三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题04 函数性质与应用 理(含解析)
三年高考(2016-2018)(文)真题分类解析：专题05-函数图象与方程
考纲解读明方向分析解读1、高考主要考查由函数解析式画出函数图象,两个函数图象交点出现情况、近几年考查了用图象表示函数、2、在数学中,由“形”到“数”比较明显,由“数”到“形”需要意识,而试题中主要是由“数”到“形”、在解答题中,要注意推理论证严密性,避免出现以图代证现象,利用图象研究函数性质,特别是在判断非常规方程根个数时,此法有时“妙不可言”,这是数形结合思想在“数”中重要体现、分析解读函数与方程思想是中学数学最重要思想方法之一,由于函数图象与x轴交点横坐标就是函数零点,所以可以结合常见二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究、本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大题、在备考时,注意以下几个问题:1、结合函数与方程关系,求函数零点;2、结合零点存在性定理或函数图象,对函数是否存在零点进行判断;3、利用零点(方程实根)存在性求有关参数取值或范围是高考中热点问题、命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x图象可能是A、B、C、D、【答案】D【解析】分析:先研究函数奇偶性，再研究函数在上符号，即可判断选择、点睛：有关函数图象识别问题常见题型及解题思路：（1）由函数定义域，判断图象左、右位置，由函数值域，判断图象上、下位置；（2）由函数单调性，判断图象变化趋势；（3）由函数奇偶性，判断图象对称性；（4）由函数周期性，判断图象循环往复．2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数图像大致为A、AB、BC、CD、D【答案】D【解析】分析：由特殊值排除即可详解：当时，，排除A,B、,当时，,排除C故正确答案选D 、点睛：本题考查函数图像，考查了特殊值排除法，导数与函数图像关系，属于中档题。
2017年高考全景展示1．【2017课标1，文8】函数sin21cos x y x=-部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【考点】函数图象【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图象对称性，分析函数奇偶性，根据函数奇偶性排除部分选择支，从图象最高点、最低点，分析函数最值、极值利用特值检验，较难需要研究单调性、极值等，从图象走向趋势，分析函数单调性、周期性等确定图象．2、【2017课标3，文7】函数2sin 1x y x x =++部分图像大致为（ ）ABD ．C D【答案】D【考点】函数图像【名师点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身含义及其应用方向、(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件相互关系，结合特征进行等价转化研究、如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值大小转化自变量大小关系3、【2017天津，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 取值范围是（A ）[2,2]-（B）[-（C）[-（D）[-【答案】A【解析】试题分析：首先画出函数()f x 图象，当0a >时，()2x g x a =+零点是20x a =-<，零点左边直线斜率时112->-，不会和函数()f x 有交点，满足不等式恒成立，零点右边()2x g x a =+，函数斜率12k =，根据图象分析，当0x =时，2a ≤，即02a <≤成立，同理，若0a < ，函数()2x g x a =+零点是20x a =->，零点右边()()2x g x a f x =+<恒成立，零点左边()2x g x a =--，根据图象分析当0x =时，22a a -≤⇒≥-，即20a -≤< ，当0a =时，()()f x g x ≥恒成立，所以22a -≤≤，故选A 、【考点】1、分段函数；2、函数图形应用；3、不等式恒成立、【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1、可以选择参变分离方法，转化为求函数最值问题； 2、也可以画出两边函数图象，根据临界值求参数取值范围；3、也可转化为()0F x >问题，转化讨论求函数最值求参数取值范围、 2016年高考全景展示1、【2016高考新课标1文数】函数22xy x e =-在[]2,2-图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】 试题分析：函数f (x )=2x 2–e |x |在[–2,2]上是偶函数,其图象关于y 轴对称,因为22(2)8,081f e e =-<-<,所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时,4x y x e '=-有一零点,设为0x ,当0(0,)x x ∈时,()f x 为减函数,当0(,2)x x ∈时,()f x 为增函数．故选D 、考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中难点,解决这类问题方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件选项、2、【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mii x =∑（ ） (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m【答案】B【解析】考点： 函数奇偶性，对称性、【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数图象有对称轴2a b x +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数图象有对称中心、3、【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2图象是（ ）【答案】D【解析】试题分析：因为2sin =y x 为偶函数，所以它图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D 、考点：三角函数图象、【方法点睛】给定函数解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确选项：（1）从函数定义域，判断图象左右位置，从函数值域，判断图象上下位置；（2）从函数单调性，判断图象变化趋势；（3）从函数奇偶性，判断图象对称性；（4）从函数周期性，判断函数循环往复；（5）从特殊点出发，排除不符合要求选项、4、【2016高考山东文数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 方程f （x ）=b 有三个不同根，则m 取值范围是________________、【答案】()3,+∞【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同根，需要红色部分图像在深蓝色图像下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >考点：1、函数图象与性质；2、函数与方程；3、分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数图象与性质、函数与方程、分段函数概念、解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象分析，转化得到代数不等式、本题能较好考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等、5、 【2016高考浙江文数】设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．【答案】－2；1．【解析】考点：函数解析式、【思路点睛】先计算()()f x f a -，再将()()2x b x a --展开，进而对照系数可得含有a ，b 方程组，解方程组可得a 和b 值．。
