高考数学基础知识总结：第四章三角函数(北师大版)

合集下载

2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理学案理北师大版

§4.6正弦定理和余弦定理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．知识拓展1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ ) (3)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × )(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( √ )(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 题组二教材改编2．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为．答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为．答案 2 3解析 ∵23sin 60°＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，∴S △ABC ＝12×2×23＝2 3.题组三易错自纠4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c <b cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析由已知得sin C <sin B cos A ， ∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，∴sin A ·cos B ＋cos A ·sin B <sin B ·cos A ，又sin A >0，∴cos B <0，∴B 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．5．(2018·桂林质检)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案 C解析由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．6．(2018·包头模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝ .答案2π3解析由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.题型一利用正、余弦定理解三角形1．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA )，则A 等于( )A.3π4B.π3C.π4D.π6 答案 C解析在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425 答案 A解析 ∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C . 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B ， ∴8sin B ＝10sin B cos B . ∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1.思维升华 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．题型二和三角形面积有关的问题典例在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．跟踪训练 (1)(2018·承德质检)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．2 2 B.32 C.23D ．3 2 答案 A解析设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式，得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x.②将②代入①，得S △ABC ＝x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 24x 2＝ 128－(x 2－12)216.由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是．答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.1 2ab sin C＝12×6×32＝332.∴S△ABC＝题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状典例 (1)在△ABC 中，cos A2＝1＋cos B2，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．无法确定答案 A解析由已知得cos 2A 2＝1＋cos B 2， ∴2cos 2A2－1＝cos B ，∴cos A ＝cos B ，又0<A ，B <π，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0. 又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．本例(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．命题点2 求解几何计算问题典例 (1)如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝.答案562解析在△ACD 中，由余弦定理可得 cos C ＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C ＝5314.在△ABC 中，由正弦定理可得ABsin C ＝ACsin B，则AB ＝AC sin Csin B ＝7×531422＝562.(2)(2018·吉林三校联考)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是．答案 (6－2，6＋2)解析如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE . 在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练 (1)(2018·安徽六校联考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c ， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2， ∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为．答案3解析因为sin∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝223，所以cos∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理，得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝ 3.二审结论会转换典例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．(1)求cos A ――――――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度关系利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→ 求sin A ，cos A ――――――→第(1)问已求出cos A 根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C 及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.[8分] 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分]sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分]所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分]1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( ) A.π3 B.5π6 C.π6或5π6 D.π6答案 D解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得 sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π6.3．(2017·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C 等于( )A ．30° B．45° C．60° D．75° 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32， ∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C.4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a等于( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 2答案 D 解析 (边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( ) A.14 B.34 C.24D.23答案 B解析因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A sinC ，由正弦定理得b 2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 6．(2017·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b3cos B ＝asin A，则cos B 等于( ) A ．－12B.12C ．－32D.32答案 B解析由正弦定理知sin B3cos B ＝sin A sin A＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B.7．(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .答案2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.8．(2018·成都模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为．答案π3或2π3解析由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π3或2π3. 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为．答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin C sin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝7π12，∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3 ＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.10．(2018·长春质检)E ，F 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan∠ECF ＝ . 答案 34解析如图，设AB ＝6，则AE ＝EF ＝FB ＝2.因为△ABC 为等腰直角三角形，所以AC ＝BC ＝3 2.在△ACE 中，A ＝45°，AE ＝2，AC ＝32，由余弦定理可得CE ＝10. 同理，在△BCF 中可得CF ＝10. 在△CEF 中，由余弦定理得 cos∠ECF ＝10＋10－42×10×10＝45，所以tan∠ECF ＝34.11．(2018·珠海模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6.sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 12．(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解 (1)由题设得12ac sin B ＝a23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A. 由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)，得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理，得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.13．(2018·银川模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．4C ．2 3D ．3 3答案 C 解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.14．(2018·大理模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为．答案 12解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.15．在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝72，则BC ＝ .答案 9解析如图所示，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，EC .因为AD 是BC 边上的中线，所以AE 与BC 互相平分，所以四边形ACEB 是平行四边形，所以BE ＝AC ＝7. 又AB ＝4，AE ＝2AD ＝7，所以在△ABE 中，由余弦定理得，AE 2＝49＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE ·cos∠ABE＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠ABE . 在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos(π－∠ABE )，∴49＋BC 2＝2(AB 2＋AC 2)＝2(16＋49)， ∴BC 2＝81，∴BC ＝9.16．(2018·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a2·cos C＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理

(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是答案解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个
负数，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝

π

.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.

