(易错题精选)初中数学三角形知识点总复习含答案
(易错题精选)初中数学三角形知识点总复习含答案
一、选择题
1.如图,四边形ABCD 和EFGH 都是正方形,点E H ,在AD
CD ,边上,点F G ,在对角线AC 上,若6AB ,则EFGH 的面积是( )
A .6
B .8
C .9
D .12
【答案】B
【解析】
【分析】 根据正方形的性质得到∠DAC =∠ACD =45°,由四边形EFGH 是正方形,推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形,于是得到DE =
22EH =22EF ,EF =22AE ,即可得到结论. 【详解】
解:∵在正方形ABCD 中,∠D =90°,AD =CD =AB ,
∴∠DAC =∠DCA =45°,
∵四边形EFGH 为正方形,
∴EH =EF ,∠AFE =∠FEH =90°,
∴∠AEF =∠DEH =45°,
∴AF =EF ,DE =DH ,
∵在Rt △AEF 中,AF 2+EF 2=AE 2,
∴AF =EF 2AE , 同理可得:DH =DE =
22EH 又∵EH =EF ,
∴DE =22EF =22×22
AE =12AE , ∵AD =AB =6,
∴DE =2,AE =4,
∴EH =2DE =22,
∴EFGH 的面积为EH 2=(22)2=8,
故选:B .
【点睛】
本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用,熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键.
2.△ABC 中,∠A :∠B :∠C =1:2:3,最小边BC =4cm ,则最长边AB 的长为( )cm A .6
B .8
C .5
D .5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数,然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.
【详解】
设∠A =x ,
则∠B =2x ,∠C =3x ,
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C =x+2x+3x =180°,
解得x =30°,
即∠A =30°,∠C =3×30°=90°,
此三角形为直角三角形,
故AB =2BC =2×4=8cm ,
故选B .
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质,熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.
3.如图,ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ,AD BD ⊥,30ABD ∠=?,若23AD =.则OC 的长为( )
A .3
B .3
C 21
D .6
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =,再根据平行四边形的性质求得3OD =,然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==. 【详解】 解:∵AD BD ⊥
∴90ADB ∠=?
∵在Rt ABD △中,30ABD ∠=?,23AD =
∴243AB AD ==
∴226BD AB AD =-=
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴132
OB OD BD ===,12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中,23AD =,3OD =
∴2221OA AD OD =
+= ∴21OC OA ==
. 故选:C
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点,熟练掌握相关知识点是解决问题的关键.
4.如图,在?ABCD 中,E 为边AD 上的一点,将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处,若∠B =48°,∠ECD =25°,则∠D ′EA 的度数为( )
A .33°
B .34°
C .35°
D .36°
【答案】B
【解析】
【分析】 由平行四边形的性质可得∠D =∠B ,由折叠的性质可得∠D '=∠D ,根据三角形的内角和定理可得∠DEC ,即为∠D 'EC ,而∠AEC 易求,进而可得∠D 'EA 的度数.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠D =∠B =48°,
由折叠的性质得:∠D '=∠D =48°,∠D 'EC =∠DEC =180°﹣∠D ﹣∠ECD =107°, ∴∠AEC =180°﹣∠DEC =180°﹣107°=73°,
∴∠D 'EA =∠D 'EC ﹣∠AEC =107°﹣73°=34°.
故选:B .
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识,属于常考题型,熟练掌握上述基本知识是解题关键.
5.如图,折叠直角三角形纸片的直角,使点C落在AB上的点E处,已知BC=24,∠
B=30°,则DE的长是()
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】C
【解析】
【分析】
由折叠的性质可知;DC=DE,∠DEA=∠C=90°,在Rt△BED中,∠B=30°,故此BD=2ED,从而得到BC=3BC,于是可求得DE=8.
【详解】
解:由折叠的性质可知;DC=DE,∠DEA=∠C=90°,
∵∠BED+∠DEA=180°,
∴∠BED=90°.
