵，记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应数阵中的数是________． 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 „„ 图K31－2
图K31－3 12．[2011·丰台二模] 如图K31－3所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，„，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是________，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为________． 13．[2011·绍兴质检] 已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2 011的值等于________． 14．(10分)[2011·江门调研] 某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元.2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年(n为正整数，2011年
为第1年)的利润为1001＋13n万元． (1)设从2011年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为An万元，开发新项目的累计利润为Bn万元(须扣除开发所投入资金)，求An、Bn的表达式；
(2)依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？
15．(13分)[2011·合肥一中月考] 已知直线l的方程为3x－2y－1＝0，数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在直线l上． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)bn＝n2Sn＋1an，数列{bn}的前n项和为Tn，求f(n)＝bnTn＋24(n∈N＋)的最大值． 难点突破 16．(12分)[2011·荆州质检] 某市为了解决交通拥堵问题，一方面改建道路、加强管理，一方面控制汽车总量增长，交管部门拟从2012年1月起，在一段时间内，对新车上牌采用摇号(类似于抽签)的方法进行控制，制定如下方案：①每月进行一次摇号，从当月所有申请用户以及以前没有摇到号的申请用户中，摇出当月上牌的用户，摇到号的用户不再参加以后的摇号；②当月没有摇到号的申请者自动加入下一个月的摇号，不必也不能重复申请，预计2012年1月申请车牌的用户有10a个，以后每个月又有a个新用户申请车牌．计划2012年1月发放车牌a个，以后每月发放车牌数比上月增加5%.以2012年1月为第一个月，设前n(n∈N*)个月申请车牌用户的总数为an，前n个月发放车牌的总数为bn，使得an>bn成立的最大正整数为n0.(参考数据：1.0516＝2.18,1.0517＝2.29,1.0518＝2.41) (1)求an、bn关于n的表达式，直接写出n0的值，说明n0的实际意义； (2)当n≤n0，n∈N*时，设第n个月中签率为yn，求证：中签率yn随着n的增加而增大．
第n个月中签率＝第n个月发放车牌数
第n个月参加摇号的用户数
课时作业(三十一) 【基础热身】 1．A [解析] 若lgx，lgy，lgz成等差数列，则2lgy＝lgx＋lgz，即lgy2＝lgxz，则y2＝xz， 若y2＝xz，当x，z都取负数时，lgx，lgz无意义，故选A. 2．B [解析] 设等差数列{an}的公差为d，则
S9＝9a1＋9×82d＝－18，
S13＝13a1＋13×122d＝－52，解得 a1＝2，d＝－1，
∴b5＝a5＝a1＋4d＝－2，b7＝a7＝a1＋6d＝－4， 设等比数列{bn}的公比为q，则q2＝b7b5＝2， b15＝b7q8＝－4×24＝－64，故选B. 3．B [解析] 依题意有3lga1＋3lg3＝6lg3，即a1＝3. 设等比数列{an}的公比为q，则
q＝a2a1，lgq＝lga2－lga1＝d＝lg3，解得q＝3， 所以an＝3×3n－1＝3n，故选B. 4．D [解析] 设公比为q，又4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，解
得{an}的公比q＝13. 【能力提升】 5．B [解析] 由a＋8，a＋2，a－2成等比数列，得 (a＋2)2＝(a＋8)(a－2)，解得a＝10， 设等差数列为{an}，公差为d，则a1＝18，a4＝12，a6＝8， ∴2d＝a6－a4＝－4，d＝－2， 则这个等差数列前n项和为 Sn＝18n＋nn－12×(－2)
＝－n2＋19n＝－n－1922＋1924， ∴当n＝10或n＝9时，Sn有最大值90，故选B. 6．D [解析] 由已知f(x＋1)－f(x)＝32，则数列{f(n)}是等差数列，公差为32，其前20项
和为20×52＋20×192×32＝335，故选D. 7．B [解析] 由a4>3，S3≤9，得a1＋3d>3，且3a1＋3d≤9， ∴3－a1<3d≤9－3a1,2a1<6，则a1<3，即1∵首项a1及公差d都是整数， ∴a1＝2,1<3d≤3，则d＝1， ∴等差数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
则bn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，
b1＋b2＋„＋bn＝1－12＋12－13＋„＋1n－1n＋1＝1－1n＋1， 由1－1n＋1<99100，得n<99，即n的最大值为98，故选B. 8．A [解析] OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，前43个正方形共有43×3＋43×422×2＝1935棵树，2011－1935＝76,76－44＝32,45－32＝13，因此第2011棵树在(13,44)点处． 9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D. 10．6 033 [解析] f(x)为奇函数，所以由f(a2－2)＋f(a2 010－4)＝0得f(a2－2)＝f(4－a2 010)，
所以a2－2＝4－a2 010，即a2＋a2 010＝6，所以S2 011＝2 011a1＋a2 0112＝2 011a2＋a2 0102＝6 033. 11．101 [解析] 观察知每一行的第一个数构成数列：1,3,7,13,21，„，相邻两项构成递推关系：a(m＋1,1)＝a(m,1)＋2m，所以a(10,1)＝a(9,1)＋18＝a(8,1)＋16＋18＝a(7,1)＋14＋34＝a(6,1)
＋12＋48＝a(5,1)＋10＋60＝a(4,1)＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第一个数为91，所以第
10行第6个数为101.
12．8 nn＋1π4 [解析] 从第一道弧开始，半径依次为1,2,3,4，„，并且从第二道弧开始，每一道弧的半径比前一道弧的半径大1，所以第8道弧的半径为8.弧长依次为π2×1，π2×2，π2×3，„，π2×n，所以弧长之和为π2×(1＋2＋3＋„＋n)＝nn＋1π4.
13．4 003 [解析] 设x8＝m，则x9＝m＋2，x10＝m＋4，x11＝m＋6，且x8＋x11＝x9＋x10， ∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)＝0， 且f(m)∴f(m)<0，f(m＋6)>0. 若m与m＋6关于原点不对称，则m＋2与m＋4也关于原点不对称， ∵f(x)是奇函数，即f(－x)＝－f(x)， ∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)≠0，矛盾， ∴m与m＋6关于原点对称，则m＋2与m＋4关于原点对称， 则m＝－3，x8＝－3，x2 011＝x8＋(2 011－8)×2＝4 003. 14．[解答] (1)依题意，An是首项为100－4＝96，公差为－4的等差数列的前n项和，