八年级上册数学 期中精选试卷综合测试卷(word含答案)

八年级上册数学期中精选试卷综合测试卷（word含答案）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC

=，D、E是斜边BC上两动点，且

∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF.

（1）试说明：△AED≌△AFD ；

（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE的长；

（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长.

【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130

【解析】

试题分析：()1由ABE AFC

≌，得到AE AF

=，BAE CAF

∠=∠，

45,

EAD

∠=45,

BAE CAD

∴∠+∠=45,

CAF CAD

∴∠+∠=即

45.

DAF

∠=EAD DAF

∠=∠，从而得到.

AED AFD

≌

()2由△AED AFD

≌得到ED FD

=，再证明90

DCF

∠=?，利用勾股定理即可得出结论.

()3过点A作AH BC

⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.

2

AH BH BC

===

1

DH BH BD

=-=或7,

DH BH BD

=+=求出AD的长，即可求得2

DE.

试题解析：()1ABE AFC

≌，

AE AF

=，BAE CAF

∠=∠，

45,

EAD

∠=90,

BAC

∠=

45,

BAE CAD

∴∠+∠=

45,

CAF CAD

∴∠+∠=

即45.

DAF

∠=

在AED和AFD中，{

AF AE

EAF DAE

AD AD，

=

∠=∠

=

.

AED AFD

∴≌

()2AED AFD

≌，

ED FD

∴=，

,90.AB AC BAC =∠=?

45B ACB ∴∠=∠=?， 45ACF ，

∠=? 90.BCF ∴∠=?

设.DE x =

,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==

222,FC DC DF +=

()2

2239.x x ∴+-=

解得： 5.x = 故 5.DE =

()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.2

AH BH BC ==

= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.

点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.

2．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．

（1）填空：ABC S ?=______2cm ；

（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；

（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ?的面积是BDE ?面积的两倍，请你求出时间x 的值． 【答案】（1）8;(2)见解析；（3）4

5

或4. 【解析】 【分析】

（1）直接可求△ABC 的面积；

（2）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD ，且BE=CF ，即可证△CDF ≌△BDE ，可得DE=DF ；

（3）分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x 的值． 【详解】 解：（1）∵S △ABC =1

2

?AC×BC ∴S △ABC =

1

2

×4×4=8（cm 2） 故答案为：8

（2）如图：连接CD

∵AC=BC ，D 是AB 中点 ∴CD 平分∠ACB 又∵∠ACB=90°

∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°

∴CD=BD

依题意得：BE=CF

∴在△CDF与△BDE中

BE CF

B DCA

BD CD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△CDF≌△BDE（SAS）

∴DE=DF

（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°

∴△ADN≌△BDM（AAS）

∴DN=DM

当S△ADF=2S△BDE．

∴

1

2

×AF×DN=2×

1

2

×BE×DM

∴|4-3x|=2x

∴x1=4，x2=

4

5

综上所述：x=

4

5

或4

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．

3．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F

(1) 如图1，直接写出AB与CE的位置关系

(2) 如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK

【答案】（1）AB ⊥CE ；（2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）由全等可得∠ECD=∠A ，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB ⊥CE. （2）延长HK 于DE 交于H ，易得△ACD 为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE ，然后证明△DGH ≌△DGE ，所以∠H=∠E ，则∠H=∠B ，可得HK=BK. 【详解】

解：（1）∵Rt △ABC ≌Rt △CED ，

∴∠ECD=∠A ，∠B=∠E ，BC=DE ，AC=CD ∵∠B+∠A=90° ∴∠B+ECD=90° ∴∠BFC=90°，∴AB ⊥CE

（2）在Rt △ACD 中，AC=CD ，∴∠ADC=45°， 又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45° ∵CH ＝DB ，∴CH+CD=DB+CD ，即HD=BC ， ∴DH=DE ，

在△DGH 和△DGE 中，

DH=DE HDG=EDG=45DG=DG ??

∠∠???

∴△DGH ≌△DGE （SAS ） ∴∠H=∠E 又∵∠B=∠E ∴∠H=∠B ， ∴HK=BK 【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.

4．如图，ABC ?是等腰直角三角形，090BAC ∠=，点D 是直线BC 上的一个动点（点

D 与点B C 、不重合），以AD 为腰作等腰直角AD

E ?，连接CE .

