关于函数项级数的收敛性

关于函数项级数的收敛性作者： xxx 指导老师：xxx摘 要：级数是表示初等函数的一种工具，其核心问题是级数的和（或和函数），即收敛问题，包括收敛和一致收敛，本文试图对函数项级数的收敛、一致收敛、非一致收敛的常用判别方法进行了较为系统的和总结，并对其中几种收敛性的判断方法作了重点讨论。

关键词 ：函数项级数 收敛 一致收敛 判别方法1 引 言作为数项级数的推广，函数项级数项级数的收敛性问题一直是数学分析中级数的重点和难点，在实际应用中也比较广泛。

在这篇文章中，本文先对函数项级数的收敛给出本质说明，由于函数项级数的收敛与数项级数的收敛本质都是逐点收敛，因此这篇论文重点是论述函数项级数一致收敛的定义以及类似于数项级数收敛的判别方法或相关定理，并对某些定理的适用范围作出归纳。

.2 函数项级数一致收敛的定义我们知道，所谓函数项级数()nu x ∑在某区间I 收敛，是指它逐点收敛.意即：对I 中每固定一点x I ∈，作为数项级数，1n u x n ∞=∑（）总是收敛的，因此对于收敛性，可以用数项级数的各种判别法逐点进行判断。

定义1 ：函数序列{()}n S x 在集合D 上点态收敛于是指对于任意的0x D ∈，数列0()n S x 收敛于0()S x ，用” N ε-”语言来表示的话，就是：对任意给定的0ε>， 可以找到N ,当n>N 时，成立：0|()()|n S x S x ε-<一般来说，这里的N 应理解为0(,)N x ε,即N 不仅与ε有关，而且随着0x 的变化而变化。

这意味着在D ，{()}n S x 的收敛速度可能大相径庭。

如果{()}n S x 不仅在D 上点点收敛，而且在D 上的收敛速度具有某种整体一致性，也即此时的N 仅与ε有关而与0x 无关.（充要条件）设｛n S ｝是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列，若｛()n S x ｝在数集D上一致收敛于 ()S x ,则称函数项级数()nu x ∑一致收敛于函数()S x ,或称()nu x ∑在D 上一致收敛.推论：（必要条件）函数项级数()nu x ∑在数集数集D 上一致收敛，则称函数列｛()nu x ｝在D 上一致收敛于0。

注：这里的必要条件显然不充分，利用必要性我们将函数项级数对D 中固定一点x ∈D ,化为数项级数()n u x ∑，这是一特殊数列，可以得到下定理：定理1：(“放大法”)若∀n,∃ n a >0,使得|()S x —()n S x |≤n a （∀x ∈D ）且n →∞时，n a →0，则n →∞时，()n S x 在数集D 上一致收敛于 ()S x 。

证明：因为n →∞时，n a →0，于是有0ε∀>, ()N ε∃,当n N >时，|a |n ε<.又因|()S x —()n S x |≤n a ，即有|()S x —()n S x |<ε,所以()n S x 在数集D 上一致收敛于()S x 。

定理2：（余项准则）若()n u x ∑在区间D 上收敛，则()n u x ∑在D 上收敛上一致收敛的充要条件是：n ∀∈⊂｛x ｝D ，有n lim r ()=0.n n →∞x （其中kk=n+1r ()=u x n x ∞<∑（）为级数和） 证明：必要性，因已知nu x ∑（）在区间D 上一致收敛，所以0,ε∀>,N ∃使得当 n N >时，对一切x ∈D ，对于n ∀∈⊂｛x ｝D 则有n |()()|<.n n S ε-S x x 即|r ()|<n n εx .得n lim r ()=0.n n →∞x充分性.，假设nu x ∑（）在区间D 上不一致收敛，则00n ε∃>∃⊂｛x ，｝D ，使得n 0|()()|n n S ε-≥S x x .如此得到n ⊂｛x ｝D ，但n lim r ()0n n →∞≠x ，这与已知条件矛盾。

定理3：（确界法）函数列{f }n 在区间D 上一致收敛于 f 的充要条件是：limsup |f (x)f(x)|0n n x D→∞∈-=证明：[]必要性 若对x D ∀∈,n →∞时，f (x)n 一致收敛于f(x).则对任给的正数ε，存在不依赖于x 的正整数N ，当n>N 时，有|f (x)f(x)|n ε-<，∈x D 由上确界定义，亦有sup |f (x)f(x)|n x D∈-ε≤，上式成立。

[]充分性 由假设，对任给0ε>，存在正整数N ，使得当n>N 时，有sup |f (x)f(x)|n x D∈-ε<，因为对一切∈x D ，总有|f (x)f(x)|sup |f (x)f(x)|n n x D∈-≤-，从而有|f (x)f(x)|n ε-<.于是{f }n 在区间D 上一致收敛于 f.|f (x)f(x)|n ε-<例1.设n U x ≥（）0，在区间[a,b]上连续， n =1,2,3，···又n n=1U x ∞∑（）在区间[a,b]上收敛于连续函数f ( x)，则nn=1U x ∞∑（）在区间[a,b]上一致收敛于f ( x). 证：已知(x)f(x)S (x)n n r =-（其中k k=1u S ()=x x n ∞∑（）单调递减且趋于0） ，所以∀∈n ∈N , 0r x (x)0x n ≥∀∈∀[a,b]有，且 0,0,N(x ,)εε∈∀>∃[a,b]时，00r (x )<n ε≤有,将n 固定，令00n N (x ,),N ε==，因为(x)f(x)S (x)n n r =-在区间[a,b]上连续，既然(x)n r ε<，所以00,δ∃>当0000x (x ,x )δδ∈-+时，(x)n r ε<.从而0n N >时更有(x)n r <ε，即(x)n r ε<仅当0000x (x ,x )δδ∈-+.如上所述，对每个点λ∈x [a,b]，可以找到相应的邻域,λλλλδδ-(x x +)及相应的λN ，使得n λ>N 时，对,x λλλλδδ∈-(x x +)恒有(x)n r ε<.如此,}:{λλλλλδδ∈-(x x +)x [a,b]构成[a,b]的一个开覆盖，从而必存在有限子覆盖。

