【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 3.1数乘向量 新人教A版必修4
人教A版高中数学必修4课后习题 第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课后篇巩固探究基础巩固1.下列说法正确的个数为( )①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0. A.1B.2C.3D.4,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.2.13[12(2a +8b )-(4a -2b )]等于( )A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b=16(2a+8b)-13(4a-2b)=13a+43b-43a+23b=-a+2b=2b-a.3.在△ABC 中,D 是线段BC 的中点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EA⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .4.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+5b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),则 ( )A.A,C,D 三点共线B.B,C,D 三点共线C.A,B,C 三点共线D.A,B,D 三点共线BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B, 所以A,B,D 三点共线.5.已知向量a 与b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+mb,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =na+b(m,n ∈R),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的条件是( ) A.m+n=0 B.m-n=0 C.mn+1=0D.mn-1=0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+mb,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =na+b(m,n ∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,∵向量a 与b 不共线,∴{1=λn ,m =λ,即mn-1=0,故选D.6.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-7e,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 的形状是 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-57CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,又知|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 是等腰梯形.7.在四边形ABCD 中,AB ∥CD,AB=3DC,E 为BC 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .128.在△ABC 中,点M 为边AB 的中点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ==12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴存在实数λ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=y=λ2,∴yx=1.9.如图,已知D,E 分别为△ABC 的边AB,AC 的中点,延长CD 到M 使DM=CD,延长BE 至N 使BE=EN,求证:M,A,N 三点共线.D 为MC 的中点,且D 为AB 的中点,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可证明AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AN ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A. ∴M,A,N 三点共线.10.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求(13a -b)−(a -23b)+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.原式=13a-b-a+23b+2b-a=(13-1-1)a+(-1+23+2)b=-53a+53b.∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=(-5+103)i+(-103-53)j=-53i-5j.(2)将3x-y=b 两边同乘2,得6x-2y=2b. 与5x+2y=a 相加,得11x=a+2b, ∴x=111a+211b.∴y=3x-b=3(111a +211b)-b=311a-511b.能力提升1.如图,AB 是☉O 的直径,点C,D 是半圆弧AB 的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+bAODC 为菱形,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b.2.已知点P 是△ABC 内的一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则△ABC 的面积与△PBC 的面积之比为( ) A.2B.3C.32D.6BC 的中点为D,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图,过点A 作AE ⊥BC,交BC 于点E,过点P 作PF ⊥BC,交BC 于点F,则|PF ||AE |=|PD ||AD |=13.∴S △ABC S △PBC=12|BC |·|AE |12|BC |·|PF |=3.3.已知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,故λ=13.4.在平行四边形ABCD 中,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗ ,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .,有AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ )=λ(AD⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即{λ3+μ=1,λ+μ2=1,解得{λ=35,μ=45,故λ+μ=75.5.在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴3CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2AP⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A),如图所示.∵A,M,Q 三点共线,∴设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2CB⃗⃗⃗⃗⃗ +(x-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x 2-1)AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴{x 2=t3,x2-1=-t ,解得t=34.6.已知△OBC 中,点A 是线段BC 的中点,点D 是线段OB 的一个三等分点(靠近点B),设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b. (1)用向量a 与b 表示向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,判断C,D,E 是否共线,并说明理由.∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,点A 是BC 的中点,∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a. ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a-b. (2)假设存在实数λ,使CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+35(-b)=a+25b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BO⃗⃗⃗⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2a+13(-a+b)=53a+13b,∴a+25b=λ(53a +13b), ∴{53λ=1,13λ=25,此方程组无解, ∴不存在实数λ,满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴C,D,E 三点不共线.。
人教A版数学必修4PPT课件平面向量3
(1)<0,a 0, a与a方向一定相反;
(2) 0, a 0, a与a方向一定相同;
(3) 0,a 0, a与a是共线向量;
(4) >0,a 0, a与a方向一定相同;
(5) <0,a 0, a与a方向一定相反.
A.2个 B.3个 C.4个
D.5个
2.下列叙述不正确的是( A ) A．若 a、b 共线，则存在唯一的实数 λ，使 a＝λb. B. b＝3a(a 为非零向量)，则 a、b 共线
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思考2：向量 a＋ a ＋a 和(- a )+(- a )+(- a )分
别如何简化其表示形式？
提示: a＋ a ＋ a 记为3 a ， （－ a ）＋（－ a）＋（－ a ）记为－3 a .
思考3：向量3 a 和－3 a 与向量 a 的大小和方向有
上，猜想A，B，C三点共线. 事实上，因为 AB=OB-OA
a 2b (a b)
b,
而
AC = OC - OA
= a + 3b -(a + b)
= 2b,
于是 AC = 2AB. 所以，A,B,C三点共线.
【变式练习】
在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
AB AD AO ，则 ___2__．
提示:
A
C
2a 2b
ab
E
a
b
D
2a
2b
B
（3）(a b ) a b
提升总结：向量数乘的运算律
