1.6.2垂直关系的性质
1.6.2垂直关系的性质
一、教学目标
1、知识与技能
（1）掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法
（1）在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点：直线与平面、平面与平面垂直的性质
三、教学难点：性质定理的证明及应用
四、学情分析：
五、学法指导：观察感知、猜想与证明
六、教学方法：探究交流、讲练结合。
七、教学过程：
（一）创设情景
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
（二）研探新知
1、操作确认
观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图1，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）
迁移活动（图2）：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？
2、推理证明
已知：如图18-4，直线l ⊥平面α，直线m ⊥平面α，垂足分别为A ，B ．
求证：l ∥m ．
证明：假设直线ｍ不与直线l 平行．过直线m 与平面α的交点B ，作直线m ′∥l ，
由直线与平面垂直的判定定理的推论可知，m ′⊥α．设ｍ和m ′确定的平面为β，α
与β的交线为ａ，因为直线m 和m ′都垂直于平面α，所以直线m 和m ′都垂直于交线ａ．因
为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线有且仅有一条，所以直线m 和
m ′必重合，即l ∥m ．
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，
然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
（三）应用巩固
例3：如图1-80，在正方体''''ABCD A B C D -中，',','BD BC DC 分别为三条面对角线，
'A C 为一条体对角线。
求证：（1）'A C BD ⊥
（2）'A C ⊥平面'DBC
证明： （1）连接AC ，
在正方体''''ABCD A B C D -中，
'AA ⊥平面ABCD ，所以'AA BD ⊥。
又四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥。
又'A A AC A = ，所以BD ⊥平面'A AC ，
从而'A C BD ⊥
（2）同理可证''A C DC ⊥，
而BD DC D = ，所以'A C ⊥平面'DBC 。
（四）类比拓展
类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？
例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？
引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上
画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性质定理
的确认与证明，并归纳性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（五）巩固深化
已知：如图，α⊥β，α∩β＝CD ，AB
α，AB ⊥CD ，
求证：AB ⊥β．
分析：要证AB ⊥β，只需在β内再找一条直线与ＡＢ 垂直，
但β内没有这样的直线，如何作出这条直线呢？因为α⊥β，
所以可根据二面角的定义作出这个二面角的平面角．在平面β内
过点B 作BE ⊥CD ．因为AB ⊥CD ，所以∠ABE 是二面角α-CD-β的
平面角，并且∠ABE ＝90°，即AB ⊥BE ．又因为CD β，BE β，所以AB ⊥β． （六）发展思维
思考1、设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，直线a 与平面
α具有什么位置关系？
（答：直线a 必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a ，若α⊥β，a ⊥β，a α，则直线a 与平面α具有什
么位置关系？
（六）归纳小结
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
八 板书设计：
九 关键词：直线与平面垂直 平面与平面垂直
十 教学反思：
面面垂直性质定理
§2.3.4平面与平面垂直的性质 教学目标： 1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识 教学重、难点： 重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： 师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。 而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的： （§2.3.4平面与平面垂直的性质）
那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂直？ 现在把这个问题数学符号化： 已知：α⊥βα∩β=CD 求证：β内一直线与α垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来： 分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面内找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β内作BE⊥CD于点B,在α内过点B作AB⊥CD
证明： 在β内作BE⊥CD于点B，在α内过点B作AB⊥CD BE⊥CD 二面角∠ABE为直二面角α⊥βα∩β=CD AB⊥BE CD⊥BE BE⊥α AB∩CD＝B 这样上面的问题就得以解决证明 像这样的，两个平面垂直，其中一个平面内一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。 我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。 接下来看到书上第二个思考题 思考一：设α⊥β，点P在平面α内，过点P 作β的垂线a，那么直线a与α有什么位置关系？
直线和平面垂直的判定与性质
郸城二高高二年级集体备课教学案 直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加．2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用．二、教学重点、难点、疑点 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α． 2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题．3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） 郸城二高杨雅莉- 1 -
面面垂直的判定性质定理例题.docx
面面垂直的判定 1、如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面 BCC1 B1是菱形，且 B1C A1B 证明：平面 AB1C平面A1BC1 2、如图 ,AB 是⊙O的直径 ,PA 垂直于⊙ O所在的平面 ,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点 , 求证 : 平面 PAC⊥平面 PBC. 3、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是菱形，∠ BCD＝60°，E 是 CD的中点， PA ⊥底面 ABCD，求证：平面 PBE⊥平面 PAB；
4、如图，在四面体ABCD中， CB＝CD， AD⊥BD，点 E、 F 分别是 AB、BD的中点．求证：(1) 直线 EF∥平面 ACD； (2) 平面 EFC⊥平面 BCD. 5、如图 , 在四棱锥 S-ABCD中, 底面 ABCD是正方形 ,SA⊥底面 ABCD,SA=AB,点 M是 SD 的中点 ,AN⊥SC,且交 SC于点 N. (I) 求证 :SB∥平面 ACM; (II)求证:平面SAC⊥平面AMN.