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项版解析——专题07 导数的应用(解析版)
专题07导数的应用分析解读1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.2.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17分,属于高档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年理数天津卷】已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．2．【2018年理北京卷】设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【答案】(1) a的值为1 (2) a的取值范围是（，+∞）【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）因为=[]，所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］e x+［ax2–（4a+1）x+4a+3］e x（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］e x．f′(1)=(1–a)e．由题设知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此时f (1)=3e≠0．所以a的值为1．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.3．【2018年江苏卷】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.4．【2018年理新课标I卷】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）当时，在单调递减.，当时，在单调递减，在单调递增.（2）证明见解析.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.2017年高考全景展示1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1 【答案】A 【解析】试题分析：由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a ex ax e x a x a e ---'=+++-=+++-因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e-'=+-令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减 所以()f x 极小值为()111(111)1f e-=--=-，故选A 。
三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题03基本初等函数理含解析45
专题03基本初等函数考纲解读明方向分析解读1.考查映射与函数的定义域、分段函数的解析式和求函数值.2.求函数的解析式和定义域具有综合性,有时渗透在解答题中,特别是结合函数图象考查数形结合能力.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A. B. C. D.【答案】B点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。
2．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围. 详解：由题意得或，所以或，即，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3．【2018年浙江卷】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．【答案】 8 11【解析】分析:将z 代入解方程组可得x ,y 值. 详解：点睛：实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口． 4.【2018年江苏卷】函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.2017年高考全景展示1.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.2.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x -与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.3.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033（B ）1053（C ）1073（D ）1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 2016年高考全景展示1.【2016课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．2.【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.3.【2016高考江苏卷】函数y 的定义域是 . 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-， 考点：函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.4.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 【解析】试题分析：如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点，考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．。
三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题03基本初等函数理含解析45
拜年拜年拜年拜年拜年分电视公司的高管的 专题03基本初等函数 考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度
1.函数的概念及表示方法 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 Ⅱ 选择题、
填空题、 解答题 ★★★
2.分段函数 了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段) Ⅱ
分析解读 1.考查映射与函数的定义域、分段函数的解析式和求函数值. 2.求函数的解析式和定义域具有综合性,有时渗透在解答题中,特别是结合函数图象考查数形结合能力. 3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.
2018年高考全景展示 1．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则 A. B. C. D. 【答案】B
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。 2．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) 拜年拜年拜年拜年拜年分电视公司的高管的 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.
