在坐标系中构造平行四边形
专题 平行四边形的性质与判定(学生版)
专题 平行四边形的性质与判定【能力提升】例1.如图已知△ABC ，分别以△ABC 的三边为边在△ABC 的同侧作三个等边三角形：△ABE ．△BCD ．△ACF ，求证：四边形DEAF 是平行四边形．例2.（1）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE ＝4，AF ＝6，AD +CD ＝20，则平行四边形ABCD 的面积为 ．（2）在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0），C 为顶点构造平行四边形，请你写出满足条件的点C 坐标为 ．例3.一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是_______. 例4.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、点E 为边AB 上的点，且AD ＝BE ，点M 、N 分别为边AC 、BC 上的点．已知：AB ＝a ，DE ＝b ，则四边形DMNE 的周长的最小值为 ．例5.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止（同时点Q 也停止），在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有多少次？例6.理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM＝；（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM＝；（3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM＝；拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．实践应用：如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．【课后巩固】1．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ．如果△CDM 的周长为8，那么▱ABCD 的周长是 ．2.△D、G上，点E 、F分别在边BC 上，若BE ＝DE ，CF ＝FG ，则∠A 的大小为 度．3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（ ）A ．28或32B ．28或36C ．32或36D ．28或32或364.如图，△ABC 是等边三角形，P 是形内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 的周长为18，则PD +PE +PF ＝（ ）A ．18B ．9C ．6D ．条件不够，不能确定5.如图，已知▱ABCD 的顶点A 是直线l 上一定点，过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，AM ＝1，MN ＝3，则对角线AC 长的最小值为 ．。
平面直角坐标系平行四边形对角线公式
平面直角坐标系平行四边形对角线公式（最新版）目录1.平行四边形对角线公式的背景和意义2.平行四边形对角线公式的推导过程3.平行四边形对角线公式的应用实例4.结论正文一、平行四边形对角线公式的背景和意义在平面直角坐标系中，平行四边形是一个基本的几何图形。
在解决一些与平行四边形相关的几何问题时，了解平行四边形对角线公式是非常有帮助的。
平行四边形对角线公式描述了平行四边形对角线的长度与两边长度之间的关系，具有重要的理论意义和实际应用价值。
二、平行四边形对角线公式的推导过程我们可以通过向量法来推导平行四边形对角线公式。
假设平行四边形的四个顶点分别为 A(x1, y1)、B(x2, y1)、C(x2, y2) 和 D(x1, y2)，对角线 AC 和 BD 的长度分别为 a 和 b。
根据向量加法，向量 AC 可以表示为 (x2 - x1, y2 - y1)，向量 BD 可以表示为 (x1 - x2, y2 - y1)。
那么，根据向量的模长公式，我们可以得到：|AC| = √[(x2 - x1) + (y2 - y1)]|BD| = √[(x1 - x2) + (y2 - y1)]通过平行四边形的性质，我们知道对角线互相平分，即 AC = BD。
将上述两个公式代入，我们可以得到：√[(x2 - x1) + (y2 - y1)] = √[(x1 - x2) + (y2 - y1)]整理后，我们可以得到平行四边形对角线公式：a = (x2 - x1) + (y2 - y1)b = (x1 - x2) + (y2 - y1)三、平行四边形对角线公式的应用实例假设一个平行四边形的边长为 3 和 4，我们需要求对角线的长度。
根据平行四边形对角线公式，我们可以得到：a = (4 - 3) + (y2 - y1) = 1 + (y2 - y1)b = (3 - 4) + (y2 - y1) = 1 + (y2 - y1)由于 a = b，我们可以得到：1 + (y2 - y1) = 1 + (y2 - y1)这个方程说明平行四边形的对角线长度相等。
人教版七年级下册数学第七章 平面直角坐标系含答案(完整版)
