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【2021中考数学】 四边形含答案

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中考数学四边形经典证明题含答案

中考数学四边形经典证明题含答案

1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中．（1）四边形OECF 的面积如何变化．（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．解：在梯形ABCD 中由题设易得到：△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．过点D 作DE ⊥BC ，则DE=12BD=23，BE=6．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4．故S 梯形ABCD =12+43．2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．解：四边形AFCE 是菱形．∵四边形ABCD 是平行四边形．∴OA=OC ，CE ∥AF ．∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ．∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ．而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF 是垂直平分线，∴AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形．3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DFAC BED CFD BC 是的中点△BDE ≌△CDF ．（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知：AEDF BEDCFE DE DF 四边形是矩形矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？解：四边形EBFD 是平行四边形．在ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ．∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3．由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长．【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ，由折叠过程可知，OA ＝OC ，∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称．∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，。

2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案

2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案

2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案一、平行四边形1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.2．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）33）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度5．如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG．（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形．（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，请直接写出α的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【解析】【分析】（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=12GE，根据三角形的中位线的性质得到CD∥GE，CD=12GE，求得CD=GE，即可得到结论；（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形OEFG 是正方形，∴ME=12GE ， ∵OG=2OD 、OE=2OC ， ∴CD ∥GE ，CD=12GE ， ∴CD=GE ，∴四边形CDME 是平行四边形；（2）证明：如图2，延长E′D 交AG′于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AO=OD ，∠AOD=∠COD=90°，∵四边形OEFG 是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，∵将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC ，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O 与△ODE′中，OA OD AOG DOE OG OE ⎧⎪∠'∠'⎨⎪''⎩＝＝＝，∴△AG′O ≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O ，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AD 相交于点N ，如图3，Ⅰ、当AN=AO 时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；Ⅱ、当AN=ON 时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°-45°=45°；②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AB 相交于点N ，如图4，Ⅰ、当AN=AO 时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO+90°=112.5°；Ⅱ、当AN=ON 时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°+45°=135°，Ⅲ、当AN=AO 时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，综上所述：若△AON 是等腰三角形时，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当△AON 是等腰三角形时，求α的度数是本题的难点．6．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABDF 是菱形．(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【解析】【分析】（1）先求证BD∥AF，证明四边形ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分线段AC，进而证明△DAC是等腰三角形，根据BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之间的关系,证明△DAE是等腰三角形，进而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABDF是菱形．(2)解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．8．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的关系是___；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．9．猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.10．(1)问题发现如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓展如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC 满足的等量关系，并写出推理过程。

2020-2021备战中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合含答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合含答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合含答案一、平行四边形1．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可；（2）由∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.【详解】(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形.(2) 证明：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线.∴AD=CD∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.2．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G 交AD于F（1）求证：AF＝DE；（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．【解析】【分析】（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90°又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3在△BAF与△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD ∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN，又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝12AD＝12CD，即点E是CD的中点．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝12BP＝BC，∴CG＝CD．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.4．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥DB ，垂足为点D ，将平行四边形ABCD 折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度5．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=12BC，GH∥BC，GH=12BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中线，∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝12S△AEF＝S△APF，综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝10，∴当点F 1移动到点B 时，t ＝101010÷＝10； ②当点H 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10t ，在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．7．如图所示，矩形ABCD 中，点E 在CB 的延长线上，使CE ＝AC ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接BF 、DF ，求证：BF ⊥DF ．【答案】见解析.【解析】【分析】延长BF ，交DA 的延长线于点M ，连接BD ，进而求证△AFM ≌△EFB ，得AM =BE ，FB =FM ，即可求得BC +BE =AD +AM ，进而求得BD =BM ，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF ⊥DF ．【详解】延长BF ，交DA 的延长线于点M ，连接BD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴MD ∥BC ，∴∠AMF =∠EBF ，∠E =∠MAF ，又FA =FE ，∴△AFM ≌△EFB ，∴AM =BE ，FB =FM ．∵矩形ABCD 中，∴AC =BD ，AD =BC ，∴BC +BE =AD +AM ，即CE =MD ．∵CE =AC ，∴AC =CE = BD =DM ．∵FB =FM ，∴BF ⊥DF ．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB =DM 是解题的关键．8．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．9．问题情境在四边形ABCD 中，BA ＝BC ，DC ⊥AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ，M 是边AD 的中点，连接MB ，ME.特例探究(1)如图1，当∠ABC ＝90°时，写出线段MB 与ME 的数量关系，位置关系；(2)如图2，当∠ABC ＝120°时，试探究线段MB 与ME 的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸(3)如图3，当∠ABC ＝α时，请直接用含α的式子表示线段MB 与ME 之间的数量关系．【答案】(1)MB ＝ME ，MB ⊥ME ；(2)ME ＝3MB ．证明见解析；(3)ME ＝MB·tan 2α. 【解析】【分析】（1）如图1中，连接CM ．只要证明△MBE 是等腰直角三角形即可；（2）结论：EM=3MB ．只要证明△EBM 是直角三角形，且∠MEB=30°即可； （3）结论：EM=BM•tan2α．证明方法类似； 【详解】(1) 如图1中，连接CM ．∵∠ACD=90°，AM=MD ，∴MC=MA=MD ，∵BA=BC ，∴BM 垂直平分AC ，∵∠ABC=90°，BA=BC ，∴∠MBE=12∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=45°， ∵AB ∥DE ，∴∠ABE+∠DEC=180°，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=∠CDE=45°，∴EC=ED ，∵MC=MD ，∴EM 垂直平分线段CD ，EM 平分∠DEC ，∴∠MEC=45°，∴△BME 是等腰直角三角形，∴BM=ME ，BM ⊥EM ．故答案为BM=ME ，BM ⊥EM ．(2)ME ＝3MB ．证明如下：连接CM ，如解图所示．∵DC ⊥AC ，M 是边AD 的中点，∴MC ＝MA ＝MD ．∵BA ＝BC ，∴BM 垂直平分AC ．∵∠ABC ＝120°，BA ＝BC ，∴∠MBE ＝12∠ABC ＝60°，∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∠DCE ＝60°. ∵AB ∥DE ，∴∠ABE ＋∠DEC ＝180°，∴∠DEC ＝60°，∴∠DCE ＝∠DEC ＝60°，∴△CDE 是等边三角形，∴EC ＝ED ．∵MC ＝MD ，∴EM 垂直平分CD ，EM 平分∠DEC ， ∴∠MEC ＝12∠DEC ＝30°， ∴∠MBE ＋∠MEB ＝90°，即∠BME ＝90°.在Rt △BME 中，∵∠MEB ＝30°，∴ME 3．(3) 如图3中，结论：EM=BM•tan 2．理由：同法可证：BM ⊥EM ，BM 平分∠ABC ，所以EM=BM•tan 2． 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．10．在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，连接DF ．（1）说明△BEF 是等腰三角形；（2）求折痕EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】 （1）根据折叠得出∠DEF =∠BEF ，根据矩形的性质得出AD ∥BC ，求出∠DEF =∠BFE ，求出∠BEF =∠BFE 即可；（2）过E 作EM ⊥BC 于M ，则四边形ABME 是矩形，根据矩形的性质得出EM =AB =6，AE =BM ，根据折叠得出DE =BE ，根据勾股定理求出DE 、在Rt △EMF 中，由勾股定理求出即可．【详解】（1）∵现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，∴∠DEF =∠BEF ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF =∠BFE ，∴∠BEF =∠BFE ，∴BE =BF ，即△BEF 是等腰三角形；（2）过E 作EM ⊥BC 于M ，则四边形ABME 是矩形，所以EM =AB =6，AE =BM ．∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴DE=BE，DO=BO，BD⊥EF．∵四边形ABCD是矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠BAD=90°．在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，即（8﹣BE）2+62=BE2，解得：BE==DE=BF，AE=8﹣DE=8﹣==BM，∴FM=﹣=．在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF==．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键．11．如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣32）两点，与x轴交于另一点B．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，写出点E的坐标，并求AC、BE的交点F的坐标（3）若抛物线的顶点为D，连结DC、DE，四边形CDEF是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+x﹣32；（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱形．证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CE∥x轴，可知C、E关于对称轴对称。

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题(五)

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题(五)

