高考数学真题分类汇编 专题 直线与圆 理科 及答案
2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题11直线与圆含解析
专题11 直线与圆一、选择题部分1.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T11)已知点P 在圆()()225516x y -+-=上,点()4,0A 、()0,2B ,则（）A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA ∠最小时,PB =当PBA ∠最大时,PB =【答案】ACD ．【解析】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ,半径为4,直线AB 的方程为142x y+=,即240x y +-=, 圆心M 到直线AB4==>,所以,点P 到直线AB42-<,最大值为4105+<,A 选项正确； 如下图所示：当PBA ∠最大或最小时,PB 与圆M 相切,连接MP 、BM ,可知PM PB ⊥,BM ==4MP =,由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选ACD.2.(2021•江苏盐城三模•T3)同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax ＋By ＋C ＝0,我们可以这样理解：若直线l 过定点P 0(x 0,y 0),向量→n ＝(A ,B )为直线l 的法向量,设直线l 上任意一点P (x ,y ),则→n ⋅→P 0P ＝0,得直线l 的方程为,即可转化为直线方程的一般式．类似地,在空间中,若平面α过定点Q 0(1,0,－2),向量→m ＝(2，－3，1)为平面α的法向量,则平面α的方程为A ．2x －3y ＋z ＋4＝0B ．2x ＋3y －z －4＝0C ．2x －3y ＋z ＝0D ．2x ＋3y －z ＋4＝0 【答案】C ．【考点】新情景问题下的直线方程的求解【解析】由题意可知,平面α的方程为2(x －1)－3(y －0)＋1 (z ＋2)＝0,化简可得,2x －3y ＋z ＝0,故答案选C ．3.(2021•河南焦作三模•理T9)已知曲线y ＝与直线kx ﹣y +k ﹣1＝0有两个不同的交点,则实数k 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 【解析】由曲线y ＝,得（x ﹣2）2+y 2＝1（y ≥0）,是以（2,0）为圆心半径为1的上半个圆,直线kx ﹣y +k ﹣1＝0过点D （﹣1,﹣1）,如图,过D （﹣1,﹣1）与A （1,0）两点的直线的斜率k ＝＝；设过（﹣1,﹣1）且与圆（x ﹣2）2+y 2＝1相切的直线方程为y +1＝k （x +1）, 即kx ﹣y +k ﹣1＝0． 由＝1,解得k ＝0或k ＝．∴要使曲线y ＝与直线kx ﹣y +k ﹣1＝0有两个不同的交点,则实数k 的取值范围是：．4.(2021•河北张家口三模•T4)“a ＞0”是“点（0,1）在圆x 2+y 2﹣2ax ﹣2y +a +1＝0外”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B ．【解析】将x 2+y 2﹣7ax ﹣2y +a +1＝3化为标准方程,得（x ﹣a ）2+（y ﹣1）3＝a 2﹣a ．当点（0,1）在圆x2+y2﹣2ax﹣5y+a+1＝0外时,有解得a＞1．所以“a＞3”是“点（0,1）”在圆x7+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的必要不充分条件．5.(2021•山东聊城三模•T4.)已知直线l:(a−1)x+y−3=0,圆C:(x−1)2+y2=5．则“ a=−1”是“ l与C相切”的（）．A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断,直线与圆的位置关系【解析】【解答】圆C:(x−1)2+y2=5的圆心为(1,0),半径r=√5,=√5,由直线l和C相切可得：圆心到直线的距离d=√(a−1)2+1,解得2a2−a−3=0,解得a=−1或a=32的充分不必要条件,故答案为：B.故a=−1是a=−1或a=32,再由充分必要条件即可判断B正确。
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)9：直线与圆
2012高考真题分类汇编：直线与圆1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（1） 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线1+=kx y 恒过定点)1,0(，定点到圆心的距离21<=d ，即定点在圆内部，所以直线1+=kx y 与圆相交但直线不过圆心，选C.2.【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1=a 时，直线1l ：02=+y x ，直线2l ：042=++y x ，则1l //2l ；若1l //2l ，则有012)1(=⨯-+a a ，即022=-+a a ，解之得，2-=a 或1=a ，所以不能得到1=a 。
故选A.4.【2012高考真题陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2012高考真题天津理8】设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞【答案】D【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22=+++-+++n m n m （，即2)2(1n m mn n m +≤=++，设z n m =+，即01412≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43。
高考数学试题分类汇编——直线与圆