人教版七年级下册数学第七章平面直角坐标系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，∠ XOY=900,OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB ⊥OY,PC⊥OW．若OA+OB+OC=1，则OC=( )．A.2-B. -1C. -2D.2 -32、如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（）A.（3，2）B.（﹣2，﹣3）C.（2，3）或（﹣2，﹣3）D.（3，2）或（﹣3，﹣2）3、如图，已知棋子“卒”的坐标为（﹣2，1），棋子“马”的坐标为（1，1），则棋子“炮”的坐标为（）A.（0，4）B.（0，1）C.（1，0）D.（4，0）4、如图，把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中，已知眼睛A.B的坐标分别为（﹣2，3），（0，3），则嘴C的坐标是( ）A.(1，-1)B.(-1，1)C.(0，-1)D.(-1，0）5、如图是小刚画的一张脸，他对妹妹说“如果我用（1，3）表示左眼，用（3，3）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）A.（2，1）B.（1，2）C.（2，2）D.（2，3）6、如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A.（3，-1）B.（-1，-1）C.（1，1）D.（-2，-1）7、如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A、B、C、D、E的坐标分别是（0，a）、（﹣3，2）、（b，m）、（﹣b，m），则点E的坐标是（）A.（2，﹣3）B.（2，3）C.（3，2）D.（3，﹣2）8、如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（）A.（﹣1，2）B.（﹣9，6）C.（﹣1，6）D.（﹣9，2）9、已知点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（）A. B. C.D.10、如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A.（2，2）B.（1，2）C.（﹣1，2）D.（2，﹣1）11、课间操时，小聪、小慧、小敏的位置如图所示，小聪对小慧说，如果我的位置用（0，0）表示，小敏的位置用（7，7）表示，那么你的位置可以表示成（）A.（5，4）B.（4，4）C.（3，4）D.（4，3）12、根据下列表述，能确定位置的是（）A.某电影院第2排B.南京市大桥南路C.北偏东30°D.东经118°，北纬40°13、已知A（2，﹣5），AB平行于y轴，则点B的坐标可能是（）A.（﹣2，5）B.（2，6）C.（5，﹣5）D.（﹣5，5）14、雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息﹣﹣距离和角度，目标的表示方法为（γ，α），其中，γ表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点A，B，C处有目标出现，其中，目标A的位置表示为A（5，30°），目标B的位置表示为F （4，150°）．用这种方法表示目标C的位置，正确的是（）A.（﹣3，300°）B.（3，60°）C.（3，300°）D.（﹣3，60°）15、若y= + ﹣3，则P（x，y）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题(共10题，共计30分)16、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为、，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当是等腰三角形时，点Р的坐标为________.17、在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，如果点Q(x，)的纵坐标满足，那么称点Q为点P的“关联点”．请写出点(3，5)的“关联点”的坐标________；如果点P(x，y)的关联点Q坐标为(－2，3)，则点P的坐标为________．18、如图所示，点、B（-1，1）、，则的面积是________．19、如图，在平面直角坐标系中，，是线段上的一个动点，则的最小值是________.20、在平面直角坐标系中,有点，且在轴上有另一点,使三角形的面积为，则点坐标为________.21、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是（﹣1，1），现将△ABC平移，使点A变换为A′，点B′、C′分别是B、C的对应点，请画出平移后的△A′B′C′，并直接写出点B′、C′的坐标：B′（________）、C′（________）．22、如图，A（m，0），B（0，n），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC，则C点的坐标为________．（用字母m、n表示）23、如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A与D在函数（）的图象上，轴，垂足为C，，点B的坐标为，则k的值为________．24、平面直角坐标系xOy中，已知线段AB与x轴平行，且AB＝5，若点A的坐标为（3，2），则点B的坐标是________．