(整理)均值不等式及其变形在高考中的应用的应用
人教课标版(B版)高中数学必修5参考课件1-均值不等式的应用
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第 2 课时 均值不等式的应用
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资
源
●三维目标 1．知识与技能 巩固均值不等式的简单应用． 2．过程与方法 能灵活构造均值不等式求最值成立的三个条件． 3．情感、态度与价值观 通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态 度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
【防范措施】 在运用均值不等式时，要特别注意等号成立 的条件，尤其是一个题目中多次使用均值不等式，等号成立的条 件必须相同，否则会造成错误．
【正解】 (x＋y)1x＋4y＝1＋4·xy＋yx＋4＝5＋4yx＋yx≥5＋2 4yx·yx＝9，
当且仅当 4·xy＝yx，即 y＝2x 时等号成立．
1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、 三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定 值，和有最小值．
【自主解答】
f(x)＝
xx2＋2＋43＋1＝
x2＋3＋1 x2＋3
＋
1＝
x2＋3＋
x21＋3＋1， 令 t＝ x2＋3(t≥ 3)，
则原函数变形为 y＝t＋1t ＋1，易证函数在区间[ 3，＋∞)上 是增函数．
所以当 t＝ 3时，y＝t＋1t ＋1 取得最小值433＋1. 所以当 t＝ 3，即 x＝0 时，f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 取得最小值433＋
当 x＜0 时，x＋1x≤－2， ∴－12≤x＋1 1x＜0， ∴－1≤y＜0， 当且仅当 x＝1x(x<0)，即 x＝－1 时取等号； 当 x＝0 时，y＝0. 综上，可得函数 y＝x22＋x 1的值域为{y|－1≤y≤1}.
高考数学考点均值不等式全解
高考数学考点均值不等式全解2.平均值不等式名师点拨：1.定理2的常见变形2.利用平均值不等式求最值对两个正实数a,b.(1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;(2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.对于三个正数a,b,c.利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.01利用平均值不等式求最值分析：根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条件和形式,然后应用平均值不等式求解.反思感悟平均值不等式的基本功能在于“和与积”的相互转化,利用平均值不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用平均值不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形式),构造出平均值不等式的形式再进行求解,求解时一定注意平均值不等式成立的条件:①各项或各因式应为正;②和或积为定值;③各项或各因式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相等”02利用平均值不等式证明不等式分析：(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质证明.(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不等式.反思感悟：利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧(1)用平均值不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式的结构和条件,然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式用传递性证明,因为这样有可能导致等号不能取到.03利用平均值不等式解决实际问题【例3】已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车间距离为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20 km/h时,d=1 km.(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车速度为多少?分析：对于(1),可由已知数据代入求得;(2)先列出时间与速度的关系式,再借助平均值不等式求解.反思感悟：利用平均值不等式求解实际问题时的注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用平均值不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.均值不等式的解题方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
高考数学利用均值不等式求圆锥曲线中的最值(解析版)
利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想．二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值，如根据椭圆中PF 1 +PF 2 为定值，可求PF 1 PF 2 的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.【例1】(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 1，F 2是椭圆Γ的左、右焦点，点A 1,32 在椭圆Γ上，点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若B 1,-32，点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA ，PB 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，记△OMN ，△PMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 21-S 1S 2+S 22的最小值．【解析】(1)因为点A 1,32 在椭圆Γ上，所以1a 2+34b 2=1，①因为点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3，所以c =3，即a 2-b 2=c 2=3，②由①②解得a 2=4，b 2=1，故椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1．(2)设点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线MN ：x =my +t ，由椭圆性质以及点C 的横坐标大于1可知，t >2，将直线MN 代入方程x 24+y 2=1并化简可得，my +t 2+4y 2-4=0，即m 2+4 y 2+2mty +t 2-4=0，因为直线l 与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ=4m 2t 2-4m 2+4 t 2-4 =0，即t 2=m 2+4．