直线的倾斜角
怎样描述直线的倾斜程度呢
.
练习一 P86练习1
1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
⑴a=30° ⑵a=45° ⑶a=120° ⑷a=135°
⑴k=tan30Biblioteka =3 3⑵k=tan45°= 1
⑶k=tan120°= 3
⑷k=tan135°= -1
3.经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)
(x1≠x2)的直线的斜率公式： k
k AB
30 5 (2)
3 3
1
∴ tana = -1
又∵0°≤ a ＜180°
∴a =135°
例2. 已知A(a, 2)、B(6, 1)、C(-4, 3)三点在同一直线上， 求a的值.
解：∵A、B、C三点在同一直线上
∴kAB=kAC
k AB
1 2 6a
1 6a
k AC
y l
P
O
x
因此，可用倾斜角表示直线的倾斜程度。
直线平行于x轴 或与x轴重合
y
y
直线垂直于x轴
y
y
O
x
a = 0°
a
O
x
0°< a < 90°
O
x
a = 90°
a
O
x
90°<a < 180°
直线倾斜角a的取值范围：0°≤ a ＜180°
2.直线的斜率
一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母k表示，即 k=tana ( a ≠90°)
P
O
x
容易看出，它们的倾斜程度不同． 怎样描述直线的倾斜程度呢？
1.直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,
直线的斜率与倾斜角
直线的斜率与倾斜角直线是几何中最基本的元素之一，我们常常需要研究直线的性质和特点。
其中，斜率和倾斜角是描述直线斜率的两个重要概念。
在本文中，我们将深入探讨直线的斜率和倾斜角，并讨论它们之间的关系。
一、直线的斜率直线的斜率可以简单地理解为在直角坐标系中，直线沿着x轴或y轴方向的增长速率。
斜率通常用字母“m”表示，其定义可以通过直线上两个点的坐标来确定。
设直线上两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率可以通过以下公式计算：m = (y2 - y1)/(x2 - x1)这个公式的分子表示y轴的增量，分母表示x轴的增量。
斜率的值可以正数、负数或零。
当斜率为正数时，表示直线向上倾斜；当斜率为负数时，表示直线向下倾斜；当斜率为零时，表示直线平行于x轴。
斜率的绝对值越大，说明直线越陡峭；斜率的绝对值越小，说明直线越平缓。
斜率为正无穷大或负无穷大时，表示直线为垂直于x轴或y轴的竖直线。
二、直线的倾斜角直线的倾斜角是直线相对于正x轴的夹角，用字母“θ”表示。
倾斜角的取值范围是0°到90°。
当直线与正x轴的夹角为0°时，表示直线与x轴平行；当直线与正x轴的夹角为90°时，表示直线与x轴垂直。
为了计算直线的倾斜角，我们可以利用斜率与三角函数之间的关系。
设直线的斜率为m，则直线的倾斜角可以通过以下公式计算：θ = arctan(m)其中，arctan函数是反三角函数中的一种，可以通过计算机或科学计算器进行计算。
倾斜角的计算结果通常以弧度或角度表示。
三、斜率与倾斜角的关系斜率和倾斜角之间存在着紧密的联系。
当我们知道直线的斜率时，可以通过斜率的正负性来判断直线的倾斜方向。
当斜率为正数时，直线向上倾斜；当斜率为负数时，直线向下倾斜。
同时，斜率的绝对值可以用来计算直线的倾斜角。
具体地说，当斜率为m时，倾斜角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan(|m|)这个公式告诉我们，倾斜角的值等于斜率绝对值的反三角函数值。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。
3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。
5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。
3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。
6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。
说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。
2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。
3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。
七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。
2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。
直线与倾斜角
例5 设直线 l 的斜率为 k ，且 -1<k<1 ，求此直线的倾斜角α 的取值范围 . 解： 0 ,
∴ 当 0≤ k <1 时， 有 0≤ tanα<1，
[0 ， ) ， 0 . 此时 2 4
∴ 当 -1<k<0 时， 有 -1<tanα<0 ，
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
升高量 坡度 前进量
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A
前进量
高 量
B
直线的斜率
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这 条直线的斜率.(slope)。
Q( x2 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
o
(4)
x
思考？
2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时， k tan0 0 上述公式还适用吗？为什么？
0
y
P ( x1, y1 ) 1
P2 ( x2 , y2 )
y2 y1 k x2 x1
x1 o
x2
x
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，K=0
的斜率为 k 2, 求.x, y.的值.
7 5 x 3 2, 解：由斜率公式得 y 5 2. 1 3
x 4. 所以 y 3.
课堂练习 P.86 T1,2,3,4.
