原子物理学答案杨福家高教第四版.doc

目录

第一章原子的位

形 (2)

第二章原子的量子态：波尔模

型 (8)

第三章量子力学导论 (12)

第四章原子的精细结构：电子的自旋 ........................ 错误!未定义书签。

第五章多电子原理：泡利原理 (23)

第六章 X射

线 ............................................................................... . (28)

第七章原子核物理概论 ........................................... 错误!未定义书

签。

第一章 原子的位形 1-1)解：

α粒子与电子碰撞，能量守恒，动量守恒，故有：

e

e

vmvMvM vMmvMv 222 2

1

2

1 2

1

222

e e v M

mvv v M mvv

evmp

eep=mvp=mv ，其大小： (1)

222(')(')(') e

m vvvvvvv

M

近似认为：(');'pMvvvv

22

e m vvv M

有

21 2e

ppMmv

亦即： (2)

(1)2/(2)得

22

4

2

22 10e e mvm pMmvM p

亦即：()ptgrad p

-4～10

1-2) 解：① 22

a bctg E

228e

；库仑散射因子：a=

4 )

2)(

4 ( 4 2 0 2

0 2 E Ze E Zea 22279()()1.44()45.5

45 eZ afmMevfm EMev

当901

时，ctg

2

1

22.75

2 bafm

亦即：1522.7510bm

② 解：金的原子量为197A ；密度：731.8910/gm

依公式，λ射

粒子被散射到θ方向，d 立体角的内的几率：

ntdadP 2

sin16

)( 4

2

(1)

式中，n 为原子核数密度，()

A

A

mnn

N

即：AVn A

(2)

由（1）式得：在90o→180 o范围内找到

粒子得几率为： )(P 1802 2 490

ant2sin

() 164sin

2

d

ant

将所有数据代入得

)(

P5()9.410

这就是粒子被散射到大于90o范围的粒子数占全部粒子数得百分比。 1-3)解：

74.5;79;,3;EMevZLi Z 对于全核对于金

74.5;79;,3;EMevZLi Z 对于全核对于

)2)( 4

( 4 2 0

2 0 2 E

Ze

E Zear

m

当Z ＝79时 279 1.4450.56

4.5m rfmMevfm Mev

当Z ＝3时， 1.92;mrfm 但此时M 并不远大于m ，clmEE

21,(1) 2cc Mm EuvEaa MmM

4

(1)3.02

7mc raafm 1-4)解： ① fm E Ze E

Zer m7)

2)( 4

( 4 2 0

2

0 2

将Z ＝79代入解得：E=16.25Mev

② 对于铝，Z ＝13，代入上公式解得：

2e13

4fm=()

4E

E=4.68Mev

以上结果是假定原子核不动时得到的，因此可视为理论系的结果，转换到实验室 中有：(1)lcmEE M

对于

① 1(1)16.33 197lc EEMev

② 1(1)4.9

27lc

EEMev

可见，当M>>m 时，lcEE ，否则，lcEE

1-5)解：

在θ方向d Ω立方角内找到电子的几率为：

2

212 4

1 ()

44sin

2

ZZedNd nt NE

注意到： ;A

A

NA

nttntt NA 2

4

()

4sin

2

ANdNadtn

NA

2

1279()1.44113.76

41.0 ZZe afmMevfm EMev

2 22

1.5 1.510

10

s d

r

2

4 () 4sin 2

ANdNadtn

NA

23132

326 4

6.021*******.510 1.510()8.910

1974sin30

215 2 4 1011410

23132 3264

1-6)解：

22

3

cos

2()()4

44sin4sin

22

ada dNNntNntd

散射角大于θ得粒子数为：

180

'NdN

依题意得：

180 360 60 18090

390 sin

2 sin

3 2 1sin

2 sin 2

d N Nd

，即为所求

1-7)解

2

1016 104 24 2

sin

2

cos

4

2

sin

2

cos

4

2 sin 2 cos

24 1)180( 02

32 3022

180 3 2180 3 2 180 3 22

21 2 0 1800

0 0

0 0

ctgN Aa

ctga

A

N da

A Nda A tN

d

E eZZnt N

dNP Am

Am

AmA

依题：

srbsrm tga d

d c

/24/1024

30sin

10

1002.61024 104181 2

sin 1 4 )( 228

04

02 232 34

2

1-8)解：

在实验室系中，截面与偏角的关系为（见课本29页） 111 max

222

121 12 2

1sin()901

1sin0

(1sin)