25、如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为________．三、解答题(共6题，共计25分)26、下图是一个动物园游览示意图，请你设计描述这个动物园图中每个景点位置的一个方法，并画图说明．27、正方形的边长为2，建立合适的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．28、如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成，依此类推，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）…B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…①观察每次变化后的三角形，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为， B4的坐标为②若按上述规律，将三角OAB进行n次变换，得三角形△OAn Bn，比较每次变换三角形顶点的变化规律，探索顶点An的坐标为，顶点Bn的坐标为．29、如图，已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x 轴上行驶，从原点O出发．（1）汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出此点的坐标；（2）汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出此点的坐标；（3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？30、建立平面直角坐标系，依次描出点A（-2，0），B（0，-3），C（-3，-5），连接AB、BC、CA．求△ABC的面积．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、D4、B5、A6、D7、C8、A9、A10、A11、B12、D13、B14、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共6题，共计25分)27、28、29、30、。
平行四边形判定 (证明题)
AE FBCDABCDF EG平行四边形的判定1.平行四边形的判定方法：边：1.两组是平行四边形。
2.两组是平行四边形。
3.一组是平行四边形。
角： 4.两组是平行四边形。
对角线：5.是平行四边形。
1.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成了一个四边形．线段AD 和BC 的长度有什么关系？2.已知：如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE＝CF．求证：四边形ABCD 是平行四边形．3.如图,平行四边形ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E,AF=CG,求证：DF=BG4.已知如图所示，在四边形ABCD 中，AB CD BC AD E F ==，，、是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：BE DF =．5.在平行四边形ABCD 中，E、F 为对角线BD 上的三等分点。
求证：四边形AFCE 是平行四边形。
6.已知，如图所示，在平行四边形ABCD 中，BN=DM,BE=DF.求证：四边形MENF 是平行四边形．7.如图所示，平行四边形ABCD 中，AC BD 、相交于点O E F ，、在对角线BD 上，且BE DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形．8.如图，在平行四边形ABCD 中，AD=BC，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为E、F,AE=CF，求证：四边形ABCD 是平行四边形。
9.已知：如图，四边形AEFD 和EBCF 都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形．10.如图，在ABCD 中，点E，F 分别在AD，BC 边上，且AE＝CF.求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE 是平行四边形.AEBCFDO ＮＡＭＤＦＣＢＥ11.如图在平面直角坐标系中，点A(-1,0)B(2,0)C(0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能做平行四边形顶点坐标的是()A(3，1)B(-4，1）C(1,-1)D(-3,1)12.如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．13.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A 点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B 点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：（1）BC=cm；（2）当t为多少时，四边形PQCD成为平行四边形。