高考数学试题分类汇编直线与圆一． 选择题：1.（全国一10）若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则（ D ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．2211a b+≥12.（全国二3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1B ．3C ．2D ．53.（全国二6）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ D ） A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-4.（安徽卷10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ D ）A ．[3,3]B ．(3,3)C ．33[33-D ．33(,)33-5.（安徽卷11） 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( C )A ．34B ．1C ．74D ．56.（北京卷6）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ A ）A ．0B ．12C ．1D ．27.（福建卷2）“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的C A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.（福建卷10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是DA.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)9.（广东卷6）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ C ）A 、10x y ++=B 、10x y +-=C 、10x y -+=D 、10x y --=10.（海南卷10）点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ B ）A. [0，5]B. [0，10]C. [5，10]D. [5，15]11.（湖北卷5）在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组,1x y x ⎧≤⎪⎨⎪⎩的点(,)x y 的集合用阴影表示为下列图中的C12.（湖南卷3．已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( C )A ．4 B.3 C.2 D.113.（辽宁卷3）圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ B ） A ．(22)k ∈-，B ． (33)k ∈-，C ．(2)(2)k ∈--+∞，，∞D ．(3)(3)k ∈--+∞，，∞ 14.（辽宁卷9）已知变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ B ） A ．4B ．2C ．1D ．4-15.（山东卷11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭16.（陕西卷5）直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ A ）A 3或3-B ．3-33C ．33-3D ．3-3317.（四川卷6）直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+（Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+18.（天津卷2）设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ D ） A ．2B ．3C ．4D ．519.（浙江卷10）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于C （A ）12 （B ）4π （C ）1 （D ）2π 20.（重庆卷3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为C(A)1)1()1(22=++-y x(B)1)1()1(22=+++y x(C) 1)1()1(22=-+-y x(D)1)1()1(22=-++y x二． 填空题：1.（全国一13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．92.（福建卷14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 . (,0)(10,)-∞⋃+∞3.（广东卷12）若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =3x +2y 的最大 值是________。
2023年高考数学真题题源解密(新高考全国卷)专题11 直线与圆(解析版)
专题11直线与圆目录一览2023真题展现考向一直线与圆相切考向二直线与圆相交真题考查解读近年真题对比考向一直线与圆相切考向二直线与圆的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与圆相切1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5，则圆心C （2，0），半径为r =5；设P （0，﹣2），切线为PA 、PB ，则PC =22+22=22，△PAC中，sin �2=5cos �2==3所以sin α＝2sin �2cos �2=2×5×3=154．故选：B ．考向二直线与圆相交2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x ﹣my +1＝0与⊙C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（或﹣2或12或−12）解：由圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心坐标为C （1，0），半径为r ＝2，因为△ABC 的面积为85，可得S △ABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB ＝θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2푠푖푛휃 푠휃푠푖푛2휃+ 푠2휃=45，∴2푡푎푛휃푡푎푛2휃+1=45，∴tan θ=12或tan θ＝2，∴cos θ=cos θ=∴圆心眼到直线x ﹣my +1＝0的距离d===解得m ＝±12或m ＝±2．故答案为：2（或﹣2或12或−12）．【命题意图】考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．【考查要点】常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。