1sin0 L L

L L mmm mmm m mm mm m

－ －

① 由上面的表达式可见：为了使()LL 存在，必须：

21

2

1(sin)0L

m

m

即：11 22

1sin(1sin)0LL

mm

mm （）

－

亦即：

1 2 1 2 1sin0

1sin0 L

L

m m m m

－ 或

1 2 1 2 1sin0

1sin0 L

L

m m m m

－

考虑到：180L sin0L 第二组方程无解

第一组方程的解为：1 2

1sin1L

m

m

可是，1 2 sinL m

m 的最大值为1，即：1 2 sinL

m

m

② 1m 为α粒子，2m 为静止的He 核，则1

2

1 m

m ，

max()90L

1-9）解：根据1-7）的计算，靶核将入射粒子散射到大于的散射几率是

24

)(22

ctgantP 当靶中含有两种不同的原子时，则散射几率为

120.70.3

将数据代入得：

132322312

2

223

11 3.142(11.4410)1.5106.0221015

4(1.0) 7949(0.700.30)5.810 197108 Mevcmgcmmolctg Mev

gmolgmol

1-10)解：

① 金核的质量远大于质子质量，所以，忽略金核的反冲，入射粒子被靶核散时 则：

之间得几率可用的几率可用下式求出：

22 44

2sin2sin ()()

44sinsin 22

ata nt A

2

121791.4494.8 41.2R

ZZeMevfm afm EMev

由于12

，可近似地将散射角视为： 12596160

22

；

6159 0.0349

180

rad

将各量代入得：

2413

234

4

19.321.51094.8102sin600.0349 6.02101.5110

1974sin30

单位时间内入射的粒子数为： 910 19 5.0101 3.12510 1.6010

QIt N ee

（个）

T 时间内入射质子被散时到5961

之间得数目为：

10493.125101.51106051.410NNT

(个)

② 入射粒子被散时大于θ的几率为：

22 2231.8810 4242A ata ntctgNctg A

103103.125101.88106051.810NNT

（个）

③ 大于10的几率为：

2 22

108.171042

a ntctg

大于10的原子数为：10211'3.125108.17106057.6610N

（个）

小于10

的原子数为：10123.125101605'8.610NN （个）

注意：大于0

的几率：1

大于0

的原子数为：103.12510605NT

第二章 原子的量子态：波尔模型 2-1)解：

khvEW

① 00,1.9kEhve 有Wh 0

Hz

seV

eV h W14 150106.4101357.4

9.1

nm

eV eVnm

W hcc6.652 9.1

1024.13 0 0

② nmhc

eV eVnm WE

hcc

k 7.364

)9.15.1( 1024.13

2-2)解： 2

21

11;;()nnn VncZ

ravZZEE Znnn

① 对于H ：

2

111210.53;42.12ranaAraA

2

111210.53;42.12ranaAraA 6161

121

1 2.1910();1.110() 2

vcmsvvms

对于He+：Z=2

1121

6161

11

1 0.265;21.06 2

24.3810();2.1910() raAraA vcmsvcms

对于Li+：Z ＝3

1121

6161

11

14

0.177;0.707

33

3

36.5710();3.2910() 2

raAraA vcmsvcms

② 结合能＝21()nA

Z

EEE n

13.6;413.654.4;122.4HHeLiEevEevEev

③ 由基态到第一激发态所需的激发能：

2222

11111 13

()()(1)