详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3．【2018年浙江卷】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项专题25 立体几何中综合问题(含解析)
专题25 立体几何中综合问题考纲解读明方向分析解读 1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力.3.本节内容在高考中延续解答题的形式,以多面体为载体,求空间角的命题趋势较强,分值约为12分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年理数天津卷】如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，，DA =DC =DG =2（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；（II ）求二面角的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).详解：依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．所以，二面角E–BC–F的正弦值为．（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以线段的长为.点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【2018年理北京卷】如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．【答案】(1)证明见解析(2) B-CD-C1的余弦值为(3)证明过程见解析【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系E-ABF，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD一个法向量与直线F G方向向量数量积不为零，可得结论. 详解：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D （1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，设平面BCD的法向量为，∴，∴，令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC1的法向量为，∴．由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），∴，∴，∴与不垂直，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3．【2018年江苏卷】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AA1=2，所以．（1）因为P为A1B1的中点，所以，从而，故．因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 4．【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明. 5．【2018年理新课标I卷】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因为，利用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF，又平面ABFD，利用面面垂直的判定定理证得平面PEF⊥平面ABFD.(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，利用线面角的定义，可以求得，得到结果.详解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.6．【2018年全国卷Ⅲ理】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明。
三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题03 基本初等函数 文(含解析)
（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D）
【答案】D
【解析】
试题分析： ，定义域与值域均为 ，只有D满足，故选D．
考点： 函数的定义域、值域，对数的计算.
【名师点睛】基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.
【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
4.【2017山东，文9】设 ,若 ,则
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
试题分析：由 时 是增函数可知,若 ,则 ,所以 ,由 得 ,解得 ,则 ,故选C.
【考点】分段函数求值
【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
6.【2017课标3，文16】设函数 则满足 的x的取值范围是__________.
【答案】
【考点】分段函数解不等式
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
三年高考(2016-2018)数学(理)试题分项版解析——专题32 选修部分(解析版)
专题32 选修部分考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.含绝对值不等式的解法理解绝对值的几何意义,会证明和求解绝对值不等式掌握2017课标全国Ⅰ,23;2016课标全国Ⅰ,24解答题★★★2.不等式的证明了解证明不等式的基本方法掌握2017课标全国Ⅱ,23;2016课标全国Ⅱ,24解答题★★☆分析解读 1.本章主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.2.绝对值不等式及不等式的证明均为高考的常考点.本章在高考中以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题,考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法,分值约为10分,难度中等.2018年高考全景展示1．【2018年理数天津卷】已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．2．【2018年理北京卷】在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．【答案】点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.3．【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l 被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.详解：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．因此，直线l被曲线C截得的弦长为．点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.4．【2018年理新课标I卷】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】 (1）．（2）综上，所求的方程为．【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.5．【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题。
三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题08导数与不等式函数零点相结合理含解析55(1)