高考数学最新真题专题解析—直线与圆(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—直线与圆（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程【答案】x+1=07x−24y−25=03x+4y−5=0(填一条即可)【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题．【解答】解：方法1:显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，于是√1+b2=1，√1+b2=4．故c2=1+b2 ①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=−4c，再结合 ①解得{b=0c=1或{b=−247c=−257或{b=43c=−53，所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x−24y−25=0，3x+4y−5=0．(填一条即可)方法2:设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r1=1，圆(x−3)2+ (y−4)2=16的圆心C(3,4)，半径r2=4，则|OC|=5=r1+r2，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x +1=0 符合题意； 又由方程 (x −3)2+(y −4)2=16 和 x 2+y 2=1 相减可得方程 3x +4y −5=0 ，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x −3y =0 ，直线 OC 与直线 x +1=0 的交点为 (−1,−43) ，设过该点的直线为 y +43=k(x +1) ，则|k−43|√k 2+1=1 ，解得 k =724 ，从而该切线的方程为 7x −24y −25=0.( 填一条即可 ) 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】设点A(−2,3)，B(0,a)，直线AB 关于直线y =a 的对称直线为l ，已知l 与圆C:(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围为 ． 【答案】[13,32] 【分析】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题． 【解答】解：因为k AB=a−32，所以AB关于直线y=a的对称直线为(3−a)x−2y+2a=0，所以√4+(3−a)2⩽1，整理可得6a2−11a+3⩽0,解得13≤a≤32．【命题意图】考察直线倾斜角与斜率，考察直线方程，考察直线平行与垂直，考察直线交点坐标，点到直线距离公式。
全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆 Word版含答案.pptx
由 5a2 8a 8 0 得 x R
由 5a2 12a 0 得 0 x 12 5
终上所述,
a
的取值范围为:
0,
12 5
则圆C 的方程为: (x a)2 y (2a 4)2 1
又 ∵ MA 2MO ∴ 设 M 为 (x,y) 则 x 2 ( y 3)2 2 x 2 y 2 整 理
得: x 2 ( y 1)2 4 设为圆D ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 即:圆 C 和圆 D 有交点
A． 2
【答案】D 二、解答题
B．1
8
C．
3
4
D．
3
（）
7 ．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加
题））本小题满分 14 分.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线l : y 2x 4 , 设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线 y x 1上,过点 A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点 M ,使 MA 2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
A(1,0), B(1,0),C(0,1) ,直线 y ax b(a 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,
则 b 的取值范围是
（）
A． (0,1)
B． (1 2 , 1) 22
( C) (1 2 , 1] D． [ , 1) 1 2 3 32
【答案】B
3 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点 (3,1) 作圆
O 0,0, A0, b, B a,a3 .若ABC为直角三角形,则必有
高考数学(理)二轮专题练习【专题6】(1)直线与圆(含答案)
第 1讲直线与圆考情解读考察要点是直线间的平行和垂直的条件、与距离相关的问题．直线与圆的地点关系 (特别是弦长问题 )，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考察其几何图形的性质或方程知识．1．直线方程的五种形式(1)点斜式： y－y1＝k(x－x1)( 直线过点 P1(x1，y1)，且斜率为 k，不包含 y 轴和平行于 y 轴的直线 )．(2) 斜截式： y＝kx＋ b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为k，不包含 y 轴和平行于y 轴的直线 )．(3)两点式： y－ y1＝ x－ x1(直线过点 P1(x1， y1)，P2(x2，y2)，且 x1≠x2，y1≠y2，不包含坐标轴和y2－ y1 x2－x1平行于坐标轴的直线 )．(4)x＋y＝ 1(a、b 分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包含坐标轴、平行于坐截距式：a b标轴和过原点的直线)．(5)一般式： Ax＋ By＋C＝ 0(此中 A，B 不一样时为 0)．2．直线的两种地点关系当不重合的两条直线l 1和 l2的斜率存在时：(1)两直线平行 l 1∥ l2? k1＝ k2.(2)两直线垂直 l 1⊥ l2? k1·k2＝－ 1.提示当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情况易忽视．3．三种距离公式(1) A(x1， y1)， B( x2， y2)两点间的距离： |AB |＝x2－ x12＋y2－ y12.(2)点到直线的距离：|Ax0＋ By0＋ C|(此中点 P( x0， y0)，直线方程： Ax＋ By＋C＝ 0)．d＝2＋B2A(3)两平行线间的距离：|C2－ C1|l1：Ax＋By＋ C1＝ 0，l 2：Ax＋ By d＝22( 此中两平行线方程分别为A＋ B＋C2＝0)．提示应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x， y 的系数应付应相等．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程： (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r 2.