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（一）1．如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC，BD的交点，连接CE，DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，且∠OMD＝75°，求CE的长；（3）在（2）的条件下，把正方形OEFG绕点O旋转，直接写出点B到点F的最短距离．2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．3．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．4．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sin B＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求点A到边BC的距离．（2）当点G在边AC上时，求t的值．（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S 与t之间的函数关系式．（4）连结EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．5．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为．6．【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．7．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．8．如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC 上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G 处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．（1）求证：PM＝PN；（2）当P，A重合时，求MN的值；（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．9．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．10．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（二）11．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN ＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．12．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6，求PQ的长度．13．如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（1＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C 重合，点E在对角线AC上．【问题发现】如图1所示，AE与BF的数量关系为；【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；【拓展延伸】若点F为BC的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中，有点A、F、G在一条直线上，直接写出此时线段AG的长度为．14．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．16．【探索规律】如图①，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．（1）若△ADF、△EFC的面积分别为3，1，则＝；（2）设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1，S2，S，求证：S＝2；【解决问题】（3）如图②，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，且DE∥BC，DF∥EG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3，7，5，求△ABC的面积．17．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．（1）求证：GD＝EG．（2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．（3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．18．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．（1）发现问题：如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系；（2）探究问题．如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想；（3）解决问题：如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝3，请直接写出AF的长度19．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形．顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．（1）判断：①在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是；②命题：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则四边形ABCD是神奇四边形．此命题是（填“真”或“假”）命题；③神奇四边形的中点四边形是；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是神奇四边形；②若AC＝2，AB＝，求GE的长；（3）如图3，四边形ABCD是神奇四边形，若AB＝6，CD＝，AD、BC分别是方程x2﹣（k+4）x+4k＝0的两根，求k的值．20．在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（三）21．如图，菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．（1）求证：AE＝CE；（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝4，求△PEC的面积；（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出△PEC是等腰三角形时BP的长．22．已知线段AB，过点A的射线l⊥AB．在射线l上截取线段AC＝AB，连接BC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，B的对应点为D，N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，①据题意在图中补全图形；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM．若AB＝4，从下列3个条件中选择1个：①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，当条件（填入序号）满足时，一定有EM＝EA，并证明这个结论．23．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；（3）如图3，当BE•EF＝108时，求BP的值．24．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，G、A、B在同一直线上，点E在AD 上，连接DG，BE．（1）证明：BE＝DG；（2）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，判断BE与DG的数量关系和位置关系是否与（2）的结论相同，并说明理由．25．已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．26．已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．27．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．28．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．29．如图1，在正方形ABCD中，AD＝9，点P是对角线BD上任意一点（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E．初步感知：当点P与点O重合时，比较：PC PE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE．理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由．拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．（1）当＝时，如图3，直接写出△APE的面积为；（2）直接写出△APE面积S的取值范围．30．问题提出（1）如图①，点A在直线m上，点P在直线m外，请用尺规在直线m上找一点B，使得∠APB＝60°（只作出满足条件一个图形即可）；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，对角线BD＝10，求四边形ABCD的面积．问题解决（3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA＝100米，∠BOC＝120°，点M、N分别在射线OB和OC上，且∠MAN＝90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（四）31．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F．（1）求∠D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．32．平面直角坐标系中一点（m，n）是二元一次方程Ax+By＝C的解是指：将代入可得Am+Bn＝C成立，如（2，3）是二元一次方程2x+y＝7的解是指：代入可得2×2+3＝7成立：（1）已知D（0，1），P（2，3），H（3，1），则点（填“D，P，H”）是方程x﹣2y＝1的解；（2）已知关于x，y的方程组的解为坐标的点也是方程x+2y＝4的解，求m的值；（3）若E、F为坐标系中两点，其中E点坐标是二元一次方程5x﹣y＝4的解，F点坐标是二元一次方程x﹣y＝4的解，且线段EF由线段AB平移得到，其中A（﹣4，0），B （0，﹣2）（A、B分别对应E、F），求四边形ABFE的面积．33．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2+PB2＝PC2，则称点P为△ABC关于点C的勾股点．（1）如图2，在4×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，请找出所有的格点P，使点P为△ABC关于点A的勾股点．（2）如图3，△ABC为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP 为直角边作等腰直角三角形APD（点A、P、D顺时针排列）∠PAD＝90°，连接DC，DB，求证：点P为△BDC关于点D的勾股点．（3）如图4，点E是矩形ABCD外一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，若AD＝8，CE＝5，AD＝DE，求AE的长．34．如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明：四边形CEGF是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝2，求BC的长．35．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），PE的延长线与BC的延长线交于点Q．（1）求证：E是PQ的中点；（2）连结PB，F是BP的中点，连结EF，当PB＝PQ时．①求证：四边形AFEP是平行四边形；②求AP的长．36．如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．（1）求证：OC∥AD；（2）如图2，若DE＝DF，求的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．37．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB 的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．38．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，则CE＝．（直接写出结果）39．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．（4）如图3，连接CE交FG于点H，若＝，请求出CF的长．40．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（五）41．【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．42．如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．43．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．44．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC．已知，OA＝8，tan∠OAC＝，点D在BC上，且CD＝3BD，点P 为线段AB上一动点（可与A、B重合），连接DP．（1）求OC的长及点D的坐标；（2）当DP∥AC时，求AP的长；（3）如图2，将△DBP沿直线DP翻折，得△DEP，连接AE、CE，问四边形AOCE的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；（4）以线段DP为边，在DP所在直线的右上方作等边△DPF，当点P从点B运动到点A时，点F也随之运动，请直接写出点F的运动路径长．45．如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．46．如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上的点，BE：AE＝n，连结DE、BD，过点A作AG⊥DE，垂足为点F，与BC、BD分别交于点G、H，连结EH．（1）①求证：AE＝BG；②求证：DH：BH＝n+1；（2）如图2，当EH∥AD时，求n的值．47．[阅读理解]构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．[经验运用]请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝CF，连接EF交AC于点G．求证：①G是EF的中点；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若点E在BA的延长线上，点F在线段BC上，DF交AC于点H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它条件不变，请直接写出GH的长．48．已知如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF“，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．49．（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE 于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①判断DQ与AE的数量关系：DQ AE；②推断：的值为；（无需证明）（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE 交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．50．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E是边AD的中点．连结EC，P、Q分别是射线AD、EC上的动点，且EQ＝AP．连结BP，PQ．过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F．（1）当点P在线段AE上（不包含端点）时，①求证：四边形BFQP是正方形．②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长．（2）如图2，连结PF，若点C在对角线PF上，求△BFC的面积（直接写出答案）．参考答案1．解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线为AC、BD，∴DO＝OC，∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵∠GOE＝90°，∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°，∴∠GOD＝∠COE，∵GO＝OE，∴在△DOG和△COE中，DO＝CO，∠GOD＝∠COE，GD＝OE，∴△DOG≌△COE（SAS）；（2）∵四边形ABCD为正方形，故∠ODM＝45°，故OD＝，∵∠OMD＝75°，∴∠DOG＝60°，∵DG⊥BD，故∠ODG＝90°，∴∠OGD＝30°，∴OG＝2OD＝2，∴DG＝＝＝，∵△DOG≌△COE（SAS），∴CE＝DG＝；（3）正方形OEFG绕点O旋转，当点O、B、F共线且点B在OF之间时，点B到点F 的距离最短，由（2）知，在正方形OEFG中，OG＝2，则OF＝OG＝4，而OB＝OD＝，故OF﹣OB＝4﹣．故B到点F的最短距离为4﹣．2．解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠AOC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．3．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．4．解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝15，∴sin B＝＝，∴AH＝AB＝×15＝12．（2）如图2，在Rt△BDP中，∠BPD＝90°，BP＝3t，∴sin B＝＝，∴cos B＝＝，∴BD＝5t，PD＝4t，∴DE＝DG＝2t，CD＝15﹣5t．∴15﹣5t＝2t，∴t＝．（3）①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，∴S＝（2t）2＝4t2；②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，∴S＝S正方形DEFG﹣S△MGN＝4t2﹣[2t﹣（15﹣5t）]2＝﹣45t2+210t﹣225；③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，∴S＝×2t（15﹣4t+15﹣5t）＝﹣9t2+30t．（4）①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵DG∥AB，∴∠COD＝∠A∴∠C＝∠COD，∴DC＝DO，∴15﹣5t＝t，解得t＝；②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t+t，解得t＝；③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t，解得t＝．5．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，∴BP＝DQ，∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：则∠QEN＝∠QNE，∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，在△PBM和△QDE中，，∴△PBM≌△QDE（AAS），∴PM＝QE＝QN．②解：由①知PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2××42＝8；故答案为：8．6．（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，又∵BF＝2OG，＝，∴＝＝，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，∴＝＝．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k+2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k﹣2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，综上所述，tan∠BAE的值为或．7．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠BAP＝∠APB＝90°∵BP＝BE，∴∠APB∠BEP＝∠GEF，∵MN垂直平分线段AP，∴∠GFE＝90°，∴∠BGN+∠GEF＝90°，∴∠BAP＝∠BGN．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝8，∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，∴PA＝＝＝2，∵MN垂直平分线段AP，∴AF＝PF＝，∵PB∥AD，∴＝＝＝，∴PE＝PA＝，∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，∴＝＝．（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵MN垂直平分线段AP，∴MA＝MP，∴AD2+DM2＝PC2+CM2，∴82+（6﹣x）2＝62+x2，∴x＝，∵∠PFM＝∠PCM＝90°，∴P，F，M，C四点共圆，∴∠CFM＝∠CPM，∴tan∠CFM＝tan∠CPM＝＝＝．8．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN．（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，∴CQ＝AC＝2，∴QN＝＝＝，∴MN＝2QN＝2．（3）解：当MN过点D时，如图3所示，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5，∴4≤S≤5，9．（1）【发现证明】证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN＝AF，∠NAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠NAE＝45°，∴∠NAE＝∠FAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF＝EN，∴BE＝BN+NE＝DF+EF．即BE＝EF+DF．故答案为：BE＝EF+DF．（3）【联想拓展】解：由（1）可知AE＝AG＝3，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC＝BC＝AD＝6，∴＝＝3．∴BE＝DG＝3，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2．∴DF＝2，∴AF＝＝＝2．10．解：（1）如图1，∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴∠BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴．故答案为：等腰直角三角形，．（2）①两结论仍然成立．证明：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴．②＝3或1．如图3，若CD为平行四边形的对角线，点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，。

2021年九年级中考数学考前强化练习：《四边形综合》(三)

2021年九年级中考数学考前强化练习：《四边形综合》(三)