4平行四边形的判定定理(1) (巩固训练)
yxO .AB. 4.4 平行四边形的判定定理(1)姓名 班级1. 平行四边形的判定定理1：一组对边 的四边形是平行四边形.2. 平行四边形的判定定理2：两组对边 的四边形是平行四边形.基础自测1..不能判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是…………………（ ） A. AB ∥CD ，AB=CDB. AB=CD ，AD=BCC. AD=BC ，∠A =∠CD. AB ∥CD ，∠B =∠D2.如图，在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0）为顶点， 构造平行四边形，下列各点中不能．．作为平行四边形顶点坐标的是（ ） A. (－3，1) B.(4，1) C. (－2，1) D. (2，－1)3. 如图，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△AOD 平移至△BEC 的位置，则图中与OA 相等的其它线段有……………………（ ） A.1条 B.2条C.3条D.4条4. 如图，已知AD =BC ，•要使四边形ABCD 为平行四边形，需添加条件是_______. （只需填写一个）5. 如图，BD 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形).6. 将两个全等的三边各不相等的三角形按不同方式拼成各种四边形，其中平行四边形有________个.7. 如图，已知在四边形ABCD 中，AD =BC ，∠D =∠DCE . 求证：四边形ABCD •是平行四边形.8. 只用一把刻度尺与圆规，作□ABCD ，使AB =3cm ，BC =4cm ，∠B =45°.（不写作法，保留作图痕迹）9.如图，点B E C F ，，，在一条直线上，AB=DE ，B DEF ∠=∠. BE=CF . 求证：（1）ABC DEF △≌△；（2）四边形ABED 是平行四边形.ＡＤＣＥＢ Ｆ10. 已知四边形ABCD ，从下列条件中：(1)AB ∥CD ，(2)BC ∥AD ；(3)AB =CD ；（4）BC =AD ；(5)∠A =∠C ；(6)∠B =∠D . 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有…………………（ ）A. 4种B. 9种C. 13种D. 15种11. 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD >BC ，BC =6cm ，P ，Q 分别从A ，C 同时出发，P 以1cm/秒的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/秒的速度由C 向B 运动， 秒后四边形ABQP 成为平行四边形.12.在平面直角坐标系中，有A （0，1），B （1 ，0），C （1，0）三点坐标. 若点D 与A ，B ，C 三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标 .13. 请作出如图的□ABCD 关于AB 所在直线的轴对称图形□ABC /D /，连结CC /，DD /，请判断四边形CC /DD /是不是平行四边形，并说明理由.14.如图，已知在□ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，BE ＝DF ，点G 、H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG ＝CH ，连接GE 、EH 、HF 、FG .求证：四边形GEHF 是平行四边形.创新应用15. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，M 、N 分别从D 到A 、从B 到C ，速度相同，E 、F 分别从A 到B 、从C 到D ，速度相同. 他们之间用橡皮绳连紧. （1）没有出发时，这两条橡皮绳有何关系？（2）若同时出发，这两条橡皮绳还有（1）中的结论吗？为什么？参考答案DCBANMFEDCBA1.C ；2.C ；3.B ；4。
直角坐标系中平行四边形对角线法则
直角坐标系中平行四边形对角线法则
【原创版】
目录
1.平行四边形对角线法则的定义
2.平行四边形对角线法则的性质
3.平行四边形对角线法则的应用
4.总结
正文
一、平行四边形对角线法则的定义
在直角坐标系中，一个平行四边形的对角线是指连接不相邻顶点的线段。
平行四边形对角线法则指的是，对于一个平行四边形，其对角线互相平分，且对角线的中点连线互相垂直。
二、平行四边形对角线法则的性质
1.平行四边形的对角线互相平分：平行四边形的两条对角线，分别连接不相邻的顶点，它们互相平分，即对角线的中点重合。
2.对角线的中点连线互相垂直：平行四边形对角线的中点连线，互相垂直，且长度相等。
三、平行四边形对角线法则的应用
平行四边形对角线法则在几何学中有广泛的应用，特别是在解决一些与平行四边形相关的几何问题时，使用对角线法则可以简化问题，提高解题效率。
例如，在计算平行四边形的面积时，可以利用对角线法则求出对角线的长度，然后应用面积公式求解。
四、总结
在直角坐标系中，平行四边形对角线法则是一个基本的几何性质，掌
握这一性质，对于解决一些复杂的几何问题有很大的帮助。
中点坐标公式在平行四边形存在性问题中的应用
是 平行四边形若存在，求点P坐标，若不存在，
说明理由。
YC
A′
BO A
X
谢谢大家的参与!