(2)圆的一般方程： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey＋F ＝ 0(D2＋E2－ 4F>0)．5．直线与圆、圆与圆的地点关系(1)直线与圆的地点关系：订交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2) 圆与圆的地点关系：订交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.热门一例 1直线的方程及应用(1)过点 (5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是()A．2x＋ y－ 12＝ 0B． 2x＋ y－ 12＝0 或 2x－ 5y＝ 0C． x－ 2y－ 1＝0D ． x－ 2y－ 1＝0 或 2x－ 5y＝ 0(2) “m＝ 1”是“直线 x－ y＝ 0 和直线 x＋ my＝ 0 相互垂直”的 () A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件思想启示答案(1)B (1) 不要忽视直线过原点的状况；(2)C(2) 分别考虑充足性和必需性．分析(1) 当直线过原点时方程为2x－ 5y＝ 0，可是原点时，可设出其截距式为ax＋ 2ay＝ 1，再由过点 (5,2)即可解出2x＋ y－12＝ 0.(2) 因为 m＝ 1 时，两直线方程分别是x－ y＝ 0 和x＋ y＝ 0，两直线的斜率分别是 1 和－ 1，两直线垂直，所以充足性成立；当直线x－y＝ 0 和直线x＋ my＝ 0 相互垂直时，有1×1＋(－ 1) ×m＝0，所以m＝ 1，所以必需性成立．应选 C.思想升华(1) 要注意几种直线方程的限制性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不可以与 x 轴垂直．而截距式方程不可以表示过原点的直线，也不可以表示垂直于坐标轴的直线．(2) 求解与两条直线平行或垂直相关的问题时，主假如利用两条直线平行或垂直的充要条件，即 “斜率相等 ”或 “互为负倒数 ”． 若出现斜率不存在的状况，可考虑用数形联合的方法去研究．已知 A(3,1) ，B(－ 1,2)，若∠ ACB 的均分线方程为 y ＝ x ＋1，则 AC 所在的直线方程为 ()A ． y ＝ 2x ＋ 41B ． y ＝ 2x － 3C ． x － 2y － 1＝0D ．3x ＋ y ＋ 1＝0 答案 C分析由题意可知，直线AC 和直线 BC 对于直线 y ＝ x ＋ 1 对称．设点 B(－1,2)对于直线 y ＝xy 0－ 2＋ 1 的对称点为 B ′(x ，y x 0 ＋1＝－1x 0＝1 ，即 B ′(1,0)．因为 B ′(1,0)在直0)，则有?＋2－1 y 0＝0y 0＋＝ x 0122线 AC 上，所以直线 AC 的斜率为 k ＝1－ 0＝1，3－1 21所以直线 AC 的方程为 y － 1＝2( x －3) ，即 x － 2y －1＝ 0.故 C 正确．热门二 圆的方程及应用例 2 (1)若圆 C 经过 (1,0)， (3,0)两点，且与y 轴相切，则圆 C 的方程为 ( )A ． (x －2) 2＋ (y ±2) 2＝ 3B ． (x － 2)2＋ (y ± 3)2＝ 3C ． (x － 2)2＋ (y ±2)2＝ 4D ． (x －2) 2＋ (y ± 3)2＝ 4(2) 已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l 1：x ＝－ 2 的右边， 若圆 M 截直线 l 1 所得的弦长为 2 3，且与直线 l 2： 2x － 5y － 4＝0 相切，则圆 M 的方程为 ()A ． (x －1) 2＋ y 2＝ 4B ． (x ＋ 1)2＋ y 2＝ 422C ． x ＋ (y － 1) ＝ 4D ． x 2＋(y ＋1)2＝ 4思想启示 (1) 确立圆心在直线x ＝2 上，而后待定系数法求方程；(2) 依据弦长为 2 3及圆与 l 2相切列方程组．答案(1)D(2)B分析(1) 因为圆 C 经过 (1,0)， (3,0)两点，所以圆心在直线x＝ 2 上，又圆与y 轴相切，所以半径 r ＝ 2，设圆心坐标为(2， b)，则 (2 －1) 2＋b2＝4， b2＝ 3， b＝±3，所以选 D.a＋2＋3 2 ＝r 2，(2)由已知，可设圆 M 的圆心坐标为 (a,0)，a>－ 2，半径为 r ，得 |2a－ 4|＝r，4＋5a＝－ 1，解得知足条件的一组解为r＝ 2，所以圆 M 的方程为 (x＋1) 2＋ y2＝ 4.应选 B.思想升华圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要依据所给条件选用适合的方程形式．解决与圆相关的问题一般有两种方法：(1) 几何法，经过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的地点关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．(1)已知圆 C： x2＋ (y－ 3)2＝ 4，过点 A(－ 1,0)的直线 l 与圆 C 订交于 P、 Q 两点，若 |PQ|＝ 2 3，则直线l 的方程为()A ． x＝－ 1 或 4x＋ 3y－ 4＝0B ． x＝－ 1 或 4x－ 3y＋ 4＝0C． x＝ 1 或 4x－3y＋ 4＝ 0D ． x＝ 1 或 4x＋ 3y－ 4＝ 0(2) 已知圆 C 的圆心与抛物线 y2＝ 4x 的焦点对于直线 y＝ x 对称，直线 4x－ 3y－2＝ 0 与圆 C 订交于A， B 两点，且 |AB|＝ 6，则圆 C 的方程为 ________________ ．2 2分析(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时，易知x＝－ 1 切合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝ k(x＋ 1)，线段 PQ 的中点为 M，因为 |PQ|＝ 23，易得 |CM|＝ 1.又 |CM |＝|－3＋k|＝ 1，解得 k＝4，此时直线l 的方程为 y＝4(x＋ 1)．故所求直线l 的方程为 x k2＋ 133＝－ 1 或 4x－ 3y＋ 4＝ 0.应选 B.(2)设所求圆的半径是 r ，依题意得，抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是 (1,0) ，则圆 C 的圆心坐标是 (0,1) ，圆心到直线4x－ 3y－ 2＝ 0 的距离 d＝|4 ×0－ 3×1－ 2|22＋ (|AB| 242＋－2＝ 1，则 r＝ d2) ＝ 10，故圆 C 的方程是 x2＋ (y－ 1)2＝ 10.