整式的乘法和因式分解知识点汇总

WORD格式整理版 学习指导参考 整式乘除与因式分解 一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质：

am·an＝am＋n （m、n为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a)2(－3a2)3

2．nma＝ amn （m、n为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a5)5

3．nnnbaab （n为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a2b)3 练习： （1）yxx2325 （2）)4(32bab （3）aab23 （4）222zyyz （5）)4()2(232xyyx （6）22253)(631accbaba

4．nmaa＝ am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2

（4）（-a）7÷（-a）5 （5） (-b) 5÷(-b)2

5．零指数幂的概念： a0＝1 （a≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．

例：若1)32(0ba成立，则ba,满足什么条件？ WORD格式整理版 学习指导参考 6．负指数幂的概念：

a－p＝pa1 （a≠0，p是正整数） 任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．

也可表示为：ppnmmn（m≠0，n≠0，p为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）223123abcabcba （2）4233)2()21(nmnm

8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

例：（1）)35(222baabab （2）ababab21)232(2

（3）)32()5(-22nmnnm （4）xyzzxyzyx)(2322

9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)6.0(1xx）（ （2）))(2(yxyx （3）2)2nm（

练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝ WORD格式整理版 学习指导参考 3．若n为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n) 2的值为 4．如果(a nb·ab m) 3＝a 9b 15，那么mn的值是 5．－[－a 2(2a 3－a)]＝ 6．(－4x 2＋6x－8)·(－12x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝ 8．若k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，则k＝ 9．(－3x 2)＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝

10．在(ax 2＋bx－3)(x 2－12x＋8)的结果中不含x 3和x项，则a＝ ，b＝

11．一个长方体的长为(a＋4)cm，宽为(a－3)cm，高为(a＋5)cm，则它的表面积为 ，体积为 。 12．一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 ，若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 。

10．单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3

11．多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 例：

练习： 1．计算：

（1）223247173yxzyx； （2）2232232yxyx；

（3）26416baba． （4）322324nnxyyx

xyxyyx6)63()1(2)5()15105()2(3223ababbabaWORD格式整理版

学习指导参考 （5）39102104

2．计算： （1）33233212116xyyxyx；

（2）32232512152xyyxyx （3）22221524125nnnnbababa

3．计算： （1）234564yxxyyxyx；

（2）235616babababa． 4.若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 , 则 a = , m = ,= ; 易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误； 有关多项式的乘法计算出现错误； 误用同底数幂的除法法则； 用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错； 乘除混合运算顺序出错。

12．乘法公式： WORD格式整理版 学习指导参考 ①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． ②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍． 例1： （1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．

例2：

(1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2

练习： 1、4352aa=_______。3222323()2()()xxyxyxy＝______________。 2、2323433428126babababa（_____________________） 3、222____9(_____)xyx；2235(7)xxx（______________）

4、已知15xx，那么331xx=_______；21xx=_______。 5、若22916xmxyy是一个完全平方式，那么m的值是__________。 6、多项式2,12,2223xxxxxx的公因式是_____________________。

7、因式分解：2783x__________________________。 8、因式分解：224124nmnm____________________________。 9、计算：8002.08004.08131.0_____________________。 10、Ayxyxyx)(22，则A=_____________________

易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。 WORD格式整理版 学习指导参考 13．因式分解（难点） 因式分解的定义． 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法 （1）掌握提公因式法的概念； （2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； （3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． （4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 例：（1）323812ababc （2）35247535xyxy

2、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： WORD格式整理版 学习指导参考 ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 例：（1）2220.25abc （2）29()6()1abba

（3）42222244axaxyxy （4）22()12()36xyxyzz 练习： 1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于_____。

2、22)(nxmxx则m=____n=____ 3、232yx与yx612的公因式是＿ 4、若nmyx=))()((4222yxyxyx，则m=_______，n=_________。

5、在多项式4224222294,4,,tsyxbanm中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。

6、若16)3(22xmx是完全平方式，则m=_______。

7、_____))(2(2(_____)2xxxx 8、已知,01200520042xxxx则.________2006x