2021年九年级中考数学考前强化练习：《四边形综合》（三）1．在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点A（0，m），N（n，0），且+|m+n ﹣10|＝0．（1）m＝，n＝．（2）如图，若点E是第一象限内的一点，且EN⊥x轴，过点E作x轴的平行线a，与y 轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O 同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．①经过几秒PQ∥y轴？②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P的坐标．2．如图，在▱ABCD，点E为AD的中点，延长BE、CD交于点F，连接AF，BD，CE．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形．（2）若BE为∠ABC的角平分线，AB＝5，CE＝6，求△AEF的面积．3．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线BC，射线CD上，BE＝CF，AE与BF交于点H．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，求证：AE＝BF，且AE⊥BF；（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，将线段BE沿BF平移至FG，连接AG．①依题意将图2补全；②用等式表示线段AG，FG和AD之间的数量关系，并证明．4．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，DF⊥DE，EG平分∠BEF 交BD于点G．（1）求证：DE＝DF；（2）请写出线段DG和DF的数量关系并证明；（3）作GH⊥EF于点H，请直接写出线段AB、GH与EF的数量关系．5．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点K是线段AB延长线上一点，点E是∠CBK的平分线上一点，连接DE，取DE的中点F，连接BF．（1）依照题意补全图形．（2）求证：∠FDA＝∠FBA．（3）若点G是线段BE延长线上任意一点，连接CG，点H为CG中点，连接FH，用等式表达EG，DA，FH的数量关系，并证明．6．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE、DF．（1）求证：DE⊥DF；（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．①依题意，补全图形；②求证：BG＝DG；③若∠EGB＝45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．7．在△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，D是BC边上一个动点（不与点B，C重合），连接AD，以AD为边作正方形ADEF（点E，F都在直线BC的上方），连接BE．（1）根据题意补全图形，并证明∠CAD＝∠BDE；（2）用等式表示线段CD与BE的数量关系，并证明；（3）用等式表示线段AD，AB，BE之间的数量关系（直接写出）．8．如图，平行四边形ABCD中，BC＝BD．点F是线段AB的中点．过点C作CG⊥DB交BD于点G，CG延长线交DF于点H．且CH＝DB．（1）如图1，若DH＝1．求FH的值；（2）如图2，连接FG．求证：DB＝FG+HG．9．如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C，D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC，BE，AD于点M，P，N，正方形ABCD的边长为6．（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求△CDN的面积为．（2）在（1）的条件下求线段PM的长度；（3）如图2，当点M在BC边上时，判断线段AN，MB，EC之间的数量关系，并说明理由．10．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上任意一点（可与B，D重合），连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AN，连接MN，DN，设BM＝x．（1）求证：△ABM≌△ADN；（2）当时，求MN的长；（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“△ABM与△MND也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出△ABM与△MND全等时x的值；若不正确，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，将矩形OABC 绕点A 顺时针旋转α，得到矩形O 1AB 1C 1，点O ，B ，C 的对应点分别为O 1，B 1，C 1．（Ⅰ）如图①，当α＝45°时，O 1C 1与AB 相交于点E ，求点E 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点O 1落在对角线OB 上时，连接BC 1，四边形OAC 1B 是何特殊的四边形？并说明理由；（Ⅲ）连接BC 1，当BC 1取得最小值和最大值时，分别求出点B 1的坐标（直接写出结果即可）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD ，A （﹣3，0），B （2，0），D 在y 轴上．直线l 从BC 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CD 向左平移，分别与CD 、BD 交于E 、F ．设△DEF 的面积为S ，直线l 平移时间为t （s ）（0＜t ＜5）． （1）求点C 的坐标； （2）求S 与t 的函数表达式；（3）过点B 作BG ⊥l ，垂足为G ，连接AF 、AG ，设△AFG 的面积为S 1，△BFG 的面积为S 2，当S 1+S 2＝S 时，若点P （1﹣a ，a +3）在△DEF 内部（不包括边），求a 的取值范围．13．如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，求t的值；（2）如图2，当t＝2时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．14．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是（填序号）；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝，AB＝3．①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由；②求GE的长．15．如图，四边形ABCD为正方形，点E为正方形ABCD外一点，且AD＝AE，连接BE，∠DAE 的角平分线交BE于点P，连接CP，设∠DAE＝α．（1）当α＝60°，求∠APB的大小；（2）在（1）的条件下，当PE＝2时，求AB的长；（3）当0°＜α＜60°时，求PA，PB，PC三条线段满足的等量关系．参考答案1．解：（1）依题意，得，解得；故答案为：4，6；（2）①设经过x秒PQ平行于y轴，依题意，得6﹣2x＝x，解得x＝2，∴经过2秒PQ∥y轴；②当点P在y轴右侧时，依题意，得，解得x＝1，此时点P的坐标为（4，4），当点P在y轴左侧时，依题意，得，解得x＝，此时点P的坐标为（﹣，4）．综合以上可得点P的坐标为（4，4）或（﹣，4）．2．解：（1）证明：由题意得，AB∥CF，∴∠ABE＝∠DFE，又∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS）∴AB ＝DF ， 又∵AB ∥DF ，∴四边形ABDF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； （2）过点F 作AD 的垂线交AD 延长线于点K ，过点D 作DH ⊥EC ，过点E 作EG ⊥CD ，∵S △AEF ＝；，∴S △AEF ＝S △EDF ，又∵BE 为∠ABC 的角平分线， ∴∠ABE ＝∠EBC ， 又∵AD ∥BC ， ∴∠EBC ＝∠FED ， 而∠ABE ＝∠DFE ， ∴∠FED ＝∠DFE ， ∴ED ＝FD ，由（1）可知AB ＝DC ＝FD ＝5， ∴ED ＝FD ＝DC ＝5， 又∵S △EFD ＝，S △EDC ＝，∴S △AEF ＝S △EDF ＝S △ECD ，在等腰△EDC 中，ED ＝CD ＝5，EC ＝6， ∵DH ⊥EC ， ∴EH ＝＝＝3，在Rt △EHD 中，ED ＝5，EH ＝3， ∴DH ＝＝＝4，∴S △ECD ＝＝12，∴S△AEF ＝S△EDF＝S△ECD＝12，故S△AEF＝12．3．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABH＝90°，∴∠BAE+∠ABH＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BF，故AE＝BF，且AE⊥BF；（2）①补全图如图2所示；②AG2＝2AD2+2FG2.理由如下：如图3，连接EG，∵线段BE沿BF平移至FG，∴四边形BEGF是平行四边形，∴EG＝BF，EG∥BF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEB，∴EG＝BF＝AE，∵∠BFC+∠CBF＝90°，∴∠AEB+∠CBF＝90°，∴∠BHE＝90°，∵EG∥BF，∴∠AEG＝∠BHE＝90°，∴AG2＝AE2+EG2＝2AE2，∵AE2＝AB2+BE2＝AD2+FG2，∴AG2＝2AD2+2FG2．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠CDE+∠EDA＝90°，∠FCD＝∠EAD＝90°，∵DE⊥DF，∴∠FDC+∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠EDA，∴△EDA≌△FDC（ASA），∴DE＝DF；（2）解：DG＝DF，证明如下：由（1）得：DE＝DF，∵∠FDE＝90°，∴∠DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∴∠DEG＝45°+∠FEG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABG＝45°，∴∠DGE＝∠ABG+∠BEG＝45°+∠BEG，∵EG平分∠BEF，∴∠FEG＝∠BEG，∴∠DEG＝∠DGE，∴DE＝DG，∴DG＝DF；（3）解：AB﹣GH＝EF，理由如下：过点G作GM⊥AB于M，如图所示：∵EG平分∠BEF，GM⊥AB，GH⊥EF，∴GM＝GH，∵∠ABG＝45°，∴△BGM、△ABD是等腰直角三角形，∴BG＝GM＝GH，BD＝AB，由（2）可知，DG＝DE，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE，∵DE＝DG，∴DG＝EF，∵BD﹣BG＝DG，∴AB﹣GH＝EF，∴AB﹣GH＝EF．5．解（1）如图所示．（2）如图所示，连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，同理∠CBE＝∠CBK＝60°，∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°，在Rt△DBE中，F为BE中点，∴BF＝DE＝DF，∴∠FDB＝∠FBD，∵DA＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠FDA＝∠FBA．（3）4FH2＝EG2+DA2+EG•DA．如图1所示，连接CE，取CE中点为点M，连接FM，HM，延长HM交AB于点N，不妨设EG＝a，DA＝b，FH＝c，∵H，M分别为CG，CE的中点，∴HM∥GE，且HM＝EG＝a，同理FM∥DC，且FM＝DC＝DA＝b．∴∠HMF＝∠MNA＝∠ABG＝120°；如图2所示，过点H作HP⊥FP交FM延长线于点P，在Rt△HMP中，∠HMP＝60°，HM＝a，∴MP＝a，HP＝a．∴FP＝b+a．在Rt△HMP中，∠HPM＝90°，∴HP2+MP2＝HM2，即（a）2+（b+a）2＝c2，化简得：4c2＝a2+b2+ab．即4FH2＝EG2+DA2+EG•DA．6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＝90°，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDF+∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DE⊥DF；（2）①解：依题意，补全图形如图所示：②证明：由（1）可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，∵G是EF的中点，∴DG＝EF，BG＝EF，∴BG＝DG；③解：BG2+HG2＝4AE2，证明如下：由（1）可知，△ADE≌△CDF，DE⊥DF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEG＝45°，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，∴∠EGD＝∠HGF＝∠DGF＝90°，∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，∵∠EGB＝45°，∴∠GBF＝∠GFB＝22.5°，∵∠DHF+∠HFG＝∠DHF+∠CDH＝90°，∴∠HFG＝∠CDH＝22.5°，∴∠CDF＝∠GDF﹣∠HDC＝22.5°＝∠CDH，又∵∠DCH＝∠DCF＝90°，CD＝CD，∴△CDH≌△CDF（ASA），∴CH＝CF，在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF2+HG2＝HF2，∵HF＝2CF＝2AE，GF＝BG，∴BG2+HG2＝（2AE）2，∴BG2+HG2＝4AE2．7．解：（1）补全图形如下：∵正方形ADEF，∴∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝90°﹣∠ADC，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADC，∴∠CAD＝∠BDE；（2）CD与BE的数量关系为：BE＝CD，证明如下：过E作EG⊥CB于G，如图：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∵EG⊥CB，∴∠G＝90°＝∠C，在△ACD和△DGE中，，∴△ACD≌△DGE（AAS），∴CD＝EG，AC＝DG，∵AC＝BC，∴DG＝BC，∴DG﹣DB＝BC﹣DB，即BG＝CD，∴BG＝EG，∴△BGE是等腰直角三角形，∴BE＝BG，∴BE＝CD；（3）AD，AB，BE之间的数量关系为：AB2＝2AD2﹣BE2，理由如下：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴AB2＝AC2+BC2＝2AC2，AC2＝AD2﹣CD2，∴AB2＝2（AD2﹣CD2），而BE＝CD，∴CD2＝BE2，∴AB2＝2（AD2﹣BE2），即AB2＝2AD2﹣BE2．8．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝BC，∴AD＝BD，∵AF＝FB，∴DF⊥AB，∴DF⊥DC，∵CG⊥BD，∴∠CDH＝∠CGD＝∠DFB＝90°，∴∠BDF+∠CDG＝90°，∠CDG+∠DCH＝90°，∴∠BDF＝∠DCH，∵CH＝DB，∴△DFB≌△CDH（AAS），∴DH＝BF，CD＝DF，∴AB＝DF，∵AB＝2BF，∴DF＝2DH＝2，∴FH＝DH＝1；（2）解：如图1中，过点F作FJ⊥BD于J，FK⊥CH交CH的延长线于K．过点D作DT⊥DF交FG的延长线于T，连接CT，设FT交CD于N．∵∠K＝∠FJG＝∠KGJ＝90°，∴四边形FKGJ是矩形，∴∠FKJ＝90°，∵∠DFB＝90°，∴∠KFH＝∠BFJ，∵∠K＝∠FJB＝90°，FH＝FB，∴△FKH≌△FJB（AAS），∴FK＝FJ，∵FK⊥GK，FJ⊥GJ，∴FG平分∠KGJ，∴∠FGH＝∠FGJ＝45°，∵∠DGT＝∠FGJ＝45°，∠GDT＝90°，∴DG＝DT，∵∠FDC＝∠GDT＝90°，∴∠FDG＝∠CDT，∵DF＝DC，∴△FDG≌△CDT（SAS），∴FG＝CT，∠DFN＝∠TCN，∵∠DNF＝∠CNF，∴∠FDN＝∠CTN＝90°，∵∠TGC＝∠FGK＝45°，∴TG＝TC，CG＝CT＝FG，∴BD＝CH＝GH+CG＝GH+FG，∴DB＝FG+HG．9．解：（1）∵四边形ABD是正方形，∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∵AN＝4，∴DN＝AD﹣AN＝2，∴△CDN的面积＝CD×DN＝×6×2＝6，故答案为：6；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠D＝∠BCE＝90°，∵BE⊥MN，点M和点C重合，∴MD＝BC＝6，∠DMN+∠BCP＝90°，∠CBE+∠BCP＝90°，∴∠DMN＝∠CBE，在△DMN和△CBE中，，∴△DMN≌△CBE（AAS），∴MN＝BE，DN＝CE，∵AN＝4，∴CE＝DN＝AD﹣AN＝6﹣4＝2，由勾股定理得：MN＝＝＝2，∴BE＝2，∵MN⊥BE，∴△BME的面积＝BE×PM＝BC×CE，∴PM＝＝＝；（3）线段AN、MB、EC之间的数量关系为：AN+EC＝MB，理由如下：过点N作NF⊥BC于N，如图2所示：则四边形ANFB为矩形，∴AN＝BF，NF＝AB＝BC，∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠PMB＝90°，∠MNF+∠NMF＝90°，∴∠EBC＝∠MNF，在△EBC和△MNF中，，∴△EBC≌△MNF（ASA），∴FM＝EC，∴MB＝BF+FM＝AN+EC，即AN+EC＝MB．10．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，由旋转的性质知：AM＝AN，∵∠BAD＝∠MAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（SAS）．解：（2）∵BD是正方形ABCD的对角线，且AB＝6，∴，∠ADB＝45°，∴，由△ABM≌△AND得：，∠ADN＝∠ABM＝45°，∴∠MDN＝∠ADB+∠AND＝45°+45°＝90°，在Rt△MDN中，．（3）正确；．理由如下：如图：当AM⊥BD，易得△ABM和△ADN是全等的等腰直角三角形，∴∠NDA＝∠ABM＝45°，AN＝AM，∵正方形ABCD中，∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠NDM ＝90°，∵∠NAM ＝∠AMD ＝∠∠NDM ＝90°，∴四边形AMDN 为矩形，又∵AN ＝AM ，∴矩形AMDN 为正方形，∴△NMD ≌△DAN （SAS ），∴△NMD ≌△ABM （全等传递性），此时AM ＝＝＝3．当△ABM 与△MND 全等时x ＝3．11．解：（Ⅰ）∵矩形OABC ，∴∠OAB ＝90°．∵∠OAO 1＝45°，∴∠O 1AE ＝45°，∵∠AO 1E ＝90°，O 1A ＝OA ＝2， ∴， ∴E ；（Ⅱ）四边形OAC 1B 是平行四边形，在Rt△AOB中，，∴∠BOA＝60°，同理，∠O1AC1＝60°．∵OA＝O1A，∴△OAO1是等边三角形，∴∠OAO1＝60°，∴AC1与x轴的夹角＝180﹣∠O1AO﹣∠C1AO1＝180﹣60﹣60＝60°，∴BO∥AC1，又BO＝AC1，∴四边形OAC1B为平行四边形；（Ⅲ）点C1的运动路径是以A为圆心，AC1为半径的圆，当点C1在AB延长线上时，BC1为最小值，过点B1为作B1G⊥x轴A于点G，在Rt△B1AG中，∠B1AG＝180﹣90﹣30＝60°，∴，，当BC1取得最小值时点B1的坐标为；当点C1在A延A长线上时，BC1为最大值，过点B1为作B1H⊥x轴A于点H，在Rt△B1AH中，∠B1AH＝180﹣90﹣30＝60°，∴，，当BC1取得最大值时点B1的坐标为（，﹣3），综上所述当BC1取得最小值和最大值时点B1的坐标分别为，．12．解：（1）∵AB＝2﹣（﹣3）＝5＝AD＝CD，则OD＝＝4，故点C的坐标为（5，4）；＝CD×OD＝5×4＝10，（2）S△DBC∵l∥BC，∴△DEF∽△DCB，则S：S△DBC＝（DE：CD）2＝（5﹣t）2：52，∴S＝10×＝t2﹣4t+10；（3）设直线l与x轴交于点K，则BK＝CE＝t，∵l∥AD，故∠GKB＝∠ADO，则tan∠GKB＝tan∠ADO＝，则sin∠GKB＝，则sin∠GBK＝，则KG＝BK sin∠GBK＝t，则GF＝5﹣（5﹣t）﹣t＝t，则EF＝DE＝5﹣t，设点B到AD的距离为h，则S△ABD＝×AB×OD＝AD×h，则h＝OD＝4，∴S1+S2＝GF×h＝t××4＝t＝S，而S＝10×＝t2﹣4t+10；故点E（2.5，4）；由点A、D的坐标得，直线AD表达式为y＝x+4，故设直线l的表达式为y＝x+t，将点E的坐标代入上式得：4＝×+t，解得t＝，故直线l的表达式为y＝x+①，令y＝x+＝0，解得x＝﹣，故点K的坐标为（﹣，0），由点P的坐标知，点P在直线y＝﹣x+4②上，联立①②并解得，两个函数的交点坐标为（，），则0＜x P＜，则0＜1﹣a＜，解得﹣＜a＜1．13．解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO＝BC＝3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝3，∴t＝3÷2＝1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t＝2时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA＝DM＝3，OP＝PD＝4，∴M（8，﹣3）．②如图4，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（3，7），③如图5，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（7，﹣1）．综合以上可得点M的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，﹣1）．14．解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，∴菱形、正方形都是垂美四边形．故答案为：③④．（2）证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）①连接CG、BE，AB与CE交于点O，BG与CE交于点N，如图2，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AOE＝90°，∴∠ABG+∠AOE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形；②由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝，AB＝3，∴BC＝＝＝2，CG＝AC＝，BE＝AB＝3，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝＝24，∴GE＝2．15．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，∴∠ABE＝AEB＝（180°﹣∠BAE）＝×（180°﹣∠BAE）＝15°，∵AP平分∠DAE，∴∠PAE＝∠DAE＝30°，∴∠APB＝∠PAE+∠AEP＝30°+15°＝45°；（2）连接PD，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，DE＝AD，∵∠DAP＝∠EAP，AP＝AP，∴△DAP≌△EAP（SAS），∴PD＝PE，∴∠PED＝∠PDE，∵∠AEP＝15°，∴∠PED＝45°，∴∠DPE＝90°，∵PE＝2，∴DE＝PE＝2，∴AB＝AD＝DE＝2；（3）PC+PA＝PB．如图2，过点B作BH⊥BE交PA延长线于点H，∴∠HBE＝90°，∵∠APB＝45°，∴∠BHP＝180°﹣∠HBE﹣∠APB＝45°，∴∠BHP＝∠APB，∴BH＝BP，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠HBE＝∠ABC，∴∠HBE﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE，即∠HBA＝∠EBC，在△PBC与△HBA中，，∴△PBC≌△HBA（SAS），∴∠BPC＝∠BHP＝45°，BP＝BH，CP＝AH，∴∠HBE＝90°，∴PH2＝BH2+BP2＝2BP2，即PH＝BP，∴PC+PA＝AH+AP＝PH＝BP．。