热门三直线与圆、圆与圆的地点关系例 3如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y＝ 2x－ 4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心 C 也在直线 y＝ x－ 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使 |MA |＝ 2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．思想启示(1) 先求出圆 C 的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；(2)将 |MA|＝ 2|MO|化为 M 点坐标知足的条件后，可知点M 是两圆的交点．解 (1)由题设，圆心 C 是直线 y＝ 2x－ 4 和直线 y＝ x－ 1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过 A(0,3) 的圆 C 的切线方程为y＝ kx＋3，|3k＋ 1|3由题意，k2＋1＝1，解得k＝0或－4，故所求切线方程为y＝ 3 或 3x＋ 4y－ 12＝ 0.(2)因为圆心在直线 y＝ 2x－ 4 上，22所以圆 C 的方程为 (x－ a) ＋ [y－ 2(a－ 2)] ＝ 1.所以x2＋y－2＝2x2＋ y2，化简得 x2＋ y2＋ 2y－ 3＝ 0，即 x2＋ (y＋ 1)2＝ 4，所以圆心M 在以 D(0，－ 1)为圆心， 2 为半径的圆上．由题意，点M(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则 2－ 1≤|CD |≤2＋1，即 1≤ a2＋a－2≤3.由 5a2－ 12a＋ 8≥0，得 a∈R；2－12由 5a12a≤0，得 0≤a≤ .5C 的横坐标 a 的取值范围为12所以圆心0，5 .思想升华 (1)议论直线与圆及圆与圆的地点关系时，要注意数形联合，充足利用圆的几何性质找寻解题门路，减少运算量．研究直线与圆的地点关系主要经过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的地点关系的判断依照是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2) 直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”成立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转变为圆心到圆外点距离，利用勾股定理办理．(1)(2014 ·重庆 )已知直线ax＋ y－ 2＝0 与圆心为 C 的圆 (x－1)2＋ (y－a)2＝ 4 订交于A， B 两点，且△ ABC 为等边三角形，则实数a＝ ________.(2) 两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋ a2－ 4＝0(a∈R )与 C2： x2＋ y2－ 2by－ 1＋ b2＝ 0(b∈R) 恰有三条公切线，则 a＋ b 的最小值为 ()A．－6 B．－ 3 C．－3 2 D．3答案(1)4 ± 15(2)C分析圆心 C(1，a)到直线 ax＋y－ 2＝ 0 的距离为|a＋ a－ 2|a2＋ 1.因为△ ABC 为等边三角形，所以 |AB|＝ |BC|＝ 2，所以 (|a＋ a－ 2| 222)＋ 1＝ 2 ，解得 a＝ 4± 15.a2＋ 1(2) 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1： (x＋ a)2＋ y2＝ 4，圆 C2：x2＋ (y－ b) 2＝ 1，所以 |C1C2|＝a2＋ b2＝ 2＋ 1＝ 3，即 a2＋ b2＝ 9.a＋ b 2a2＋b22由( 2 )≤2，得 (a＋ b) ≤18，所以－ 32≤a＋ b≤32，当且仅当“a＝ b”时取“＝”．所以选C.1．因为直线方程有多种形式，各样形式合用的条件、范围不一样，在详细求直线方程时，由所给的条件和采纳的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的状况，特别在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的状况．2．确立圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆订交时应用垂径定理组成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径 )；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆对于圆心成中心对称，对于随意一条过圆心的直线成轴对称．3．直线与圆中常有的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，能够转变为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，能够转变为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，能够转变为圆心到圆心的距离问题．4．过两圆 C1：x2＋y2＋D 1x＋ E1y＋F 1＝ 0，C2：x2＋ y2＋ D2x＋E2y＋ F 2＝ 0 的交点的圆系方程为x2＋ y2＋ D 1x＋ E1y＋F 1＋λ(x2＋ y2＋ D2 x＋E2y＋ F 2)＝ 0.5．两圆订交，将两圆方程联立消去二次项，获得一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程 .真题感悟1． (2014 ·江苏 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x＋ 2y－ 3＝ 0 被圆 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4 截得的弦长为 ________________ ．答案2555分析圆心为 (2，－ 1)，半径 r＝ 2.圆心到直线的距离d＝ |2＋2× －－3|＝ 35，1＋ 45222352255所以弦长为 2 r － d＝2 2 －5＝ 5.2． (2014 ·课标全国Ⅱ )设点 M (x0,1)，若在圆 O： x2＋ y2＝ 1 上存在点 N，使得∠ OMN ＝ 45°，则x0的取值范围是 ________．答案[ － 1,1]分析如图，过点 M 作⊙ O 的切线，切点为 N，连结 ON.M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点 N.设∠ OMN ＝θ，则θ≥45°，即 sin θ≥2，2ON2即OM≥2 .而 ON＝1，∴OM≤ 2.∵M 为 (x0,1)，∴ x20＋ 1≤ 2，∴ x20≤1，∴－ 1≤x0≤1，∴ x0的取值范围为 [ －1,1] ．押题精练1．