又∵∠B=30°,
∴BD=2DE.
∴BC=3ED=24.
∴DE=8.
故答案为8.
【点睛】
本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质,根据题意得出BC=3DE是解题的关键.
6.下列命题是假命题的是()
A.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
B.如果等腰三角形的两边长分别是5和6,那么这个等腰三角形的周长为16
C.将一次函数y=3x-1的图象向上平移3个单位,所得直线不经过第四象限
D.若关于x的一元一次不等式组
213
x m
x
-≤
?
?
+>
?
无解,则m的取值范围是1
m£
【解析】
【分析】
利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,正确,是真命题;
B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6,那么这个等腰三角形的周长为16或17,错误,是假命题;
C. 将一次函数y=3x-1的图象向上平移3个单位,所得直线不经过第四象限,正确,是真命题;
D. 若关于x的一元一次不等式组
213
x m
x
-≤
?
?
+>
?
无解,则m的取值范围是1
m£,正确,是真
命题;
故答案为:B
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组.
7.如图,11∥l2,∠1=100°,∠2=135°,则∠3的度数为()
A.50°B.55°C.65°D.70°
【答案】B
【解析】
【分析】
如图,延长l2,交∠1的边于一点,由平行线的性质,求得∠4的度数,再根据三角形外角性质,即可求得∠3的度数.
【详解】
如图,延长l2,交∠1的边于一点,
∵11∥l2,
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣100°=80°,
由三角形外角性质,可得∠2=∠3+∠4,
∴∠3=∠2﹣∠4=135°﹣80°=55°,
故选B .
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质,熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.
8.如图,在ABC ?中,33B ∠=?,将ABC ?沿直线m 翻折,点B 落在点D 的位置,则12∠-∠的度数是( )
A .33?
B .56?
C .65?
D .66?
【答案】D
【解析】
【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠B ,再利用外角性质即可求出所求角的度数.
【详解】
解:如图,由折叠的性质得:∠D=∠B=33°,
根据外角性质得:∠1=∠3+∠B ,∠3=∠2+∠D ,
∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°,
∴∠1-∠2=66°.
故选:D .
【点睛】
此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用,熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
9.把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB =∠DEC =90°,∠A =45°,∠D =30°,斜边AB =4,CD =5.把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1(如图2),此时AB 与CD 1交于点O ,则线段AD 1的长度为( )
A 13
B 5
C .22
D .4
【答案】A
【解析】 试题分析:由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°.
若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°.
在等腰Rt △ABC 中,AB=4,则AO=OC=2.
在Rt △AOD 1中,OD 1=CD 1-OC=3,
由勾股定理得:AD 113
故选A.
考点: 1.旋转;2.勾股定理.
10.下列说法不能得到直角三角形的( )
A .三个角度之比为 1:2:3 的三角形
B .三个边长之比为 3:4:5 的三角形
C .三个边长之比为 8:16:17 的三角形
D .三个角度之比为 1:1:2 的三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
三角形内角和180°,根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角,根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.
【详解】
A 中,三个角之比为1:2:3,则这三个角分别为:30°、60°、90°,是直角三角形; D 中,三个角之比为1:1:2,则这三个角分别为:45°、45°、90°,是直角三角形;
B 中,三边之比为3:4:5,设这三条边长为:3x 、4x 、5x ,满足:()()()222345x x x +=,是直角三角形;
C 中,三边之比为8:16:17,设这三条边长为:8x 、16x 、17x ,()()()22281617x x x +≠,不满足勾股定理逆定理,不是直角三角形
故选:C
本题考查直角三角形的判定,常见方法有2种;
(1)有一个角是直角的三角形;
(2)三边长满足勾股定理逆定理.