（1）如图①，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CE 的位置关系，线段,BC CD ，

CE 之间的数量关系；

（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，试判断线段BC ，CE 的位置关系，线段

,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点D 在线段CB 的延长线上时，试判断线段,BC CE 的位置关系，线段

,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由见解析；（3）

,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由见解析

【解析】 【分析】

（1）根据条件AB=AC ，∠BAC=90°，AD=AE ，∠DAE=90°，判定△ABD ≌△ACE （SAS ），利用两角的和即可得出BC CE ⊥；利用线段的和差即可得出BC CE CD =+；

（2）同（1）的方法根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，∠ACE=∠ABD ，从而得出结论；

（3）先根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出ADB AEC ∠=∠，BD CE =，从而得出结论． 【详解】

（1）∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形， ∴AB＝AC ，AE ＝AD ， 在△△ABD 和△ACE 中

90AB AC BAC DAE AD AE ??

∠∠=????

＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠B ＝∠ACE ，BD=CE, 又∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B+∠ACB=90?,

∴∠ACE +∠ACB=90?,即BC CE ⊥， ∵BC=BD+CD, BD=CE ， ∴BC CE CD =+；

（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由如下： ∵ABC ?、ADE ?是等腰直角三角形，

∴0,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=， ∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠ 即BAD CAE ∠=∠, 在ABD ?和ACE ?中

AB AC BAD CAE AD AE ??

∠=∠???

＝＝ ∴()ABD ACE SAS ??? ∴BD CE = ∵BD BC CD =+ ∴CE BC CD =+， ∴ABD ACE ∠=∠， ∵090ABD ACE ∠+∠= ∴090ACE ACB ∠+∠= ∴BC CE ⊥.

（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由如下： ∵ABC ADE ??、是等腰直角三角形，

∴0

,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，

∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠， 在ABD ?和ACE ?中

AB AC BAD CAE AD AE ??

∠=∠???

＝＝ ∴()ABD ACE SAS ???， ∴ADB AEC ∠=∠，BD CE =， ∵CD BD BC =+， ∴CD CE BC =+，

∵090ADE AED ∠+∠=，即090ADB CDE AED ∠+∠+∠= ∴090AEC CDE AED ∠+∠+∠=， ∴090DCE ∠=，即BC CE ⊥. 【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解题关键是根据利用两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定三角形全等．

5．如图，ABC ?是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线

BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形

DEF

?，连接CF.

（1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，过点D作//

DG AB，DG交BC于点G，求证：CF EG

=；

（2）如图2，当DE反向延长线与AB的反向延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，求证：CD CE CF

=+；

（3）如图3，当DE反向延长线与线段AB相交，且,C F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF=CD+CE，理由见详解.

【解析】

【分析】

(1)由ABC

?是等边三角形，//

DG AB，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG

?是等边三角形，易证? GDE?? CDF(SAS)，即可得到结论；

(2)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证? GDE?? CDF(SAS)，即可得到结论；

(3)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证? GDE?? CDF(SAS)，即可得到结论.

【详解】

（1）∵ABC

?是等边三角形，//

DG AB，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴CDG

?是等边三角形，

∴DG=DC.

∵DEF

?是等边三角形，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，

在? GDE和? CDF中，

∵

DE DF

GDE CDF

DG DC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴? GDE?? CDF(SAS)，

∴CF EG

=；

（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2，

∵ABC

?是等边三角形，//

DG AB，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC.

∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，

∵DE DF GDE CDF DG DC =??

∠=∠??=?

， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF GE =，

∴CD CG CE GE CE CF ==+=+ （3）CF =CD +CE ，理由如下： 过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3， ∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC=GC.

∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，

∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，

∵DE DF GDE CDF DG DC =??

∠=∠??=?

， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF GE ==GC+CE=CD+CE.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.

二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

6．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90o，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相

交于点 F，且∠CAD＝1

2

∠ABE．

(1)求证：BF＝AC；

(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；

(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.

【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.

【解析】

【分析】

（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；

(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：

∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；

(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.

【详解】

（1）设∠CAD=x，

∵∠CAD＝1

2

∠ABE，∠BAC＝90o，

∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，

∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，

∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，

∴∠BAF =∠AFB，

∴BF＝AB；

∵AB＝AC，

∴BF＝AC；

（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90o，∴∠AEB=90°-2x，

∵EF＝EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，

∴∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，

∵BF＝AB,

∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ， ∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，

∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°； （3）由（2）可知：EF ＝EC ， ∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ， ∴AB=BF=AC=3+x ， ∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ， ∵∠BAC ＝90o， ∴222AB AE BE +=， ∴222(3)3(32)x x ++=+，

解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去） ∴BF=3+x=3+1=4. 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.