面面垂直的性质 1、S 是△ ABC所在平面外一点， SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC. 2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形， 平面 VAD⊥底面 ABCD证明 :AB⊥平面 VAD
3、如图，平行四边形 ABCD 中，DAB 60，AB 2, AD 4 将CBD沿BD折起到 EBD 的位置，使平面 EDB 平面 ABD 。求证： AB DE 4、如图，在四棱锥P ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB=AD， ∠BAD=60°， E、F 分别是 AP、AD的中点 求证：（1）直线 EF‖平面 PCD；（2）平面 BEF⊥平面 PAD
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
2.3直线、平面垂直的判定及其性质 教案设计1
直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加． 2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用． （三）德育渗透点 引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α．
2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题． 3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） （二）猜想推测，激发兴趣 1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．
高中数学复习教案：直线、平面垂直的判定及其性质
第五节直线、平面垂直的判定及其性质 [考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 1．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直． (3)推论：如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面． (4)直线和平面垂直的性质： ①垂直于同一个平面的两条直线平行． ②直线垂直于平面,则垂直于这个平面内的任一直线． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 2．直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°. 3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围是0°≤θ≤180°. 4．平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言
判 定定理一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直 ? ? ? l⊥α l?β ?α⊥β 性质定理两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平 面垂直? ? ? α⊥β l?β α∩β＝a l⊥a ?l⊥α [常用结论] 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α. () (2)垂直于同一个平面的两平面平行．() (3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行．() (4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 B[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出 “直线a与平面M垂直”,反之可以,所以是必要不充分条件．故选B.] 3．(教材改编)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l?α,m?β.() A．若l⊥β,则α⊥βB．若α⊥β,则l⊥m C．若l∥β,则α∥βD．若α∥β,则l∥m A[∵l⊥β,l?α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确．]
第11讲 空间中垂直关系的判定与性质
空间中垂直关系的判定与性质 一．基础知识整合 1.直线与平面存垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足． （2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图 （3）判定定理 ?????l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ?l ⊥α 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． （2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角， 其中平面角是直角的二面角叫作直二面角． 3.平面与平面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 ?????a αa ⊥β?α⊥β 符号语言
? ????α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ?a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D 为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥ 平面ABC . 变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点， P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC . 题型二：面面垂直的判定 例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ， AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG . 证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG 为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG 的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ， 所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG . 变式训练 2 ：如图，在空间四边形 ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、 F 、 G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面 BDG . 证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， 又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平