在直角坐标系 xOy 中，已知 A(－ 1,0)， B(0,1) ，则知足 |PA|2－ |PB |2＝4 且在圆 x2＋ y2＝4 上的点 P 的个数为 ________．答案2分析设 P(x， y)，则由 |PA|2－ |PB|2＝ 4，得 (x＋ 1)2＋ y2－ x2－ (y－ 1)2＝ 4，∴ x＋ y＝ 2，∴知足条件的点P 的个数转变为直线x＋ y＝2 和圆 x2＋ y2＝ 4 的交点个数，∵|0＋ 0－ 2|＝2<2， 2∴直线与圆订交，∴点 P 有 2 个．2．假如圆 C：x2＋ y2－ 2ax－ 2ay＋ 2a2－4＝ 0 与圆 O：x2＋ y2＝ 4 总订交，则实数 a 的取值范围是 ____________________ ．答案－ 2 2<a<0 或 0<a<2 2分析将圆 C：x2＋y2－2ax－ 2ay＋ 2a2－ 4＝ 0 变形为 (x－ a)2＋ (y－a)2＝4，可知圆心为 C( a，a)，半径为 r ＝ 2.圆 O：x2＋ y2＝ 4 的圆心为O(0,0)，半径为 R＝ 2.当两圆总订交时 |R－ r|<|OC|<r ＋R，即 0< a2＋ a2<4 ，解得－ 2 2<a<0 或 0< a<2 2.3．若圆 x2＋ y2＝ r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x－ y－ 2＝ 0 的距离为 1，则实数 r 的取值范围是 ________．答案( 2－1， 2＋1)分析注意到与直线 x－ y－ 2＝ 0 平行且距离为 1 的直线方程分别是x－ y－ 2＋2＝0 和 x－y － 2－ 2＝ 0，要使圆上有且只有两个点到直线x－y－ 2＝ 0 的距离为1，需知足在两条直线 x－ y－ 2＋2＝ 0 和 x－ y－ 2－ 2＝ 0 中，一条与该圆订交且另一条与该圆相离，所以| 2－2|2<r <|－2－2|，即2－ 1<r < 2＋1.2(介绍时间： 60 分钟 )一、选择题1．直线 l 1： kx＋(1 －k)y－3＝ 0 和 l 2： (k－ 1)x＋ (2k＋3)y－2＝ 0相互垂直，则k 等于 () A．－3 或－1B．3或1C．－3 或 1D．3 或－ 1答案C分析若 k＝ 1，直线 l：x＝ 3， l ： y＝2125知足两直线垂直．若 k≠1，直线 l， l2的斜率分别为k ＝k， k ＝1－ k ，由k＝－ 1 得 k＝－ 3，综上 k＝111k－ 122k＋ 31·k2或 k＝－ 3.2．若 P(2，－ 1)为圆 (x－1)2＋y2＝ 25 的弦 AB 的中点，则直线AB 的方程是 ()A． x－ y－ 3＝0B． 2x＋ y－ 3＝0C． x＋ y－ 1＝ 0D ．2x－ y－ 5＝0答案A分析圆的圆心为C(1,0)．由圆的性质知，直线 PC 垂直于弦 AB 所在的直线，则k ＝－ 1 ，AB k PC 11即 k AB＝－k PC＝－0－－＝ 1.1－2又点 P(2，－ 1)是弦 AB 的中点，由直线的点斜式方程得直线AB 的方程为y－ (－ 1)＝ x－ 2，即 x－ y－3＝ 0.应选 A.3．若圆 O：x2＋ y2＝ 4 与圆 C：x2＋ y2＋ 4x－4y＋ 4＝ 0 对于直线l 对称，则直线 l 的方程是 ()A． x＋ y＝ 0B． x－ y＝ 0C． x－ y＋ 2＝ 0D． x＋ y＋ 2＝0答案C分析圆 x2＋ y2＋ 4x－ 4y＋4＝ 0，即 (x＋2) 2＋ (y－ 2)2＝ 4，圆心 C 的坐标为 (－2,2)．直线 l 过 OC 的中点 (－1,1)，且垂直于直线 OC，易知 k OC＝－ 1，故直线 l 的斜率为1，直线 l的方程为 y－ 1＝ x＋1，即 x－ y＋2＝ 0.应选 C.4．若直线 y＝ kx＋ 2k 与圆 x2＋ y2＋ mx＋ 4＝ 0 起码有一个交点，则 m 的取值范围是 ()A ．[0，＋∞ )B．[4，＋∞)C． (4，＋∞ ) D ． [2,4]答案C分析由 y＝ k( x＋2) 得直线恒过定点 (－ 2,0)，所以可得点 (－ 2,0)必在圆内或圆上，故有(－ 2)2＋02－ 2m＋ 4≤0? m≥4.又由方程表示圆的条件，故有 m2－4×4>0? m<－ 4 或 m>4.综上可知 m>4.应选 C.5．动圆 C 经过点 F(1,0)，而且与直线x＝－ 1 相切，若动圆 C 与直线 y＝ x＋22＋ 1 总有公共点，则圆 C 的面积 ()A ．有最大值8πB ．有最小值2πC．有最小值3πD ．有最小值 4π 答案D分析设圆心为(a ，b)，半径为r ，r ＝|CF |＝ |a ＋ 1|，即 (a － 1)2＋ b 2＝ (a ＋ 1)2，即 a ＝14b 2，12 1 2∴ 圆心为 ( b ， b)， r ＝4 b ＋ 1，4圆心到直线 y ＝ x ＋2 2＋ 1 的距离为| b 2－ b ＋ 2 2＋ 1|b2d ＝ 4＋ 1，2 ≤4∴ b ≤－2(2 2＋ 3)或 b ≥2，当 b ＝ 2 时， r min ＝ 1×4＋ 1＝ 2，4∴ S min ＝ πr 2＝ 4π.6．设 P 为直线 3x ＋ 4y ＋ 3＝ 0 上的动点，过点 P 作圆 C ：x 2＋ y 2－ 2x － 2y ＋ 1＝ 0 的两条切线，切点分别为 A ， B ，则四边形 PACB 的面积的最小值为 ()3A ．1 B. 2 C ．23 D.3答案 D分析依题意，圆 C ：(x － 1)2＋ (y － 1)2＝ 1 的圆心是点C(1,1)，半径是 1，易知 |PC|的最小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x ＋ 4y ＋ 3＝ 0 的距离，即10＝ 2，而四边形 PACB 的面积等于 2S △ PAC ＝ 2×(152 |PA| |AC|)·＝ |PA| |AC|·＝ |PA|＝ |PC |2－ 1，所以四边形 PACB 的面积的最小值是 22－ 1＝ 3，故选 D.二、填空题7．已知直线 l 1 与圆 x 2＋ y 2＋ 2y ＝ 0 相切，且与直线 l 2： 3x ＋ 4y － 6＝ 0 平行，则直线 l 1 的方程 是 ________________ ．答案 3x ＋ 4y － 1＝0 或 3x ＋ 4y ＋9＝ 0分析依题意，设所求直线 l 1 的方程是 3x ＋ 4y ＋ b ＝0，则由直线 l 1 与圆 x 2＋ (y ＋ 1)2＝ 1 相切，可得圆心 (0，－ 1)到直线 3x ＋ 4y ＋ b ＝0 的距离为 1，即有|b － 4|＝ 1，解得 b ＝－ 1 或 b ＝ 9.所以， 5 直线 l 1 的方程是 3x ＋ 4y － 1＝ 0 或 3x ＋ 4y ＋ 9＝ 0.8．(2014 ·北湖 )直线 l 1：y ＝x ＋ a 和 l 2：y ＝ x ＋ b 将单位圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 分红长度相等的四段弧，则 a 2＋ b 2＝ ____.答案2分析依题意，不如设直线y ＝ x ＋ a 与单位圆订交于 A ， B 两点，则∠ AOB＝ 90°.