7．在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，DE =DA (如图1)． (1)求证：∠BAD =∠EDC ；

(2)若点E 关于直线BC 的对称点为M (如图2)，连接DM ，AM ．求证：DA =AM ．

【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC =∠ACB =60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.

（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA ，然后结合（1）可得∠MDC =∠BAD ，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可. 【详解】 解：(1)如图1，

∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =60°， ∴∠BAD =60°﹣∠DAE ，∠EDC =60°﹣∠E ， 又∵DE =DA ， ∴∠E =∠DAE ，

∴∠BAD=∠EDC．

(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，

∵DE=DA，

∴DM=DA，

由(1)可得，∠BAD=∠EDC，

∴∠MDC=∠BAD，

∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，

∴∠MDC+∠ADB=120°，

∴∠ADM=60°，

∴△ADM是等边三角形，

∴AD=AM．

【点睛】

本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.

8．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；

（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．

【解析】

【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；

（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．

【详解】

(1)如图：

（2）在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°

由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ， ∴AB ＝AD ∴∠ABD ＝∠D ∵∠PAC ＝20° ∴∠PAD ＝20°

∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°

()

1

180402

D BAD ??∴∠=

-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60° （3）CE ＋AE ＝BE ．

在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，

在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°

由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ， 设∠EAC ＝∠DAE ＝x ． ∵AD ＝AC ＝AB ，

∴()

1

1802602

D BAC x x ??∠=

-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°．

∴△AME 为等边三角形． ∴AM=AE ，∠MAE=60°， ∴∠BAC=∠MAE=60°， 即可得∠BAM=∠CAE. 在△AMB 和△AEC 中，

AB AC

BAM CAE

AM AE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AMB≌△AEC.

∴CE＝BM.

∴CE＋AE＝BE．

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．

9．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E点．

（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=___°，∠DEC=___°；

（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出

∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

【答案】（1） 25，115；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由见解析；（3）可以；当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD

∠，根据平角的定义，可求出EDC

∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC

∠．

（2）当AB DC

=时，利用AAS可证明ABD DCE

???，即可得出2

AB DC

==．（3）假设ADE

?是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE

=时，

40

ADE AED

∠=∠=?，根据AED C

∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE

=时，求出70

DAE DEA

∠=∠=?，求出BAC

∠，根据三角形的内角和定理求出BAD

∠，根据三角形的内角和定理求出BDA

∠即可；③当EA ED

=时，求出DAC

∠，求出BAD

∠，根据三角形的内角和定理求出ADB

∠．

【详解】

（1）在BAD中，40

B

∠=，115

BDA

∠=，

1801804011525

BAD ABD BDA

∴∠=?-∠-∠=?-?-?=?，

1801801154025

EDC ADB ADE

∠=?-∠-∠=?-?-?=?．

AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，

1801804025115C E DC D E C ?-∠-∠=?-?-?=∠=?． 故答案为：25，115；

（2）当2DC =时，ABD DCE ???．理由如下：

40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=?，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=?，ADB DEC ∴∠=∠．

在ABD △和DCE ?中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，

()ABD DCE AAS ???，2AB DC ∴==；

（3）

AB AC =，40B C ∴∠=∠=?，分三种情况讨论：

①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=?，AED C ∠>∠，∴此时不符合；

②当DA DE =时，即1

(18040)702DAE DEA ∠=∠=?-?=?，

1804040100BAC ∠=?-?-?=?，1007030BAD ∴∠=?-?=?； 1803040110BDA ∴∠=?-?-?=?；

③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=?，1004060BAD ∴∠=?-?=?，180604080BDA ∴∠=?-?-?=?；

∴当110ADB ∠=?或80?时，ADE ?是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．

10．如图，在 ABC 中，已知 AB AC =，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AB 边上一动点，点 P 是 AD 上的一个动点．

（1）若 37BAD ∠=，求 ACB ∠ 的度数；

（2）若 6BC =，4AD =，5AB =，且 CE AB ⊥ 时，求 CE 的长； （3）在（2）的条件下，请直接写出 BP EP + 的最小值． 【答案】（1）53ACB ∠=．（2）245CE =

．（3）

24

5

.