11.等腰三角形有一个是50°,它的一条腰上的高与底边的夹角是( )
A .25°
B .40°
C .25°或40°
D .50°
【答案】C
【解析】
∵等腰三角形有一个是50°
∴有两种可能
①是三个角为50°、50°、80°;②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下: ①当三个角为50°、50°、80°时,根据图①,可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°;
②当三个角为50°、65°、65°,根据图②,可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选:C
① ②
点睛:本题主要考查三角形内角和定理:三角形内角和为180°.
12.如图,在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ,再分别以M 、N 为圆心,大于12
MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法中正确的个数是( ) ①AD 是BAC ∠的平分线;②ADC 60∠=o ;③点D 在AB 的垂直平分线上;④:1:3DAC ABC S S ??=
A .1
B .2
C .3
D .4
【解析】
【分析】
根据题干作图方式,可判断AD 是∠CAB 的角平分线,再结合∠B=30°,可推导得到△ABD 是等腰三角形,根据这2个判定可推导题干中的结论.
【详解】
题干中作图方法是构造角平分线,①正确;
∵∠B=30°,∠C=90°,AD 是∠CAB 的角平分线
∴∠CAD=∠DAB=30°
∴∠ADC=60°,②正确
∵∠DAB=∠B=30°
∴△ADB 是等腰三角形
∴点D 在AB 的垂直平分线上,③正确
在Rt △CDA 中,设CD=a ,则AD=2a
在△ADB 中,DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?,13(CD+DB)22
BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=,④正确
故选:D
【点睛】
本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
13.如图,长方形ABCD 沿AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,∠BAF=600,那么∠DAE 等于( )
A .45°
B .30 °
C .15°
D .60°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质得到∠DAF=30°,再根据折叠的性质即可得到结果.
【详解】
解:∵ABCD 是长方形,
∴∠BAD=90°,
∵∠BAF=60°,
∴∠DAF=30°,
∵长方形ABCD沿AE折叠,∴△ADE≌△AFE,
∴∠DAE=∠EAF=1
2
∠DAF=15°.
故选C.
【点睛】
图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称,所以折叠前后的两个图形是全等三角形,重合的部分就是对应量.
14.如图所示,将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上,若∠1=38°,则∠2的度数()
A.28°B.22°C.32°D.38°
【答案】B
【解析】
【分析】
延长AB交CF于E,求出∠ABC,根据三角形外角性质求出∠AEC,根据平行线性质得出∠2=∠AEC,代入求出即可.
【详解】
解:如图,延长AB交CF于E,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∠ABC=60°,
∵∠1=38°,
∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°,
∵GH∥EF,
∴∠2=∠AEC=22°,
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理,三角形外角性质,平行线性质的应用,主要考查学生的推理能力.
15.下列条件中,不能判断一个三角形是直角三角形的是( )
A .三条边的比为2∶3∶4
B .三条边满足关系a 2=b 2﹣c 2
C .三条边的比为1∶1∶2
D .三个角满足关系∠B +∠C =∠A
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的判定方法,对选项进行一一分析,排除错误答案.
【详解】
A 、三条边的比为2:3:4,22+32≠42,故不能判断一个三角形是直角三角形;
B 、三条边满足关系a 2=b 2-c 2,即a 2+c 2=b 2,故能判断一个三角形是直角三角形;
C 、三条边的比为1:1:2,12+12=(2)2,故能判断一个三角形是直角三角形;
D 、三个角满足关系∠B+∠C=∠A ,则∠A 为90°,故能判断一个三角形是直角三角形. 故选:A .
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理的应用.解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可;若已知角,只要求得一个角为90°即可.
16.如图,在ABC ?,90C =o ∠,以A 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC ,AB 于点M ,N ,再分别以M ,N ,为圆心,大于12
MN 长为半径画弧,两弧交于点O ,作弧线AO ,交BC 于点E .已知3CE =,5BE =,则AC 的长为( )
A .8
B .7
C .6
D .5
【答案】C
【解析】
【分析】 直接利用基本作图方法得出AE 是∠CAB 的平分线,进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD ,再利用勾股定理得出AC 的长.