如图，此时a＝1， b＝－ 1，知足题意，所以 a2＋ b2＝ 2.9．(2013 湖·北 )已知圆 O：x2π＋ y2＝ 5，直线 l： xcos θ＋ ysin θ＝ 1(0< θ< )．设圆 O 上到直线 l 的2距离等于 1 的点的个数为k，则 k＝ ________.答案 41分析圆心 O 到直线 l 的距离 d＝2 2 ＝1，cos θ＋ sin θ而圆 O 半径为5，所以圆O 上到 l 的距离等于 1 的点有 4 个．10．已知 A(－ 2,0)， B(0,2)，实数 k 是常数， M， N 是圆 x2＋ y2＋ kx＝0 上两个不一样点， P 是圆22＋ kx＝ 0 上的动点，假如M， N 对于直线 x－ y－ 1＝0 对称，则△ PAB 面积的最大值是x＋ y________．答案3＋ 2分析依题意得圆 x 2＋ y2＋ kx＝ 0 的圆心 (－k， 0)位于直线 x－ y－ 1＝ 0 上，于是有－k－ 1＝0，22即 k＝－ 2，所以圆心坐标是 (1,0)，半径是 1.由题意可得 |AB|＝ 22，直线 AB 的方程是x＋y＝－ 2 21，即 x－ y＋ 2＝0，圆心 (1,0)到直线 AB 的距离等于|1－0＋2|＝32，点 P 到直线 AB 的距离的22最大值是3 2＋ 1，△PAB 面积的最大值为132＋2＝ 3＋ 2. 22×22×2三、解答题11． (1)求圆心在 x 轴上，且与直线y＝x 相切于点 (1,1) 的圆的方程；(2)已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M ：( x＋ 2)2＋ (y＋2)2＝r 2(r>0) 对于直线 x＋y＋ 2＝ 0 对称，求圆 C 的方程．解(1) 根据题意可设圆心 (a,0) ，则1－0＝－ 1 ? a ＝ 2 ，即圆心为 (2,0) ，半径 r ＝1－a－2＋－2＝2，则所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝2.a－22＋b－22＋ 2＝ 0，(2)设圆心为 C(a， b)，则b＋ 2＝1，a＋ 2所以a＝ 0，又 P(1,1)在圆上，b＝ 0，所以圆 C 的方程为 x2＋ y2＝ 2.12．已知圆 M 的方程为 x2＋ y2－ 2x－ 2y－ 6＝ 0，以坐标原点O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切．(1) 求圆 O 的方程；→→(2) 圆 O 与 x 轴交于 E，F 两点，圆 O 内的动点 D 使得 |DE |，|DO |，|DF |成等比数列，求DE·DF 的取值范围．解 (1)圆 M 的方程可整理为 (x－ 1)2＋(y－ 1)2＝8，故圆心 M (1,1) ，半径 R＝ 2 2.圆 O 的圆心为 O(0,0)，因为 |MO|＝2<2 2，所以点 O 在圆 M 内，故圆O 只好内切于圆M.设圆 O 的半径为r ，因为圆 O 内切于圆M，所以 |MO|＝ R－ r ，即 2＝ 2 2－ r，解得 r ＝ 2.所以圆 O 的方程为x2＋ y2＝ 2.(2) 不如设 E(m,0)， F(n,0) ，且 m<n.x2＋ y2＝ 2，由y＝ 0，x＝2，x＝－2，解得或y＝ 0，y＝ 0，故 E(－ 2，0)，F( 2， 0)．设D(x，y)，由|DE |，|DO|，|DF |成等比数列，得 |DE | ×|DF |＝ |DO |2，即 x＋ 2 2＋ y2× x－ 2 2＋ y2＝ x2＋ y2，整理得 x2－ y2＝ 1.→→而 DE＝ (－ 2－ x，－ y)，DF ＝ ( 2－x，－ y)，→ →2－ x)( 2－ x)＋ (－y)(－ y)所以 DE ·DF ＝ (－＝x2＋ y2－ 2＝ 2y2－ 1.x2＋ y2<2 ，得 y2<1，因为点 D 在圆 O 内，故有x2－ y2＝ 1，2所以－ 1≤2y2－ 1<0 ，→ →即 DE·DF ∈ [－ 1,0)．13．已知△ ABC 的三个极点A(－ 1,0)， B(1,0) ，C(3,2)，其外接圆为⊙H .(1)若直线 l 过点 C，且被⊙ H 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程；(2) 对于线段 BH 上的随意一点P，若在以点 C 为圆心的圆上都存在不一样的两点M，N，使得点M 是线段 PN 的中点，求⊙ C 的半径 r 的取值范围．解(1)线段 AB 的垂直均分线方程为x＝ 0，线段 BC 的垂直均分线方程为x＋ y－ 3＝ 0，所以外接圆圆心为H(0,3)，半径为－2＋32＝10，⊙H 的方程为 x2＋ (y－ 3)2＝10.设圆心 H 到直线 l 的距离为 d，因为直线当直线 l 垂直于 x 轴时，明显切合题意，即l 被⊙ H 截得的弦长为2，所以 d＝10－1＝ 3.x＝ 3 为所求；当直线 l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y－ 2＝ k(x－ 3)，则|3k＋1|＝ 3，解得 k＝4，直线方程1＋k23为 4x－ 3y－ 6＝ 0.综上，直线l 的方程为x＝ 3 或 4x－ 3y－ 6＝0.(2)直线 BH 的方程为 3x＋ y－ 3＝ 0，设 P(m， n)(0≤m≤1)， N(x， y)，因为点 M 是线段 PN 的中点，M(m＋ x n＋ y所以2，2)，又 M， N 都在半径为 r 的⊙ C 上，x－2＋ y－2＝ r2，所以m＋ x－2＋n＋ y－2＝ r2.22x－2＋ y－2＝ r2，即x＋m－2＋y＋ n－2＝4r2.因为该对于x， y 的方程组有解，即以 (3,2)为圆心，r为半径的圆与以 (6－m,4－n)为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以 (2r－ r)2≤(3－ 6＋ m)2＋(2－ 4＋ n)2≤(r ＋ 2r )2，又 3m＋ n－ 3＝ 0，所以 r 2≤10m2－ 12m＋ 10≤9r2对 ? m∈ [0,1] 成立．而 f(m)＝ 10m2－ 12m＋ 10在[0,1] 上的值域为[32，10]，5故 r 2≤32且10≤9r2. 5又线段 BH 与圆 C 无公共点，所以 (m－ 3)2＋ (3－ 3m－ 2)2>r2对 ? m∈ [0,1] 成立，232.即 r <5故⊙ C 的半径 r 的取值范围为 [10， 41035 )．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题八 直线与圆
1.【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：
22
4210xyxy
的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= （ ）
A、2 B、42 C、6 D、210
【答案】C
【解析】圆C标准方程为22(2)(1)4xy，圆心为(2,1)C，半径为2r，因此
2110a，1a
，即(4,1)A，2222(42)(11)46ABACr.