不妨记为1111{(x ,x ),δδ-+···，r r x -δ（，r x +r }δ），于是x ∀∈[a,b]，总i {1,2∃∈，···, r}使得i i i i x x ,x δδ∈-+（），取N=max{1N ，2N ，···，r N }，那么n>N 时，恒有(x)n r ε<，由定理2得1n u x n ∞=∑（）在区间[a,b]上一致收敛于f ( x).例2.设连续函数列{f (x)}n 在闭区间[a,b]上一致收敛于函数f(x).若x n ∈[a,b]（n1,2,=···）且0x n x → (n )→∞.证明：0lim f (x )f(x )n n n →+∞=.证：对0ε∀>，10,N ∃>当1n N >时，对一切x ∈[a,b]有|f (x)f(x)|/2n ε-<，由于{f (x)}n 连续且一致收敛于f(x)，所以f(x)亦连续，故20N ∃>,当2n N >时，0|f(x )f(x )|/2n ε-<.取12max{,}N N N =，则当n N >时，有0|f (x )f(x )||f (x )n n n n -≤f(x )|n -+|f(x )n -0f(x )|/2/2εεε<+=.所以0lim f (x )f(x )n n n →+∞=.例3.设f(x)在区间[0,1]上连续，f(1)=0.证明：（1）{ n x }在区间[0,1]上不一致连续；（2）{ f(x)·n x }在区间[0,1]上一致收敛. 证：（1）显然 0，x ∈[0,1]()g x = 是{ n x }的极限函数1，X=1n x 在[0,1]上连续(n N)∈，而g(x)在区间[0,1]上不连续，所以{ n x }在[0,1]上不一致收敛.（2）f(x )在x=1处连续，所以对0ε∀>，01δ∃<<.当|x 1|δ-<时，有|f(x)f(1)|ε-<，即|f(x)|ε<.易证{f(x)·x }n 在区间[0,1]δ-有|f(x)x 0|nε-<，所以对0,0N ε∀>∃>，当n N >时，对一切[0,1]x ∈有[0,1]|f(x)x 0|max{sup |f(x)x |,n n x δ∈--≤ [1,1]sup |f(x)x |n x δ∈-<[1,1]max{,sup |f(x)|}x δεε∈-=.所以{f(x)x }n在[0,1]上一致收敛.定义2：若对于任意给定的闭区间[a,b]D ⊂，函数序列{()}n S x 在[a,b]上一致收敛于()S x ，则称{()}n S x 在D 上内闭一致收敛于()S x .显然，在D 上一致收敛的函数序列必在D 上内闭一致收敛，但其逆命题不成立. 例如，上例3中nx 的考察区间由[0,1]缩小到[0,]ρ，其中01ρ<<是任意的，则由|()()n S x S x -=nx n ρ<，只要取ln ()[]ln N N εερ==，当n N >时，|()()|n n S x S x ρε-<<对一切[0,]x ρ∈成立，即{()}n S x 在[0,]ρ(1)ρ<上是一致收敛的。

也就是说，尽管{nx }在[0,1)上不一致收敛，但却是内闭一致收敛的.定理4：设函数序列{()}n S x 在集合D 上点态收敛于()S x ，则{()}n S x 在D 上一致收敛于()S x 的充分必要条件是：对任意数列{}n x ，n x D ∈，成立lim(()())0n n n n S x S x →∞-=证：先证必要性.设{()}n S x 在D 上一致收敛于()S x ，则|()()|0,(s u pnx DS x S x n ∈-→→∞于是对任意数列{}n x ，n x D ∈，成立|()()|(,)0,()n n n S x S x d S S n -≤→→∞ 充分性（反证）. 也就是证明：若{()}n S x 在D 上不一致收敛于()S x ，则一定能找到数列{}n x ，n x D ∈，使得()()n n n S x S x - \ 0，()n →∞由于命题“{()}n S x 在D 上一致收敛于()S x ”可以表述为：0,,,:|()()|,n N n N x D S x S x εε∀>∃∀>∀∈-<因此它的否命题“{()}n S x 在D 上不一致收敛于()S x ”可以表述为：000,0,,:|()()|,n N n N x D S x S x εε∃>∀>∃>∃∈-≥于是，下步骤可以依次进行：取11111101,1,:|()()|n n n n N n x D S x S x ε=∃>∃∈-≥， 222221210,,:|()()|n n n n N n n n x D S x S x ε=∃>∃∈-≥， ···· ···取110,,:|()()|k k k k k k k k n n n n N n n n x D S x S x ε--=∃>∃∈-≥，··· ···对于*12,\{,m N n n ∈···，k n ，···}，可以任取m x D ∈，这样就得到数列{}n x ，n x D ∈，由于它的子列{}k n x ，使得0|()()|k k k n n n S x S x ε-≥， 显然不可能成立→lim(()())0n n n n S x S x →∞-=注：定理4常用于判断函数列的不一致收敛。