（1）(a) ()a
（2）( )a a a
（3）(a b ) a b
人教版必修4 数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(24张)精选ppt课件
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如 图)．由图猜想 A、B、C 三点共线． 因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个 向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题 的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直 线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线 性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方 法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是 向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理， 知 DE 綊12BC，
【配套K12】优化方案2016高中数学 第二章 平面向量 4.1平面向量的坐标表示、4.2平面向量线
4．1 平面向量的坐标表示 4．2 平面向量线性运算的坐标表示4．3 向量平行的坐标表示, )1．问题导航(1)相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？(2)求向量AB →的坐标需要知道哪些量？(3)两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)平行的条件x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＝y 1y 2有什么区别吗？ 2．例题导读P 88例1.通过本例学习，体会向量坐标表示的意义，学会用坐标表示已知向量． 试一试：教材P 91习题2－4 A 组T 4你会吗？P 90例2.通过本例学习，熟悉平面向量坐标运算公式，掌握平面向量的坐标运算． 试一试：教材P 91习题2－4 A 组T 1你会吗？P 91例4.通过本例学习，学会利用平面向量平行的坐标表示解决三点共线问题． 试一试：教材P 92习题2－4 A 组T 6你会吗？1．平面向量的坐标表示(1)把一个向量分解为互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．(2)在平面直角坐标系中，如图，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O 为起点作OP →＝a .由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得OP →＝x i ＋y j ，因此a ＝x i ＋y j ．把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．(3)几个特殊向量的坐标：i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0)． (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差．(2)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积．(3)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标．(4)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．向量平行的坐标表示(1)设a ，b 是非零向量，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．若a ∥b ，则存在实数λ，使a ＝λb ，而用坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0．若y 1≠0且y 2≠0(即向量b 不与坐标轴平行)，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2．(2)文字语言描述向量平行的坐标表示定理1 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． 定理2 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (3)向量(2，3)与向量(－4，－6)反向．( )解析：(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样． (2)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．(3)正确．因为(－4，－6)＝－2(2，3)，所以向量(2，3)与向量(－4，－6)反向． 答案：(1)× (2)× (3)√2．已知A (3，1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(1，2) D ．(－1，－2)解析：选C.BA →＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．3．已知向量a ＝(－1，m )，b ＝(－m ，2m ＋3)，且a ∥b ，则m 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．－1或3 D ．0或－2解析：选C.由已知得－(2m ＋3)＋m 2＝0，所以m ＝－1或m ＝3.4．已知A (1，2)，B (4，5)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y －2)，PB →＝(4－x ，5－y )， 又AP →＝2PB →，所以(x －1，y －2)＝2(4－x ，5－y )， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2（4－x ），y －2＝2（5－y ），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，所以点P 的坐标为(3，4)． 答案：(3，4)1．向量正交分解的实质向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，也是一种特殊的情形，即基底垂直的情况，单位正交基底坐标i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，零向量的坐标0＝(0，0)．2．向量的坐标与点的坐标的区别与联系 (1)区别①意义：点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关．②表示形式：如点A (x ，y )，向量a ＝(x ，y )．当向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标发生了变化．(2)联系①向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系；②把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的始点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量的坐标．3．向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算：此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用． (2)字母表示下的几何运算：此运算体系下一方面要注意运算律的应用，另一方面要注意OA →＋AB →＝OB →，OA →－OB →＝BA →等运算法则的应用．(3)坐标表示下的代数运算：此运算体系下要牢记公式，且细心运算．若已知有向线段两个端点的坐标，则应先求出向量的坐标，再进行坐标运算．4．对向量平行的三种理解(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系． (2)a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)．这是代数运算，适用于向量平行的任何情况，包含零向量的情况．(3)a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)且b 1≠0，b 2≠0，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．平面向量的坐标表示已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．(链接教材P 88例1)[解] 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点坐标A (0，0)，B (2，0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，所以C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，所以AB →＝(2，0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.方法归纳(1)向量的坐标等于终点的相应坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，常常结合图形，利用三角函数的定义进行计算．1．(1)已知O 为坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．(2)已知O (0，0)和A (6，3)两点，点P 在线段OA 上，且OP PA ＝12，若点P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标为________．(3)如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)．所以OA →＝(23，6)．故填(23，6)．(2)如图所示，则OA →＝(6，3)，因为OP PA ＝12，所以OP OA ＝13，得OP →＝13OA →＝(2，1)，OB →＝2OP →＝(4，2)．所以点B 的坐标为(4，2)．故填(4，2)．(3)由题意知B 、D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos 120°＝－12， y 2＝sin 120°＝32， 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.平面向量线性运算的坐标表示(1)已知平面上三个点A (4，6)，B (7，5)，C (1，8)，则AB →＝________，AC →＝________，AB →＋AC →＝________，AB →－AC →＝________，2AB →＋12AC →＝________．