学而思2018春季八下培优班讲义1-15讲(word版)教师版

第1讲二次根式巩固1
第2讲勾股复习及综合13
第3讲中位线与斜边中线（一）25
第4讲中位线与斜边中线（二）37
第5讲几何最值49
第6讲期中复习之勾股定理59
第7讲期中复习之四边形69
同步中考培优课程
1二次根式巩固
知识目标与切片
目标一复习巩固二次根式相关基础概念
目标二熟练掌握二次根式的化简和计算
模块一二次根式回顾
∴DF＝2AP＝2AB＝2 AE.
例6★★
已知：在△ABC中，∠B＝2∠C，M是BC中点，AD⊥BC于D.求证：DM＝ AB.
证明：延长CB至点K，使BK＝AB，连接AK，则∠K＝∠C，AK＝AC，∵AD⊥BC，∴CD＝ CK，
∵M是BC中点，∴CM＝ BC，∴DM＝CD－CM＝ CK－ BC＝ (CK–BC)＝ BK＝ AB.
∴ ＝
1二次根式巩固
1．若 与5 既是最简二次根式，又是同类二次根式，则x＝
解：4＋3x＝x＋6x＝1
2.若 ＋b2－2b＋1＝0，则 －| －b|＝
答案： ＋（b－1）2＝0
∴a2－3a＋1＝0b＝0∴a－3＋ ＝0，∴a＋ ＝3，∴ ＝7
原式＝1
3．计算：
(1) 3 － ＋ － (2)7a －4a2 ＋7a
知识目标切片
目标一掌握斜边中线定理
目标二学会运用斜边中线
目标三掌握斜边中线的构造方法
模块一斜边中线定理
知识导航
直角三角形斜边中线（定理）：如果一个三角形是直角三角形三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BD为△ABC斜边上的中线，求证：BD＝ AC
例5★★
把下列各式分母有理化
① ② ③
解：①原式＝
②原式＝
③原式＝
练5
把下列各式分母有理化．
① ② （a≠b）③
解：①原式＝
②原式＝
③原式＝
题型三先化简，再求值
例6★★
化简并求值： ，其中 ．
解：原式＝ ，将 代入可得，原式＝
练6
已知 ，求代数式 的值．
解：原式＝ ，将 代入可得，原式＝
例7★★
（2015汉阳区八下期中）
∴AM＝DM
练1
已知△ABC和△BCD均为直角三角形，点M为斜边BC上的中点，求证：AM＝MD
证明：AM是Rt△ABC边上的中线
∴AM＝ BC＝DM
∴AM＝DM
例2★★
已知，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AB上，且BD＝DE，点P、M、N分别为AD、BE、BC的中点.
（1）如图，若∠BAC＝90°，求∠PMN的度数；
解：原式＝3 －2 ＋ － 解：原式＝7a －a ＋7a
＝－ ＝7a ＋6a
(3) (4)
解：原式＝ 解：原式＝a ＋ － －b
＝3＝a －b
4．先化简，再求值： ，其中x＝10．
解：原式＝
＝
＝ ＝ ＝13
5．当a＝－ ，求代数式 的值．
解：a＝
＝
＝a－3＋
＝a－3－
＝1
6．已知＝ ＋1，y＝ －1，求下列格式的值：
(1)x2－y2；(2)x2＋xy＋y2
解：＝（x＋y）(x－y)解：＝（x＋y）2－xy
＝2 ×2＝12－2
＝4 ＝10
7．已知：a＝ ，求a3＋2a2－1＋ 的值．
解：由题意：2a＋1＝
∴4a2＋4a＋1＝5
∴a2＋a＝1
原式＝a(a2＋2a)－1＋
＝a(a＋1)－1＋
＝
＝
同步中考培优课程
中位线与斜边中线（二）
答案：D
（3）已知a＋b＋c＝0，且 ，求a，b，c的值．
答案：∵a－2≥0，2－a≥0∴a＝2
∴b＝3，c＝－5．即a＝2，b＝3，c＝－5．
题型二化简计算
例2★
（1） （2）
（3） （4） (a＞0，b＞0)
答案：（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
练2
（2015六中3月月考）
（1） （2）
延长BD至点K，使得DK＝BD
则△CDK≌△ADB（SAS）
∴AB∥CK，AB＝CK
∴四边形ABCK为平行四边形
又∠ABC＝90°，
∴四边形ABCK为矩形
AC＝BK＝2BD
【推论1】
如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边
【推论2】
如图，在Rt△ABC的斜边AB上有一点D，使得AD＝CD（或BD＝CD）
例7★★
如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D点，AF平分∠BAC交CD、CB于E、F.若AC＝8，BC＝6，求CE的长.