2024届全国新高考数学精准复习三角函数知识点总结

千里之行，始于足下。

2024届全国新高考数学精准复习三角函数知识点总结2024届全国新高考数学考试中，三角函数是一个重要的知识点。

以下是三角函数的主要内容和考点总结：1. 基本概念：- 弧度与角度的转换：1弧度=180°/π，1度=π/180弧度。

- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义与关系。

2. 三角函数的图像与性质：- 正弦函数和余弦函数的图像特点：周期为2π，在x轴上的零点为kπ，振幅为1。

- 正切函数的图像特点：周期为π，在x轴上的零点为kπ，无振幅。

- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数、余弦函数是偶函数、正切函数是奇函数。

- 三角函数的周期性：正弦、余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

3. 三角函数的性质与关系：- 三角函数的基本关系：tanx=sinx/cosx，cotx=1/tanx，secx=1/cosx，cscx=1/sinx。

- 三角函数的倒数关系：sinx=1/cscx，cosx=1/secx，tanx=1/cotx。

- 三角函数的平方关系：sin^2x+cos^2x=1，1+tan^2x=sec^2x，1+cot^2x=csc^2x。

4. 三角函数的性质与特殊值：- 正弦函数和余弦函数的取值范围：-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

- 正切函数和余切函数的取值范围：tanx属于R，cotx属于R。

- 三角函数的特殊值：sin0=0，cos0=1，sin90°=1，cos90°=0，tan45°=1，cot45°=1。

5. 三角函数的解析式与性质：- sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny。

- cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny。

- tan(x±y)=(tanx±tany)/(1∓tanxtany)。

适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：三角函数的图象与性质课件北师大版

A.f(x)的定义域为 R
C.f(x)的值域为 R
)
(k∈Z)
π
2x+4
B.f(x)的定义域为 x
D.f(x)在
π
0, 8
-1,则(
π
x≠
8
+
)
π
,k∈Z
2
上的值域为(0,+∞)
答案 (1)C
(2)BCD
解析 (1)由 sin
π
x+6
2
1
相邻的对称中心与对称轴之间的距离等于 T,正切曲线相邻两个对称中心之
4
1
间的距离是 T(其中
2
T 是相应函数的最小正周期).
5.函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)图象的对称轴方程、对
称中心横坐标的确定方法:
函数
y=Asin(ωx+φ)
y=Acos(ωx+φ)
—
π
φ≠ 2 (k∈Z)
函数
常用结论
1.函数 y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为
y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为
2π
T=|| ,函数
π
T=||.
2.函数 y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|的最小正周期分别是函数
y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)最小正周期的一半,即
三角函数的定义域、值域与最值(多考向探究预测)
考向1三角函数的定义域与值域
题组(1)(2023·山东青岛高三月考)函数 f(x)= sin(