面面垂直的判定和性质教案
面面垂直的判定定理和性质定理教学设计 高二数学 彭立丽 一、 教学目标 1． 知识目标：使学生理解和掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题。 2．能力目标：加深学生对化归思想方法的理解及应用． 3．情感目标：通过计算机软件演示来陶冶学生的数学情操．在数学与实际问题密切联系中，激发学生的学习欲望和探究精神，在课堂学习中，学生既有独立思考，又有合作讨论，有意识、有目的地培养学生自主学习的良好习惯以及协作共进的团对精神。 二、教学重点、难点 重点：两个平面垂直的判定定理； 难点：两个平面垂直的性质定理及应用 三、教学方法与教学手段 教学方法：本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．． 教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高效率。 四、教学过程 （一）复习提问：1、直线和平面垂直的判定定理 2、直线和平面垂直的性质定理 （二）导入新课：瓦匠师傅砌墙的图片（多媒体展示） （三）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （要求学生熟练掌握定理内容的符号形式） 例题： A 是ΔBCD 所在平面外一点，AB=AD ，BC=CD,E 是BD 的中点， 求证：(1)BD ⊥平面AEC (2)平面AEC ⊥平面BCD 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （要求同上） 例题：如图，平面AED ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形 求证：EA ⊥CD （四）归纳小结：（从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结） （五）巩固练习1：直角三角形？问：此三棱锥中有几个面已知, ,CD BC BCD AB ⊥⊥ 巩固练习2：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，平面PAC ⊥平面ABC 判断平面PBC 与平面PAC 的位置关系，并证明。 （六）作业：
线面垂直与面面垂直的判定与性质
立体几何之垂直关系 【知识要点】 空间中的垂直关系 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示． 题型1 平移证明线线垂直 例1 如图，在四棱锥ABCD P -中，N M AD BC AB AD BC BC AB ,.2,1,,===⊥分别为DC PD ,的中点，求证：AC MN ⊥ 例2 底面ABCD 是正方形，Q G BE PD PD BE ,,2,=‖分别为AP AB ,的中点，求证：CG QE ⊥
例3 如图，在正方形1111D C B A ABCD -中，M 为1CC 的中点，F E ,分别为11,D A CD 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：OM EF ⊥ 题型2 线面垂直判定 例1 如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ?是等边三角形。 ①若ABC ?是等边三角形，证明：PC AB ⊥ ②若 90=∠=∠PBC PAC ，证明：PC AB ⊥ 例 2 已知四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面边长分别是2和4的正方形， 41=AA 且
ABCD AA 底面⊥1，点P 为1DD 的中点，求证：PBC AB 面⊥1 例3 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB BAC ==∠,90 ，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11C B 的中点。证明：⊥D A 1平面BC A 1 题型3 线面垂直性质证明线线垂直 例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，D AA AC ACB ,2 1,901= =∠ 是棱1AA 的中点，求证：BD DC ⊥1 例2 已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且FN AM =。求证：AB MN ⊥
垂直的判定和性质专题及答案
垂直的判定和性质专题 垂直的判断方法及性质汇总： 一、判定线面垂直的方法 1．定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2．如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6． 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 二、判定两线垂直的方法 1．定义：成?90角 2．直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5．一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 三、判定面面垂直的方法 1．定义：两面成直二面角,则两面垂直 2．一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 四、面面垂直的性质 1．二面角的平面角为?90 2．在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3．相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 专题训练： 一．选择题： 1．已知直线l ⊥平面α，给出：① 若直线m ⊥l ，则m //α；② 若直线m ⊥α，则m //l ；③ 若直线m //α，则m ⊥l ；④ 若直线m //l ，则m ⊥α。以上判断正确的是 B （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②④ 2．下列命题正确的是 B （A ）垂直于同一直线的两条直线平行 （B ）垂直于同一直线的两条直线垂直 （C ）垂直于同一平面的两条直线平行 （D ）平行于同一平面的两条直线平行 3．设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，且P 到△ABC 各边的距离相等，那么△ABC C （A ）是非等腰三角形 （B ）是等腰直角三角形 （C ）是等边三角形 （D ）不是A 、B 、C 中所述的三角形 4．正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，PA =12，那么P 到对角线BD 的距离是D （A ）123 （B ）122 （C ）63 （D ）66 5．如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 D （A ）l ?α （B ）l ⊥α （C ）l //α （D ）l ?α或l //α 6．已知直线a , b 和平面α，下列推论错误的是 D （A ）a a b b αα⊥??⊥??? （B ）//a b a b αα⊥? ?⊥?? （C ）//或a b a a b ααα⊥????⊥? （D ）////a a b b αα? ????