【详解】
过点E 作ED ⊥AB 于点D ,由作图方法可得出AE 是∠CAB 的平分线,
∵EC ⊥AC ,ED ⊥AB ,
∴EC=ED=3,
在Rt △ACE 和Rt △ADE 中,
AE AE EC ED
???==, ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE (HL ),
∴AC=AD ,
∵在Rt △EDB 中,DE=3,BE=5,
∴BD=4,
设AC=x ,则AB=4+x ,
故在Rt △ACB 中,
AC 2+BC 2=AB 2,
即x 2+82=(x+4)2,
解得:x=6,即AC 的长为:6.
故答案为:C .
【点睛】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,正确得出BD 的长是解题关键.
17.如图,在ABC ?中,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交BC 于点E .ABC ?的周长为19,ACE ?的周长为13,则AB 的长为( )
A .3
B .6
C .12
D .16
【答案】B
【解析】
【分析】 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】
∵AB 的垂直平分线交AB 于点D ,
∴AE=BE ,
∵△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13,△ABC 的周长=AC+BC+AB=19,
∴AB=△ABC 的周长-△ACE 的周长=19-13=6,
故答案为:B .
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质:垂直平分线垂直且平分其所在线段;垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
18.如图:AD AB ⊥,AE AC ⊥,AD AB =,AE AC =,连接BE 与DC 交于M ,则:①DAC BAE ∠=∠;②DAC BAE ??≌;③DC BE ⊥;正确的有( )个
A .0
B .1
C .2
D .3
【答案】D
【解析】
【分析】 利用垂直的定义得到90DAB EAC ∠=∠=?,则ADC BAE ∠=∠,于是可对①进行判断;利用“SAS ”可证明DAC BAE ???,于是可对②进行判断;利用全等的性质得到ADC ABE ∠=∠,则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB ∠=∠=?,于是可对③进行判断.
【详解】
解:AD AB ⊥Q ,AE AC ⊥,
90DAB ∴∠=?,90EAC ∠=?,
DAB BAC EAC BAC ∴∠+=∠+∠,
即ADC BAE ∠=∠,所以①正确;
在DAC ?和BAE ?中,
DA AB DAC BAE AC AE =??∠=∠??=?
,
()DAC BAE SAS ∴???,所以②正确;
ADC ABE ∴∠=∠,
∵∠AFD=∠MFB ,
90DMB DAB ∴∠=∠=?,
DC BE ∴⊥,所以③正确.
故选:D .
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定:熟练掌握全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件.
19.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的( )
A .1倍
B .2倍
C .3倍
D .4倍
【答案】B
【解析】 设原直角三角形的三边长分别是,且,则扩大后的三角形的斜边长为,即斜边长扩大到原来的2倍,故
选B.
20.如图,已知ABC ?,若AC BC ⊥,CD AB ⊥,12∠=∠,下列结论:
①//AC DE ;②3A ∠=∠;③3EDB ∠=∠;④2∠与3∠互补;⑤1B ∠=∠,其中正确的有( )
A .2个
B .3个
C .4个
D .5个
【答案】C
【解析】
【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ,根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°,再根据三角形内角和定理求出即可.
【详解】
∵∠1=∠2,
∴AC ∥DE ,故①正确;
∵AC⊥BC,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠3+∠B=90°,
∴∠A=∠3,故②正确;
∵AC∥DE,AC⊥BC,
∴DE⊥BC,
∴∠DEC=∠CDB=90°,
∴∠3+∠2=90°(∠2和∠3互余),∠2+∠EDB=90°,
∴∠3=∠EDB,故③正确,④错误;
∵AC⊥BC,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠CDA=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠1+∠A=90°,
∴∠1=∠B,故⑤正确;
即正确的个数是4个,
故选:C.
【点睛】
此题考查平行线的判定和性质,三角形内角和定理,垂直定义,能综合运用知识点进行推理是解题的关键.
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初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则