三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题08导数与不等式函数零点相结合理含解析55(1)2018年高考全景展示1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）见解析（2）当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点，综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。
2．【2018年理数全国卷II】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 3．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40co sθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40co sθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f （θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=时，f （θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.2017年高考全景展示1.【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=211()2()x x f x x x a e e --+=-++A ．B ．C ．D ．112-1312【答案】C 【解析】试题分析：函数的零点满足，()2112x x x x a e e --+-=-+ 设，则，()11x x g x e e--+=+()()211111111x x x x x x e g x eeee e ---+----'=-=-=当时，，当时，，函数 单调递减，()0g x '=1x =1x <()0g x '<()g x 当时，，函数 单调递增，1x >()0g x '>()g x 当时，函数取得最小值，1x =()12g =设 ，当时，函数取得最小值 ，()22h x x x =-1x =1- 若，函数与函数没有交点，0a ->()h x ()ag x当时，时，此时函数和有一个交点，0a -<()()11ag h -=()h x ()ag x 即，解得 .故选C.21a -⨯=-12a =【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.2.【2017课标1，理21】已知函数.2()(2)x x f x ae a e x =+-- （1）讨论的单调性；()f x（2）若有两个零点，求a 的取值范围.()f x 【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则()f x a 0a ≤0a >0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x 1(ln )1ln f a a a-=-+1a =(1,)a ∈+∞(0,1)a ∈(0,1)a ∈0n 03ln(1)n a>-00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于，因此在有一个零点.所以的取值范围为.3ln(1)ln a a->-()f x (ln ,)a -+∞a (0,1)（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.0a ≤()f x（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.0a >ln x a =-()f x 1(ln )1ln f a a a-=-+ ①当时，由于，故只有一个零点；1a =(ln )0f a -=()f x②当时，由于，即，故没有零点；(1,)a ∈+∞11ln 0a a-+>(ln )0f a ->()f x ③当时，，即.(0,1)a ∈11ln 0a a-+<(ln )0f a -<又，故在有一个零点.422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>()f x (,ln )a -∞-设正整数满足，则.0n 03ln(1)n a>-00000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->由于，因此在有一个零点.3ln(1)ln a a->-()f x (ln ,)a -+∞ 综上，的取值范围为.a (0,1)【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a 的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.()f x y a =()f x3.【2017课标II ，理】已知函数，且。
三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题07导数的应用理含解析
专题 07 导数的应用考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型展望热度认识函数单调性和导数的关系; 能利用导数选择题1. 导数与函数的, 会求函数的单调区间理解★★★研究函数的单调性解答题单调性)( 其中多项式函数一般不高出三次认识函数在某点获取极值的必要条件和充分条件 ; 会用导数求函数的极大值、极小值2. 导数与函数的极); 会求闭掌握解答题★★★( 其中多项式函数一般不高出三次(最)值( 其中多项式区间上函数的最大值、最小值函数一般不高出三次 )3. 生活中的优化问掌握选择题★☆☆会利用导数解决某些实责问题题解析解读1.会利用导数研究函数的单调性 , 掌握求函数单调区间的方法 .2. 掌握求函数极值与最值的方法, 解决利润最大、用料最省、效率最高等实质生产、生活中的优化问题.3. 利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点. 分值为12~17 分, 属于高档题 .命题研究练扩展2018 年高考全景显现1．【 2018 年理数天津卷】已知函数，，其中a>1.（I ）求函数的单调区间；（II ）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l ，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】 ( Ⅰ ) 单调递减区间，单调递加区间为；(Ⅱ )证明见解析；(Ⅲ )证明见解析.（III）由题意可得两条切线方程分别为l 1：. l2：. 则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转变成当时，关于 x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且 x0>0，使得，据此可证得存在实数t ，使得，则题中的结论成立.详解：（ I ）由已知，，有.令，解得 x=0.由 a>1，可知当 x 变化时，，的变化情况以下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递加区间为.（III ）曲线在点处的切线 l 1. ：曲线在点2. 处的切线 l ：要证明当时，存在直线l ，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得 l 1和 l 2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③所以，只需证明当时，关于 x1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点 .，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且 x0>0，使得，即.由此可得在上单调递加，在上单调递减.在处获取极大值. 由于，故，所以.