C4中值定理与洛必达法则
药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片
3
例2-29 求 lim sin x
解
x0 x
(0) 0
lim
x0
sin x
x
lim
x0
(sin x) ( x)
lim
x0
cos 1
x
cos 0
1
注意：在求极限过程中，洛必达法则可多次使用， 但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。
1 cos x
例2-30 求 lim x0
0
例2-31 求 lim x ln x (0)
解
x0
1
lim x ln x lim ln x lim x lim(x) 0
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
注意：此题若变形为
x 1
，则转化成 0 型 0
ln x
但
x ( 1 ) ln x
1 1 x(ln
解
3x2
lim1 cos x x0 3x2
lim sin x x0 6x
lim cos x x0 6
1 6
0 , , 00,1 , 0 型未定式解法
方法：把它们转化成 0 或 型后，再用洛必达法
则求极限。
0
0 型
方法 0 1 , 或 0 0 1 .
则中条件（1）、（2），且 f (x)=2e2x, g (x)=3 。
由于 lim f (x) lim 2e2x 2 x0 g(x) x0 3 3
所以，根据洛必达法则，
lim e2x 1 lim f (x) lim 2e2x 2
x0 3x
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种常用于求解极限的方法，该方法是由法国数学家Guillaume de l'Hôpital在1696年提出的。
洛必达法则适用于形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
具体来说，如果对于函数$f(x)$和$g(x)$，当$x \to a$时，$f(x)$和$g(x)$分别趋于0或无穷大，且$f'(x)$和$g'(x)$都存在（其中$f'(x)$和$g'(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的导数），则有：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，等式右边的极限表示对$\frac{f'(x)}{g'(x)}$求导后再取$x \to a$的极限。
这个法则的推导基于泰勒展开的思想。
我们知道，对于充分光滑（即具有连续的导数）的函数，它在其中一点周围可以用泰勒级数展开。
假设$f(x)$和$g(x)$在$a$的邻域内都可展开，则有：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 +\cdots$$$$g(x) = g(a) + g'(a)(x-a) + \frac{1}{2}g''(a)(x-a)^2 +\cdots$$根据极限的定义，我们希望求解的极限是$x \to a$时的极限，因此可以将$x-a$看作一个无穷小量。
我们忽略展开式中的高阶无穷小量，得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \approx \lim_{x \to a}\frac{f(a) + f'(a)(x-a)}{g(a) + g'(a)(x-a)}$$将$a$代入极限中，我们可以得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(a)}{g(a)}$$上述结果是前提条件$f(a)=g(a)=0$下的结果，而当$f(a) \neq 0$或$g(a) \neq 0$时，我们可以对$\frac{f(x)}{g(x)}$做除法的等价变形，具体来说，我们可以将除法变化为乘法，然后再求极限。
拉格朗日中值定理洛必达法则综述
讨论分析
这种通过分子与分母分别求导来确定未定式的
极限值的方法称作洛必达法则． 说明：如果把极限过程换成：
x x0 , x x0 , x , x , x
结论仍然成立．
讨论分析
例7 求 lim
x 0
e
3x
1 x
0 解 这是 型未定式． 由洛必达法则，得 0
lim
则
显然，f ( x ) 在 [ x1 , x2 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )( x1 x2 )
由于 f ( ) 0, 则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0, 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 即函数f (x)在区间 I 上任意两点的函数值相等， 故 f (x) 在区间 I 上为一常数．
曲线弧 AB内部每一点处都有不垂直于 x 轴的切线. 连接端点 A 和 B 作弦 AB , 则 f ( ) K AB f (b ) f (a ) . ba
讨论分析
2 f x x 2 x 在 [0, 2] 上满足拉格朗日定理么？ 函数 例1
如果满足，求出使定理成立的 的值。 解
讨论分析
2、 型未定式
定理3-8 设
f ( x ), g( x ) 在点 x0
的左右近旁可导，且
g( x ) 0, 又满足条件：
(1) lim f ( x ) , lim g( x ) ;
x x0 x x0
；
f ( x ) (2) lim 存在（或为无穷大）， x x0 g ( x )
2
2 ln x 1 = lim = 2 lim 0 x x x x
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析一、微分中值定理的证明和应用1.拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理是根据泰勒展开式推导而来。
设函数f(x)在区间[a,b]上满足条件，则对于任意的x∈(a,b)，都可以将f(x)展开成泰勒级数，即：f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)其中c∈(a,b)。
因此，当x在(a,b)范围内变化时，根据泰勒展开式可知，存在至少一个c使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2.拉格朗日中值定理的应用：拉格朗日中值定理常用于证明函数的性质以及求解函数的近似值，如用于证明介值定理、判定函数单调性、证明零点存在等。