(2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，－3)，c ＝(－3，－2)，则a －2b ＝________，(2a －b )－(b －2c )＝________．(链接教材P 90例2)[解析] (1)因为A (4，6)，B (7，5)，C (1，8)．所以AB →＝(7，5)－(4，6)＝(3，－1)；AC →＝(1，8)－(4，6)＝(－3，2)； AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3，2)＝(0，1)； AB →－AC →＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)；2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3，2)＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1. (2)由a ＝(－1，2)，b ＝(2，－3)，c ＝(－3，－2)， 得a －2b ＝(－1，2)－2(2，－3) ＝(－1－4，2＋6)＝(－5，8)．(2a －b )－(b －2c )＝2a －2b ＋2c ＝2(a －b ＋c )＝2(－1－2－3，2＋3－2)＝2(－6，3)＝(－12，6)．[答案] (1)(3，－1) (－3，2) (0，1) (6，－3) ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1 (2)(－5，8) (－12，6)方法归纳(1)向量线性运算的坐标表示，实际上是相应坐标对应实数的加、减、乘运算．若已知有向线段的两端点坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．熟练掌握公式是解题的关键．(2)若已知向量用坐标表示，则计算向量的结果仍用坐标表示．2．(1)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9) (2)已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，求：①2a ＋3b ；②a －3b ；③12a －13b .解：(1)选A.2a －b ＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)． (2)①2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)． ②a －3b ＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)． ③12a －13b ＝12(－1，2)－13(2，1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23.向量共线的坐标运算(1)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(－3，x )，则 ①存在实数x ，使a ∥b ；②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b .其中，所有正确结论的序号为________．(2)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？(链接教材P 91例4)[解] (1)由a ∥b ⇔x 2＝－9无实数解，故①不对；又a ＋b ＝(x －3，3＋x )，由(a ＋b )∥a 得3(x －3)－x (3＋x )＝0，即x 2＝－9无实数解，故②不对；因为m a ＋b ＝(mx －3，3m ＋x )，由(m a ＋b )∥a 得(3m ＋x )x －3(mx －3)＝0.即x 2＝－9无实数解，故③不对；由(m a ＋b )∥b 得－3(3m ＋x )－x (mx －3)＝0，即m (x 2＋9)＝0，所以m ＝0，x ∈R ，故④正确．故填④. (2)法一：k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．即(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13＜0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝(－13－3，－23＋2)＝－13(a －3b )．所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．在本例(2)中已知条件不变，若改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b平行？”，又如何求k 的值？解：因为a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，所以a ＋k b ＝(1，2)＋k (－3，2)＝(1－3k ，2＋2k )， 3a －b ＝(3，6)－(－3，2)＝(6，4)． 又因为(a ＋k b )∥(3a －b )，所以(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0.解得k ＝－13.方法归纳两平面向量共线的条件有以下两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (a ≠0)的条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa (λ为实数)．3．(1)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°(2)①在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．若D (m ，2m )，且AB →与CD →共线，求非零实数m 的值；②平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)选B.由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ为锐角，故θ＝45°.(2)①因为A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)，D (m ，2m )，所以AB →＝(3，5)，CD →＝(m ＋2，2m ＋1)，又因为AB →与CD →共线，即AB →∥CD →，所以3(2m ＋1)＝5(m ＋2)， 解得m ＝7，所以非零实数m 的值为7.②因为a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，所以a ＋k c ＝(3，2)＋k (4，1)＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝2(－1，2)－(3，2)＝(－5，2)．因为(a ＋k c )∥(2b －a )，所以由向量共线的充要条件知， 2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613，所以实数k 的值为－1613.(本题满分12分)在△AOB 中，已知点O (0，0)，A (0，5)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD→＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标． [解] 设点C 坐标为(x C ，y C )，因为点O (0，0)，A (0，5)，B (4，3)，所以OA →＝(0，5)，OB →＝(4，3)．因为OC →＝(x C ，y C )＝14OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.同理点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.2分 设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，而AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72，因为A ，M ，D 三点共线，所以AM →与AD →共线．所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.6分而CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为C ，M ，B 三点共线，所以CM →与CB →共线．所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20. 10分解⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋4y ＝20，7x －16y ＝－20，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝127，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.12分 [规范与警示] (1)在处根据条件正确地得到两点坐标是成功解题的关键，也可能因解不出造成失分．在处正确地运用了AD 与BC 交于点M 的条件，否则无法继续求解造成失分．在处正确地运用了向量共线的性质定理得到向量共线的坐标表示，否则将功败垂成．(2)①解题时，准确地计算有关向量的坐标是正确答题的前提，如本例，只有正确地求出相应向量的坐标，才能顺利地完成解题；②解题时，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键，如本例，对两向量共线的坐标运算掌握不熟练将造成本题错解；③在求点或向量的坐标时要注意方程思想的应用，如本例，充分应用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据，是解题的保证．1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)解析：选B.b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，故选B.2．下列向量中，与向量c ＝(2，3)不共线的一个向量p ＝( )A ．(3，2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 解析：选A.由平面向量共线的坐标表示，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0可知，只有选项A 与已知向量不共线．3．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：设O 为坐标原点，则OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)4．已知向量a ＝(x ，1)与b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________．解析：由题意知a 与b 共线，则x 2＝1，所以x ＝±1，又因为a 与b 反向，所以x ＝－1. 