复合函数求偏导94424

(3)
y u y v y w y
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x, y, z),
v (x, y, z)
都有偏导数，求复合函
数
w f [(x, y, z), (x, y, z)]
w, w, w
x y z
的偏导数
.
借助于结构图，可得
w w u w v ,
x u x v x
z , z
x y
的偏导数
.
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
注意： 这里z 的f 与 x x
定理8.5 设函数u (x, y),v (x, y) 在点(x,y)处有偏
导数，而函z 数 zf =[f((xu,,yv)),在(对x, 应y)]点(u,v)有连续偏导数，
则z , z
复点x合(xy函,y数)处xz 的 偏uz 导 ux数
z v
v x
,
z 存在z ，u且有z下 面v .的链式法则：
w w u w v ,
(4)
y u y v y
w w u w v. z u z v z
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
复合函数求偏导
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是
x，y的 u (x, y),v (x, y)
函数，即
，
如果能构成z z是f [x (,x,yy的), (x, y)], 二如元 何复求合出函 函数 数z对自变量x，y的偏导数呢？
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy[xsin( x y) cos( x y)].
的偏导数 z , z
.
x y
由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因z
x 此
由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变
量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应
自变量的偏z 导 数z 乘 u积，z即 v z w.
(2)
x u x v x w x
同理可得到，
z z u z v z w.
(1)
在
y u y v y
复合函数的结构图是
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v
(*)
x u x v x
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数 z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.
公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自
成
.
变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地，
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du . dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数v， (x, y)
有偏导数，求z 复 合f [x函,数(x, y)]
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而
成为x的一元复合函数.因此，z对dxz的导数
又称
dx
为z对x的全导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这
三个函数都是x
dz , du , dv
的一元z函, 数u ,，v故对x的导数应写 dx dx dx
x x x
成
，而不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ写
义.其中 z 是f [将x,函(数x, y)]
是代表不同的意z x
中的y看作常量而f 对自变量x求偏导数，而
是将函
x
数f(x,v)中的v看常量而对第一个位置变量x求偏导数，
所以两者的含意不同，为了避免混f淆，将公式(6z)右端
x
x
第一项写 ，而不写为 .
例1
设 z eu sinv,u xy,v x y, 求 z , z . x y
解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u， v，用x，y代入，则得到 z exy sin( x y) ，z 是x，y二元复合函数，根
据复合函数的链式法则，得
z yexy sin( x y) exy cos( x y) x
exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z xexy sin( x y) exy cos( x y) y
y u y v y
u v
其中 z , z不能再具体计算了，这是因为外层函数f u v
仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.
exy[xsin( x y) cos( x y)].
例2 设z f (x2 y2, xy)
，其中f(u,v)为
z , z . x y
解 令u x2 y2,v xy，可得
z z u z v x u x v x
2x z y z ， u v
z z u z v 2 y z x z ，
运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏
导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.
下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏 导数公式.
1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而
u (x, y),v (x, y), w (x, y)
都有偏导数，求复合函数 z f [(x, y), (x, y), (x, y))
第一条是 x u z，第二条是 x v z，所以公
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于
该条路
x u z
径中函数及中间变量的个数.如第一条路
径
z u
,
u x
有一个函数复合z和函一数个结中构间虽变然量是u多，种因多此样，，第求一复项合就函是数两
个的偏偏导导数数公式也与不完全的相乘同积，. 但借助函数的结构图，