【解析】 【分析】

（1）由已知得出三角形ABC 是等腰三角形，ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线，有

AD BC ⊥，求出ABC ∠的度数，即可得出ACB ∠的度数. （2）根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长

（3）连接CP ，有BP=CP ，BP+EP=EP+CP ，当点E ，P ，C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值，即CE 的长度. 【详解】

解：（1） AB AC =，

ACB ABC ∴∠=∠，

AD 是 BC 边上的中线，

90ADB ∴∠=，

37BAD ∠=，

903753ABC ∴∠=-=， 53ACB ∴∠=．

（2）

CE AB ⊥， 11

22

ABC S BC AD AB CE ∴=?=?，

6BC =，4=AD ，5AB =，

24

5CE ∴=．

（3） 24

5

【点睛】

本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式等，充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.

三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

11．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()2

0a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.

数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存

在m n +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题： （1）()()2

2

25x y +≥__________（0x >，0y >）；2

2

1x x ??

+≥ ???

___________

（0x >）；

（2）求()5

602x x x

+

>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式9

2200726

x x ++-有最小值，并求出这个最小值.

【答案】（1）20xy ，2；（2）3）当92x =时，代数式9

2200726

x x +

+-的最小值为2019. 【解析】 【分析】

（1）根据阅读材料即可得出结论；

（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论； （3）把已知代数式变为9

26201326

x x -++-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论． 【详解】

（1）∵0x >，0y >，

∴()()2

2

2522520x y x y xy +≥??=， ∵0x >，

∴2

2

1122x x x x ??+≥?= ???

； （2）当x 0>时，2x ，5

2x

均为正数，

∴562x x +

≥=

所以，5

62x x

+

的最小值为 （3）当x 3>时，2x ，9

26

x -，2x-6均为正数， ∴9

2200726

x x +

+- 9

2x 6201326

x =-+

+-

20132013≥= 2019=

由()2

0a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值，

∴当92626x x -=

-，即9

2

x =时，有最小值．

∵x 3>

故当92x =

时，代数式9

2200726

x x +

+-的最小值为2019． 【点睛】

本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．

12．（阅读材料）

因式分解：()()2

21x y x y ++++．

解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式()2

2211A A A =++=+． 再将“A ”还原，原式()2

1x y =++．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. （问题解决）

（1）因式分解：()()2

154x y x y +-+-； （2）因式分解：()()44a b a b ++-+；

（3）证明：若n 为正整数，则代数式()()()

2

1231n n n n ++++的值一定是某个整数的平

方．

【答案】（1）()()144x y x y +-+-1．（2）()2

2a b +-；（3）见解析.

【解析】 【分析】

（1）把（x-y ）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；

（2）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解； （3）将原式转化为(

)(

)

2

2

3231n n n n ++++，进一步整理为（n 2+3n+1）2，根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】

（1）()()[][]2

1541()14()(1)(144)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-+-； （2）()()2

2

44()4()4(2)a b a b a b a b a b ++-+=+-++=+-；

（3）原式()(

)

2

2

3231n n n n =++++

()()2

2

2

3231n n n n =++++

()2

231n n =++．

∵n 为正整数，

∴231n n ++为正整数．

∴代数()()()

2

1231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．

【点睛】

本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．

13．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，

()2

22222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.

（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”； （2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．. 【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数 【解析】 【分析】

（1）利用“完美数”的定义可得；

（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值 （3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”； 【详解】 (1)

22228,8+=∴是完美数；

222925,29=+∴是完美数 (2) ()2

22)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数 (3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则(

)()

()()22

22

2

2mn a b c

d ac bd ad bc =++=++-

即mn 也是完美数. 【点睛】

本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．

14．观察下列等式：

22()()a b a b a b -=-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 443223()()a b a b a a b ab b -=-+++ 55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++

完成下列问题：

（1）n n a b -=___________

（2）636261322222221+++??++++= （结果用幂表示）. （3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.

【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76. 【解析】 【分析】

（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；

（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132

(2222221+++??++++)即可得

出结果；

（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果． 【详解】 解：（1）

()()22a b a b a b -=-+，

()()

3322a b a b a ab b -=-++， ()()

443

223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()

55

4

32234a b a b a

a b a b ab b -=-++++，

由此规律可得：

a n -

b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）， 故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）； （2）由（1）的规律可得

（2-1）(

)

63626132

2222221+++??++++=264-1，

∴636261322222221+++??++++=264-1.

故答案是：264-1.

（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.

()()

3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]

∴33a b -=24431?+?（）

=76. 故答案是：76. 【点睛】

此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．

15．图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： 方法2：

（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn 之间的等量关系． ；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a ﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b ）2的值；