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分 别为1，-1，2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l4． 解：取 l1上某一点为 A1 的 y
直线的倾斜角与斜率
3.1直线的倾斜角与斜率✧ 知识要点倾斜角1. 定义：取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜．．角．. 2. 倾斜角的范围：直线的斜率1. 定义：倾斜角不是 的直线，它的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.2. 当α 时，k当α 时，直线的斜率不存在当α 时 k3. 计算公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2) 说明：过两点的斜率公式与两点的顺序无关，当倾斜角α＝90°时，斜率的坐标公式不再适合．两直线平行1. 判定方式：l 1∥l 2⇔k 1=k2. （两直线不重合时）两直线垂直1. 判定方式：l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.（两条直线都有斜率）✧ 经典例题例题1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.例题2 .若三点A(2,3)，B(3,2)，C(21,m)共线，求实数m 的值.变式：1.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab ≠0)共线，则a 1+b1的值等于_____________.例题3 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD|的长.变式：1. 过点P(－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段A 的中心，求直线l 的斜率和倾斜角.例题4 已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.变式：已知P （－3，2），Q （3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ 的延长线、QP的延长线相交，试分别求出a 的取值范围.课后练习1、已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为( )A.13B．－13C．3 D．－32、关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)3、已知直线y=kx＋k＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k的取值范围.4、已知两直线l1:y=2k(x+2),l2:y=3k(x-2),它们与x轴围成一个三角形,若使P(3,3)在这三角形内,求k的范围.第3章 3.1 3.1.1一、选择题1．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( ) A ．1 B. 3 C.233D ．－ 3 2．已知点A (1,0)、B (3，－2)，直线l 经过点P (0，－3)与线段AB 相交，则l 的斜率取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，3B.⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞) C ．不存在 D.⎣⎡⎦⎤－13，3或不存在 3．若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.124．①直线l 的倾斜角是α，则l 的斜率为tan α；②直线l 的斜率为－1，则其倾斜角为45°；③与坐标轴平行的直线没有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率． 上述命题中，正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知直线l 1与l 2垂直，l 1的倾斜角α1＝60°，则l 2的斜率为( )A. 3B.33 C ．－ 3 D ．－336．过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或47．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．35°或135°D ．90°二、填空题8．等腰三角形ABC 中，底边BC 平行于x 轴，AB 的斜率为k ，则边AC 的斜率为________．9．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．10．若过P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是________．11．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.三、解答题12．求经过A(ma，mb)，B(a，b)，(ab≠0，m≠1)两点的直线的斜率，并判断倾斜角为锐角还是钝角．13．若直线l的斜率为函数f(a)＝a2＋4a＋3(a∈R)的最小值，求直线l的倾斜角α.14．已知A(－3,8)，B(2,4)，若P A的斜率是PB斜率的两倍，点P在y轴上，求点P的坐标．15．已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一条直线上，求a的值．第3章 3.1 3.1.2一、选择题1．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)2．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194 C ．5 D ．43．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)、(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．14．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°5．直线l 1⊥l 2，又l 2过点A (1,1)，B (m ，n )，l 1与y 轴平行则n ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．不存在6．已知A (－1,2)，B (1,3)，C (0，－2)，点D 使AD ⊥BC ，AB ∥CD ，则点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－97，47B.⎝⎛⎭⎫547，137C.⎝⎛⎭⎫383，133D.⎝⎛⎭⎫387，577．已知点M (1，－3)、N (1,2)、P (5，y )，且∠NMP ＝90°，则log 8(7＋y )的值为( )A ．1B.23 C ．0 D.12 二、填空题8．平行四边形ABCD 中，已知三个顶点坐标为A (－3,1)、B (3,0)、C (－1,2)，则D 点坐标为________．9．直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是______．三、解答题10.已知实数x 、y 满足82=+y x ，当32≤≤x 时，求xy 的最大值和最小值.。
直线的倾斜角与斜率
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
两条直线垂直的判定与应用
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
1-(-2) 3 -1-(-2)
所以 y 3 的最大值为8,最小值为 4 .
x2
3
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.
