《向量的加法运算》复习教案与课后作业

6.2 平面向量的运算《6.2.1 向量的加法运算》复习教案【自主预习】1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝A B →＋BC →＝AC →.已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB →，AD →为邻边作▱ABCD ，则对角线上的向量AC →＝a ＋b .思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示] 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．3．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．1．下列各式不一定成立的是( ) A ．a ＋b ＝b ＋a B ．0＋a ＝aC.AC →＋CB →＝AB →D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |D [A ，B ，C 项满足运算律，而D 项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]2.CB →＋AD →＋BA →等于( )A.DB →B.CA →C.CD →D.DC →C [CB →＋AD →＋BA →＝CB →＋BA →＋AD →＝CD →.]3．如图，在平行四边形ABCD 中，DA →＋DC →＝________.DB →[由平行四边形法则可知DA →＋DC →＝DB →.]4．小船以10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h.20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为(103)2＋102＝20(km/h)．]【合作探究】[探究问题]1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？ [提示] (1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．2．设A 1，A 2，A 3，…，A n (n ∈N ，且n ≥3)是平面内的点，则一般情况下，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n 的运算结果是什么？[提示] 将三角形法则进行推广可知A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →. 【例1】 (1)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填一个向量)：①AB →＋DF →＝________； ②AD →＋FC →＝________； ③AD →＋BC →＋FC →＝________.(2)①如图甲所示，求作向量和a ＋b ； ②如图乙所示，求作向量和a ＋b ＋c .甲 乙[思路探究] (1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．(1)①AC →②AB →③AC →[如题图，由已知得四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①AB →＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →.②AD →＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →.③AD →＋BC →＋FC →＝AD →＋DF →＋FC →＝AC →.](2)[解] ①首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c＝a ＋b ＋c 即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．1．在本例(1)条件下，求CB →＋CF →.[解] 因为BC ∥DF ，BD ∥CF ，所以四边形BCFD 是平行四边形，所以CB →＋CF →＝CD →.2．在本例(1)图形中求作向量DA →＋DF →＋CF →. [解] 过A 作AG ∥DF 交CF 的延长线于点G ，则DA →＋DF →＝DG →，作GH →＝CF →，连接DH →， 则DH →＝DA →＋DF →＋CF →，如图所示．1．向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．【例2】 (1)化简： ①BC →＋AB →； ②DB →＋CD →＋BC →； ③AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.(2)如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：①DG →＋EA →＋CB →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →.[思路探究] 根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．[解] (1)①BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →； ②DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝0；③AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝0.(2)①DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．1．向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →化简后等于( )A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →D [原式＝(AB →＋BM →)＋(PB →＋BO →＋OP →)＝AM →＋0＝AM →.][思路探究][解] 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53， |CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5.∴A 处所受的力的大小为5 3 N ，B 处所受的力的大小为5 N.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不能写成0.【课堂达标训练】 1．判断正误(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) (4)|a |＋|b |＞|a ＋b |.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC →的是( ) A.BA →＋AD →＋DC → B.BD →＋DA →＋AC → C.AB →＋BD →＋DC →D.DC →＋BA →＋AD →C [在A 中，BA →＋AD →＋DC →＝BD →＋DC →＝BC →；在B 中，BD →＋DA →＋AC →＝BA →＋AC →＝BC →；在C 中，AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →；在D 中，DC →＋BA →＋AD →＝DC →＋BD →＝BD →＋DC →＝BC →.]3．若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →|＝82＋82＝82(km)， 因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]4．如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.[解] (1)由题图可知，四边形OABC 为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由题图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.《6.2.1 向量的加法运算》课后作业[合格基础练]一、选择题1．下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →.A ．②③B ．②C ．①D ．③ B [②错误，AB →＋BA →＝0，①③正确．]2．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同D ．与向量b 方向相反A [因为a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，由三角形法则知向量a ＋b 与a 同向．] 3．若向量a 表示“向东航行1 km”，向量b 表示“向北航行 3 km”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)kmB [AB →＝a 表示“向东航行1 km ，BC →＝b 表示“向北航行 3 km”，根据三角形法则，∴AC →＝a ＋b ，∵tan A ＝3，∴A ＝60°，且AC →＝(3)2＋12＝2，∴a ＋b 表示向北偏东30°方向航行2 km.]4.如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →C [设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO .]5．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可A [根据三角形法则可知，a ∥b ，且a 与b 方向相同．] 二、填空题6．设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0.③ [单位向量不一定相等或相反，也不一定共线，但其模为1，故只有③正确．]7.如图，在平行四边形ABCD 中，AD →＋AB →＝________，AD →＋DC →＝________，AC →＋BA →＝________.AC →AC →BC →(或AD →) [利用三角形法则和平行四边形法则求解．]8.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于________．2 [正六边形ABCDEF 中，AB →＝ED →，CD →＝AF →，∴AB →＋FE →＋CD →＝ED →＋FE →＋AF →＝AF →＋FE →＋ED →＝AD →，∵|AB →|＝1，∴|AD |＝2.] 三、解答题9．如图所示，试用几何法分别作出向量BA →＋BC →，CA →＋CB →.[解] 以BA ，BC 为邻边作▱ABCE ，根据平行四边形法则，可知BE →就是BA →＋BC →.以CB ，CA 为邻边作▱ACBF ，根据平行四边形法则，可知CF →就是CA →＋CB →.10．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP →＋CQ →＝0.求证：AP →＋AQ →＝AB →＋AC →.[证明] ∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP →＋CQ →＝0，∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →.[等级过关练]1．若a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中： ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.正确结论的序号是( )A ．①⑤B ．②④⑤C ．③⑤D ．①③⑤D [a ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，b 为任一非零向量，∴a ∥b ，即①对；0＋b ＝b ，即②错，③对；④中|0＋b |＝|b|＝|0|＋|b|，即④错，⑤对．故选D.]2．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( )A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形D [设线段BC 的中点为O ，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|AB →＋AC →|＝2|AO →|，又|AB →＋AC →|＝2，故|AO →|＝22， 又BO ＝CO ＝22，所以△ABO 和△ACO 都是等腰直角三角形， 所以△ABC 是等腰直角三角形．]。