答案：－1, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1.给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点的坐标与以原点为起点，该点为终点的向量的坐标一一对应． 其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C .由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2.已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8，1) D ．(8，1)解析：选A .AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)，所以12AB →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12. 3.已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2解析：选D.a ＋b ＝(1，1)＋(2，x )＝(3，x ＋1)， 4b －2a ＝4(2，x )－2(1，1)＝(6，4x －2)，因为a ＋b 与4b －2a 平行，所以3(4x －2)－6(x ＋1)＝0. 即12x －6－6x －6＝0，解得x ＝2.4.已知AB →＝(4，1)，BC →＝(－1，k)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为( ) A ．4 B ．－4C ．－14D ．14解析：选C .因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥BC →，所以4k ＋1＝0，即k ＝－14.5.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6) 解析：选D.由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝3(－2，4)－2(1，－3)＝(－8，18)， 4a ＋(3b －2a )＝－c ，所以(4，－12)＋(－8，18)＝－c ， 所以c ＝(4，－6)．6.若向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，则当x ＝________时，a 与b 共线且方向相同． 解析：因为a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )， 若a ∥b ，则x ·x －1·4＝0，即x 2＝4，所以x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．仅当x ＝2时，a 与b 共线且方向相同． 答案：27.已知向量i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x 、y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ≠0，且a ＝(x ，y )，则a 的起点是原点O ；④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点的坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 在以上四个结论中，正确的结论是________(填入正确结论的序号)．解析：只有①正确；x 1＝x 2，y 1≠y 2或x 1≠x 2，y 1＝y 2时也有(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，所以②不正确；a 的起点可以是任意点，③不正确；终点坐标不一定是向量坐标，④不正确．答案：①8.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：因为Q 是AC 的中点，所以PQ →＝12PA →＋12PC →.所以PC →＝2PQ →－PA →＝2(1，5)－(4，3)＝(－2，7)．又因为BP →＝2PC →，所以BC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)． 答案：(－6，21)9.如图，已知点A (4，0)、B (4，4)、C (2，6)，求AC ，OB 的交点P 的坐标．解：法一：设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝(－2，6)． 因为A 、P 、C 三点共线，所以6×(4λ－4)＋2×4λ＝0，解得λ＝34.所以OP →＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3)．法二：设P (x ，y )，OP →＝(x ，y )，OB →＝(4，4)， 因为O 、P 、B 三点共线，所以4x －4y ＝0.①又因为AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且A 、P 、C 三点共线， 所以6×(x －4)－(－2)y ＝0，即3x ＋y ＝12.② 由①②，得x ＝3，y ＝3，所以P 点坐标为(3，3)．10.已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意知，AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)，AE →＝(x 1＋1，y 1)，BF →＝(x 2－3，y 2＋1)．又AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， (x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. 所以(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23， (x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23. 因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0， 所以EF →∥AB →.[B .能力提升]1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则向量a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.由题意，得a ＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)；设a ＝x m ＋y n ，即(2，4)＝x (－1，1)＋y (1，2)＝(－x ＋y ，x ＋2y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，故选D. 2．向量PA →＝(k ，12)，PB →＝(4，5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为( )A ．－2B ．11C ．－2或11D ．2或－11解析：选C.BA →＝PA →－PB →＝(k ，12)－(4，5)＝(k －4，7)，CA →＝PA →－PC →＝(k ，12)－(10，k )＝(k －10，12－k )，因为A ，B ，C 三点共线，所以BA →∥CA →，所以(k －4)(12－k )－7(k －10)＝0，整理得k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或11.3．已知A (2，3)，B (5，4)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第一、三象限的角平分线上，则λ＝________．解析：因为AP →＝AB →＋λAC →，所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，由5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝12. 答案：124．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．解析：法一：由题意知，四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，设D (x ，y )，则(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x ，y )，所以x ＝0，y ＝－2，即D (0，－2)．法二：由题意知，四边形ABCD 为平行四边形，所以AB →＝DC →，即OB →－OA →＝OC →－OD →，所以OD →＝OA →＋OC →－OB →＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)．即D 点的坐标为(0，－2)．答案：(0，－2)5．已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，求P 点坐标． 解：①当P 点在线段P 1P 2上时，如图．则有P 1P →＝23PP 2→，设P 点坐标为(x ，y )， 所以(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35. 故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35. ②当P 点在线段P 2P 1的延长线上时，如图．则有P 1P →＝－23PP 2→，设P 点坐标为(x ，y )， 所以(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－23（－1－x ），y ＋1＝－23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9. 故P 点坐标为(8，－9)．综上可得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35或(8，－9)． 6．(选做题)已知向量μ＝(x ，y )与v ＝(y ，2y －x )的对应关系可用v ＝f (μ)表示．(1)证明：对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1，1)，b ＝(1，0)，求向量f (a )及f (b )的坐标；(3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标．解：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)．所以f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2，2a 2－a 1)＋n (b 2，2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．所以f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )，即对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )．(2)f (a )＝f ((1，1))＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f (b )＝f ((1，0))＝(0，2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y ，2y －x )＝(p ，q )，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p ，2y －x ＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p . 所以向量c ＝(2p －q ，p )．。