2144

ZZ EEEZEEZ

对于H ： 3 1 312.410 ()(13.6)10.2;1216 410.2HH hcev EevAA Eev eV eV E hc He2.10

104.123 13()13.6440.8;303.9 4HHe

hc EevA E

3

1

312.410

()(13.6)10.2;1216 410.2HH hcev EevAA Eev

对于He+：13()13.6440.8;303.9 4HHe hc EevA E

9.303

E hc He

1

3

()13.6440.8;303.9

4HHe

hc

EevA E

对于Li++：13()13.6991.8;135.1 4HLi hc EevA E

1.135

E hc He

1

3

()13.6440.8;303.9

4HHe hc

EevA E

2-3)解：

所谓非弹性碰撞，即把Li++打到某一激发态， 而Li++最小得激发能为

eVEEEELi8.91)3

2

3(2 2 2 11212

这就是碰撞电子应具有的最小动能。 2-4)解：方法一：

欲使基态氢原子发射光子，至少应使氢原子以基态激发到第一激发态

122110.2EEEev

V

根据第一章的推导，入射粒子m 与靶M 组成系统的实验室系能量EL 与EC 之间 的关系为：cLMEE Mm

所求质子的动能为：

2 1212

1 (1)220.4

2kc

Mmm EmvEEEev

MM

V 所求质子的速度为： )(1026.6

10673.1

106.14.202214 27 19

sm m

Evk

方法二：

质子与基态氢原子碰撞过程动量守恒，则

vmmvmHPP

10 10v

mm mv HP P

10

2 10

22

102

1 2

1)(

2

1 2 1E mm mvmvmmvmE

HP

HPHPP eVEEEvmEP4.20)(22

2

1 12

2

1010

)/(1026.624

21010smc cm

Ev P MeVcmP9382其中

2-7)解： ~22211()vRZ mn

，巴而末系和赖曼系分别是：

22

2 22 2

2 1 1

1~ 3 1 2

1~ RZ RZ L B

220222222111113614();();133.7

231253L vRZvRZnm RZRZ

288(133.7),2

15

RZnmZHE 解得：即：原子的离子He2

88

(133.7),2 15 RZnmZHE 解得：即：原子的离子。 2-8)解：

213(1)4340.8

44

hc

EhvhcvhcRZRhcRhcev

V 此能量电离H 原子之后的剩余能量为：'40.813.627.2Eev

V

即：286126 12'54.4 '3103.110() 20.5110 E mvEvcms mc

2-9)解：

（1）基态时两电子之间的距离： （2）2

1

6.80

12

AREhcRhcev 电离能：＝

1212

33

5.10 48A

EhcvRhcRhce v

第一激发能： （3）由第一激发态退到基态所放光子的波长：

nmvrrvmrvm

r

mv r e k vvvrrrrrr

mmm

222111 2

2 2

212121

21

:

2 : ,2,:

角动量量子化条件 运动学方程 质心系中

2/ 4 2 22

0 me n

r

r

e k r

e

kmv r

e k vmvm EEEpk

2 22 22 2

22

22

2 11

2222 0

42 2 6.13 24

)2/(2

n

eVHE

hn

emEn n

nmar106.021

eVEEE eV HE

E

10.5

80.6

2

1212 1

nm EE hc3.243)12(

12

2-10)解：

- 子和质子均绕它们构成体系的质心圆周运动，运动半径为 r1和r2，r1+r2 =r 折合质量 M = m1 m2 /(m1 +m2) = 186 me

r1= r m2/(m1+m2) = r M/m1 r2 = r m1/(m1+m2) = r M/m2

运动学方程：Ke2/r2 = m1 v12/r1 = m12 v12 /(M r) -------------------------（1）

Ke2/r2 = m2 v22/r2 = m22 v22 /(M r) ------------------------（2）

角动量量子化条件：m1 v1 r1 + m2 v2 r2 = n ? n = 1, 2, 3, …. 即 M (v1 +v2) r = n ? --------------------------------------（3）

共有三个方程、三个未知数。可以求解。 (1) 式 与 (2)式 做比值运算： v1 / v2 = m2/m1 代入 (3) 式中

M v2 (m2/m1 +1) r = n ? 即 m2 v2 r = n ? ----------- (4)

(2)式 和 (4)式 联立解得：

a n e h nr

Mn1 2

22

2 02

1864 4

------------------ （5）

式中 a1 = 0.529

A ，为氢原子第一玻尔轨道半径。 根据（5）式，可求得，

子原子的第一玻尔轨道半径为 r1 = a1/186 = 0.00284

A 。

再从运动学角度求取体系能量对r 的依赖关系。

E = EK + EP = 1/2 m1 v12 + 1/2 m2 v22 – K

e2/r

= (1/2 M/m1 + 1/2 M/m2 – 1) K e2/r = - 1/2 K e2/r

把（5）式代入上式中

En = )(186 )4( 2 222

42

HE hn Me n

因此，

子原子的最低能量为 E(n=1) = 186

(-13.6 eV) = -2530 eV

赖曼系中最短波长跃迁对应 从 n = 1 的跃迁。该跃迁能量即为 2530 eV 。

由 hc/

= 2530 eV 计算得到

min = 4.91

A 2-11)解：

重氢是氢的同位素 11; 11

HD

ee

HD

RR MM MM

1

10.9997280.999728 1 10.5002 H D

Rx R x

解得：30.544510x ；质子与电子质量之比11836.50

x

2-12)解： ① 光子动量：hp

，而：hc

E

811

26

10.2 3103.26 938.310pp EEev pmvvcmsms cmc

=81126

10.2 3103.26

938.310pp

EEev pmvvcmsms cmc

② 氢原子反冲能量： 2 2

2

1() 22kpp

E

Emv mc

926

10.2 5.410

22938.310

k

vp EEev Emcev

2-13)解：

由钠的能级图（64页图10-3）知：不考虑能能级的精细结构时，在4P 下有4个 能级：4S ，3D ，3P ，3S ，根据辐射跃迁原则。1l ，可产生6条谱线：

43;44;33;43;43;33PDPSDPSPPSPS

2-14)解：

依题：主线系：)()3(1~nPTST

； 辅线

系：)()3(1~)()3(1~nDTPTn

STPT

或 即： nm PT nm PTST 6.408

10)3(;

3.589

1)3()3(

① )3(ST61 1

34.14410()(3);

589.3408.6

SmTS nmnm 1

)3(PT6132.44710()(3) 408.6 PmTP nm

1

相应的能量：

eVmeVnmShcTSE14.