2021年全国中考数学真题分类汇编6---四边形

2021年全国中考数学真题分类汇编6---四边形

2021年全国中考数学真题分类汇编四边形一、选择题（共20小题）1．（2021•资阳）下列命题正确的是()A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1:2两部分2．（2021•株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF 内，以AB 为边作正五边形ABGHI ，则(FAI ∠=)A ．10︒B ．12︒C ．14︒D ．15︒3．（2021•株洲）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在线段BC 的延长线上，若132DCE ∠=︒，则(A ∠=)A ．38︒B ．48︒C ．58︒D ．66︒4．（2021•扬州）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则(A B D E ∠+∠+∠+∠=)A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒5．（2021•湘西州）如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，//EF CD ，交AD 于点F ，如果 5.5EF =，那么菱形ABCD 的周长是()A ．11B ．22C ．33D ．446．（2021•无锡）如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆各边中点，则以下说法错误的是()A ．BDE ∆和DCF ∆的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB BC =，则四边形AEDF 是菱形D ．若90A ∠=︒，则四边形AEDF 是矩形7．（2021•铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌()A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形8．（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将ABC∆沿着AC所在的直线折叠得到△AC=，则B D'的长是() AB C'，B C'交AD于点E，连接B D'，若60B∠=︒，45∠=︒，6ACBA．1B．2C．3D．629．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，60-方向∠=︒，点P从点B出发，沿折线BC CDB移动，移动到点D停止．在ABP∆形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是()A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形10．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1)中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是()A ．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B ．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C ．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D ．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形11．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ，另两张直角三角形纸片的面积都为2S ，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ，FH 与GE 相交于点O ．当AEO ∆，BFO ∆，CGO ∆，DHO ∆的面积相等时，下列结论一定成立的是()A ．12S S =B ．13S S =C ．AB AD =D ．EH GH =12．（2021•南充）如图，点O 是ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD ，BC 于点E ，F ，下列结论成立的是()A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠D ．CFE DEF ∠=∠13．（2021•眉山）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，6AB =，60DAC ∠=︒，点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动，连接DF ，以DF 为边作等边三角形DFE ，点E 和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①BDE EFC ∠=∠；②ED EC =；③ADF ECF ∠=∠；④点E 运动的路程是23，其中正确结论的序号为()A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④14．（2021•泸州）下列命题是真命题的是()A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形15．（2021•乐山）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC ∠=︒，2AB =，则PE PF -的值为()A ．32B 3．2D ．5216．（2021•河北）如图1，ABCD 中，AD AB >，ABC ∠为锐角．要在对角线BD 上找点N ，M ，使四边形ANCM 为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案()A ．甲、乙、丙都是B ．只有甲、乙才是C ．只有甲、丙才是D ．只有乙、丙才是17．（2021•广元）下列命题中，真命题是()A ．1122x x-= B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D ．已知抛物线245y x x =--，当15x -<<时，0y <18．（2021•成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定ABE ADF ∆≅∆的是()A ．BE DF =B ．BAE DAF ∠=∠C ．AE AD =D ．AEB AFD ∠=∠19．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC边在y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(4,2)，反比例函数2(0)y x x =>的图象与BC 交于点D ，与对角线OB 交于点E ，与AB 交于点F ，连接OD ，DE ，EF ，DF ．下列结论： ①sin cos DOC BOC ∠=∠；②OE BE =；③DOE BEF S S ∆∆=；④:2:3OD DF =．其中正确的结论有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个20．（2021•包头）如图，在ABC ∆中，AB AC =，DBC ∆和ABC ∆关于直线BC 对称，连接AD ，与BC 相交于点O ，过点C 作CE CD ⊥，垂足为C ，AD 相交于点E ，若8AD =，6BC =，则2OE AE BD+的值为()A ．43B ．34C ．53D ．54二、填空题（共20小题）21．（2021•淄博）两张宽为3cm 的纸条交叉重叠成四边形ABCD ，如图所示．若30α∠=︒，则对角线BD 上的动点P 到A ，B ，C 三点距离之和的最小值是．22．（2021•株洲）如图所示，线段BC为等腰ABC∆的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE 交于点O，若2OD=，则AC=．23．（2021•长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若6OE=，则BC的长为．24．（2021•枣庄）如图，45=，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，∠=︒，BO DOBOD连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE BDADB∠=︒；⊥；②30③2=；④若点G是线段OF的中点，则AEGDF AF∆为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）25．（2021•云南）已知ABC∆的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC∠的平分线与线段AC交于点D．若ABC∆的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为．26．（2021•益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB AD=，②AC BD=，③ABC ADC∠=∠中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）．27．（2021•新疆）四边形的外角和等于︒．28．（2021•湘潭）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知10BC=，则OE=．29．（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若30=，则BC长为cm（结AB cm果保留根号）．30．（2021•黔东南州）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠的度数为度．∠=︒，则DCE32ADB31．（2021•宁波）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，BEC∆关于直线EC对∆与FEC称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM BE=，1∠的值为．MG=，则BN的长为，sin AFE32．（2021•牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AB DC=，请添加一个条件，使四边形ABCD 成为平行四边形，你所添加的条件为．33．（2021•连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE AD⊥，垂足为E，8BD=，则OE的长为．AC=，634．（2021•黄冈）正五边形的一个内角是度．35．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．36．（2021•黑龙江）如图，在ABC∆中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）37．（2021•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使矩形ABCD是正方形．38．（2021•贺州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，3=BC BE 且BE CF⊥，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为．=，AE BF39．（2021•哈尔滨）四边形ABCD是平行四边形，6∠的平分线交直线BC于点AB=，BADE，若2CE=，则ABCD的周长为．40．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF EC=．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．三、解答题（共20小题）41．（2021•长沙）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OABAB=．∆是等边三角形，4（1）求证：ABCD是矩形；（2）求AD的长．42．（2021•岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE BD⊥，CF BD⊥，垂足分别为点E，F．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．43．（2021•玉林）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知OA OC =，OB OD =，过点O 作EF BD ⊥，分别交AB 、DC 于点E ，F ，连接DE ，BF ．（1）求证：四边形DEBF 是菱形：（2）设//AD EF ，12AD AB +=，43BD =，求AF 的长．44．（2021•益阳）如图，在矩形ABCD 中，已知6AB =，30DBC ∠=︒，求AC 的长．45．（2021•梧州）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，CD 上的点，且AE BF ⊥于点P ，G 为AD 的中点，连接GP ，过点P 作PH GP ⊥交AB 于点H ，连接GH ．（1）求证：BE CF =；（2）若6AB =，13BE BC =，求GH 的长．46．（2021•遂宁）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE CF=；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．47．（2021•随州）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE CF=．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）求证：四边形BEDF是菱形．48．（2021•十堰）如图，已知ABC∆中，D是AC的中点，过点D作DE AC⊥交BC于点E，过点A作//AF BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若2∠=︒，求AB的长．B∠=︒，45FACCF=，3049．（2021•绍兴）问题：如图，在ABCD 中，8AB =，5AD =，DAB ∠，ABC ∠的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变． ①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．50．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =．连接DE ，DF ，BE ，BF ．（1）证明：ADE CBF ∆≅∆．（2）若42AB =，2AE =，求四边形BEDF 的周长．51．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO CO=，点E在BD上，满足EAO DCO∠=∠．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB BC=，5AC=，求四边形AECD的面积．CD=，852．（2021•连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB AE=，求证：四边形ACED是矩形．53．（2021•荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，90=，AEF∠=︒，且EF AE ⊥．FH BH（1）求证：BE CH=；（2）若3=，用x表示DF的长．AB=，BE x54．（2021•呼和浩特）如图，四边形ABCD是平行四边形，//BE DF且分别交对角线AC于点E，F．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）55．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且ADM CDN∠=∠，求证：BM BN=．56．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B 作BM CE⊥，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．（1）如图1，求证：CE BH=；（2）如图2，若AE AB=，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形(AEG∆除外），使写出的每个三角形都与AEG∆全等．57．（2021•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．（1）求证：12∠=∠；（2）求证：DOF BOE∆≅∆．58．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE DF=，连接CE、CF．求证：CE CF=．59．（2021•丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA 的延长线于点E，连接AC、DE．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AB AC=，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．60．（2021•郴州）如图，四边形ABCD中，AB DC=，将对角线AC向两端分别延长至点E，=．证明：四边形ABCD是平行四边形．F，使AE CF=．连接BE，DF，若BE DF。