高中数学第二章平面向量新人教A版必修4
平面向量一、选择题1．下列命题中正确的是( )( A ) 两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同( B) 若a，b是两个单位向量，则a＝ b( C) 若向量a和b共线，则向量a， b 的方向相同( D) 零向量的长度为0，方向是任意的2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )( A ) ( C) AB DCAB AD BD( B )( D )AD AB ACAD CB03．在四边形ABCD 中，CB AB BA( )(A) DB (B) CA(C) CD (D) DC4．已知a，b为非零向量，且｜a＋ b｜＝| a|＋| b|，则一定有( )( A ) a＝b ( B ) a∥b，且a，b方向相同( C) a＝－b ( D ) a∥b，且a，b方向相反5．化简下列向量： ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD(3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB，结果为零向量的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题6．对于下列命题①相反向量就是方向相反的向量②不相等的向量一定不平行③相等的向量一定共线④共线的单位向量一定相等⑤共线的两个向量一定在同一条直线上其中真命题的序号为______．3 3点A 的位置向量为 ______．8．一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成30°，则船的实际速度的大小为______ ，水流速度的大小为______．9．如图，在□ABCD中，AO a ，DO b ，用向量a， b 表示下列向量CB______AB =_____.10．已知平面内有□ABCD和点O，若OA a ，OB b，OC c ，OD d，则a－b＋c －d＝______．三、解答题11．化简：(1) AB AC BD(2) AB CD CB DA12．在单位圆中， B 是 OA 的中点， PQ 过 B 且 PQ∥Ox，MP⊥ Ox，NQ⊥ Ox，则在向量OM，ON，MP，NQ，OP，OQ，OB，OA，PQ 中．( 1) 找出相等的向量；( 2) 找出单位向量；( 3) 找出与OM共线的向量；( 4) 向量OM，ON的长度．13．已知正方形A BCD 的边长为1，若AB a ，BC b ，AC c ，求作向量a－b＋c，并求出 |a－b＋c｜．14．已知向量a， b 满足：| a|＝3，| a＋ b|＝5，| a－ b|＝5，求｜ b｜．向量的线性运算 ( 二 ) 一、选择题1．若 3( x＋ 3a) － 2( a－x) ＝0，则向量 x＝ ( ) ( A ) 2a ( B) － 2a ( C) 7a ( D ) 7 a5 52．若AB5e， CD7e且 | AD | | BC |，则四边形ABCD 是 ( ) ( A ) 平行四边形( B ) 非等腰梯形( C)菱形( D)等腰梯形3．如图所示， D 是△ ABC 的边上的中点，则向量CD 等于()(A) BC 1BA ( B ) BC1BA 2 2(C) BC 1BA (D) BC 1 BA2 2 )4．已知向量1－ 2e2，b＝－ 2e1＋ 4e2，则向量a与b满足关系 (a＝ e( A ) b＝ 2a ( B) 共线且方向相反 ( C) 共线且方向相同(D)不平行5．下列结论中正确的个数是 ( )①若｜ b|＝2｜ a｜，则 b＝±2a ②若 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c ③若 m a＝m b，则a＝b④ 0a＝0⑤若向量a与b共线，则一定存在一个实数，使得 a＝ b(A)0个(B)1个(C)2个(D)3 个二、填空题6．化简： 5( 3a－ 2b) ＋ 4( 2b－3a) ＝ ______．7．与非零向量a共线的单位向量为 ____________．8．数轴上的点 A，B，C 的坐标分别为2x，－ 2，x，且AB 3BC ，则x＝______；｜AB｜＝ ______．9．已知向量 a 与 b 方向相反，｜a｜＝6，｜ b|＝4，则 a＝______b．10．在□ ABCD 中，AB a ，AD b ，AN3NC ，M为BC的中点，则 MN____.三、解答题11．点 D 是△ ABC 边 BC 上一点，且BD 1 BC．设试AB a，AC b，用向量a，b表示3AD.12．已知向量a， b 满足求｜ a｜∶｜ b｜．11 1(a3b)(a b)(3a2b) ，求证：向量 a 与 b 共线，并52 513．已知｜a｜＝ 1，｜b｜＝ 2．若a＝b，求｜a－b｜的值．14．已知平面中不同的四点A，B，C，D 和非零向量a，b，且AB a2b，CD 5a6b，CD =7a-2b.( 1) 证明： A， B， D 三点共线；( 2) 若a与b共线，证明A， B， C，D 四点共线．向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．已知向量a＝ ( 4，2) ，向量 b＝( x，3)，且 a∥b，则x＝( )(A)9 (B)6 (C)5 (D)32．已知点 A( 0， 1) ， B( 1， 2) ， C( 3， 4) ，则AB 2BC的坐标为 ( )( A)( 3，3) ( B)( －3，－ 3) ( C)( － 3， 3) ( D)( 3，－ 3)3．已知基底 { e1，e2} ，实数 x，y 满足 ( 3x－ 4y) e1＋ ( 2x－3y) e2＝ 6e1＋ 3e2，则 x－ y 的值等于( )(A)3(B)－3(C)0(D)24．在基底 { e1，e2} 下，向量a＝e1＋ 2e2，b＝ 2e1－e2，若a∥b，则的值为()(A)0(B)－21(D)－4( C)25．设向量a＝ ( 1，－ 3) ，b＝ ( － 2，4) ，c＝ ( － 1，－ 2) ，若表示向量4a，4b－2c，2( a－c) ，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 为( )( A)( 2，6) ( B)( －2，6)( C)( 2，－ 6) ( D)( － 2，－ 6)二、填空题6．点 A( 1，－ 2) 关于点 B 的对称点为 ( － 2， 3) ，则点 B 的坐标为 ______．7．若 M( 3，－ 2) ，N( － 5，－ 1) 且MP 1 MN，则 P 点的坐标为 ______________．28．已知点 O( 0，0) ， A( 1，2) ，B( 4，5) ，点 P 满足OP OA t AB ，当点P在x轴上时，t＝ _______．9．已知□ABCD 的三个顶点A( － 1， 3) ， B( 3， 4) ，C( 2， 2) ，则顶点D的坐标为 ______．10．向量OA(k，12) ， OB (4，5) , OB (10， k) 若A、B、C三点共线，则k＝ ______．三、解答题11．已知梯形ABCD 中，AB2DC ，M，N分别是DC，AB的中点．设 AD a，AB b 选择基底 { a，b} ，求向量DC，NM在此基底下的分解式．12．已知向量a＝( 3，－2)，b＝(－2，1)， c＝( 7，－4)，( 1) 证明：向量a， b 是一组基底；( 2) 在基底 { a，b} 下，若c＝ x a＋ y b，求实数x， y 的值．13．已知向量a＝( 1，2)， b＝(－3，x)．若 m＝2a＋ b， n＝ a－3b，且 m∥ n，求实数x的值并判断此 m 时 n 与的方向相同还是相反．14．已知点O( 0，0) ， A( 1， 4) ，B( 4，－ 2) ，线段 AB 的三等分点C，D ( 点 C 靠近 A) ．OC2OD平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．若｜ a ｜＝ 4， | b ｜＝ 3，〈a ， b 〉＝ 135°，则 a 2 b ＝ ( )(A)6( B)(C)6 2 (D) 622．已知 | a ｜＝ 8， e 为单位向量，〈 a ， e 〉2π，则 a 在 e 方向上的正射影的数量为 ( )3(A)4 3(B)4(C) 43(D)－4 3．若向量 a ， b ， c 满足 a 2 b ＝ a 2 c ，则必有 ()( A ) a ＝ 0( B) b ＝ c( C) a ＝0 或 b ＝ c ( D ) a ⊥ ( b － c )4．若｜ a ｜＝ 1，｜ b ｜＝ 2，且 ( a ＋ b ) ⊥ a ，则〈 a ， b 〉＝ ()( A) 30° ( B) 60°( C) 120° (D)150°5．平面上三点 A ，B ，C ，若 | AB | 3，|BC | 4，|CA | 5，则 AB BC BC CA CA AB＝ ( )A ．25 ( B) －25(C)50(D)－50二、填空题6．已知 a 2 b ＝－ 4， a 在 b 方向上的正射影的数量为－8，则在｜ a ｜和 | b | 中，可求出具体数值的是 ______，它的值为 ______．7．已知 a ， b 均为单位向量， 〈 a ， b 〉＝ 60°，那么｜ a ＋ 3b | ＝ ______． 8．已知｜ a ｜＝ 4，｜ b | ＝ 1，| a － 2b | ＝ 4，则 cos 〈a ， b 〉＝ ______．9．下列命题中，正确命题的序号是______．( 1) ｜ a ｜ 2＝a 2；( 2) 若向量 a ， b 共线，则 a 2 b ＝｜ a ｜｜ b | ；( 3)( a 2 b ) 2＝ a 22 b 2；( 4) 若 a 2 b ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0( 5)( a －b ) 2 ( a ＋b ) ＝｜ a ｜ 2－| b | 2；10．设向量 a ， b ， c 满足 a ＋ b ＋c ＝ 0， ( a －b ) ⊥ c ， a ⊥b ．若｜ a ｜＝ 1，则 | a ｜ 2＋｜ b ｜2＋｜ c | 2的值是 ______. 三、解答题11．已知｜ a ｜＝ 5，｜ b ｜＝ 4，〈a ， b 〉π，求 ( a ＋ b ) 2 a 和｜ a ＋ b ｜．312．向量 a ， b 满足 ( a － b ) 2 ( 2a ＋ b ) ＝－ 4，且 | a | ＝ 2，｜ b ｜＝ 4，求〈 a ，b 〉．13．已知 O 为△ ABC 所在平面内一点，且满足(OB OC) (OB OA) 0 ，试判断△ ABC的形状．