第一章随机事件及其概率

第一章随机事件及其概率

1.1随机事件及其运算

1．1．1随机试验

在进行个别试验或观察其结果具有不确定性，但在大量的重复试验的重复是试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象。为对随机现象加以研究所进行的观察或实验。称为试验。若一个试验满足下列三个特点：

1.在相同条件下可以重复进行；

2.每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果；

3.进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，则称这一试验为随机试验，记为E。

例如：

：抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现的情况。

E

1

E

：掷一颗骰子，观察出现的点数。

2

：对某一目标发射一发炮弹，观察弹着点到目标的距离。

E

3

：记录电话交换台再上午9时到10时接到的电话呼唤次数。

E

4

：测试某种型号的灯泡的寿命。

E

5

等等。

1.1.2随机事件与样本空间

在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果，称为随机事件，简称事件。

在一个试验中，不论可能的结果有多少个，总可以从中找出这样一组基本结果，满足：

1.每进行一次试验，必然出现且只能出现一个基本结果；

2.任何事件，都是由其中的一些基本结果所组成。

随机试验中的每一个基本结果是一个随机事件，称为基本事件，或称为样本点，记为。

随机事件E的全体样本点组成的集合称为试验E的样本空间，记为。

随机事件可表述为样本空间中样本点的某个集合，一般记为A，或B，C等等。

所谓事件A发生，是指在一次试验中，当且仅当A中包含的某个样本点出现。

在每次试验中一定发生的事件称为必然事件。样本空间

包含所有的样本点，每次试验它必然发生，它就是一个必然事件。必然事件用

表示，它是样本空间

的一个子集。 在每次试验中一定不发生的事件的事件称为不可能事件，记为。它是样本空间的一个空子集。

下面写出1.1.1中随机试验E 的样本空间及随机事件的例子。

E 1 ：Ω ＝｛（正面），（反面）｝．

E 2 ：Ω ＝｛（１点），（２点），…（６点）｝．

E 3：Ω ＝｛（弹着点到目标的距离ω 米）｜０≤ω ＜＋∞

E 4：Ω ＝｛（０次），（1次），…｝。

E 5 ：Ω ={t 小时|t 1 ≤t ≤t 2 }

在E 2中，若事件A 为“出现奇数点”，则A={（1点），（3点），（5点）}；

若B 为“出现的点数小于5”的事件，则B={（1点），（2点），（3点），（4点）}。

在E 3中，若事件A 为“弹着点到目标的距离在1米到3米之间”，则A={ω |1

≤ω ≤3}。

1.1.3 事件之间的关系及其运算

事件是一个集合，因此事件之间的关系及其运算可用集合之间的关系及运算来处理。下面我们通过例1来说明。

1. 袋中装有两只白球和一只黑球，从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。（i,j ）表示第一次摸得i 号球、第二次摸得j 号球的基本事件，则这一次试验的样本空间为Ω

={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

且可得下列随机事件：

A={(3,1),(3,2)}={第一次摸到黑球}.

B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸到白球}.

C={(1,2),(2,1)}={两次都摸到白球}.

D={(1,3),(2,3)}={第一次摸到黑球,第二次摸到白球}.

G={(1,2),(2,1)}={没有摸到黑球}.

设 为某试验E的样本空间,A,B,A

k

(k=1,2,…)为随机事件..

下面我们讨论事件之间的关系及运算。

1.事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件B发生，即A中的样本点一定属于B，则称事件B包含事件A，记为A_ B。

如在例1中，事件C 发生必然导致事件B 发生，故C_ B

显然对任意事件A ，都有?_ A_W .

若A_ B,B_ A，则称事件A与事件B是相等的，记为A=B.

如在例1中，G_ C，且C_ G，故C=G。

2.事件的和、积、差

事件A与事件B中至少有一个发生的事件，称为事件 A与事件B的和，记为A∪B。事件的和也称为事件的并。事件A与B的和是由A与B的样本点合并而成的事件。

类似地，可列个事件A

1,A

2

,…A

n

,…的和记为A

1

∪A

2

∪…∪A

n

∪…。或.n

个事件A

1,A

2

,…A

n

的和可记为。

事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积，记为A∩B，也可简写为AB。事件的积也称为事件的交。事件A与B的积是由A与B 的公共的样本点所构成的事件.

类似地，可列个事件A

1,A

2

,…A

n

,…的积可记为.n个事件A

1

,A

2

,…A

n

的积可记为.

事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与 B的差，记为A-B。事件A与B的差是由属于A而不属于 B的样本点所构成的事件。

如在例1中，B=C4 D,C=B3 C,D=B–C。

3.事件的互不相容（相斥）

若A3B=，则称事件A与事件B是互不相容的，或称A与B是相斥的。A

与B互不相容，是指事件A与事件B不能同时发生。例如，基本事件是两亮互不相容的。

在例1中，A3 B=，A3 C=,即事件A分别与事件B和事件C互不相容。

4.对立事件

若A3 B=，且A4 B=，则称事件A与事件B互为对立事件，或称A与

B互为逆事件。A与B对立，是指事件A与事件B既不能同时发生有不能

同时不发生，即在每次试验中，A与B有且仅有一个发生。A的对立事件

记为，显然=–A。

如在例1中， A与B互为对立事件，即=B。

由定义可知，对立事件必为互不相容事件，反之，互不相容的两个事件未必为对立事件。

以上事件之间的关系及运算可以用文氏（Venn）图来直观地表示。若用平面上的一个矩形表示样本空间，矩形内的点表示基本事件，圆A与圆B

分别表示事件A与事件B，则A与B的各种关系及运算如下所示（见图1—1~图1—6）。

5.事件的运算律

设A,B,C,A

(k=1,2,3,$$$ )为事件，则有

k

交换律A4 B=B4 A;A3 B=B3 A.

结合律(A4 B)4 C=A4 (B4 C);

(A3 B)3 C=A3 (B3 C).

分配律(A4 B)3 C=(A3 C)4 (B3 C);

A4 (B3 C)=(A4 B)3 (A4 C). 德?摩根（+�）律

一般地，对有限个事件及可列无限个事件也有

例2．设、、、为三个事件，试用表示下列事件：

1.A发生而B与C都不发生；

2.A与B都发生而C不发生；

3.A，B，C都发生；

4.A，B，C恰有一个发生；

5.A，B，C中至少有一个发生；

6.A，B，C中不多于两个发生；

7.A，B至少有一个发生而C不发生；

8.A，B，C恰有两个发生。

解：（1）或A-B-C.

(2)或

（3）

（4）

（5）或

（6）

或

（7）或（8）