2021年九年级中考数学 专题训练：多边形与平行四边形(含答案)

2021中考数学 专题训练：多边形与平行四边形一、选择题1. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或92. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD＝2，点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 一个正多边形的每个外角不可能等于()A ．30°B ．50°C ．40°D ．60°4. （2020·泰安）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ﹦2cm ，底边BC ﹦6cm ，∠B ﹦45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF ﹦30°，则AF 的长为（ ）A ．1cmB ．63 cm C ．（2 3 —3）cm D ．（2— 3 ）cmA BCDEFG5. 如图，ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍6. (2020·潍坊)如图，点E是□ABCD的边AD上的一点，且12DEAE=，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若3,4DE DF==，则□ABCD的周长为（）FEDCBA A.21 B. 28 C. 34 D. 42 7. （2020·海南）如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( ) A．16 B．17 C．24 D．25 8. 如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．165二、填空题9. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.10. 如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=.11. 如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．12. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．13. 如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．14. 如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.15. （2020·黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为．16. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若O E=3，则菱形的周长为__________．三、解答题17. 如图，△ABC是正三角形，剪去三个边长均不相等的小正三角形(即△ADN，△BEF，△CGM)后，得到一个六边形DEFGMN.(1)六边形DEFGMN的每个内角是多少度？为什么？(2)六边形DEFGMN是正六边形吗？为什么？18. （2020·重庆B卷）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE=DF．19. 如图①，在平行四边形ABCD中，连接BD，AD＝6cm，BD＝8cm，∠DBC ＝90°，现将△AEF沿BD的方向匀速平移，速度为2cm/s，同时，点G从点D 出发，沿DC的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF停止移动时，点G也停止运动，连接AD，AG，EG，过点E作EH⊥CD于点H，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t(s)(0＜t＜4)．(1)当t＝1时，求EH的长度；(2)若EG⊥AG，求证：EG2＝AE·HG；(3)设△AGD的面积为y(cm2)，当t为何值时，y可取得最大值，并求y的最大值．20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O —C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？2021中考数学专题训练：多边形与平行四边形-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n，则180°(n－2)＝1080°，得出n＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.2. 【答案】B 【解析】本题考查了直角三角形中的点到直线的距离. 解题思路：如解图，分别过点A 和C 作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F.⎭⎬⎫∠BAD ＝90° AB ＝AD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ADB ＝45° AD ＝22⇒AE＝2＞32⇒AB 、AD 上各有一点到BD 的距离为32.同理，得CF ＝1＜32⇒AB 、AD 上没有点到BD 的距离为32.3. 【答案】B[解析] 设正多边形的边数为n ，则当30°n ＝360°时，n ＝12，故A可能；当50°n ＝360°时，n ＝365，不是整数，故B 不可能；当40°n ＝360°时，n ＝9，故C 可能；当60°n ＝360°时，n ＝6，故D 可能．4. 【答案】D【解析】本题考查了图形全等的概念、平行四边形的性质以及解直角三角形，过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H.E CFHA B DG设AF=x ，因为四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，所以AD=BC.因为沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，所以BE=DF ，所以AF=EC=x ．因为AG 是BC 边上的高，FH ⊥BC ，所以GH=AF=x .因为∠B=45°，AG=2，所以BG=2，则HE=6-2-2x =4-2x . 因为tan ∠BEF=HF HE ，所以HE=tan HFBEF ∠3=2 3 ，则4-2x =2 3 ，解得x =2- 3 ，因此本题选D ．5. 【答案】B【解析】∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在ABCD 中，A B=2，AD=4， ∴EH=12AD=2，HG=1122CD =AB=1，∴EH≠HG ，故选项A 错误； ∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点， ∴EH=1122AD BC FG ==， ∴四边形EFGH 是平行四边形，故选项B 正确；由题目中的条件，无法判断AC 和BD 是否垂直，故选项C 错误； ∵点E 、F 分别为OA 和OB 的中点，∴EF=12AB ，EF ∥AB ，∴△OEF ∽△OAB ，∴214AEF OABS EF SAB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即△ABO 的面积是△EFO 的面积的4倍，故选项D 错误， 故选B ．6. 【答案】B【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵12DE AE =，DE=3，∴AE=6.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB ∥CD,∴△DEF ∽△AEB, ∴DE DFAE AB =,又DF=4，∵AB=8，∴□ABCD 的周长为28.故选B.7. 【答案】A 【解析】 在R t △ABG 中，AG6.∵四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠ADE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，则CE ＝BC －BE ＝15－10＝5.又∵BG ⊥AE ，∴AE ＝2AG ＝12，则△ABE 的周长为32.∵AB ∥DF ，∴△ABE ∽△CFE ，∴△ABE 的周长：△CEF 的周长＝BE ：CE ＝2：1，∴△CEF 的周长为16.8. 【答案】A【解析】正方形ABCD 中，∵BC=4， ∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°， ∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF ， ∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE ， cos ∠CBE=cos ∠ECG=BC CGBE CE=， ∴453CG =，CG=125，∴GF=CF ﹣CG=5﹣125=135， 故选A ．二、填空题9. 【答案】答案不唯一，如AD ∥BC 或AB=CD 或∠A +∠B=180°等10. 【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH 的面积等于▱PGCF 的面积. ∵CG=2BG ，∴BG ∶BC=1∶3，BG ∶PF=1∶2. ∵△BPG ∽△BDC ，且相似比为1∶3， ∴S △BDC =9S △BPG =9.∵△BPG ∽△PDF ，且相似比为1∶2， ∴S △PDF =4S △BPG =4. ∴S ▱AEPH =S ▱PGCF =9-1-4=4.11. 【答案】110°【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.12. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.13. 【答案】21° 【解析】设∠ADE=x ， ∵AE=EF ，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x ，DE=12AF=AE=EF ， ∵AE=EF=CD ，∴DE=CD ， ∴∠DCE=∠DEC=2x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠BCA=x ，∴∠DCE=∠BCD ﹣∠BCA=63°﹣x ，∴2x=63°﹣x ，解得x=21°，即∠ADE=21°； 故答案为：21°．14. 【答案】75【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.15. 【答案】（2，﹣1）【解析】∵▱ABCD 是中心对称图形，它的对角线交点O 为原点，点A （﹣2，1）与点C 成中心对称，∴点C 的纵、横坐标与点A 的互为相反数．∴点C 的坐标为（2，﹣1）.16. 【答案】24【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD ，BO=DO ， ∵点E 是BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD=2OE=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长=4×6=24； 故答案为：24．三、解答题17. 【答案】解：(1)六边形DEFGMN 的各个内角都是120°. 理由：∵△ADN ，△BEF ，△CGM 都是正三角形，∴它们的每个内角都是60°，即六边形DEFGMN 的每个外角都是60°. ∴六边形DEFGMN 的每个内角都是120°.(2)六边形DEFGMN 不是正六边形．理由：∵三个小正三角形(即△ADN ，△BEF ，△CGM)的边长均不相等， ∴DN ，EF ，GM 均不相等． ∴六边形DEFGMN 不是正六边形．18. 【答案】（1）解： ∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCD =2∠BCF .∵∠BCF =60°，∴∠BCD =2×60°=120°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ,∴∠ABC +∠BCD =180°. ∴∠ABC =180°-120°=60°.（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∠BAD =∠DCB .∴∠ABE =∠CDF .∵AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，∴∠BAE =12∠BAD =12∠DCB =∠DCF .在△ABE 和△CDF 中，∵∠ABE =∠CDF ，AB =CD ，∠BAE =∠DCF ， ∴△ABE ≌△CDF . ∴BE =DF .19. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，又∠DBC ＝90°， ∴∠ADB ＝90°，又AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝10cm ， 当t ＝1时，EB ＝2cm ， 则DE ＝8－2＝6cm ， ∵EH ⊥CD ，∠DBC ＝90°， ∴△DEH ∽△DCB ， ∴DE DC ＝EH BC ，即610＝EH 6， 解得EH ＝3.6cm ； (2)∵∠CDB ＝∠AEF ， ∴AE ∥CD ，∴∠AEG ＝∠EGH ，又EG ⊥AG ，EH ⊥CD ， ∴△AGE ∽△EHG ， ∴EG HG ＝AE EG ， ∴EG 2＝AE ·HG ；(3)由(1)得，△DEH ∽△DCB ，∴DE CD ＝EH BC ，即8－2t 10＝EH 6， 解得，EH ＝24－6t 5，∴y ＝12×DG ×EH ＝－6t 2＋24t 5＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245， ∴当t ＝2时，y 的最大值为245.20. 【答案】（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =． （2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤． 在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =． 在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =． 于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+． ②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤． 因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-．因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =． 因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-． 所以16322S MQ PM t =⋅=-+．图2 图3 图4（3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339S t t t =-+=--+． 因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289．③当1633t ＜≤时，16322S MQ PM t =⋅=-+． 因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14． 综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289． 考点伸展第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？ 此时161332t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322S MQ PM t =⋅=-． 图5。