数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理

4。

2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。

同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。

(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。

2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。

特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。

( ）（2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。

( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（）2。

(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（）A 。

2B 。

32C.1D.123。

(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。

-12C 。

√32D.-√324。

函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。

高考数学总复习第四章三角函数第22讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式课件理

sin α±cos α＝ 2sinα±π4 .
第九页，共四十四页。
考点 1 三角函数公式的基本应用例1(1)若 α∈π2 ，π，tanα＋π4 ＝17，则 sin α 等于( ) A.35 B.45 C. －35 D. －45
第十页，共四十四页。
【解析】(1)∵tanα＋π4 ＝t1a－n taαn＋α1＝17，
∴tan
α＝－34＝csions
α α，
∴cos α＝－43sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝295. 又∵α∈π2 ，π，∴sin α＝35.
【答案】A
第十一页，共四十四页。
(2)
计
算
sin
47°－sin 17°cos 30° cos 17°
的
值
等
于
__________.
cos 2α＝2cos2α－1＝35，
∴f(α)＝12sin
2α＋
3 2 cos
2α＝3
3－4 10 .
第十九页，共四十四页。
1. 对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用.
2. 公式应用要讲究“灵活、恰当”，关键是观察、分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标.
第二十五页，共四十四页。
2. 已知 α∈π2 ，π，cos α＝－45，则 tanα＋π4
＝( )
1 A.7
B. 7
C. －17
D. －7
【解析】∵α∈π2 ，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，
∴tan α＝－34，∴tanα＋π4 ＝t1a－n taαn＋α1＝－1＋ 34＋341＝17.

高考数学理科复习第四章三角函数 §4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
(2)(2014成都一模)已知sin(π-α)=log8
1 4
,且α∈
2
,
0
,则tan(2π-α)的值为
.
25
答案 (1)C (2) 5
解析 (1)∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.
∵c=tan
35°=
、 R、
α α≠ 2 +kπ,k∈Z .
5.三角函数线设角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴于点M,则有向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段 OM 叫做角α的余弦线;过点A(1,0)作单位圆的切线交角α的终边或其反向延长线于点T,则有向线段AT叫做角α的正切线.
6.三角函数的符号规律第一象限全“+”,第二象限正弦“+”,第三象限正切“+”,第四象限余弦“+”.简称:一全、二正、三切、四余. 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2α+cos2α=1 ;
(2)商数关系: 8.诱导公式
sin α =tan α .
cos α
组数角
正弦
一 2kπ+α (k∈Z)
sin α
余弦
cos α
二 π+α
-sin α -cosα
三 -α
-sin α cos α
正切
tan α
tan α -tan α
四 π-α
sin α -cos α -tan α
五
六
-α
+α
α的值为
(

高考数学知识点汇总：三角函数公式知识点总结

高考数学知识点汇总：三角函数公式知识点总结锐角三角函数公式sin =的对边 / 斜边cos =的邻边 / 斜边tan =的对边 / 的邻边cot =的邻边 / 的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA -SinA =1-2SinA =2CosA -1tan2A=(2tanA)/(1-tanA )(注：SinA 是sinA的平方 sin2(A) )三倍角公式tan-cot=-2cot21+cos2=2cos1-cos2=2sin1+sin=(sin/2+cos/2)=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sinacos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa=4cosa-3cosasin3a=3sina-4sina=4sina(3/4-sina)=4sina[(3/2)-sina]=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina_2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]_2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2]=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosa-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosa[cosa-(3/2)]=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa_2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]_{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]} =-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin (a/2)=(1-cos(a))/2cos (a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)和差化积sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2coscos = [cos(+)+cos(-)]/2sincos = [sin(+)+sin(-)]/2cossin = [sin(+)-sin(-)]/2诱导公式sin(-) = -sincos(-) = costan (a)=-tansin(/2-) = coscos(/2-) = sinsin(/2+) = coscos(/2+) = -sinA+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当_+y+z=nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA) +(cosB) +(cosC) =1-2cosAcosBcosC(8)(sinA) +(sinB) +(sinC) =2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2_2/n)+sin(+2_3/n)++sin[+2_(n-1)/n]=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2_2/n)+cos(+2_3/n)++cos[+2_(n-1)/n]=0 以及 sin ()+sin (-2/3)+sin (+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。

高考数学三角函数知识点总结及练习汇编

三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。

4. 三角函数线正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =⋅αα 1c s c s i n=⋅αα 1s e c c o s =⋅αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