14．已知向量 a ， b 满足：｜ a ｜＝ 1，｜ b | ＝ 2，| a － b | ＝ 7 ．( 1) 求｜ a － 2b ｜； ( 2) 若 ( a ＋ 2b ) ⊥( k a － b ) ，求实数 k 的值．向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．已知 a ＝ ( － 4， 3) ， b ＝ ( 5，6) ，则 3a 2－4a 2 b ＝()(A)83(B)63(C)57(D)232．已知向量 a ( 3, 1) ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b3 ，则 b ＝()(A)(3, 1) (B) (1,3 ) (C) (1,3 3) ( D)( 1，0)2222443．在△ ABC 中， A( 4， 6) ， B( － 4，10) ， C( 2， 4) ，则△ ABC 是 ( )( A ) 等腰三角形( B) 锐角三角形( C) 钝角三角形( D ) 直角三角形4．已知 a ＝ ( 0， 1) ，b ＝ ( 1，1) ，且〈 aπ的值为( )b ,a 〉，则实数2(A)－1(B)0(C)1(D)25．已知 a ＝ ( 1， 2) ，b ＝ ( － 2，－ 4) ， | c |5 ，若 (ab )c 5 )，则〈 a ， c 〉＝ (2( A) 30°( B) 60°( C) 120°(D)150°二、填空题，b 〉＝．若a ＋ ＝ ( － ，－1) ， － ＝，－ ，则＝，〈 a ______ ．6 b 2 a b ( 4 3) a 2 b ______7．向量 a ＝ ( 5， 2) 在向量 b ＝( － 2， 1) 方向上的正射影的数量为 ______． 8．在△ ABC 中， A( 1， 0) ， B( 3， 1) ， C( 2， 0) 则∠ BCA ＝ ____________． 9．若向量 a 与 b ＝ ( 1， 2) 共线，且满足 a 2 b ＝－ 10，则 a ＝ ______．10．已知点 A( 0，3) ，B( 1，4) ，将有向线段 AB 绕点 A 旋转角π到 AC 的位置，则点C 的2坐标为 ______. 三、解答题11．已知 a ＝ ( － 3，2) ，b ＝ ( 1，2) ，求值： | a ＋ 2b ｜，( 2a － b ) 2 ( a ＋b ) ，cos 〈a ＋ b ，a － b 〉．12．若 |a |2 13 , b ＝ ( － 2， 3) ，且 a ⊥ b ，求向量 a 的坐标．13．直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 0，1) 和点 B( －3， 4) ，OC 为△ AOB 的内角平分线，且OC 与 AB 交于点 C ，求点 C 的坐标．14．已知 k Z ，AB ( k ，1)，AC ( 2，4)，| AB | 4 ，且△ ABC 为直角三角形， 求实数 k 的值．用心爱心专心测试十二向量的应用Ⅰ学习目标1．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量的方法解决物理中简单的力学和速度问题；能将物理问题转化为数学问题，同时会用建立起来的数学模型解释相关的物理问题．Ⅱ基础性训练一、选择题1．作用于原点的两个力f1＝( 1，1)， f2＝( 2，3)，为使它们平衡，需要增加力f3，则力 f3 的大小为 ( )( A)( 3，4) ( B)( －3，－ 4)( C) 5 (D)252．在水流速度为自西向东，10 km / h 的河中，如果要使船以10 3 km/ h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小和方向( )( A ) 北偏西 30°， 20 km/ h( B ) 北偏西 60°， 20 km / h( C) 北偏东 30°， 20 km/ h( D ) 北偏东 60°， 20 km / h3．若平行四边形ABCD 满足| AB AD | | AB AD |，则平行四边形ABCD 一定是 ( )(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形4．已知□ABCD 对角线的交点为O，P 为平面上任意一点，且PO =a，则PA PB PC PD ＝ ( )( A ) 2a ( B) 4a ( C) 6a ( D ) 8a5．已知非零向量AB与 AC满足(AB AC)BC 0且 AB.AC 1|AB | |AC | |AB| |AC| 2，则△ ABC为 ( )( A ) 三边均不相等的三角形( B ) 直角三角形( C) 等腰非等边三角形( D ) 等边三角形二、填空题6．自 50 m 高处以水平速度10 m/ s 平抛出一物体，不考虑空气阻力，则该物2s 时的速度的大小为 ______，与竖直向下的方向成角为，则tan＝______( g＝10 m/ s2)．7．夹角为 120°的两个力f1和 f2作用于同一点，且｜ f 1|＝｜ f2｜＝m( m＞0)，则 f1和 f2的合力 f 的大小为______， f 与 f2的夹角为____________．8．正方形ABCD 中， E，F 分别为边DC ， BC 的中点，则cos∠ EAF ＝ ____________．9．在△ ABC 中，有命题：①AB AC BC ；②若 ( AB AC) ( AB A C )0 ，则△ABC 为等腰三角形；③AB BC CA=0；④若 AB BC 0 ，则为△ABC锐角三角形．上述命题中正确的是____________( 填上你认为正确的所有序号)三、解答题10．水平电线AB 对竖直电杆BD 的拉力为300 N，斜拉索BC 的拉力为600 N，此时电杆恰好不偏斜，求斜拉索与地面成角的大小以及由此引起的电杆对地面的压力( 电杆自重不计)．11．某运动员在风速为东偏北60°， 2 m/ s 的情况下正在以 10 m/ s 的速度向东跑．若风停止，运动员用力不变的情况下，求该运动员跑步速度的大小和方向．12．对于平行四边形ABCD ，点 M 是 AB 的中点，点N 在 BD 上，且BN 1 BD．用向量3的方法证明：M， N， C 三点共线．Ⅲ拓展性训练13．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，且 CA＝ CB， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上一点，且AE＝2EB．求证： AD ⊥ CE．14．如图，已知点A( 4， 0) ， B( 4，4) ， C( 2， 6) ，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．测试十三平面向量全章综合练习一、选择题1．向量( AB MB) (BO CB) OM 化简后等于( )(A) AC (B) BC ( C) AB (D) AM2．点 A 的坐标为 ( 1，－ 3) ，向量AB的坐标为 ( 3，7) ，则点 B 的坐标为 ( ) ( A)( 4，4) ( B)( －2，4) ( C)( 2， 10) ( D)( －2，－ 10)3．已知向量a＝ ( －2， 4) ，b＝ ( － 1，－ 2) ， c＝( 2，3)，则( a＋ b) 2 ( a－ c)的值为( )(A)10 (B)14 ( C) －10 (D)－144．已知向量a＝ ( 2，t) ，b＝ ( 1， 2) ．若 t＝ t1时，a∥b； t＝ t 2时，a⊥b，则 ( ) ( A ) t1＝－ 4， t2＝－ 1 ( B ) t1＝－ 4， t2＝ 1( C) t1＝ 4， t2＝－ 1 ( D ) t1＝ 4， t2＝ 15．若点 O 是△ ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点O是△ABC 的 ( )( A ) 三个内角的角分线的交点( B ) 三条边的垂直平分线的交点( C) 三条中线的交点( D ) 三条高线的交点二、填空题6．河水的流速为 2 m/ s，一只小船想要以垂直于河岸方向10 m/ s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度的大小应为______________．7．数轴上的点A，B，点 A 的坐标为－ 3，且向量AB的长度为5，则点 B 的坐标为 ______．8．已知p＝ ( － 2， 2) ，q＝ ( 1，3) ，则p在q方向上的正射影的数量为______．9．已知向量a＝( 2，3)， b＝(－1，2)，若( a＋b)⊥( a＋ b)，则实数＝______．10．给出下列命题：①a b b; a2a②｜ a|－｜ b|＜｜ a－ b｜；③ |a2b|＝|a｜｜b|；④ ( b2 c) a－ ( c2 a) b与c垂直；⑤已知 a，b 是非零向量，若| a＋ b|＝｜ a－ b｜，则a⊥ b；a2＝ b2．⑥已知 a， b 是两个单位向量，则所有正确的命题的序号为____________ ．三、解答题11．已知点A( － 2， 1) ， B( 1，3) ．求线段 AB 中点 M 和三等分点P， Q 的坐标．12．已知 | a｜＝ 2， | b｜＝ 4，〈a，b〉2π．求｜a－b｜和〈a，a－b〉的余弦值．313．已知向量a＝( 1，2)， b＝( x，1)．( 1) 求与 a 垂直的单位向量的坐标；( 2) 求｜ b－2a｜的最小值以及此时 b 的坐标；( 3) 当 x 为何值，a＋ 2b与b－ 2a平行，并确定它们此时是同向还是反向．14．如图，以原点O 和 A( 5，2) 为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠ B＝ 90°．求点 B 的坐标和 AB 的坐标．参考答案第二章平面向量测试七向量的线性运算 ( 一 )一、选择题1．D 2．C 3．C 4．B 5．C二、填空题6．③7．“东偏北 60°， 6 km”或“北偏东30°， 6 km ” 8． 10 km / h 5 3 km/ h9．b－a；a＋b10．0三、解答题11．解： ( 1) CD；( 2) 原式＝(AB BC CD) DA AD DA ＝0．12．解： ( 1) MP NQ OB ；( 2) OP,OQ,OA；( 3) ON,PQ ；( 4)|OM | | ON | 3 213．解：AB a, BC b, AC c ，所以DB a b，BE AC c, DE DB BE a b c ，｜ a－ b＋ c｜＝2．14．解：设AB a, AD b ，做□ABCD．则 AC a b, DB a b ，可得 AC BD 5 ，所以□ABCD为矩形，|b | | AD | 52 32＝4．测试八 向量的线性运算 ( 二 )一、选择题1．D 2．D 3．A 4． B 5． A二、填空题6． 3a － 2b 7．a 8．－ 4； 6 9． a 3b 10． 1 b 1a| a |244三、解答题11．答： AD2 a 1b .33712．略解：化简得 9a ＝ 7b ，即 ab ，所以 a ∥ b ；｜ a ｜∶｜ b ｜＝ 7∶ 9．91，λ＝ 113．略解：由题意，得｜ a ｜＝｜ λ｜｜ b ｜，∴ ｜ λ｜＝，22｜ a － b ｜＝｜ λ－ 1｜｜ b ｜＝ 2｜ λ－ 1｜＝ 1 或 3．