微分方程应用举例

§8-5 微分方程应用举例

在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用．

应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：

(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；

(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解； (3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势．

例1 有一个303012(m 3

)的车间，空气中CO 2的容积浓度为0.12%．为降低CO 2的含量，用一台风量为1500(m 3

/min)的进风鼓风机通入CO 2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m 3

/min)的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min 后，车间中CO 2的容积浓度为多少？

解 车间体积为10800m 3

．设鼓风机开动t （min ）后，车间空气中CO 2的含量为x =x (t )，那么容积浓度为

10800

x

． 记在t 到t +dt 这段时间内，车间CO 2含量的改变量为dx ，则 dx =该时间段内CO 2通入量-该时间段内CO 2排出量 =单位时间进风量进风CO 2的浓度时间-单位时间排风量排风CO 2浓度时

间

=15000.04%dt -1500

10800

x dt ，

于是有

dt

dx

=15000.04% -150010800

x

即

dt dx =36

5

(4.32-x ) 初始条件x (0)=10800

0.12%=12.96．

方程为可分离变量的方程，其通解为 x (t )=4.32+C t e

36

5-．

将初始条件代入上式，得C =8.64．于是在t 时刻车间内空气中CO 2的含量为 x (t )=4.32(1+2t e

36

5-)．

所以鼓风机打开10min 后，车间中CO 2浓度为

10800

47

.610800)10(=

x =0.06%． 例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t =t 0时人口总数为x 0，试根据马尔萨斯模型，确定时间

t 与人口总数x (t )之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人

口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数．

解 记t 时的人口总数为x =x (t )，则人口的增长率为

dt

dx

，据人口指数增长模型为dt

dx

=rx (t ),(r 为比例系数，即马尔萨斯增长指数) (1) 并附初始条件：x (t 0)=x ．

方程是可分离变量方程，易得它的通解为x =C e rt

．将初始条件x (t 0)=0x 代入，得

C =x 00rt e -．于是时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系为x (t )=x 0)(0t t r e -．

将t =2005, t 0= 1990, x 0=11.6, r =0.0148代入，可预测出2005年我国的人口总数为 x |t =2005=11.6e

0.0148(2005-1990)

14.5(亿)．

例3 有一由电阻、电感串接而成的电路,如图8-6所示，其中电源电动势

E =E 0sin t ,(E 0,为常量），电阻R 和电感L 为常量，在t =0时合上开关S ，其时电流为零，

求此电路中电流i 与时间t 的函数关系．

解 由电学知识，电感L 上的感应电动势为L

dt

di

，根据回路电压定律，有 E =R i+L

dt

di ， 即

L

E i L R

dt di 0=+sin t ， (1) 初始条件为i (0)=0．

方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为 i (t )=C t L

R e

-+

2

2

2

0L

R E ω+ (R sin t -L cos t )．

将初始条件i (0)=0代入上式，得C =

2

220L

R L

E ωω+．于是所求电流为 i (t )=

2

220L R E ω+(L t L

R e

-

+ R sin t -L cos t ), (t 0)．

例4 轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜．设油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V 0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆柱体，初始t =0时圆柱高度为h 0，求油膜半径与时间t 的关系． 解 设圆柱体油料半径r =r (t )，厚度h =h (t )，则在任何时刻t 有 r 2

(t )h (t )=V 0． (1)

两边对t 求导，得 2r (t )

dt dr h (t )+r 2(t )dt

dh =0，图8-6

~

L

S

图8-7

r (t

) h (t