2021年中考数学专题复习：四边形 试题精选汇编(含答案解析)

2021年中考数学专题复习：四边形试题精选汇编一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC 2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5 5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010 7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5 9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm 10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE 15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50 17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5 19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4 20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6 22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1 27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96 28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 29．（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个30．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°二．填空题（共4小题）31．（2020•德阳）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G 是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝．32．（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为．33．（2020•鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A 重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．34．（2020•河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE ∥AB，则OE的长是．三．解答题（共16小题）35．（2020•济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．36．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．37．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．（1）当点F在线段AD上时．①求证：BE＝DG；②求证：CD﹣FD＝BE；（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．38．（2020•鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关系是；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH 中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．39．（2020•朝阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．（1）如图1，求证：AM＝CE；（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．40．（2020•赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N．AB＝4，AD＝4．（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM∠EPN；②的值是；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y．请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．41．（2020•长春）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．42．（2020•丹东）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．43．（2020•长春）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．44．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为30厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．45．（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．46．（2020•吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．47．（2020•云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．48．（2020•湖北）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD 上的点C′处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA'D的形状是；（2）如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若AC′＝2cm，DC'＝4cm，求DN：EN的值．49．（2020•宜昌）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0°＜∠ABO≤60°，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE∥DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．（1）如图1，当点F在线段DC上时，求证：DF＝FC；（2）若延长AD与边GF交于点H，将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH．①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；②如图3，当tan∠ABO为定值m时，设DG＝k•DO，k为大于0的常数，当且仅当k＞2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．50．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA 重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC【答案】D【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．【答案】B【解答】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×5×PE+×5×PF＝12，∴PE+PF＝，故选：B．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或【答案】A【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5【答案】C【解答】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故选：C．5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条【答案】B【解答】解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010【答案】B【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝1×1＝，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝2×1＝1，同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴S2020＝22018，故选：B．7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．【答案】B【解答】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，OD⊥OC，如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．∵DO⊥OC，∴∠COM+∠DON＝90°，∠DON+∠ODN＝90°，∴∠COM＝∠ODN，∵∠CMO＝∠DNO＝90°，∴△COM∽△ODN，∴，∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，∠BAD＝120°，∴∠OCD＝60°，∠COD＝90°，∴，∴，∴，∴．故选：B．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5【答案】B【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④【答案】A【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF AD．即CF BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF BC，∴DE∥BC，且DE＝BC．∴正确的证明顺序是②→③→①→④，故选：A．11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解答】解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【答案】C【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长【答案】A【解答】解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．故选：A．14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【答案】A【解答】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵AE＝AB，AB＞AD，∴AE＞AD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得，GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC＝3，∴GB＝，∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝＝，∴tanα的值为，故选：A．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50【答案】C【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；故选：C．17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）【答案】D【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO＝＝＝OC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4【答案】B【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD＝BD＝×6＝3，OA＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，由勾股定理得，AD＝＝5，∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，∴OE＝AD＝×5＝2.5，故选：B．20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【答案】B【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE＝BC；①正确；∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CD＝AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH＝FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴＝，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF＝＝＝，∴BC＝2DE＝2EF＝2，④正确；故选：D．23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关【答案】C【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，，，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2＝，故选：C．24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤【答案】D【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠F AE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△F AE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【答案】C【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，故②正确；③∵△AOF≌△ABD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；故选：A．27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积＝．故选：C．28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 【答案】D【解答】解：过F作FH⊥BC于H，∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH＝，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，。