14． (1) 证明：∵ BDCD CB 2a 4b ，∴ BD 2 AB ，∴ AB // BD ，因为二者均经过点 B ，所以 A ， B ， C 三点共线． (2)证明：∵ a 与 b 共线，设 a ＝ λb ，∴ BD ( 2 4)b , CD (7 2)b∵CD0, BD 0 ∴7λ－ 2≠0， 2λ＋ 4≠0．∴ BD 24CD ，7 2∴ BD // CD ，所以 B ， C ， D 三点共线，又 A ，B ， D 三点共线．所以 A ， B ，C ， D 四点共线．测试九 向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．B 2． B 3．A 4．D 5．D 二、填空题6．( 1,1)7．( 1, 3) 8． t2 9．( －2，1) 10．－ 2 或 112 223三、解答题11．答： DC1b ; NM a1b ．2412． ( 1) 证明：∵32 ，∴ a 与 b 不平行，所以向量 a ， b 是一组基底．213x 2 y 7,x 1, ( 2) 略解： ( 7，－ 4) ＝ x( 3，－ 2) ＋ y( － 2， 1) ，y4,所以2.2x y13．略解： m ＝( － 1， 4＋x) ， n ＝( 10， 2－ 3x) ，因为 m ∥ n ，所以－ ( 2－ 3x) － 10( 4＋ x) ＝0， x ＝－ 6，此时 m ＝ ( － 1，－ 2) ， n ＝ ( 10， 20) ，有 n ＝－ 10m ，所以 m 与 n 方向相反．14．略解： ( 1) OC OA AC OA 1(1,4)1(2,2) ．AB (3, 6)3 3OD OA AD OA 2AB (1,4)2(3, 6) (3,0) ．3 3( 2) OC 2OD ( 2,2) 2(3,0) (8,2) ．OE OB OC 2OD ( 4, 2) (8,2) (12,0) ．测试十平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．D 2．D 3．D 4．C 5．B二、填空题6．｜b｜； 1 7．13 8．19．①⑤10． 42 4提示：10．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b，又 ( a－b) ⊥c，∴ (a－b) 2 (－a－b)＝0，2 2∴－｜ a｜－ a2 b＋a2 b＋｜ b｜＝0，∴｜b｜＝｜a｜＝1．又 c＝－ a－ b，222 2 ∴｜ c｜＝｜－ a－ b｜＝(－ a－ b) 2 (－ a－ b)＝｜ a｜＋2a2 b＋｜ b｜＝2．另外，可以结合图示，分析解决问题．三、解答题11．解：a2 b＝ 10， ( a＋b) 2 a＝a2＋a2 b＝ 35，|a b | ( a b) 2 a 2 2a b b2 61 .12．解：由题意得2a 2－a2 b－b2＝－ 4，所以 2a2－a2 b－b2＝－ 4，得a2 b＝－4，cos 〈a，b〉 a b 1, 〈a，b〉＝120°| a || b | 213．略解：因为(OB OC) (OB OA) 0 ，所以CB AB=0，从而CB AB ，△ABC 为直角三角形．14．略解： ( 1) ｜a－b｜2＝a2－ 2ab＋b2＝ 7，所以a2 b＝－ 1，｜ a－2b｜2＝ a2－4ab＋4b2＝21，即|a2b | 21．( 2) 由已知得 ( a＋ 2b) 2 ( k a－b) ＝ 0，即 k a2－ab＋ 2k ab－ 2b2＝ 0，得 k＝－ 7．测试十一向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．A 2．B 3．D 4．A 5．C提示：5．设c＝ ( x，y) ，由 | c | 5 ，得x2＋y2＝5,,①，由 ( a b ) c55 5，得 ( 1, 2) ( x, y)，∴ x 2 y,, ②222由①②解得 c( 1 3, 13) ，或 c ( 1 3, 13) ．22 2213) 时， cos 〈a c5 1 ， 当c (3, 1， 〉222a c5 52|a || c |∴〈 a ，c 〉＝ 120°，另一种情况，计算结果相同．二、填空题6．－ 5； 135° 7． 8 510． ( － 1，4) 或 ( 1，2)58．135° 9． ( － 2，－ 4)提示：10．设 C( x ， y) ，则 AB(1,1), AC ( x, y 3) ，由 AC ⊥ AB 得， AB AC 0 ，即 x ＋ y － 3＝ 0,, ①又 | AB | AC ， ∴ 2＝ x 2＋ ( y － 3) 2,, ②． 结合①②，解得，x 1,x 1y 或y 4 ∴ C( 1， 2) 或 C( －1，4) ．2,三、解答题11．答： |a 2b |37 ；( 2a － b ) 2 ( a ＋ b ) ＝22； cos a b , ab 55.12．解：设 a ＝ ( x ，y) ，则2x 3 y 0 x 6 x6 x2y252，解得：y 4 或，所以 a ＝( 6，4) 或y 4a ＝ ( －6，－ 4) ．13．解：设 C( x ， y) ，则 OC( x, y) ，由已知可得： 〈 OA,OC 〉＝〈 OB, OC 〉AC // ABx y 113 则，所以，解得OC OCOB OC 3 4 x, y，2yxy2|OA ||OB|55所以 C( 1, 3)．2 214．解：由 | AB |4 得 k 2≤ 15，∵ k ∈ Z ，∴ k ＝－ 3，－ 2，－ 1， 0， 1， 2，3，·2k 4 0 所以 k ＝－ 2；当 A ＝ 90°时， AB ACAB ·BC 0，BC （2 - k ，3）当 C＝ 90°时，，所以 2( 2－ k) ＋12＝ 0， k＝ 8( 舍 ) ．AC·BC 0，BC （2 - k，3）综上 k＝－ 1 或－ 2 或 3．测试十二向量的应用一、选择题1．C2．A3．B4．B5．D提示：ABm, AC5．设n ，则｜m｜＝｜n｜＝1，|AB| |AC|由已知 (m n) BC 0 ．∴ m BC n BC，∴ m BC cos(x B)n BC cos C ∴c osB＝ c osC，又B、C∈( 0，)∴B＝ C．又由已知 m n 1，2∴ m n cos A 1 2∴ cos A 1，又（0，π）2∴A＝ 60°∴△ ABC 为等边三角形．二、填空题18．46. 10 5m/s;7． m， 60°，9．②③2 5三、解答题10．答：＝ 60°；300 3N．11．解：如图，建立平面直角坐标系，作□ABCD，设|OC | 2,| OB | 10，则C( 1，3 )，B( 10， 0) ，CB (9, 3)，得 |CB| 2 21 9.17m/s，tan AOB3．9由计算器计算得∠ AOB≈ 10. 89°．该运动员跑步速度的大小为9. 17 m/ s，方向为东偏南约10. 89°．MN // MC量，再证明二者具有关系 MN MC 即可．设AB e 1 ， AD e 2 ，则 BDe 1 e 2 ， BN1e 1 1e 2 ．3 3MC1e 1 e 2 ， MN MB BN 1e 1 ( 1e 11e 2 ) 1 e 1 1e 2 ．22 33 6 3所以 MN1MC ，所以 M ， N ，C 三点共线．313．证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a ，AD CE( AC CD) (CA AE) AC CA AC AECD CA CD AE|AC|2| AC || AE | cos45 0 |CD || AE |cos45a 22 a 21 a 20 所以 AD ⊥ CE ．33或以点 C 为原点， CA ， CB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则 A( a ， 0) ， D (0, 1 a), E(1 a, 2a), AD ( a, 1 a), CE ( 1 a, 2a),23 3233可得出 AD CE1 a2 1 a 20 ，所以 AD ⊥CE ．3 314．解：设 P( x ， y) ，则 OP (x, y) ， OB ＝ ( 4， 4) ，由 OP,OB ，共线得 4x －4y ＝ 0，,, ①，AP ( x 4, y) ， AC ＝ ( － 2， 6) ，由 AP, AC 共线得 6( x － 4) － y( － 2) ＝0,, ②，由①②解得， P( 3， 3) ．测试十三 平面向量全章综合练习一、选择题 1．A2．A3．B4．C5．D二、填空题6． 2 26m/s7．－8 或 2 2 109．1710．④⑤⑥8．59三、解答题11．解： ABOB OA (3,2) ，OM1(OB OA) ( 1,2),所以 M (1,2)，2 22OPOA1AB (1, 5) ，所以 p( 1, 5), OQ OA 2AB (0, 7) ，3 3 33 3 7所以 Q(0, ) ．2 7 ， cos 〈 a ， a -b 〉2712．答：｜ a -b ｜7.13．略解： ( 1) 设单位向量为 e ＝ k( － 2， 1) ＝ ( － 2k ， k) ，因为 | e | ＝ 1，得 k55，2 5 52 5 5e (5 , 5 ) 或 e ( 5 , 5 ) ．(2)|b 2 | ( x 2) 29 ，当 x ＝ 2 时， | b － 2a ｜最小值为 3，此时 b ＝ ( 2，1) ．a ( 3) x 1 ，反向．214．解：设 B( x ， y) ，则 AB( x 5, y 2), OBAB OB 0(x, y) ，由已知得，| AB| |OB|x( x5) y( y 2) 0x 3x2 7所以，解得 2 或 2 ，x2y2( x 5)21( y 2)2y 1 7 y 2 32 2 所以 B(3,7)或 B(7,3)，AB ( 3, 1)或 AB ( 7,3)，222 22 22 2用心 爱心 专心。
《优化方案》2016高考总复习课件(人教A版)高中数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量
3.已知向量 a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中 e1、e2 不共线，向量 c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数 λ、 μ，使向量 d＝λa＋μb 与 c 共线？
解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2， 要使 d 与 c 共线，则应有实数 k，使 d＝kc，
求实数λ与 向量a的积 的运算
λa与a的方向
__(λ_μ_)_a___;
___相___同____；当λ<0时，(λ＋μ)a＝
λa与 a的方向
__λ_a_＋__μ_a___;
____相__反____；当λ＝0 λ(a＋b)＝
时，λa＝______0____ _λ_a_＋__λ_b____
3.两个向量共线定理
2．三点共线的等价关系
A，P，B 三点共线⇔A→P＝λA→B(λ≠0)⇔O→P＝(1－t)·O→A＋tO→B
(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔O→P＝xO→A＋
→
yOB(O
为平面内异于
A，P，B
的任一点，x∈R，y∈R，x
＋y＝1)．
[做一做] 3．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|A→B－C→B＋C→D|＝___2_____. 解析：|A→B－C→B＋C→D|＝|A→B＋B→C＋C→D|＝|A→D|＝2.