下面证明存在实数 t ，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数 t ，使得，所以，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l ，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线 .点睛：导数是研究函数的单调性、极值( 最值 ) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的观察都特别突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的观察主要从以下几个角度进行：(1) 观察导数的几何意义，经常与解析几何、微积分相联系． (2) 利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3) 利用导数求函数的最值 ( 极值 ) ，解决生活中的优化问题．(4) 观察数形结合思想的应用．2．【 2018 年理北京卷】设函数=[ ] ．（Ⅰ）若曲线y= f （ x）在点（1，）处的切线与轴平行，求 a；（Ⅱ）若在 x=2处获取极小值，求 a 的取值范围．【答案】 (1) a 的值为 1 (2) a 的取值范围是（，+∞）【解析】解析：（1）先求导数，再依照得 a；（2）先求导数的零点：，2；再分类谈论，依照是否满足在 x=2处获取极小值，进行弃取，最后可得 a 的取值范围．详解：解：（Ⅰ）由于=[ ] ，x x x 所以 f ′（ x）=［2ax–（4a+1）］e +［ ax2–（4a+1）x+4a+3］ e （ x∈R）=［ ax2–（2a+1） x+2］e．f′ (1)=(1 –a)e ．由题设知f′ (1)=0 ，即 (1 –a)e=0 ，解得a=1．此时 f (1)=3e≠0．所以 a 的值为1．点睛：利用导数的几何意义解题，主若是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转变. 以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解 .3．【 2018 年江苏卷】记分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且，则称为函数与的一个“ S 点”．（1）证明：函数与 不存在“ S 点”；（2）若函数与存在“ S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数， ．对任意 ，判断可否存在 ，使函数 与 在区间内存在“ S 点”，并说明原由．【答案】（ 1）证明见解析（ 2）a 的值为 （ 3）对任意 a >0，存在 b >0，使函数 f （ x ）与 g （x ）在区间（ 0，+∞）内存在“ S 点”．【解析】解析： （ 1）依照题中“ S 点”的定义列两个方程，依照方程组无解证得结论； （2）同（ 1）依照“S 点”的定义列两个方程，解方程组可得a 的值；（ 3）经过构造函数以及结合“ S 点”的定义列两个方程，再判断方程组可否有解即可证得结论.详解：解：（ 1）函数 f （ x ） =x ， g （ x ）=x 2+2x -2 ，则 f ′（ x ） =1， g ′（ x ）=2x +2．由 f （ x ） =g （ x ）且 f ′（ x ）= g ′（ x ），得，此方程组无解，所以， f （ x ）与 g （x ）不存在“ S ”点．（2）函数， ，则．设 x 0 为 f （ ）与 g （ ）的“ ”点，由f （ 0）与g （ 0）且 f ′（ x 0）与 g ′（ 0），得x x S x x x，即，（* ）得，即 ，则 ．当 时， 满足方程组（ * ），即 为 f （ x ）与 g（ ）的“ ”点．所以， a 的值为 ．xS（3）对任意 >0，设 ．由于，且 （ ）的图象是不中止的，所以存在∈（ 0， 1），使得，令，则b>0．函数，则．由 f （ x）与 g（ x）且 f ′（ x）与 g′（ x），得，即（** ）此时，满足方程组（** ），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“ S点”．所以，对任意a>0，存在 b>0，使函数 f （ x）与 g（ x）在区间（0，+∞）内存在“ S 点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先经过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大体图象判断零点、方程根、交点的情况，归根终究还是研究函数的性质，如单调性、极值，尔后经过数形结合的思想找到解题的思路. 4．【 2018 年理新课标 I 卷】已知函数．（1）谈论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（ 1）当时，在单调递减.，当时，在单调递减，在单调递加 . （ 2）证明见解析.（i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii ）若，令得，或. 当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递加 .（2）由（ 1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不如设，则. 由于，所以等价于. 设函数，由（1）知，在单调递减，又，进而当时，. 所以，即. 点睛：该题观察的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生计权，先确定函数的定义域，要对参数进行谈论，还有就是在做题的时候，要时辰关注第一问对第二问的影响，再者就是经过构造新函数来解决问题的思路要明确.2017 年高考全景显现1.【2017 课标 II ，理 11】若x 2 是函数 f ( x) ( x2 ax 1)e x 1的极值点，则 f ( x) 的极小值为（）A. 1B. 2e 3C. 5e 3D.1【答案】 A【解析】试题解析：由题可得 f ( x) (2 x a)e x 1 ( x2 ax 1)e x 1 [ x2 ( a 2) x a 1]e x 1由于 f ( 2) 0 ，所以 a 1 ，f ( x) ( x2 x 1)e x 1，故 f ( x) (x2 x 2)e x 1所以 f (x) 极小值为 f 1 (1 1 1)e1 1 1 ，应选A。
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项专题13 等差与等比数列(含解析)
专题13等差与等比数列考纲解读明方向分析解读 1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前n项和公式.2.体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本性质.3.命题以求a n,S n为主,考查等差数列相关性质.4.本节内容在高考中主要,分值约为5分,属中低档题.考查数列定义、通项公式、前n项和公式及性质解答题分析解读 1.理解等比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.求通项公式、求前n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.2018年高考全景展示1.【2018年理新课标I卷】设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.2．【2018年理北京卷】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．【答案】【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.详解：点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 3．【2018年理新课标I卷】记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.详解：根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 4．