2022年中考数学：几何专题复习之四边形含答案

2021年中考数学：几何专题复习之四边形1．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大，再减小2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（）A．20 B．24 C．28 D．无法求出3．如图所示，已知菱形ABCD，∠B＝60°，点E、F分别为AB、BC上的动点，AC为对角线，点B关于EF的对称点为点G，且点G落在边AD上，连接EG，FG．下列四个结论中正确的个数为（）（1）若EG⊥AC，则；（2）若AG＝DG，则；（3）若AG＝DG，则；（4）在（2）成立的条件下，若菱形的边长为2，则．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（）A．2或B．6或C．2或6 D．1或5．在矩形ABCD中，AB＝2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF＝DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是（）①tan∠GFB＝；②MN＝NC；③；＝．④S四边形GBEMA．4 B．3 C．2 D．16．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四①S△ABC边形BHFG为菱形，其中正确结论为（）A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④7．如图，正方形ABCD边长为3，连接BD．点E、E分别是AD、CD上的一点，AE＝DF＝1．连接AF、BE交于点G，AF与BD交于点P．点M是BC上一点，∠MAF＝45°，连接AM交BE 于点H．将AM绕点M旋转90°交AF的延长线于点N，连接CN．下列结论：①AG＝GH；②∠MCN＝135°；③；④tan∠CNM＝；⑤连接CP，△CNP的面积是．其中，正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．28．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH •MH＝AB2，在以上5个结论中，正确的有（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（）A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF 于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．411．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2；⑤PB2+PD2＝2PA2；⑥AP⊥EF．其中正确结论有几个（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG•CA；③BE•DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④13．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交边AB于F，连接DF交线段AC于点H，延长DE交边BC于点Q，连接QF．下列结论：①DE＝EF；②若AB＝6，CQ＝3，则AF＝2；③∠AFD＝∠DFQ；④若AH＝2，CE＝4，则AB＝3+；其中正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，CE平分∠ACB，与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，则下列结论中正确的有（）个．①OF＝；②ON＝；③S＝；④sin∠ACE＝．△CONA ．1B ．2C ．3D ．415．如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且AF ：FB ＝2：3，CE ⊥DF ，垂足为M ，且交AD于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG ＝BC ，连接CM ．有如下结论：①DE ＝AF ；②S △DMC ＝S 四边形AFME ；③MG ：AB ＝5：4； ④S △ANF ：S 四边形CNFB ＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④16．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在CD 、AD 边上，且CE ＝DF ，连接BE 、CF 相交于G点．则下列结论：①BE ＝CF ；②S △BCG ＝S 四边形DFGE ；③CG 2＝BG •GE ；④当E 为CD 中点时，连接DG ，则∠FGD ＝45°．正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且CE ＝2DE ，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF ⊥AE ，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作OQ ⊥OP 分别交AE 、AD 于点N 、H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①∠AFO ＝45°；②OG ＝DG ；③DP 2＝NH •OH ；④sin ∠AQO ＝；其中正确的结论有（ ）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④18．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A．5个B．4个C．3个D．2个19．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF ，则所有正确结论的序号是（）＝S△BCEA．①②③④B．①②③C．②③④D．③④20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②；③AB+CD＝AD；④M到AD 的距离等于BC的；⑤M为BC的中点；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个参考答案1．解：设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，BF ＝x ，连接EG ，∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ＝HG ，EF ∥HG ，∴∠FEG ＝∠HGE ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠BEG ＝∠DGE ，∴∠BEG ﹣∠FEG ＝∠DGE ﹣∠EGH ，∴∠BEF ＝∠HGD∵EF ＝HG ，∠B ＝∠D ，∴Rt △BEF ≌Rt △DGH （AAS ），同理Rt △AEH ≌Rt △GFC ，∴S 平行四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ﹣2（S △BEF +S △AEH ）＝ab ﹣2[cx +（a ﹣c ）（b ﹣x ）]＝ab ﹣（cx +ab ﹣ax ﹣bc +cx ）＝ab ﹣cx ﹣ab +ax +bc ﹣cx＝（a ﹣2c ）x +bc ，∵E 是AB 的中点，∴a ＝2c ，∴a ﹣2c ＝0，∴S 平行四边形EFGH ＝bc ＝ab ，故选：C ．2．解：将阴影部分分割如图所示：根据直角三角形的三边为6、8、10．所以阴影部分的面积为2×10+2×2＝24．故选：B．3．解：（1）当EG⊥AC时，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，AB＝BC＝AD＝CD，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，∵EG⊥AC，∴∠AEG＝∠AGE＝30°，∴AE＝AG，∵∠AEG＝30°，AC⊥EG，∴EG＝AE，即EG＝AE，∵B、G关于EF对称，∴BE＝EG，设AE＝x，则BE＝EG＝x，∴＝，故（1）正确；（2）当AG＝DG时，连接CG、BG，BG交EF于H，如图2：∵AD＝CD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，又∵AG＝GD，∴CG⊥AD，∵AD∥BC，∴CG⊥BC，∴∠GBC+∠BGC＝90°，∵EF⊥BG，∴∠GBC+∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠BGC，∴cos∠BFE＝cos∠BGC＝，设菱形的边长为2x，则GD＝x，∴CG＝＝＝x，∴BG＝＝＝x，∴cos∠BFE＝cos∠BGC＝，故（2）正确；（3）如图3，连接BG，CG，过点G作NG⊥AB，交BA的延长线于N，设菱形的边长为2x，则AG＝GD＝x，∵∠NAG＝180°﹣∠BAD＝60°，∴∠AGN＝30°，∴AN＝AG＝，NG＝x，∵EG2＝EN2+NG2，∴EG2＝（2x+﹣EG）2+x2，∴EG＝0（不合题意舍去），EG＝x，∵GF2＝GC2+CF2，∴BF2＝3x2+（2x﹣BF）2，∴BF＝x，∴，故③正确；（4）如图4，设EF与BG的交点为H，∵AB＝2，∴由（2）（3）可得：BG＝，BE＝，BF＝，∵B、G关于EF对称，∴BH＝HG＝，EF⊥BG，∴HF＝＝＝，EH＝＝＝，∴EF＝HF+EH＝，故④正确；故选：D．4．解：∵长方形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，，解得，，即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，，解得：，即点Q的运动速度2cm/s时能使两三角形全等．综上所述，点Q的运动速度或2cm/s时能使两三角形全等．故选：A．5．解：①tan∠GFB＝tan∠EDC＝，①正确；②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠CNF，∴∠MDN＝∠CFN∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN∴△DEC≌△FEM（SAS）∴EM＝EC，∴DM＝FC，∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠CNF，DM＝FC，∴△DMN≌△FCN（AAS），∴MN＝NC，故②正确；③∵BE＝EC，ME＝EC，∴BE＝ME，在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），∴∠BEG＝∠MEG，∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，∴∠GEB＝∠MCE，∴MC∥GE，∴，∵EF＝DE＝，CF＝EF﹣EC＝﹣1，∴，故③错误；④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝5﹣1，∴BF＝+1，∵tan F＝tan∠EDC＝，∴GB＝BF＝，故④正确，故选：B．6．解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，∴BP＝BC＝，∴AP＝，∴．故①正确；②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，∴BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴AE＝EC＝AC＝，∵CF∥AB，∴∠FCA＝∠A＝60°，∵GF∥BC，∴∠FEC＝∠ACB＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，∴△EFC为等边三角形，∴FC＝EC＝，即FH＝．故②正确；③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，∵∠DBE＝30°，∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，∴∠EBN＝∠DBE＝30°，又∵BD＝BN，BE＝BE，∴△DBE≌△NBE（SAS），∴DE＝NE，∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，∵NP2+PE2＝NE2，∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵GF∥BH，BG∥HF，∴四边形BHFG是平行四边形，∵GF∥BH，BG∥HF，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，∴△AGE，△DCH都是等边三角形，∴AG＝AE，CH＝CD，∵AE＝CD，∴AG＝CH，∴BH＝BG，∴▱BHFG是菱形，故④正确，故选：B．7．解：∵AD＝AB，∠BAD＝∠ADF＝90°，DF＝AE，∴△ADF≌△BAE（SAS），∴∠DAF＝∠ABE，BE＝AF，∵∠MAF＝45°，∴∠DAF+∠BAM＝45°，∴∠ABE+∠BAM＝45°＝∠AHG，∴∠AHG＝∠MAF＝45°，∴AG＝GH，∠AGH＝90°，故①正确；如图，连接AC，MF，过点A作AQ∥BE，交CB的延长线于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AB＝BC＝3，∴AC＝3，∵将AM绕点M旋转90°交AF的延长线于点N，∴AM＝MN，∠AMN＝90°，∴∠MAN＝∠MNA＝45°，∴∠MNA＝∠MCA＝45°，∴点A，点M，点C，点N四点共圆，∴∠AMN＝∠ACN＝90°，∴∠MCN＝135°，故②正确；∵AQ∥BE，AE∥BC，∴四边形AEBQ是平行四边形，∠QAF＝∠BAD＝90°，∴AE＝BQ＝1，∠BAQ＝∠DAF，AQ＝BE＝AF，∵∠FAM＝45°，∴∠DAF+∠BAM＝45°，∴∠BAQ+∠BAM＝45°＝∠QAM，∴∠QAM＝∠MAF，又∵AM＝AM，AQ＝AF，∴△AQM≌△AFM（SAS），∴QM＝MF，∵MF 2＝CF 2+MC 2，∴（1+BM ）2＝（3﹣1）2+（3﹣BM ）2，∴BM ＝，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△MBH ， ∴＝（）2＝，∴设S △AEH ＝4a ，S △BHM ＝9a ，∵tan ∠DAF ＝，∴AG ＝3EG ＝GH ，∴S △AGH ＝3a ， ∴＝，故③正确； ∵点A ，点M ，点C ，点N 四点共圆，∴∠MNC ＝∠MAC ，∵∠MAC +∠CAN ＝45°，∠CAN +∠DAF ＝45°，∴∠DAF ＝∠MAC ＝∠MNC ，∴tan ∠CNM ＝tan ∠DAF ＝，故④错误；∵AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴AP ＝CP ，∴∠PAC ＝∠PCA ，∵∠ACN ＝90°，∴∠PAC +∠ANC ＝90°＝∠PCA +∠PCN ，∴∠PCN ＝∠PNC ，∴PC ＝PN ＝AP ，∵∠CAN +∠DAF ＝45°＝∠DAF +∠BAM ，∴∠CAN ＝∠BAM ，∴tan ∠CAN ＝tan ∠BAM ，∴，∴，∴CN＝，∴S＝×AC×CN＝，△ACN∵AP＝PN，∴S＝，故⑤正确；△CPN故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，∴∠EHM＝∠B＝90°，∵EM＝EM，EH＝EB，∴Rt△EMH≅Rt△EMB（HL），∴∠MEH＝∠MEB，∵∠FEH＝∠FEA，∴，∴△EFM是直角三角形，故①②正确，∵∠FEM＝90°＝∠FHE，∴∠FEH+∠MEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，∴∠EFH＝∠HEM，又∵∠FHE＝∠EHM＝90°，∴△FHE∽△EHM，∴，又∵EH＝EB＝AB，∴AB2＝4HF•HM，故⑤正确，如图1中，当M与C重合时，设AE＝EB＝2a．则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，∵∠FEM＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°＝∠AEF+∠AFE，∴∠AFE＝∠ECB，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BCE，∴＝，∴AF＝a，∴DF＝3a，∴DF＝3AF，∴，故③正确，如图2中，当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，综上所述，正确的有：①②③⑤，故选：C．9．解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE(SAS)，∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE(SAS)，∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，∵△AEF等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝30°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，故①正确；∵∠BAE+∠DAF＝30°，∴∠DAF+∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°，故②正确；∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，∴AC垂直平分EF，∴EG＝FG，故③正确；∵∠ECF＝90°，EG＝FG，∴CG＝EF，设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，∴CG＝EF＝x＝CE，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共4个．故选：D．11．解：过点P作PM⊥AB于点M，过点A作AN⊥BE于点N，连接AP、PC，①∵BD是正方形的对角线，则∠PDF＝45°，而PF⊥CD，则△PDF为等腰直角三角形，∴PD＝PF＝CE，故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，由正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故③正确；④由EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝＝2时，EF的最小值等于2，故④正确；⑤在Rt△PBM和Rt△PDF中，PB2＝PM2+MB2，PD2＝PF2+FD2，∴PB2+PD2＝2PA2；故⑤正确；⑥∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，∴PG＝PE，∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴∠BAP＝∠PFE，∵GF∥BC，∴∠AGP＝90°，∴∠BAP+∠APG＝90°，∵∠APG＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴AP⊥EF，故⑥正确；综上，①②③④⑤⑥正确，故选：D．12．解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，∴∠EAF＝∠BCE，∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，∴∠BCE+∠EFB＝180°，又∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，∴AE＝EF，∴EF＝EC，故①正确；∵EF＝EC，∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴∠FAC＝∠EFC＝45°，又∵∠ACF＝∠FCG，∴△FCG∽△ACF，∴，∴CF2＝CG•CA，故②正确；∵∠ECH＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，∴△ECH∽△CDH，∴，∴，∵∠ECH＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，∴△ECH∽△EBC，∴，∴，∴，∴BC•CD＝DH•BE＝16，故③正确；∵BF＝1，AB＝4，∴AF＝3，AC＝4，∵∠ECF＝∠ACD＝45°，∴∠ACF＝∠DCE，又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，∴△AFC∽△DEC，∴，∴，∴DE＝，故④正确，故选：D．13．解：如图，连接BE，∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，在△BEC和△DEC中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，∴∠ADE＝∠ABE，∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°，∴∠ADE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠ADE＝∠EFB，∴∠ABE＝∠EFB，∴EF＝BE，∴DE＝EF，故①正确；∵∠DEF＝90°，DE＝EF，∴∠EDF＝∠DFE＝45°，如图：延长BC到G，使CG＝AF，连接DG，在△ADF和△CDG中，，∴△ADF≌△CDG（SAS），∴∠AFD＝∠G，∠ADF＝∠CDG，DF＝DG，∵∠ADF+∠CDQ＝90°﹣∠FDQ＝45°，∴∠CDG+∠CDQ＝45°＝∠GDQ，∴∠GDQ＝∠FDQ，又∵DG＝DF，DQ＝DQ，∴△QDF≌△QDG（SAS），∴FQ＝QG，∠G＝∠DFQ，∴∠DFA＝∠DFQ，故③正确；∵AB＝6，CQ＝3，∴BQ＝3，FB＝6﹣AF，FQ＝QG＝3+AF，∵FQ2＝FB2+BQ2，∴（3+AF）2＝9+（6﹣AF）2，∴AF＝2，故②正确；如图：将△CDE绕点A顺时针旋转90°得到△ADM，连接MH，∴△CDE≌△ADM，∴AM＝CE＝4，∠DCE＝∠DAM＝45°，∠ADM＝∠CDE，DM＝DE，∴∠MAH＝90°，∠ADM+∠ADH＝∠CDE+∠ADH＝45°＝∠MDH，又∵DH＝DH，∴△DMH≌△DEH（SAS），∴EH＝MH，∵MH＝＝＝2，∴EH＝MH＝2，∴AC＝AH+EH+EC＝6+2，∴AB＝＝3+，故④正确；故选：D．14．解：①如图，过点E作EH⊥AC于H，∵AB＝3，AD＝4，∴AC＝＝＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝DO＝BO＝，∵CE平分∠ACB，EH⊥AC，∠ABC＝90°，∴BE＝EH，∵S△ABC ＝S△AEC+S△BCE，∴×AB×BC＝×AC×EH+×BC×BE，∴3×4＝5×EH +4×EH ，∴EH ＝＝BE ，∴AE ＝AB ﹣BE ＝，∵F 是线段CE 的中点，AO ＝CO ，∴OF ＝AE ＝，OF ∥AB ，故①正确；②∵OF ∥AB ， ∴＝＝，∴ON ＝BN ，∵ON +BN ＝BO ＝，∴BN ＝，NO ＝，故②正确；③∵S △BOC ＝S 矩形ABCD ，∴S △BOC ＝×3×4＝3，∵ON ＝BN ，∴S △CON ＝＝， 故③正确；④∵BE ＝，BC ＝4，∴EC ＝＝＝， ∴sin ∠ACE ＝＝＝， 故④错误，故选：C ．15．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠DCE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DE＝AF，故①正确；②∵△ADF≌△DCE，∴S△ADF ＝S△DCE，∴S△DMC ＝S四边形AFME；故②正确；③如图，过点G作GH⊥EC于H，∵AF：FB＝2：3，∴设AF＝2x＝DE，BF＝3x，∴AB＝BC＝5x＝CD，∵BG＝BC，∴BG＝x，∴CE＝＝＝x，∵cos∠DCE＝，∴，∴CM＝x，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，又∵∠CDE＝∠GHC，∴△CDE∽△GHC，∴，∴＝＝，∴CH＝x，∴MH＝CH＝x，又∵GH⊥CH，∴MG＝GC＝5x+x＝x，∴MG：AB＝5：4，故③正确；④∵AF：FB＝2：3，∴设AF＝2x，BF＝3x，∴AB＝BC＝5x＝CD，∵BG＝BC，∴BG＝x，∵AB∥CD，∴△ANF∽△CND，∴，＝，∵S△ABC ＝S△ACD＝，∴S△CND＝x2，∴S△ANF＝x2，∴S四边形BCNF＝，∴S△ANF ：S四边形CNFB＝4：31，故④错误；故选：C．16．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDF＝90°，又∵CE＝DF，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴BE＝CF，故①正确，∵△BCE≌△CDF，∴S△BCE ＝S△CDF，∴S△BCG ＝S四边形DFGE；故②正确，∵△BCE≌△CDF，∴∠DCF＝∠EBC，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠EBC+∠BCG＝90°，∴∠BGC＝∠EGC＝90°，∴△BCG∽△CEG，∴，∴CG2＝BG•GE；故③正确；如图，连接EF，∵点E是CD中点，∵△BCE≌△CDF，∴DF＝CE＝DE，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵∠ADC＝∠EGF＝90°，∴点D，点E，点G，点F四点共圆，∴∠DEF＝∠DGF＝45°，故④正确；故选：D．17．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，∵∠AOD＝∠NOF＝90°，∴∠AON＝∠DOF，∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，∵DF⊥AE，∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，∴∠OAF＝∠ODF，∴△ANO≌△DFO（ASA），∴ON＝OF，∴∠AFO＝45°，故①正确；如图，过点O作OK⊥AE于K，∵CE＝2DE，∴AD＝3DE，∵tan∠DAE＝，∵△ANO≌△DFO，∴AN＝DF，∴NF＝2DF，∵ON＝OF，∠NOF＝90°，∴OK＝KN＝KF＝FN，∴DF＝OK，又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°，∴△OKG≌△DFG（AAS），∴GO＝DG，故②正确；③∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP，∴△AOH≌△DOP（ASA），∴AH＝DP，∵∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO，∴△AHN∽△OHA，∴，∴AH2＝HO•HN，∴DP2＝NH•OH，故③正确；∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°，∴∠NAO＝∠AQO，∵OG＝GD，∴AO＝2OG，∴AG＝＝OG，∴sin∠NAO＝sin∠AQO＝＝，故④正确，故选：D．18．解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；故①正确；②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；故②正确；③当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE＝＝＝20，BE＝＝＝15，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP＝BF＝PG＝y，∴，∴y＝∴BP＝，在Rt△PBC中，PC＝＝＝，∴sin∠PCB＝＝，故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF＝PG＝PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，FG＝PB＝9，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，共4个，故选：B．19．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DFC＝∠BCF，∵点F是AD的中点，∴AD＝2DF，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，∴FG∥AB，∵CE⊥AB，∴FG⊥CE，∴EF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；∵CE⊥AB，AB∥CD，∴CE⊥CD，∴∠AEC＝∠DCE＝90°，即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，∵∠DCF＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；∵S△CEF＝CE•BE，S△BCE＝CE•FG＝CE•（AE+CD）＝CE•（AE+AB）＝CE•（2AE+BE），而2AE+BE不一定等于2BE∴S△CEF 不一定等于S△BCE，故错误④．故选：B．20．解：过M作ME⊥AD于E，∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，∴∠MDE＝∠CDA，∠MAD＝∠BAD，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD＝180°，∴∠MDA+∠MAD＝（∠CDA+∠BAD）＝×180°＝90°，∴∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DM平分∠CDE，∠C＝90°（MC⊥DC），ME⊥DA，∴MC＝ME，同理ME＝MB，∴MC＝MB＝ME＝BC，故⑤正确；∴M到AD的距离等于BC的一半，故④错误；∵由勾股定理得：DC2＝MD2﹣MC2，DE2＝MD2﹣ME2，又∵ME＝MC，MD＝MD，∴DC＝DE，同理AB＝AE，∴AD＝AE+DE＝AB+DC，故③正确；∵在△DEM和△DCM中，∴△DEM≌△DCM（SSS），同理S 三角形AEM ＝S 三角形ABM ， ∴S 三角形AMD ＝S 梯形ABCD ，故②正确； 故选：C ．。

