数学建模 灾区地面搜索问题的研究

第四届（2011）数学建模竞赛 我们选择的题号是： A题 我们的参赛队号为： 20110403098 1

灾区地面搜索问题的研究 摘要：本文主要研究的是用最短的时间完成给定区域的全境搜索问题。因为受灾面积大，为了保证最新信息能够及时传递，所以将一组队员排成一行向前搜索。 针对问题一，我们将20人间隔40m排列，并把区域分割成149的网格。然后依据多拐一个90°弯所需的额外搜索时间是重复搜索一个方格的两倍，建立一种搜索时间最短的最优路径方案。利用excel算出完成全境搜索所需时间为47.02h。考虑到其重复搜索面积较大，我们建立了优化模型。用最小覆盖原理求出组内每个人的实际搜索半径为

103m，于是把区域分割成1711的网格，得到所需时间为45.67h。我们的模型在满足题设要求的情况下，20个搜索人员能在48小时内搜索完整个区域，不需要再加人 针对问题二，我们根据时间均衡原则和各组人数均衡原则,确定好各组人数与各组区域优化分配方案,于是问题二就转化为问题一,便可采用问题一的模型进行求解。得出增加到50人搜索所需时间为19.6h。

关键词：搜索 网格 最小覆盖 最优路径 2

1问题的背景与重述 1.1问题背景 近几年全球进入地震活跃期。四川汶川、海地的大地震阴影还未散尽，眼前的日本、缅甸又遭强震破坏。地震使灾区的地面交通和通讯系统严重瘫痪，给救灾工作带来诸多不便。设想救灾指挥部紧急派出多支小分队，到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救助人员的准确位置。在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。通常每个搜索人员都带有GPS定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。队伍中还有一定数量的卫星电话，GPS可以让搜索人员知道自己的方位，步话机可以相互进行通讯，卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。 1.2问题重述 下面是一个简化的搜索问题。有一个平地矩形目标区域，大小为11200米×7200米，需要进行全境搜索。假设出发点在区域中心；搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边中点；每个人搜索时的可探测半径为20米，搜索时平均行进速度为0.6米/秒；不需搜索而只是行进时，平均速度为1.2米/秒。每个人带有GPS定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000米。搜索队伍若干人为一组，有一个组长，组长还拥有卫星电话。每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。 现在有如下问题需要解决： 1．假定有一支20人一组的搜索队伍, 拥有1台卫星电话。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的方式，搜索完整个区域的时间是多少? 能否在48小时内完成搜索任务? 如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。 2．为了加快速度，搜索队伍有50人，拥有3台卫星电话，分成3组进行搜索。每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的搜索方式, 搜索完整个区域的时间是多少?

2模型假设与符号说明 2.1模型的假设 (1) 假设搜索人员在搜索的过程中，身上的仪器、步话机，卫星电话都无故障； （2）忽略天气、地理状况等客观因素对搜索人员行进速度的影响； （3）每个GPS地位仪能精准显示每个搜索队员的位置，且每个队员能严格按照规定路径搜索； （4）当搜索人员搜索到目标时，通过步话机直接或间接向组长汇报结果，汇报时间不计入完成任务搜索时间； （5）不考虑搜索人员在搜索过程中的短暂停留和休息时间。 2.2符号说明 搜索区域总面积为S; 长为a; 宽为b；

搜索时的前进速度为1v;