【2018年浙江卷】已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1−b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 5．【2018年理数全国卷II 】记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值. 详解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C.【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.2.【2017课标3，理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A【考点】 等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.3.【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【答案】B 【解析】试题分析：设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：()71238112x ⨯-=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B 。
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最新中小学教案、试题、试卷
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1
专题04 函数性质与应用
考纲解读明方向
考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度
1.函数的单调性及最值 理解函数的单调性、最大(小)值及
其几何意义
Ⅲ 选择题、 填空题、 ★★★
2.函数的奇偶性
了解函数奇偶性的含义,会判断简
单的函数的奇偶性
3.函数的周期性 了解函数周期性的含义
分析解读
1.考查函数的单调区间的求法及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小或证明不等式,运用定
义或导数判断或证明函数的单调性等.
2.借助数形结合的思想解题.函数的单调性、周期性、奇偶性的综合性问题是高考热点,应引起足够的
重视.
3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.
命题探究练扩展
2018年高考全景展示
1．【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A. B. 0 C. 2 D. 50
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2
【答案】C
【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以
,因此
，因为
，所以，，从而
，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函
数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
2．【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则
的值为________．
【答案】
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定
义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量
的取值范围.
3.【2018年理新课标I卷】已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，
减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得
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3
代入求得函数的最小值.
详解：，所以当时函数单调减，
当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为
，所以当时，函数取得最小值，此时，所以
，故答案是.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导
公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函
数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
2017年高考全景展示
1.【2017天津，理6】已知奇函数()fx在R上是增函数，()()gxxfx.若2(log5.1)ag，0.8(2)bg，(3)cg，
则a，b，c的大小关系为（ ）
（A）abc （B）cba （C）bac （D）
bca
【答案】
【解析】因为()fx是奇函数且在上是增函数，所以在0x时，()0fx，
从而()()gxxfx是上的偶函数，且在[0,)上是增函数，
22
(log5.1)(log5.1)agg
，
0.8
22
，又45.18，则22log5.13，所以即0.8202log5.13，
0.8
2
(2)(log5.1)(3)ggg
，
所以bac，故选C．
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数
函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结
合不仅能比较大小，还可以解不等式.
2.【2017课标3，理15】设函数10()20xxxfxx，，，，则满足1()()12fxfx的x的取值范围是_________.
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4
【答案】1,4
写成分段函数的形式：132,021112,02221212,2xxxxgxfxfxxxx，
函数gx 在区间11,0,0,,,22 三段区间内均单调递增，
且：001111,201,212142g ，
据此x的取值范围是：1,4 .
【考点】 分段函数；分类讨论的思想
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式
求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
3.【2017山东，理15】若函数xefx（2.71828e是自然对数的底数）在fx的定义域上单调递增，
则称函数fx具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为.
①2xfx②3xfx③3fxx④22fxx
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5
【答案】①④
④22xxefxex，令22xgxex，则2222110xxxgxexexex，
22xx
efxex
在上单调递增，故22fxx具有性质．
【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性.
【名师点睛】
1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能
力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过
这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
2.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类
讨论求得单调区间．
3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要
注意“＝”是否可以取到．
4.【2017浙江，17】已知αR，函数aaxxxf|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是
___________．
【答案】9(,]2
【解析】