解：作FK⊥AB于点K，则CF＝FK，且AK＝AC＝8.
易证∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FK.∵AB＝10，∴BK＝2，
在Rt△BKF中，设FK＝x，则FB＝6－x，∴x2＋22＝(6－x)2，解得x＝ .
【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式．
如： ， ， 为最简二次根式，而 ， ， 则不是最简二次根式．
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个
二次根式就叫做同类二次根式．
如： ＝ ， ＝ ，被开方数都是2，所以 和 是同类二次根式．
4、合并同类二次根式：只有同类二次根式才能合并．
求x＋ 的值；
答案：x＋ ＝
求x2＋ 的值；
答案：x2＋ ＝（x＋ ）2－2＝3
求x4＋ 的值；
答案：x4＋ ＝（x2＋ ）2－2＝7
（2）若a＞0，b＞0，且 ，求 的值．
答案：∵ ∴a＋ ＝3 ＋15b，∴a－15b＝2 ∴
∴ ＝
练习8
已知 ，其中ab≠0，求 的值．
答案：∵ ∴a＋ ＝2 ＋12b，∴a＝16b
∵过矩形ABCD的对角线AC的中点O作垂线EF⊥AC，
∴△AOE是直角三角形，∵点G为AE的中点，∴OG＝AG＝EG，
∵∠AOG＝30°，∴△OGE是等边三角形，∴∠OBG＝∠OAG＝∠AOG＝30°，
∴∠BOE＝30°，∴BE＝OE＝OG，∴CD＝AB＝AG＋GE＋BE＝3OG.
练4
如图，已知□ABCD中，AE⊥BC，AN⊥CD垂足分别为E、N，且AE＝BE，AN、BD交于点O，∠ADB＝15°.
（2）若∠BAC＝α，求∠PMN的度数(用含α的代数式表示).
解：（1）连接DM，AN，则DM⊥AB，AN⊥BC，且∠BAN＝45°.
连接PM、PN，则PM＝PN＝ AD，且∠MPD＝2∠BAD，∠DPN＝2∠DAN，
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝2∠BAD＋2∠DAN＝2(∠BAD＋∠DAN)＝2∠BAN＝2×45°＝90°，
（3） （4）
答案：（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
例3★★
已知 ，求x的值．
解：∵
∴x＝36
练3
化简： ，其中a＞0，b＞0．
解：原式＝
模块二分母有理化
知识导航
1、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．
如： 就是分母有理化．
2、互为有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含二次根式，它们
就互为有理化因式．
【注意】在分母有理化过程中，有理化因式一定不为0．
如：( )×( )＝3－2＝1，所以 和 互为有理化因式．
题型一纯数字分母有理化
例4★
把下列各式分母有理化．
① ② ③
解：① ；
②原式＝ ；
③原式＝ ．
练4
把下列各式分母有理化．
① ② ③
解：①原式＝ ；
②原式＝ ；
③原式＝ ．
题型二含字母分母有理化
A．最大值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最小值是
答案：A
（2）下列各式是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
答案：A
（3）下列各式中，不能与 合并的是（）
A． B． C． D．
答案：C
练1
（1）把 化简后得（）
A． B． C． D．
答案：B
（2）下列各式计算正确的是（）
A． B． C． D．
练7
如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D点，AF平分∠BAC交CD、CB于点E、F.若M、N分别为AC、EF的中点，求证：DM＝MN.
证明：连接CN.∵∠CEF＝∠CFE，∴CN⊥AF，∴MN＝ AC，
∵CD⊥AB，∴MD＝ AC，∴DM＝MN.
例8★★
(1)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.
①求证：∠FAO＝45°；
②求证：DF＝2 AE.
证明：（1）∵在□ABCD中，AB∥CD，∵AN⊥CD，∴∠BAN＝∠AND＝90°，
∵AE⊥BC，且AE＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，
∴∠FAO＝90°－45°＝45°.
（2）取DF的中点P，∴AP＝DP＝PF，∴∠APB＝30°＝∠ABD，∴AP＝AB，
，但是在通分时上下同时乘 ，由于有理化因式一定不为0，所ห้องสมุดไป่ตู้必须有x≠y这个前提条件．
②小红说：“ 是最简二次根式．”元芳你怎么看？
【正解】最简二次根式中被开方数不能出现分数，所以它不是最简二次根式，如： ．
模块三二次根式巧计算
题型一恒等变形
例8★★
（1）（2014武昌区八下期中）