2021年九年级中考数学复习：四边形专练

A． B． C． D．
11．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BO的长为（ ）
A．5B．8C．10D．11
12．如图，在 中， ，点 是斜边 的中点，分别以点 ， 为圆心，以 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ， ， 得到四边形 ，依次连接四边形 四条边中点得到四边形 ，若 ，那么四边形 的周长为（）
A． B． C． D．
13．如图，菱形 的边长为 ，对角线 ， 交于点 ， ，则菱形 的面积为（）
A． B． C．2D．4
14．如图，在菱形 中， ，E、F分别是边 、 的中点， 于点P，则 的度数是（）．
A．50°B．45°C．40°D．30°
15．如图，在矩形 中， 平分 交 于点 ， 交 于点 ，若 ， ，则 等于（）
A．5B．6C．7D．8
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（ ）
A． B． +1C． D．
17．如图，边长为 的正方形 的对角线 与 交于点 ，将正方形 沿直线 折叠，点 落在对角线 上的点 处，折痕 交 于点 ，则 长是（）．
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
23．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A，D在反比例函数 的图象上，对角线 平行x轴，点O在 上，且 ，连接 ， ，若 ，则k的值为（）
A．25B． C．45D．
24．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的边 在y轴的正半轴上，反比例函数 的图像分别交 于中点D，交 于点E，且 ，连接 ，若 ，则k的值为（）
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D的坐标为（ ）
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1 四边形 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．正七边形的外角和为 A.180° B．360° C．540° D．720° 2．游戏中有数学智慧．找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是 A.每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B.每段直路要短 C.每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D.每段直路要长

3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为 A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C.平行四边形→正方形→菱形→矩形 D.平行四边形→菱形→正方形→矩形 4．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO，若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为 A.36° B．54° C．64° D．72°

5．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2 cm，底边BC＝6 cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为

A.1 cm B．63 cm C.(23 －3) cm D．(2－3 ) cm 6．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是 2

A.互相平分 B．相等 C.互相垂直 D．互相垂直平分 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形

ABCD＝48，则OH的长为

A.3 B．6 C．13 D．8

8．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F，下列结论：①∠AED＋∠EAC＋∠EDB＝90°；②AP＝FP；③AE＝102 AO；④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36；⑤CE·EF＝EQ·DE.其中正确的结论有 A.5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题(9～10小题各5分；11小题有3个空，每空3分．共19分) 9．如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2的值为 ．

10．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝14 DE，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．

11．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足．

(1)点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，则DMBE 的值为 ；

(2)无论点M运动到何处，都有DMHM ＝ ； (3)在点M的运动过程中，四边形CEMD 成为菱形(填“可能”或“不可能”)． 三、解答题(共41分) 3

12．(13分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF. (1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，则EF＝________(用含a，b的式子表示)； (2)当点E在线段CA的延长线上时，由题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

13．(13分)如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB. (1)求证：BD⊥EC； (2)若AB＝1，则AE＝________； (3)如图2，连接AG，求证：EG－DG＝2 AG. 4

14．(15分)如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线分别交BD，CE于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N. (1)求证：AF＝EF； (2)MN＋NG的最小值为________； (3)当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？ 5

答案 四边形 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．正七边形的外角和为(B) A.180° B．360° C．540° D．720° 2．游戏中有数学智慧．找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是(A) A.每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B.每段直路要短 C.每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D.每段直路要长

3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为(B) A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C.平行四边形→正方形→菱形→矩形 D.平行四边形→菱形→正方形→矩形 4．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO，若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为(B) A.36° B．54° C．64° D．72°

5．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2 cm，底边BC＝6 cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为(D)

A.1 cm B．63 cm C.(23 －3) cm D．(2－3 ) cm 6．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是(C) 6

A.互相平分 B．相等 C.互相垂直 D．互相垂直平分 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形

ABCD＝48，则OH的长为(A)

A.3 B．6 C．13 D．8

8．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F，下列结论：①∠AED＋∠EAC＋∠EDB＝90°；②AP＝FP；③AE＝102 AO；④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36；⑤CE·EF＝EQ·DE.其中正确的结论有(B) A.5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题(9～10小题各5分；11小题有3个空，每空3分．共19分) 9．如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2的值为16 ．

10．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝14 DE，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为93 ．

11．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足．

(1)点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，则DMBE 的值为2；

(2)无论点M运动到何处，都有DMHM ＝2 ； (3)在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形(填“可能”或“不可能”)． 三、解答题(共41分) 12．(13分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D 7

作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF. (1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，则EF＝________(用含a，b的式子表示)； (2)当点E在线段CA的延长线上时，由题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

解：(1)a2＋b2 ；

(2)AE2＋BF2＝EF2. 证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°. ∵点D是AB的中点，∴AD＝BD. 又∠ADE＝∠BDM，∴△ADE≌△BDM(AAS). ∴AE＝BM，DE＝DM. ∵DF⊥DE，∴EF＝MF. ∵BM2＋BF2＝MF2，∴AE2＋BF2＝EF2.

13．(13分)如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB. (1)求证：BD⊥EC； (2)若AB＝1，则AE＝________； (3)如图2，连接AG，求证：EG－DG＝2 AG.

证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°. 又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB(SAS).∴∠AEF＝∠ADB.∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°. ∴BD⊥EC；

(2)1＋52 ； (3)图2中，在线段EG上取点P，使得EP＝DG.

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