7. 两角和与差的三角函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-=-⋅-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅=-⋅-⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o sc o s )c o s(s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i nc o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=⋅=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααcos 1cos 12tan +-±= αααααcos 1sin sin cos 12tan+=-=9. 三角函数的图象和性质10. 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：（1）−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的（2）−−−−→−=−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

北师大版数学必修四课件：3.1两角和与差的三角函数

3
求sinA和cosA的值. 【审题指导】该题中的前提条件“在△ABC中”实际上暗示了角A∈(0,π)，又给出 tanA 2 ，进一步明确了角A是锐
3
角，因此,在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值 .
【规范解答】因为△ABC中 tanA 2 ＞0，所以∠A是锐角，
22 sinA 2 sinA 由 tanA 解得 11 cosA 3 ，， sin 2 A cos 2 A 1 cosA 3 11 11 所以 sinA 22 ,cosA 3 11 . 11 11
∴sinα＞0,cosα＜0,∴sinα-cosα＞0, sin cos 7 ,
1 sin cos 5 由， sin cos 7 5 4 sin 4 5 得 , tan . 3 cos 3 5
2 2 asin bcos asin bsin cos ccos 具体如下：(1)形如、 csin dcos dsin 2 esincos fcos 2
的分式，分子、分母分别同时除以cosα 、cos2α ，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值. (2)形如asin2α +bsinα cosα +ccos2α 的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α +cos2α ,转化为
25sin2α-5sinα-12=0. ∵α是三角形的内角，
4 sin 4 5 , tan . 3 cos 3 5
1 方法二： Q sin cos , 1 2 2 sin cos （） , 5 即 1 2sincos 1 , 2sincos 24 , 25 25 24 49 2 sin cos 1 2sincos 1 , 25 25 12 Q sincos ＜0，且0＜α＜π, 25 5

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

学必求其心得，业必贵于专精
高中数学第四章—三角函数

考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本
关系式.正弦、余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)
的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求:
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换
算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余
割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导
公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的
正弦、余弦、正切公式．
（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒
等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五
点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ)的简图，理解
A.ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc—cosx\arctanx
学必求其心得，业必贵于专精
表示．

(7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
（8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tan
α•cosα=1”．
§04。三角函数知识要点
1。 ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终
边重合)：

Zkk,360|



②终边在x轴上的角的集合：

Zkk,180|



③终边在y轴上的角的集合：

Zkk,90180|



④终边在坐标轴上的角的集合：

Zkk,90|



⑤终边在y=x轴上的角的集合：

Zkk,45180|



⑥终边在xy轴上的角的集合：

Zkk,45180|



⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系：

k



360

⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系:





180360k

⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：

k



180

⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系：

90360k

2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 180°= 1°=0。01745

1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数,零角的弧度数为
零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°
＝180≈0.01745（rad）
3、弧长公式：
rl||

. 扇形面积公式：

||22slrr
扇形

y
x
▲

SIN\COS
三角函数值大小关系图
sinxcosx1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinx

sinx
sinx
cosxcosx
cosx
学必求其心得，业必贵于专精
4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任

取(异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为

y
x
cot

； xrsec;. r，则 rysin； rxcos； xytan；

y
r
csc

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦)

正切、余切
余弦、正割
-----+
+
+
+

-
+

正弦、余割
o
o
o
x

x
y

6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM；正切
线: AT.

7。三角函数的定义域:
三角函数定义
域

)(xf
sin
x

Rxx|

)(xf
cos
x

Rxx|

)(xf
tan
x




ZkkxRxx,21|且

)(xf
cot
x

ZkkxRxx,|且

)(xf
sec
x




ZkkxRxx,21|且

)(xf
csc
x

ZkkxRxx,|且

8、同角三角函数的基本关系式:tancossin cotsincos

r
o
x

y
a
的终边

P（x,y)

T
M
A
O

P
x

(3) 若 o(2)
(1)

|sinx|>|cosx|

|sinx|>|cosx|
sinx>cosx

cosx>sinx

16. 几个重要结论
:

O
O
x

y
x
y