两条直线(不重合)平行的判定
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
关于求直线斜率和倾斜角的公式
关于求直线斜率和倾斜角的公式直线斜率和倾斜角是数学中的基本概念，它们的解析式可以通过几何图形、三角函数等方法推导而来。
在本文中，我们将详细介绍求解直线斜率和倾斜角的公式，并配合实例进行阐述。
1. 直线斜率的公式及求解方法直线的斜率是指直线在坐标系中的倾斜程度，它表示直线沿水平方向上的运动量与沿竖直方向上的运动量之比。
斜率的计算方法有多种，我们将分别介绍以下两种方法。
方法一：点斜式公式点斜式公式是求解直线斜率最常用的方法之一。
如果已知直线上某一点和它的斜率，则可以通过点斜式公式计算直线方程。
设直线过点（x₁，y₁），斜率为k，则有：y-y₁=k(x-x₁)将其改写为一般式，即y=kx+b其中，b=y₁-kx₁为直线的截距。
例如，已知直线过点（2，3），斜率为2，那么根据点斜式公式，可以写出直线方程为：y-3=2(x-2)化简得：y=2x-1因此，直线的斜率为2，截距为-1。
方法二：斜率公式斜率公式是另一种常用的求解直线斜率的方法。
它的基本原理是计算直线上任意两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
设直线上两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则有：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)其中，k为直线的斜率。
例如，已知直线上两点（3，1）和（5，3），则根据斜率公式，直线的斜率为：k=(3-1)/(5-3)=1因此，直线的斜率为1。
需要注意的是，斜率存在的前提是直线存在。
在一些情况下，直线可能不存在斜率，例如水平直线和竖直直线。
此时，我们需要特殊考虑。
2. 直线倾斜角的公式及求解方法直线倾斜角是指直线相对于水平方向或竖直方向的倾斜程度，也称为直线的倾角或坡度。
直线倾斜角的求解方法多样，以下是两种常见的方法。
方法一：利用斜率求解倾斜角的定义是直线与水平线的夹角。
因此，我们可以先利用斜率求出直线与水平线之间的夹角，进而计算直线的倾斜角。
设直线的斜率为k，则有：θ=arctan(k)其中，arctan为反正切函数。
直线的倾斜角、斜率、两直线位置关系
§3。
1 直线的倾斜角、斜率、两条直线的平行、垂直位置关系注：直线的倾斜角、斜率在线性规划问题中已经讲完，本节课对此复习，本节课的新授内容是两直线的位置关系.A 。
直线的倾斜角 1.直线的倾斜角定义（ⅰ）直线l 与x 轴有交点时：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的最小正角。
(ⅱ）直线l 与x 轴平行或重合时，规定：倾斜角为零角. 2.直线倾斜角的范围：[0,)π.3.直线倾斜角与直线的对应关系 是“一对多”关系.即[0,)π内的任何一个角，都对应无数条平行直线;反过来，坐标平面内的任意一条直线,都有唯一的倾斜角。
B 。
直线的斜率 1.直线的斜率定义2.斜率公式条件：直线经l 过两点：111(,)P x y 、222(,)Px y ，其中12x x ≠。
斜率公式：2121y y k x x -=-(或1212y yk x x -=-）. 3。
直线斜率函数图象斜率函数图象可用来解决一下两个范围问题: （1)由直线倾斜角范围求斜率范围. （2）由直线斜率范围求倾斜角范围. 4.直线斜率的求法： （1）定义法; （2）公式法； （3）直线方程法：①方程11()y y k x x -=-表明,直线斜率为因式1()x x -的系数. ②方程y kx b =+表明，直线斜率为x 项的系数。
③方程1x x =表明，直线斜率不存在。
④方程1y y =表明，直线斜率0k =.⑤当0B ≠时，由方程0Ax By C ++=得到直线斜率为A k B=-。
C 。
两条直线位置关系设1l 、2l 为两条不同直线,并且约定：直线1l 斜率存在时,记为1k ，不存在时，记为“1k 不存在”.同理,直线斜2l 率存在时，记为2k ，不存在时,记为“2k 存在”，则1。
直线1212//l l k k ⇔=或1k 、2k 都不存在.k ⎧=⎨⎩ 不存在，90α≠时. tan ,90,αα︒≠πO1π41-事实上，若12//l l ，则它们的位置关系有以下两种：①1l ，2l 与x 轴都相交但不垂直；②1l ,2l 都垂直于轴。
直线的倾斜角与斜率直线的方程
第1节 直线的倾斜角与斜率、直 线的方程
◆考纲·了然于胸◆
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线 斜率的计算公式．
2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 3．掌握确定直线位置的几何要素． 4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式 等)，了解斜截式与一次函数的关系．
即 x＋4y－2＝0.该切线在 x 轴上的截距为 2，在 y 轴上的截
距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S＝12
×2×12＝12.
[答案]
1 2
[通关锦囊] 1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整 理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”． 2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直 线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
2．直线方程的五种形式
名称 几何条件
方程
适用条件
斜截式 点斜式
纵截距、 斜率
过一点、 斜率
y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0)
与 x 轴不垂直 的直线
两点式
过两点
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
与两坐标轴均 不垂直的直线
截距式 纵、横截距
ax＋by＝1
不过原点且与 两坐标轴均不
垂直的直线
质疑探究 1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？ 提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直 线都存在斜率．倾斜角为 90°的直线斜率不存在．
质疑探究 2：直线的倾斜角 θ 越大，斜率 k 就越大，这种 说法正确吗？
提示：这种说法不正确．由 k＝tan θ(θ≠π2)知 (1)当 θ∈[0，π2 )时，k＞0，θ 越大，斜率就越大； (2)当 θ∈(π2，π)时，k＜0，θ 越大，斜率也越大．
直线的倾斜角与斜率、直线方程_图文
直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？
(1)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率为1，则m＝ ________.
