初一数学乘法公式因式分解拓展题

初一数学乘法公式、因式分解拓展题 1．已知（ x ﹣2015）2+（x ﹣2017）2=34，则（ x ﹣2016）2的值是（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．16

2．已知： a=2014x+2015，b=2014x+2016，c=2014x+2017，则 a 2+b 2+c 2﹣ ab ﹣ac ﹣bc 的值是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．已知甲、乙、丙均为 x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲 与乙相乘为 x 2﹣ 4，乙与丙相乘为 x 2+15x ﹣ 34，则甲与丙相加的结果与下列哪一 个式子相同？（ ）

A ．2x+19

B ．2x ﹣ 19

C ．2x+15

D ．2x ﹣ 15

A ．m 2

B ． m 2

C ． m 2

D ． m 2

A ．是 0

B ．总是奇数

C ．总是偶数

D ．可能是奇数也可能是偶数

6．已知 a+b=3，ab=﹣2，则 a 2+b 2 的值是 ．

7．分解因式： a 3﹣ 4a 2b+4ab 2= ．

8．分解因式： x 3 ﹣xy 2= ．

9．如果（ x 2+p ）（x 2+7）的展开式中不含有 x 2 项，则 p= ． 10．已知 a+b=8， a 2b 2=4，则 ﹣ab= ．

11．观察下列各式的规律：

（ a ﹣ b ）（ a+b ） =a 2﹣ b 2 （ a ﹣ b ）（ a 2+ab+b 2） =a 3﹣b 3 （a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4﹣b 4 ?可得到（ a ﹣b ）

（a 2016+a 2015b+?+ab 2015+b 2016）= ________________________________ ． 12．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律， 称之为“杨辉三角 ”．这 个三角形给出了（ a+b ）n （n=1，2，3，4?）的展开式的系数规律（按 a 的次数 由大到小的顺序）：

请依据上述规律，写出（ x ﹣ ）2016展开式中含 x 2014 项的系数是 ___ ．

13．观察下列等式：

1+2+3+4+?+n= n （ n+1）；

1+3+6+10+?+ n （n+1）= n （n+1）（n+2）；

k 等于（

5． 个完全平方n 2﹣1）计算的结

果（

1+4+10+20+?+ n

（ n+1） 则有： 1+5+15+35+? n 14．如图中的四边形均为矩形， 根据图形， 写出一个正确的等式

15．在一次数学课上，李老师对大家说： “你任意想一个非零数，然后按下列步 骤操作，我会直接说出你运算的最后结果． ”

操作步骤如下： 第一步：计算这个数与 1 的和的平方，减去这个数与 1的差的平方； 第二步：把第一步得到的数乘以 25； 第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．

（ 1）若小明同学心里想的是数 9．请帮他计算出最后结果．

[ （9+1）2﹣（9﹣1）2] ×25÷9

（2）老师说： “同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操 作，得到的最后结果都相等． ”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数 是 a （a ≠ 0）．请你帮小明完成这个验证过程． 17．把一张正方形桌子改成长方形，使长比原边长增加 2 米，宽比原

边长短 1

米．设原桌面边长为 x 米（ x <1.5），问改变后的桌子面积比原正方形桌子的面 积是增加了还是减少了？说明理由．

n+2） = n （ n+1）（n+2）（n+3）；

n+1）（n+2）（n+3）=

=1×19×3÷（24+31）=3．请根据这个规定解答下列问

3） =6x 2+7． ”表示为：abc ；16．若我们规定”表示为：

（x +y ）．例

如k= ；

解方

18．阅读与观察： 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列， 如图 1的“杨辉三角 ”就是其中的一 例．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的《详解九章算法》艺术中，揖 录了如图 1所示的三角形数表，称之为 “开方作法本源 ”图，经观察研究发现，在 两腰上的数位 1 的前提下， 杨辉三角有许多重要的特点， 例如：每个数都等于它 上方两数之和等等．

如图 2，某同学发现杨辉三角给出了（ a+b ） n （n 为正整数）的展开式（按 次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 2，1，恰好对应（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 展开式中各项的系数； 第四行的四个数 3，1，恰好对应着（ a+b ）3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 展开式中各项的系数等等．