它也可以用于求解极值问题，通过求解函数的导数等于零的方程，找到函数的极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明柯西中值定理。
3.柯西中值定理的证明：柯西中值定理是微分中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在至少一点c∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的证明可以通过构造辅助函数来实现。
设辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]，然后根据辅助函数的性质，利用拉格朗日中值定理证明存在一些c，使得h'(c)=0。
进而，可以得到[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
4.柯西中值定理的应用：柯西中值定理常用于证明函数之间的关系以及求解函数的极值问题。
例如，可以用柯西中值定理来证明洛必达法则，即如果两个函数f(x)和g(x)在x->a时都趋于零，且g'(x)≠0，则f'(x)/g'(x)在x->a时也趋于零。
拉格朗日中值定理洛必达法则.
一、案例引入
二、讨论分析
1、拉格朗日中值定理 2、洛必达法则
案例引入
在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外 如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处 的切线水平的.
y P
A
B
x
O a b
讨论分析
一、拉格朗日（Lagrange）中值定理 1、 定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理） 如果函数 f (x)满足下列条件： （1）在闭区间[a, b]上连续;
矛盾, 故假设不真!
讨论分析
例6 若方程
方程 证明：令 在
有正根
证明：
内必定有根。 则 在 在 上 存在，且
连续，
所以
在
满足罗尔定理的条件。
上至少存在一点 的根。
根据罗尔定理可知，在 使 即 是方程
讨论分析
二、洛必达法则 当
x x0 （或 x ）时，如果两个函数
那么极限 f ( x ), g( x ) 都是无穷小或都是无穷大，
f x x 2 x是初等函数， 故在闭区间[0, 2]
2
上连续，在开区间(0, 2)内可导， 所以函数在[0, 2]上满
f (b ) f (a ) f ( ) 足拉格朗日中值定理的条件． L-中值定理： ba
又 f ( x ) 2 x 2, 令 f (2) f (0) f ( ) 2 2
则
显然，f ( x ) 在 [ x1 , x2 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )( x1 x2 )
由于 f ( ) 0, 则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0, 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 即函数f (x)在区间 I 上任意两点的函数值相等， 故 f (x) 在区间 I 上为一常数．
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数地应用
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数地应用罗尔定理（Rolle's Theorem）是微积分中一个非常重要的定理，其形式如下：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，且满足f(a) = f(b)，那么在(a,b)上至少存在一个数c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理的主要应用是证明函数在其中一区间上存在零点。
它通过连续性和可导性的条件，保证了函数在区间内必然存在导数为零的点。
这个定理在许多数学分析证明中非常有用。
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分中另一个重要的定理。
它表述如下：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，那么在(a,b)上至少存在一个数c，使得f(b) -f(a) = f'(c)(b - a)。
柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）是拉格朗日中值定理的推广形式。
它表述如下：如果函数f和g在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，并且g'(x)不为零，那么在(a,b)上至少存在一个数c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种用于解决极限问题的方法。
对于函数f(x)和g(x)，如果它们在特定点a的一些去心领域内可导，并且g'(x)不为零，如果f(a) = g(a) = 0或者f(a) = g(a) = ±∞，那么当x趋于a时，如果函数f(x)/g(x)存在极限，那么可以通过求导的方式，求出这个极限的值。
洛必达法则的应用主要是解决函数的不定型极限问题。
当直接计算极限时遇到不定型时，可以尝试将函数化为f(x)/g(x)的形式，并运用洛必达法则，求出极限的值。
4.1-4.3 简介 中值定理、洛必达法则
2020年10月26日星期一
二、Lagrange定理 定理(微分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导，
则 (a,b)，使 f ( ) f (b) f (a) ba
分析证明
y
C1
y=f(x) B
C2 A
O a
hbx
11
2020年10月26日星期一
f ( ) f (b) f (a) (a,b)
5
2020年10月26日星期一
若 x 0, 则有 f (ξ x) f (ξ ) 0; x
若 x 0,
则有 f (ξ
x) f (ξ ) 0; x
f(
)
lim
x0
f ( x)
x
f ( ) 0;
f(
)
lim
x0
f ( x)
x
f ( ) 0;
f (ξ )存在, f (ξ ) f (ξ ).