选C.
【考点定位】直线与圆的位置关系.
【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都
是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，
判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P到
圆的距离为d，圆的半径为r，则由点P所作切线的长22ldr．
2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆交y轴于M，N两点，则
||MN
( )
A．26 B．8 C．46 D．10
【答案】C
【解析】由已知得321143ABk，27341CBk，所以1ABCBkk，所以ABCB，
即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)，半径为5，所以外接圆方程为
22
(1)(2)25xy
，令0x，得262y，所以46MN，故选C．
【考点定位】圆的方程．
【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC是直角
三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN的长，属于中档题．
3.【2015高考广东，理5】平行于直线012yx且与圆522yx相切的直线的方程是
（ ）
A．052yx或052yx B. 052yx或052yx
C. 052yx或052yx D. 052yx或052yx
【答案】D．
【解析】依题可设所求切线方程为20xyc，则有2200521c，解得5c，所以
所求切线的直线方程为250xy或250xy，故选D．
【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与
化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为20xyc，然后可用代
数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距
离等于半径求得，属于容易题．
4.【2015高考山东，理9】一条光线从点2,3射出，经y轴反射后与圆
22
321xy
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
（A）53或35 （B）32 或23 （C）54或45 （D）43或
3
4
【答案】D
整理：21225120kk ，解得：43k ，或34k ,故选D．
【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.
【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的
有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关
系的理解与把握以及学生的运算求解能力.
5.【2015高考陕西，理15】设曲线xye在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yxx上点处
的切线垂直，则的坐标为 ．
【答案】1,1
【解析】因为xye，所以xye，所以曲线xye在点0,1处的切线的斜率
0
101xkye，设的坐标为00
,xy
（00x），则001yx，因为1yx，所以
2
1yx，所以曲线1yx在点处的切线的斜率02201
xxkyx
，因为121kk，
所以2011x，即201x，解得01x，因为00x，所以01x，所以01y，即的
坐标是1,1，所以答案应填：1,1．
【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．
【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题．解题
时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一
定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线
的斜率．
6.【2015高考湖北，理14】如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点
,AB
（B在A的上方）， 且2AB．
（Ⅰ）圆C的标准．．方程为 ；
（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1Oxy相交于,MN两点，下列三个结论：
①NAMANBMB； ②2NBMANAMB； ③22NBMANAMB．
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2xy；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）依题意，设),1(rC（r为圆的半径），因为2||AB，所以21122r，
所以圆心)2,1(C，故圆的标准方程为2)2()1(22yx.
（Ⅱ）联立方程组2)2()1(022yxx，解得120yx或120yx，因为B在
A
的上方，
所以)12,0(A，)12,0(B，
令直线MN的方程为0x，此时M)1,0(M，)1,0(N，
所以2||MA，22||MB，22||NA，2||NB
因为221222||||NBNA，12222||||MBMA，所以NAMANBMB.
所以2221(21)22222NBMANAMB，
22
2121222222NBMANAMB
，
正确结论的序号是①②③.
【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系.
【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，
从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小
题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、
特殊位置等．
7.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012Rmmymx
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【答案】22(1)2.xy
【考点定位】直线与圆位置关系
【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线
问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m的函
数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件.
8.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l与圆221:650Cxyx+-+=相交于不同的两
点A，B．
（1）求圆1C的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线:(4)Lykx=-与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的
取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）3,0；（2）223953243xyx；（3）332525,,4477kU．
【解析】（1）由22650xyx得2234xy，
∴ 圆1C的圆心坐标为3,0；
（2）设,Mxy，则
∵ 点M为弦AB中点即1CMAB，
∴ 11CMABkk即13yyxx，
∴ 线段AB的中点M的轨迹的方程为223953243xyx；
（3）由（2）知点M的轨迹是以3,02C为圆心32r为半径的部分圆弧EF（如下图所示，
不包括两端点），且525,33E，525,33F，又直线L：4ykx过定点4,0D，
当直线L与圆C相切时，由223402321kk得34k，又
25
03255743DEDFkk
，结合上图可知当332525,,4477kU时，直线
L
：4ykx与曲线C只有一个交点．
【考点定位】圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用．
【名师点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识，转化
与化归，数形结合思想和运算求解能力，属于中高档题，本题（1）（2）问相对简单，但第（2）
问需注意取值范围（533x），对于第（3）问如果能运用数形结合把曲线C与直线L的图
形画出求解则可轻易突破难点．