（ 1）通过观察， 请你写出杨辉三角具有的任意两个特点； （阅读材料中的特点除 外）

（ 2）计算： 993+3×992+3×99+1；

（3）请你直接写出（ a+b ）4 的展开式．

19．如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差， 那么我们就称这个自然 数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以 2、26均为“麻辣数 ”． 【立方差公式 a 3﹣b 3=（a ﹣b ）（ a 2+ab+b 2）】 （1）请判断 98和 169是否为“麻辣数”，并说明理由；

（ 2）在小组合作学习中，小明提出新问题： “求出在不超过 2016 的自然数中， 所有的 ‘麻辣数'之和为多少？ ”小组的成员胡图图略加思索后说： “这个难不倒图 图，我们知道奇数可以用 2k+1 表示 ?，再结合立方差公式 ?”，请你顺着胡图图 的思路，写出完整的求解过程． 20．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为 “智慧 数”．如：3=22﹣12，7=42﹣32，8=32﹣12，因此 3，7，8 都是“智慧数”．

（1）18 “智慧数 ”，2017 “智慧数”（填“是”或“不是”）；

（2）除 1 外的正奇数一定是 “智慧数”吗？说明理由．

a 的 1， 1，

21．在一次数学课上，李老师对大家说： “你任意想一个非零数，然后按下列步

骤操作，我会直接说出你运算的最后结果． ”

（ 1）若小明同学心里想的是数 9，请帮他计算出最后结果：

[ （9+1）2﹣（9﹣1）2] ×25÷9

（2）老师说： “同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操 作，得到的最后结果都相等． ”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数 是 a （a ≠ 0），请你帮小明完成这个验证过程． 22．阅读与计算：对于任意实数 a ，b ，规定运算 @的运算过程为： a@b=a 2+ab ．根 据运算符号的意义，解答下列问题．

（ 1）计算（ x ﹣1）@（x+1）；

（ 2）当 m@（ m+2）=（m+2）@m 时，求 m 的值．

23．已知多项式 A=（x+2）2+x （1﹣x ）﹣ 9

（1）化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同，请你检査 小明同学的解题过程． 在标出①②③④的几项中出现错误的是 ；正确的解答 过程为 ．

2）小亮说： “只要给出 x 2﹣2x+l 的合理的值，即可求出多项式

给出 x 2﹣2x+l 值为 4，请你求出此时 A 的值．

24．（1）因式分解：（x ﹣y ）（3x ﹣y ）+2x （3x ﹣y ）；

（ 2）设 y=kx ，是否存在实数 k ，使得上式的化简结果为 x 2？求出所有满足条件 的 k 的值．若不能，请说明理由．

25．“十字相乘法 ”能把二次三项式分解因式，对于形如 ax 2+bxy+cy 2 的关于 x ，

y

A 的值． ”小明

的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a 分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1?a2，把y2项系数c 分解成两个因数c1，c2 的积，即

c=c1?c2 ，并使a1?c2+a2?c1 正好等于xy 项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y（）a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy ﹣8y2．

解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）× 2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）

而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 的x，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2 列、第2，3 列和第1，3 列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣

3y2+3x+y+2

解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）× 3，2=1×2；

而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）× 2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣

3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

（1）分解因式：

①6x2﹣17xy+12y2=

②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=

③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=

（2）若关于x，y 的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24 可以分解成两个一次

26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1 张、2张、3 张，你能通过拼图2 形象说明

a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．

27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，?如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：

32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，

70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，

所以32和70都是“快乐数”．

（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19 是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；

（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．28．村料一：我们可以将任意三位数记为，（其中a、b、c 分别表示该数的百

位数字，十位数字和个位数字，且a≠0）．显然=100a+10b+c．

材料二：若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为0，则称之为原

始数，比如123 就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出5 个新的原始数，比如由123 可以产生出132，213、231、312、321 这5 个新原始数，将这6个数相加，得到的和1332称为由原始数123生成的终止数．问题：

（1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：247，638；

（2）若由一个原始数生成的终止数为1110，求满足条件的所有原始数．29．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）

根据前面各式规律，则（a+b）5= ．

30．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）

=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2 中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；

（3）小明同学用3张边长为a的正方形，4 张边长为b的正方形，7张边长分别为a 、b 的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？

（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b 的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）

（18a+45b）长方形，那么x+y+z= ．