对称性定理的证明

为了证明上述定理，还需要证明下列结论成立。

引理1 如果函数()(),()(),n n f x f x n g x g x n n Z =-=-∈构成2()L R 的子空间E 的一组标准正交基，则存在以2π为周期的函数()αϖ以及

|()|1αϖ=使得ˆˆ()()()g

f ϖαϖϖ=. 证明 由于(),n f x n Z ∈构成子空间E 的标准正交基以及

g E ∈，故存在系数{}n α使得n n n

g f α=∑成立，因此22||||||1n n

g α==∑，而

ˆˆ()()()g f ϖαϖϖ=，其中

()in n n

e ϖ

αωα-=∑。又由

()(),(n n f x f x n g x g x

n n Z =-=-∈ 均为标准正交基，因此利用前面的讨论有..2

2ˆˆ|(2)||(2)|1a e

a e

k

k g

k f k ϖπϖπ+=+=∑∑，另一方面 2

2

2

2

ˆˆˆ|(2)||(2)(2)||()||(2)|k

k

k

g k k f k f k ϖπαϖπϖπαϖϖπ+=++=+∑∑∑，综合

上面的两个式子知引理结论成立。

引理 2 假设{,}n n Z α∈是一个有限长的序列，且()in n n

e ω

αωα-=∑满足|()|1αϖ=，则存在0n Z ∈使得0

,n n n ααδ=成立。

证明 由|()|1αϖ=得到1()()()in il im n l n n m n

l

m

n

e e e ωωϖαααα-+==∑∑∑∑，故

,0n n m

m n

αα

δ+=∑，由于{,}n n Z α∈是一个有限长的序列，设0,n N 分别满

足0

00,0,;0,0,n n N n n n n N αααα≠=<≠=>并在上式取0m N n =-，则有

0,0n n N n N n n

αα

δ+--=∑，但另一方面，因为当0n n <时0n α=，当n N

>时

0n N n α+-=，因此上式左端只有一项0

0n N αα≠，必有0n N =，此即0

,n n n ααδ=成立。

推论1 如果,f g 均为紧支撑函数， (),(),n n f f n g g n n Z =∙-=∙-∈是同一个空间的标准正交基函数，则0()()g x f x n α=-对某个

,||1C αα∈=以及0n Z ∈成立。

证明 由引理1，存在以2π为周期的函数()αϖ以及

|()|1αϖ=使得ˆˆ()()()

g f ϖαϖϖ=，由于,f g 均为紧支撑函数，所以

()()n g x f x n dx α=-⎰仅有限个非

0，因此利用引理2，得到推论1结

论成立。

定理1的证明。

由于函数ϕ的有限支撑性质知道()()n h x x n dx ϕϕ=-⎰只有有限个非0，为简单记，设00,0,0,0,0,n N n h h n h h n N ≠=<≠=>，现在证明N 一定为奇数，否则设02N n =为偶数，将0n 代入2,02n n l l l

h h δ+=∑得到

20n n n n n N n

n

h h

h h ++==∑∑，另一方面，上式左端只有一个非

0项

00N h h ≠，矛盾。

（说明此时滤波器长度为偶数长） （证明小波函数的对称性质）由于假设

00,0,0,0,0,n N n h h n h h n N ≠=<≠=>，由前面的讨论知道ϕ

的有限支撑

区间为[0,]N ，而ψ的支撑区间为00[,1]n n -+，因此ψ的对称轴为

1

2

x =

，即有()(1

x x ψψ=

-或()(1)x x ψψ=--，从而得到

2

,,(

1

)

()2(21)()j

j

j k j

k x x k x ψψ

ψ-+-=±

++=±，这表明空间j W 关于变换x x →-具有不变性，因此空间j k k j

V W <=⊕也具有变换x x →-的不变性。现定义()()x N x ϕϕ=- ，（证明()(),||1N x x ϕαϕα-==）则由变换不变性()n ϕ

∙- 也生成0V 的标准正交基，又同为区间为[0,]N 的紧支撑函数，由推

论1以及()x ϕ的实值特性，设()(),1,x x n n Z ϕ

αϕα=-=±∈ 成立，而()()N x x n ϕαϕ-=-得到0n =，否则取0x =，0()()0N n ϕαϕ≠=-=，矛

盾，因此ϕαϕ= 成立。（证明：1N =）由于

2()(2)2()(2)2()(2)n N n

h x x n dx N x N x n dx

x x N n dx h ϕϕϕϕϕϕ-=-=--+=-+=⎰⎰⎰

另一方面，

00,022*******

2222222222222l n n l n n l n n l n

n

n

n n l n n n n l

n

n

n n l

n

h h h h h h h h h h h h δ++++++---+==+=+=∑∑∑∑∑∑

利用引理2推得2,n n m h αδ=成立，由于00N h h ≠，知道0N h h α==，再由2k k

h =∑得到1α=，于是我们有0

2,02121,0,n n n N n n n h h h δδ+---===，而

2

1()(1)c o s 2

2

iN iN N H e e ϖω

ωω--=+=，从而

1

2

11

1

1ˆˆˆˆ()(0)()(0)cos (0)2

2k iN iN k

k k k N e H e iN ωϖ

ϖ

ϖϕ

ϖϕϕ

ϕϖ

+-+∞

+∞

-+==-===∏∏

由此得1,[0,]

()0,N x N x otherwise

ϕ-⎧∈=⎨⎩，若1N =，对应即为

Haar 小波，若1N >，

2

1

()(1)0N x x dx N ϕϕ--=

≠⎰，正交性不满足，定理得到证明。