的和相等
III） 知识应用：
热身训练
如图：点A（-2,3），B（1，2）； 1以A,B为顶点的平行四边形有 个（试一试） 2当P,Q分别在x轴和y轴上，构成 个平行四边形，画图试一试。 3你能求出2中P,Q的坐标吗？
触摸中考
例：如图抛物线y=-
2 3
x2
+
16 3
x
的图象交x轴与点O,A，点B（0，6），
Y
PB
A
O
x1
x x2
X
x = x1 + x2 2
y = y1 + x2 2
2.平行四边形的性质；两组对边分别平行相等，对角线互相平分
II）知识探究
平行四边形ABCD，设A（x 1 ,y 1 ），Bx 2 ,y 2 ）
，C（x 3 ,y 3 ）,D（x 4 ,y 4 ）,则其对角线交点Q
的坐标可以表示为Q（
中点坐标公式在平行四边形存在性问题中的应用平行四边形的面积公式平行四边形面积公式平行四边形对角线公式平行四边形的周长公式平行四边形公式平行四边形周长公式平行四边形的公式平行四边形法则公式平行四边形体积公式
中考高效复习小专题
坐标与几何——平行四边形存在性问题
实验中学 周金林
坐标与几何专题，其包涵知识覆盖面较广， 综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法 灵活，对分析问题和解决问题的能力要求较高， 是近几年我市中考的“热点”，更是 难点。 存在性问题类型很多，今天这节课只研究
IV）知识总结
数形相结合 抓定点坐标，看动点特征。 设动点坐标，用中点公式。
二次函数专题复习——平行四边形存在性问题(盲解法)
是平行四边形，写出相应的点P的坐标. 已知B (4，0)，O（0，0），设Q (2, a)，P(m, -0.25m2+m).
①点B与点O相对
4+0= 2+m 0+0= a-0.25m2+m
m= 2 a= -1
②点B与点Q相对
4+2= 0+m 0+ a = 0-0.25m2+m
m= 6 a= -3
③点B与点P相对
2m
a
③点A与点P相对
0 a
4 3
a
1 3
a
0
a
m m2
2m
a
m a
5 2 15 8
（舍）
m
1 2
a
3 8
几何画板演示
二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动” ，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对 点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。这种从“代数”的角度思 考解决问题的方法，动点越多，优越性越突出！
二次函数专题复习 ——平行四边形的存在性问题
二、引入：对点法
如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为
A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中任意3个顶点 的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？ 平行四边形有哪些性质？
(x1，y1)
(x4，y4) (x3，y3)
是平行四边形，写出相应的点P的坐标. 已知B (4，0)，O（0，0），设Q (2, a)，P(m, -0.25m2+m).
①点B与点O相对 4+0= 2+m
m= 2
②点B与点Q相对 4+2= 0+m
平面直角坐标系平行四边形对角线公式
平面直角坐标系平行四边形对角线公式平面直角坐标系平行四边形对角线公式简介在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标计算得出平行四边形的对角线长度。
本文将介绍平行四边形对角线的公式，并通过例子详细解释说明。
公式一：平行四边形对角线公式对于平行四边形ABCD，其对角线AC的长度可以通过以下公式计算：AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，A(x1, y1)和C(x2, y2)分别是平行四边形的两个顶点的坐标。
例子一：计算平行四边形对角线长度现有平行四边形ABCD，其中A点的坐标为A(2, 3)，C点的坐标为C(5, 7)。
我们可以通过公式计算出对角线AC的长度。
首先，将坐标代入公式：AC = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)接着，进行计算：AC = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5所以，平行四边形ABCD的对角线AC的长度为5。
公式二：平行四边形的另一对角线公式对于平行四边形ABCD，其另一对角线BD的长度可以通过以下公式计算：BD = √((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2)其中，B(x3, y3)和D(x4, y4)分别是平行四边形的另外两个顶点的坐标。
例子二：计算平行四边形另一对角线长度现有平行四边形ABCD，其中B点的坐标为B(1, 4)，D点的坐标为D(9, 5)。
我们可以通过公式计算出对角线BD的长度。
将坐标代入公式：BD = √((9 - 1)^2 + (5 - 4)^2)进行计算：BD = √(8^2 + 1^2) = √(64 + 1) = √65所以，平行四边形ABCD的另一对角线BD的长度为√65。
结论通过以上例子，我们可以看出，平行四边形的对角线长度可以通过坐标计算得出。
公式一适用于计算任意平行四边形的对角线，而公式二适用于计算另一对角线的长度。
使用这些公式，我们可以方便地计算平行四边形的对角线，从而在几何学和图形计算中起到重要的作用。
平行四边形存在问题的坐标求法
平行四边形存在问题的坐标求法平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．如图所示，平行四边形ABCD记作□ABCD．平行四边形的判定方法：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【方法总结】（1）平行四边形的性质：利用边相等、平行，或者对角线互相平分，可直接得出点的坐标；（2）构造全等三角形：求点坐标时，可以作坐标轴的垂线，构造直角三角形，利用平行四边形的性质证明全等，并求出坐标；（3）平移：平行四边形可以看出一条边沿着一个方向平移得到的平行，因此点的坐标可以利用平面直角坐标系中平移的特点建立等量关系，分三种情况讨论：AB为对角线，AC为对角线，AD为对角线；（4）中点坐标公式：根据平行四边形对角线互相平分，可得坐标关系．前两种是利用几何的方法，需要先画图再求坐标；后两种是代数的方法，可以盲求，只需分类讨论，设出点坐标，建立方程求解即可．大家可以利用下面的例题尝试一下不同的方法。