(2)直线x＋y＝1的倾斜角为________．
2．
填一填：(1)1 (2)135° 2．填一填：(1)3x＋4y－14＝0 (2)x＋y－3＝0 (3)x－y －7＝0或4x＋3y＝0
直线l2的方程为( )
A. x＋3y－5＝0
B. x＋3y－15＝0
C. x－3y＋5＝0
D. x－3y＋15＝0
B
[] 已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那 么直线l的倾斜角的取值范围是________．
2 [2013·](1)过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0
的直线方程为( )
A. x－2y＋7＝0
B. 2x＋y－1＝0
C. x－2y－5＝0
D. 2x＋y－5＝0
1. (1)直线的倾斜角 ①定义：x轴________与直线________的方向所成的角叫 做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的 倾斜角为________． ②倾斜角的范围为__________．
(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的 斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是 90°的直线没有斜率． ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 为k＝________.
备考· No.1 角度关键词：易错分析 解题过程中容易犯有两处错误：一是未考查点P与圆的位 置关系；二是运用直线方程的点斜式时，忽视了点斜式方程中 隐含的条件：此方程只能表示斜率存在的直线．
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直线的倾斜角、斜率及方程
知识点：
一．直线的倾斜角：
1．定义：把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，
就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
2．倾斜角的范围,0
二．直线的斜率：
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝
tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
2．斜率公式：经过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk；
3．应用：证明三点共线： ABBCkk。
三．直线的方程：
名称 已知条件 方程 说明
斜截式 斜率k y轴上的截距b bkxy 不包括垂直于x轴的直线
点斜式 点P1(x1,y1)，斜率k 1yy=k（1xx） 不包括垂直于x轴的直线
两点式 ),(111yxP ),(222yxP 不包括坐标轴和平行于
坐标轴的直线
截距式 x轴上的截距a y轴上的截距b 1byax 不包括坐标轴，平行于
坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0 A、B不同时为0
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
例2．设直线l的斜率为k，且-1 12112 例4．求满足下列条件的直线方程。 例5．直线l过定点A(-2，3)且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l的方程。 3、直线的倾斜角为，满足cos3sin2，并且在y轴上的截距为1，求此直线方程 5、直线l经过P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 A．)2(21xy B．)2(211xy C．)2(21xy D．)2(211xy 8、Rm，直线012)1(myxm过定点（ ） 10．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，l2的方程是bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)，则下列各 11.已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________. 14．将直线2x-3y-6=0绕着它与y轴的交点逆时针旋转45°的角后，在x轴上的截距是（ ） (2)在两坐标轴上截距相等的直线方程． 17.一直线过点P(-5，4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线方程。
1
xxxxyyyy
例3．求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程。①经
过点(-4，1)，②在y轴上的截距为-10。
(1)过点A(-2，3)，B(4，-1)。
(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，-5。
(3)过点P(2，3)且在坐标轴上截距相等。
1.、设P为x轴上的点，)14,2(),8,3(BA，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，求点P的坐标 .
2.、直线l的倾斜角]43,2()2,4[，则斜率k
4、若0,0bk时，则直线bkxy必不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6、已知直线l在y轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形面积为8，求此直线方程.
7、已知直线l过点P（-2，1），倾斜角与直线32xy的倾斜角互补，则直线l的方程是
（ ）
A．)21,1( B．)0,2( C．)3,2( D．)3,2(
已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
9．若ab>0，ac>0，则直线ax+by+c=0不经过的象限是（ ）
A、一 B、二 C、三 D、四
示意图形中，正确的是________．
12.(原创题)若点A(ab，a＋b)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过第________象限．
13．直线l：2x-y-4=0绕它与x轴的交点逆时针方向旋转所得直线的方程是（ ）
A、x+y+2=0 B、x+3y-2=0
C、3x-y-3=0 D、3x+y-6=0
A、- B、 C、- D、
15．求过点P(2,3)，且满足下列条件的直线方程：
(1)倾斜角等于直线x－3y＋4＝0的倾斜角的二倍的直线方程；
16．已知M(2，-3)，N(-3，-2)，直线l过点P(1，1)，且与线段MN相交，求直线l斜率k
的范围。
18、直线l与直线012yx的夹角为o45，则直线l的斜率是
19、已知两点)4,0(),0,2(BA，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．02yx B．042yx C．032xy D．052yx
20．已知直线l：ay＝(3a－1)x－1.
(1)求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；
(2)a取何值时，直线l不过第二象限？