又A→B＋A→D＝λA→O，∴λ ＝2.
2．P 是△ABC 内的一点，A→P＝13(A→B＋A→C)，则△ABC 的
面积与△ABP 的面积之比为( B )
A．2
B．3
3 C.2
D．6
解析：由A→P＝13(A→B＋A→C)，得 3A→P＝A→B＋A→C，
人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后总结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算， 例如 λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩 a 大或缩小为原来的|λ|倍．向量 表示与向量 a 同向的单 |a| 位向量.
谢谢大家！
2 2 1 解：原式＝3(4a－3b)＋9b－6(6a－7b) 8 2 7 ＝ a－2b＋ b－a＋ b 3 9 6
8 2 7 5 11 ＝ 3－1 a＋ －2＋9＋6 b＝3a－18b
5 11 ＝ (3i＋2j)－ (2i－j) 3 18 10 11 11 34 71 ＝5i＋ 3 j－ 9 i＋18j＝ 9 i＋18j.
自我检测
→等 1.如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量CD 于( B ) 1→ → A.BC＋2BA 1→ → C.－BC－2BA 1→ → B.－BC＋2BA 1→ → D.BC－2BA
1→ → → → → 解析 CD＝BD－BC＝2BA－BC.
2 1 2.设 a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用 i，j 表示向量 [(4a－3b)＋ b－ 3 3 1 4(6a－7b)]．
小结 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识， λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向， 模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.
跟踪训练 1 下面给出四个命题： ① 对于实数 m 和向量 a、b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ② 对于实数 m、n 和向量 a，恒有(m－n) a＝ma－na； ③ 若 ma＝mb(m∈R)，则有 a＝b； ④ 若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
最新-高中数学 231平面向量的基本定理课件 新人教A版必修4 精品
二、向量的夹角
B
b
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ，
O
a
A
OB b ,则AOB (0 180 )
叫做向量 a 和 b 的夹角． 注意:两向量必须
夹角的范围：00,1800
是同起点的！
B
a
ObB
0
a
A Bb O
180
A
b
O
a
A
90
a 与b 同向
a 与 b 反向 a 与 b 垂直，记作 a b
2、基底不唯一，关键是不共线.
3、由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1,e2 的条件下进行分解.
4、基底给定时，分解形式唯一.
定理理解：
1.
2. 3、如何判断任意两个向量是否可以做基底？
设 a,b 是两个不共线向量，已知 AB 2a kb, CB a 3b, CD 2a b, 若A,B,D三点共线，
回顾
1、向量加法的平行四边形法则 2、向量共线的基本定理
思考:
如果将平面内任意两个非零向 量的起点放在一起，请问能否用这 两个非零向量表示平面内的任意向 量？
2.3.1平面向量基本定理
设e1、e2是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e1、e2之间的关系。
(t R), 用 OA, OB 表示 OP .
OP (1 t)OA tOB
本题的实质是： 已知O、A、B三点不共线， P
若点 P 在直线 AB 上，
B
则 OP mOA nOB, O
A
且 m n 1.
例3 如图梯形ABCD中，AB / /CD，AB 2CD，
高中数学第二章平面向量3.1数乘向量课件北师大版必修4
数λ、μ1、μ2，恒有
λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a＋λμ2b
.
[双基自测]
1．4(a－b)－3(a＋b)－b 等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
解析：原式＝(4－3)a＋(－4－3－1)b＝a－8b. 答案：D
2．点 C 是线段 AB 的中点，则有A→B＝λA→C，那么 λ 等于( )
A．0
B．1
C．2
D．－2
答案：C
3．点 C 在线段 AB 上，且ACCB＝32，则A→C＝______A→B，B→C＝______A→B. 解析：∵ACCB＝32， ∴AC＝35AB，BC＝25AB， ∴A→C＝35A→B，B→C＝－25A→B. 答案：35 －25
探究一 向量的线性运算 [典例 1] (1)计算下列各式： ①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)； ②25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)．
2．已知 e，f 为两个不共线的向量，若四边形 ABCD 满足A→B＝e＋2f，B→C＝－4e－f，C→D ＝－5e－3f. (1)将A→D用 e，f 表示； (2)证明：四边形 ABCD 为梯形．
解析：(1)A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－ 3)f＝－8e－2f. (2)证明：因为A→D＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2B→C， 所以根据数乘向量的定义，知A→D与B→C同向，且|A→D|＝2|B→C|， 所以在四边形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD≠BC，所以四边形 ABCD 是梯形．
3 从速度的倍数到数乘向量 3．1 数乘向量
考纲定位
重难突破
1.掌握数乘向量的运算及其几何意义． 重点：1.向量数乘的意义及运算律的掌握．
[推荐学习]优化方案2016高中数学 第二章 平面向量 1.1位移、速度和力、1.2向量的概念 新人
生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 §1 从位移、速度、力到向量 1．1 位移、速度和力 1．2 向量的概念
, )
1．问题导航 (1)“向量就是有向线段，有向线段就是向量”这一说法对吗？ (2)①零向量没有方向是否正确？②单位向量都相等吗？ (3)两个向量能比较大小吗？ 2．例题导读 P75例．通过本例学习，巩固相等向量、共线向量的概念，学会从已知图形中找出与指定向量相等或共线的向量． 试一试：教材P75习题2－1 T4你会吗？
1．向量的定义 既有大小，又有方向的量统称为向量． 注意：向量与数量的区别在于数量没有方向，而向量有方向． 2．向量的表示方法
3．向量的长度(模) |AB→|(或|a|)表示向量AB→(或a)的大小，即长度(也称模)且|a|≥0. 4．与向量有关的概念
零向量 长度为零的向量称为零向量，记作0，且方向不定，0与任一向量平行 单位向量 长度为单位1的向量叫作单位向量，与向量a同方生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 向的单位向量叫作a方向上的单位向量，记作a0，且|a0|＝1
相等向量 长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b (注：相等向量一定是共线向量)
平行(共线)向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行 (注：共线向量不一定是相等向量)
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大小相等的两个向量是共线向量．( ) (2)向量的模是一个实数．( ) (3)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反．( ) 解析：(1)错误．方向相同或相反的非零向量才是共线向量． (2)正确． (3)错误．当a或b不为零向量时，若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反；当a，b中至少有一个是零向量时，该说法不成立． 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．下列各量：①密度；②浮力；③温度；④拉力，其中是向量的有( ) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 解析：选C.由向量的概念可知浮力和拉力是向量，密度与温度是数量． 3.