证 f (x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f (x) M. 由此得 f (x) 0. ξ (a,b), 都有 f (ξ ) 0.
(2) 若 M m. f (a) f (b).最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点ξ 使 f (ξ ) M. f (ξ x) f (ξ ), f (ξ x) f (ξ ) 0,
1
2020年10月26日星期一
§4.1最优选择简介
最优选择问题即最值问题。 就经济方面来说，人们总是希望用最小的成本获得最大 的利润。为此，我们需要制订价格以达到最大的销售量。那 么，我们怎样才能取到这些最值呢？从数学上说，这就是求 函数的最大值、最小值问题，即最优化问题。 导数发展的起源问题之一就是求最值问题。当微积分发 展起来以后，求最值问题一般都是通过求导运算进行的。这 一章将详细讨论最值的求法以及相关的单调、凹凸等问题。
高等数学第一节 微分中值定理 洛必达法则
2 1. 2
2020/4/30
例 14 计算l i m 1x2 . x x
解 所求极限为 “ ” 型若. 不断运用法则，则有
1x2
( 1x2)
lim
lim
lim
x
x x
x (x)
x 1 x2
l i m (x)
1x2
lim
.
( x 1x2 ) x x
解 显然, f (x) 在区间 [1, 2]，[2, 3] 上都满
足罗尔定理，所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)， 使 f (x1) = 0， f (x2) = 0， 即方程 f (x) = 0 至少
有两个实根，又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个 实根，且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.
”型未定型，我们连续 n
x l ie x m x n x l in m e x n 1 x x l in ( m n e 1 x ) x n 2 x l ie n x m ! 0 .
2020/4/30
三、其他类型未定型极限的计算
未定型的类型虽然很多， 但是
“0
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、其他类型未定型极限的计算
2020/4/30
一、微分中值定理
罗尔定理 如果函数 y = f (x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b)内可导， 且在区间端点处 的函数值相等，即 f (a) = f (b) ，那么至少存在一点
exco xs exsixn
第三章 2. 洛必达法则 泰勒中值定理
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) ( x − x0 )n+1(ξ 在 x0与 x之间). 之间) 其中 Rn( x) = (n + 1)!
x
例. 求
1 1 1x = lim ⋅ α = lim α −1 x→+∞ α x→+∞ α x x
=0
易证 lim ln βx = 0 lim x = 0 (β , λ, µ > 0) λx µ
x→+∞
µ
x
x→+∞
e
由慢到快依次是： 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 对数函数、幂函数、 指数函数. 指数函数 这一点从图上 即可看出. 即可看出
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间 ) (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ ) Rn (x) = (x − x0 )n+1 (n +1)! M ≤ | x − x0 |n+1 (n +1)!
Rn ( x ) 0 及 lim n = x → x0 ( x − x ) 0
2
化简， 化简，消去零因子
洛必达法则
定理 1：设 f ( x ), g ( x )在 点 x 0的某个去心邻域内 可导且 g ′( x ) ≠ 0, 满足
(1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0;
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。