【典型例题】如图，抛物线y＝1/2x²＋x－3/2与x轴相交于A，B两点，顶点为P．（1）求点A，B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．函数综合题中，存在性问题是各地中考的热点。
这类题目中图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，且有一定的难度。
为此对比了各种方法，发现借用平移坐标方法法可以更为巧妙地解出平行四边形的存在性问题。
如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点。
平面直角坐标系中是否存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D的坐标。
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-可编辑修改-
在坐标系中构造平行四边形
一．知识复习：
（一）平行四边形的定义
（二）平行四边形的性质
（三）平行四边形的判定:
二．在坐标系中构造平行四边形
（一）．三个定点，一个动点
1． 已知A、B，在坐标平面内确定一个点P，使得以O、A、B、P为顶点的四边形是平行四
边形
（1）A（2,0），B（0,1） （2）A（2,0），B（1,1）
x
y
B
A
x
y
B
A
x
y
C
B
A
。
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2. 已知A（2，-1）、B（1,1），C（3,3），
在坐标平面内确定一个点P，使得以A、B、
C、P为顶点的四边形是平行四边形
（二）．两个定点，两个动点（对动点的位置有要求）
1. 两个动点均在直线上
（1）已知：点B（2,0）和直线3yx，点C在y轴上，点P在直线3yx上，
若以O、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P的坐标。
（2） 已知：点A（2,0）、B（0,1）和直线3yx，点C
在坐标轴上，点P在直线3yx上，若以O、B、C、P为
顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P的坐标。
2. 一个动点在直线上，另一个动点在抛物线上
x
y
BO
x
y
B
AO
x
y
BO
x
y
B
AO
。
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（1） 已知：抛物线232yxx与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），点C在抛
物线的对称轴上，点P在抛物线上，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求出
符合条件的点P的坐标。
（2）已知：抛物线243yxx与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于
点D，点C在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，若以D、B、C、P为顶点的四边形是平
行四边形，求出符合条件的点P的坐标。
x
y
BOA
xyDBOAxyDBOxyBOAx
y
D
BOA
。
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（3）已知：抛物线245yxx与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于
点D，点C在y轴上，点P在抛物线上，若以B、D、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
求出符合条件的点P的坐标。
x
y
D
BO
。
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（4） 已知：抛物线245yxx与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交
于点D，点C在x轴上，点P在抛物线上，若以B、D、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
求出符合条件的点P的坐标。
三．课后练习：
1.已知抛物线21yx14（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB
是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱
形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
D
BO
x
y
D
BO
。
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2. 如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B
落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛
物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点
C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止
运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，
C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过
。
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程）；若不存在，请说明理由．
3. 如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线23yxbxc4
经过点B，且对称轴是直线5x2．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说
明点C和点D都在该抛物线上；
（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作
MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，
并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形