直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)含答案
直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义） ?知识点睛 一、直线与平面垂直（线面垂直） 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________． a b α ∵_________，b⊥α， ∴___________． 其他性质： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面． 二、平面与平面垂直（面面垂直） 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直． α a l β ∵α⊥β，α∩β=l，________，________， ∴a⊥β． 其他性质： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面； 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．
?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l， m的位置关系是（） A．平行B．异面C．相交D．垂直 2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（） A．m∥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给 出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n； ③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，m∥n，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β； ⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m ⊥l，n⊥l．其中正确命题的序号是________________． 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（） B C D A A B． 2 a C． 2 a D．a
2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型归纳
2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型全归纳 与垂直相关的几个重要结论 1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a ⊥α，b ?α?a ⊥b ． 2．若两平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 垂直关系的转化 1．线面垂直证明的核心 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 2．线线垂直的隐含条件 证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)直角梯形等等． 3．利用面面垂直的判定定理，其关键是寻找平面的垂线． (1)若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直． (2)若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加． 注意：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的． 4．三种垂直关系的证明方法 (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α； ②判定定理1： ???? ?m ，n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ?l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β． (2)证明线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b ． (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β． 题型一、直线与平面垂直的判定与性质 1．(2012·湖南高考)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD . 证明：BD ⊥PC ； 2．(2014·福建高考)如图所示，三棱锥 A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ； (2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． 3．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)证明：EF ⊥平面P AB ．
直线与直线直线与平面平面与平面垂直的判定与性质汇总
【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 【教学目标】 知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念； （2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】 在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解． 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣． 例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD1 1 垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】
过 程 行为 行为 意图 间 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直． 解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义， 可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD . 图9-43 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 10 *运用知识 强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 2．在图9?43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答 了解 知识 掌握 情况 14 *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 如图9?44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂 直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面 上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直． 质疑 引导 分析 思考 带领 学生 分析 17 *动脑思考 探索新知 【新知识】 从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 讲解 说明 理解 带领 学生 分析 图9?44
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明． 例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使 得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论
直线、平面垂直关系的判定与性质
第5节直线、平面垂直关系的判定与性质 一、直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直. 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直,则该直 线与此平面垂直 ? ? ? ? ?? ? ? ? ⊥ ⊥ = ? ? b l a l O b a b a α α ?l⊥ α 文字语言图形语言符号语言 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行?a∥b 练习 1.设l、m、n均为直线,其中m、n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:l⊥α?l⊥m,l⊥n,反之因为m、n不一定相交, 故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α. 故选A. 2.若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则以下命题正确的是( B) (A)若m⊥α,n⊥α,则m⊥n (B)若m∥n,m⊥α,则n⊥α (C)若m⊥β,α⊥β,则m⊥α (D)若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α 解析:由m⊥α,n⊥α可得m∥n,故A错; B.平行线中一条垂直平面,另一条必垂直平面,所以正确; C中,由m⊥β,α⊥β,则有m∥α或m?α,故C错. D选项n与α的关系不确定,
故选B. 3.命题“如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直”是真命题吗?其逆命题呢? (不是、是) 二、直线与平面所成的角 1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角. 2.线面角θ的范围: ? ? ? ? ? ? 2 ,0 π 质疑探究:(1)直线与平面所成的角为α,与该平面内的直线所成的角为β,则α与β的关系如何? (2)直线与平面平行(垂直)时所成角等于多少? 提示:(1)α≤β. (2)0?? ? ? ? ? 2 π. 三、二面角、平面与平面垂直 1.二面角 (1)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:二面角αlβ或二面角αABβ或二面角P AB Q. (2)二面角的平面角 在二面角αlβ的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 2.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 文字语言图形语言符号语言
直线、平面垂直的判定及其性质-练习题1(答案)
】 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1、“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（） A、l B、l⊥ C、l∥ D、l或l∥ 3、若两直线a⊥b，且a⊥平面，则b与的位置关系是（） A、相交 B、b∥ C、b D、b∥，或b · 4、a∥α，则a平行于α内的( ) A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无数多条平行线 5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( ) A、一条直线不相交 B、两条直线不相交 C、无数条直线不相交 D、任意一条直线都不相交 6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( ) A、平行 B、相交 — C、平行或相交 D、平行、相交或在平面α内 二、填空题 7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面 有个. 8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个. 9、过一点可作________个平面与已知平面垂直. . 10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.
11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直. 三、解答题 （ 12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条 ] 14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么 > 15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l 求证：AP在α内
《直线与平面垂直的判定》教学设计
《直线与平面垂直的判定》教学设计 一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。 直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理，本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。直线与平面垂直的判定方
法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。 本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。 二、学情分析 （1）学生的起点能力分析 学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。 学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。 （2）学习行为分析 本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解。进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线和此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线. ②垂直于同一个平面的两条直线________. ③垂直于同一直线的两平面________. 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的____________，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面. 4.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的 角叫做二面角的平面角. 1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有________条. 2.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接P A、PB、PC， (1)若P A＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点. (2)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心. (3)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心. 3.m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题： ①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β. 其中，所有真命题的编号是________.