510144.41024.1)3()3(163

eVmeVnmPhcTPE03.310447.21024.1)3()3(163

② 电离能 eVSE14.5)3( 第一激发电势：eVSEPEE11.2)3()3(12

第三章 量子力学导论

3-1)解：以1000eV 为例：非相对论下估算电子的速度： eV

c vkeV

c vcmvm ee10002 1511 2 1

2

12222

所以 v ≈ 6.25%

c

故 采用相对论公式计算加速后电子的动量更为妥当。 加速前电子总能量 E0 = mec2 = 511 keV

加速后电子总能量 E = mec2 + 1000 eV =512000 eV 用相对论公式求加速后电子动量

c

eVeV c cmE

c pe3198400261121000000262144000011422

电子德布罗意波长 m eV

meV

eV

hc p h106103880.0 31984 10241.1 31984 = 0.3880 ?

采用非相对论公式计算也不失为正确：

5

66 21031969.0

10241.1

10005112 10241.1 22

m eVkeV

meV

Ecm

hc Em

h

p h keke

0.3882 ? 可见电子的能量为100eV 、10eV 时，速度会更小 ，所以可直接采用非相对 论公式计算。

4

66

210011.1

10241.1

1005112 10241.1 22

m eVkeV meV

Ecm

hc Em h

p h keke

1.2287 ?

4

66

21031969.0

10241.1

105112 10241.1 22

m eVkeV

meV Ecm

hc Em

h p h keke

3.8819 ? 3-2)解：

不论对电子（electron ）还是光子(photon)，都有： = h/p 所以 pph/pe = e/

ph = 1:1

电子动能 Ee = 1/2 me ve2 = pe2 / 2me = h2 / (2me e2)

光子动能 Eph = h = hc/

ph

所以 Eph / Ee = hc/ph (2me e2) / h2 = hc /

(2me c2e)

其中 组合常数 hc = 1.988 10?25 J m me c2 = 511 keV = 0.819 10?13 J

代入得 Eph / Ee = 3.03 10?3 3-3)解：

(1) 相对论情况下 总能 E = Ek + m0c2 = mc2 =

2 2

)(1 c

v cm

其中 Ek 为动能，m0c2 为静止能量。对于电子，其静止能量为 511 keV 。 由题意：)1 )(1 1

( 2 2

2

0 2

c

v cmcmEEcmk 容易解得 ccv866.02/3

(2) 电子动量 cm

c

v vm

mvp

2 03

)(1

其德布罗意波长 A

J mJ cm chph0 16

25

2 0

014.0 10602.1511732.1

10988.1 3

/

3-5)解：

证明： 非相对论下：

0 0

25.12 p h

V

p0 为不考虑相对论而求出的电子动量，0 为这时求出的波长。

考虑相对论效应后： p

h

这里 p 为考虑相对论修正后求出的电子动量， 为这时 求出的波长。则

/0=p0/p=

1 2 1

2

2 )(

2 1 2 2

224222422

cm

EEcmE

Emc cmcmE Emc

cmE

c

Em e kkek ke eek

ke e ke

Ek = 加速电势差电子电量，如果以电子伏特为单位，那么在数值上即为 V 。

/0 =

1

2

1 2cm

V

e

这里 mec2 也以电子伏特为单位，以保证该式两端的无量纲性和等式的成立。

mec2 也以电子伏特为单位时，2mec2 的数值为 1022000。如果设想电子加 速电压远小于1022000伏特，那么 V/2mec2 远小于 1。（注意，这个设想实际上 与电子速度很大存在一点矛盾。实际上电子速度很大，但是又同时不可以过大。 否则，V/2 mec2 远小于 1 的假设可能不成立）。

设 y = 1 + V/2 mec2 = 1+x ，f(y) =

y

1

由于

x << 1， f(y) 函数可在 y = 1 点做泰勒展开，并忽略高次项。结果如下：

f(y) = 1 + x y

f

y

1|= 1 + xyy 12/3| 1

)2/1(= 1?

x/2 = 1 ? 2

4cm V e

将mec2 以电子伏特为单位时的数值 511000 代入上式，得 f(y) =

V 610489.01 因此 = 0 f(y) = nm

V

nm

V)10978.01( 25.12)10489.01(25.12

6

6

3-7)解： Hz

ccc779 8 21051010600

103,:

即得由

hEhE:得由

s h h E tEt91059.1 4

1

42 ,

2

所以又

3-8)解：

由P88例1可得

eVJ rm

E e k

511

214312

234

2

2

108678.2105885.4

100.110109.914.332 1063.63 8 3

3-9)解：（1）