不搜索时的前进速度为2v； 3

队员搜索前进时，可探测直径为d； [ ]表示向下取整；

表示取余；

zt表示沿直线搜索所用时间； ’t表示拐弯所用时间；

t表示全境搜索所用时间。 3问题分析 地震使灾区的地面交通和通讯系统严重瘫痪，给救灾工作带来诸多不便。在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：根据指定区域的具体情况,制定出合适的搜索行进路线，以最短的时间对预定区域进行快速的全面搜索。从实际角度以及可行性出发，震区区域大，要使组长能及时收到并向总部报告，各个队员不能太分散，所以在搜索过程中将队员作为一个整体沿区域扫描线方向进行搜索,从而可导出一组搜索队伍总的搜索宽度。通过适当的人员路线安排，将其等价为可操作的两个具体约束条件，并分别分析了两个约束条件对总搜索时间的影响，指出多拐一个弯，所需的额外搜索时间是重复搜索一个方格的两倍，在设计路线时尽量使向左拐和向右拐的次数相同。并以此为依据，设计了最优搜索路线。同时，推广到分组搜索队伍情况下完成搜索任务的时间计算模型。 3.1分析问题一 在大小为11200米×7200米的平地矩形目标区域，需要进行全境搜索。现有20人，每个人带有GPS定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000米。在分析搜索人员的搜索行程时，我们需对各人员的行走路线进行总体规划。因为只有一个卫星电话，为保持在搜索到目标时各人员与组长正常通话，直接与组长通话的那个人离组长的距离应不超过1000米，所以不另行分组，将20队员作为一个整体排成一排,整体向前平移进行扫描线式搜索保证将最新信息报告指挥部。题目要求我们设计一个耗时最短的搜索方式。最合理的策略关键：一，最短路径原则；二，尽可能的减少重复覆盖面；三，使队员之间所用时间相等；四，减少拐弯次数。 3.2分析问题二 对于问题一，我们合理的分配各人员、规划路径，得到最短时间。在此问题中有50个人，3台卫星电话。对于人力资源的增加，合理安排各组的搜索区域，各组一路回升，直至冲向终点，尽量避免走重复线路。在问题一求解的基础上，我们仍保持原区域的模块化，即9*14方格式的模块。我们不对模块做修改，只对人力资源分配进行规划，同时，也对各组所走的区域进行规划。由问题分析已知，分配三组的人数分别为20，20，10；并分别编号为A,B,C.我们将三组进行独立搜索，尽量使组与组之间分散，且尽量满足人员较多的组向外扩散，人员较少的组向内集中。这样，我们就可以充分利用各组，在搜索过程中，我们既保持三组的独立自主，又讲究团结互助的精神。我们尽量做到三组到达集结点的时间相差很小，如果较大，我们让工作量较小的组分担一些剩余的任务。

4.问题一的模型的建立与求解 4.1模型一的建立 问题中需搜索矩形目标区域长a=11 200 m，宽b=7 200 m，搜索人员的搜索直径d=40 m。在不考虑人员、路线安排等具体因素的情况下，完成该区域全面搜索的理论最短时 1

间为： 111680046.672020abSpshdvdv 上式所得为理论最小值。在实际搜索中，考虑到人员、路线的安排，出发点、集结点的位置设置等具体因素，必然会导致搜索区域的重复行走和队员等待过程中的时间浪费，而区域全面搜索总时间为最后一名队员到达集结点时所用总时间。所以，实际搜索时间必大于该下限值。 简化具体问题的分析，作如下基本设定：考虑到每个队员搜索前进时可探测直径为40 m，可将待搜索区域分割成以800 m为单位长度的14×9的正方形等距网图。在每一网格区域内，将20名搜索队员排成一排同时前进，进行地毯式全面搜索，同时可令拥有卫星电话的队员，处于队列的中间位置，以保证对外通讯的畅通（考虑步话机的通话距离为1 000 m，满足要求）。

图1 全局搜索路线的安排以此基本设定为基础。在上述基本设定下，全局搜索路线的安排若满足下述两个条件：（1）全局搜索路线重复范围小且全覆盖搜索区域；（2）全局搜索路线左右拐弯的次数相等，以保证每位搜索队员所走总路程相等，实现所有队员满负荷工作，且同时到达终点。 条件（1）中，重复搜索一个已搜索的网格所需要的额外时间为：

△1t=800/1.2=667 s； 条件（2）中，在两个网格之间，20个搜索人员排成一排进行地毯式全面搜索时，在一次90°的拐弯中，队列外线队员将比内线队员多走两个搜索宽度的路程，如图5所示，即△S=2×20d=1 600 m。这样最终到达终点时，外线队员将比不拐弯时多走800 m，

内线队员将比不拐弯时少走800 m，从而使总的搜索时间增加了△1t =800/0.6=1 333 s；但经过一左一右两次拐弯，如图1所示，则可实现内外线队员所走路程相等的目的。 通过比较上述结论可知：在搜索过程中，多拐一个90°弯，所需的额外搜索时间是重复搜索一个方格的两倍。所以在满足全覆盖的前提下，当条件（1）中的无重复要求与条件（2）中左右拐弯数相等之间发生冲突时，应优先考虑左右拐弯数相等，再考虑重复区域的情况。最后，以左右拐弯次数相等作为首要约束条件，可设计如图2所示全局搜索路线。设计说明：在这个问题的要求中，条件（1）与（2）要同时满足。因此，在设计时，为达到左右拐弯次数相等的要求，可做出如图所示的走法。 2

图2 具体操作为：搜索队员先以1.2 m/s的速度从区域中心向两边散开，以两人之间40 m的间隔在位于起始点的线上站成一排，排好以后然后共同沿粗线所示全局路线方向进行搜索。途中共15个左拐弯，15个右拐弯，队列内线和外线队员可同时到达终点的线上。这样，就实现了左右转弯数相等的目的。20个队员行走的格数相等，都为14*9=126

格。整个搜索过程所花时间等于搜索的时间1t,分散的时间2t和集结的时间3t之和,

其中 1t=126×800/1v， 2t=400/2v, 3t=400/2v

zt=123ttt =126×800/1v+400/2v+400/2v

=168666.67 s=46.85 h， 能够在48 h内完成搜索任务，且仅比理论最短时间多了800/1v=666.67 s。