直线AP 的方程为：x =4-23y ；直线BP 的方程为l BP ：x =4+23y ，联立方程x =my +t ,x =4-23y ,得y 1=4-t 23+m ，同理得y 2=t -423-m，所以y 1-y 2=4-t -43 m 2-12=43t +4，所以S 1=12t y 1-y 2 ，S 2=124-t y 1-y 2 ，所以S 21-S 1S 2+S 22=14t 2y 1-y 2 2-t 4-t 4y 1-y 2 2+14(4-t )2y 1-y 22=14y 1-y 2 2t 2-4t +t 2+16-8t +t 2 =14×48t +4 23t 2-12t +16 =36-489t +8 t 2+8t +16，令9t +8=λλ>26 ，则S 21-S 1S 2+S 22=36-48×81λ+282λ+56≥97，当且仅当λ=28，即t =209时，不等式取等号，故当t =209时，S 21-S 1S 2+S 22取得最小值97．【例2】已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为32，且过点1,2 .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 被圆x 2+y 2=a 2截得的弦长为26，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)e =32，b a =a 2-c 2a =1-e 2=12，由椭圆过点1,2 得4a 2+1b 2=1，解得a 2=8，b 2=2，∴椭圆C 的方程为y 28+x 22=1.(2)直线l 被圆x 2+y 2=8截得的弦长为26，则圆心到直线l 的距离d 满足6 2=22 2-d 2，解得d =2，当l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，圆心为原点则有d =m 1+k 2=2，∴m 2=2k 2+1.将l 方程代入椭圆方程中整理得：k 2+4 x 2+2mkx +m 2-8=0，∴x 1+x 2=-2mk k 2+4，x 1x 2=m 2-8k 2+4，AB =k 2+1⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=k 2+1⋅42k 2+8-m 2k 2+4=46⋅k 2+1k 2+4，∴S △OAB =12AB d =43×1k 2+1+3k 2+1≤2，当且仅当k 2+1=3k 2+1，即k =±2时取等号.当l 的斜率不存在时，则l ：x =±2，过椭圆的左、右顶点，此时直线l 与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴△OAB 面积的最大值为2.(二)把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圆C 过定点A (0，p )(p >0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设|AM |=m ，|AN |=n ，∠MAN =θ.(1)当点C 运动时，|MN |是否变化？试证明你的结论；(2)求m n +n m的最大值.【解析】(1)设C x 0,x 202p ，则AC =x 20+x 202p -p 2，故圆C 的方程x -x 0 2+y -x 202p2=x 20+x 202p -p2 ，令y =0有x -x 0 2+x 404p 2=x 20+x 404p 2-x 20+p 2，故x -x 0 2=p 2，解得x 1=x 0+p ，x 2=x 0-p ，故MN =x 1-x 2 =2p 不变化，为定值(2)由(1)不妨设M x 0-p ,0 ,N x 0+p ,0 ，故m =x 0-p 2+p 2，n =x 0+p 2+p 2，故m n +nm=m 2+n 2mn =x 0-p 2+p 2+x 0+p 2+p 2x 0-p 2+p 2x 0+p 2+p 2=2x 20+4p 2x 20+2p 2 2-4p 2x 2=2x 20+2p 2 x 40+4p 4=21+4x 20p 2x 40+4p 4=21+4p 2x 20+4p 4x 2≤21+4p 22x 20⋅4p 4x 20=22，当且仅当x 2=4p 4x 20，即x 0=±2p 时取等号.故m n +nm 的最大值为22(三)把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.【例4】(2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0)且经过点P (3,2).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)【解析】(1)由椭圆的定义，可知2a =PF 1 +PF 2 =(23)2+4+2=4+2=6解得a =3，又b 2=a 2-(3)2=6.∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 26=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ，联立椭圆方程，得5x 2+6mx +3m 2-18=0，△=36m 2-60m 2+360>0，得-15<m <15设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-6m 5,x 1⋅x 2=3m 2-185，∴|AB |=2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2⋅36m 225-12m 2-725=435⋅15-m 2，点O (0,0)到直线l :x +y -m =0的距离d =|m |2，∴S △AOB =12|AB |⋅d =12×435×15-m 2×|m |2=6515-m 2 ⋅m2≤6515-m 2+m 22 2=65×152=362.当且仅当15-m 2=m 2,(-15<m <15)，即m 2=152,m =±302时取等号；∴△AOB 面积的最大值为362.(四)把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值.【例5】(2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的离心率为e =32，Q 2,22 为椭圆上一点.直线l 不经过原点O ，且与椭圆交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点.(1)求椭圆的方程；(2)求△OAB 面积的最大值，并求当△OAB 面积最大时AB 的取值范围.【解析】(1)∵e =c a =32,a 2=b 2+c 2,∴a 2=43c 2,b 2=c 23，∴3x 24c 2+3y 2c 2=1.将Q 2,22 代入得32c 2+32c2=1⇒c =3⇒a 2=4,b 2=1，∴椭圆方程为x24+y 2=1.(2)设l :x =ty +m m ≠0 ，与椭圆联立得：t 2+4 y 2+2tmy +m 2-4=0，所以y 1+y 2=-2tm t 2+4,y 1y 2=m 2-4t 2+4,Δ=16t 2+4-m 2 >0.则S △OAB =12m ⋅y 1-y 2 =2m t 2+4-m 2t 2+4=2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ，因为t 2+4-m 2>0，故0<m 2t 2+4<1，所以2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ≤m 2t 2+4+1-m 2t 2+4 =1当且仅当m 2t 2+4=12时取等号，此时Δ=16m 2>0，符合题意.所以S △OAB ≤1，即△OAB 面积的最大值为1.当t 不存在时，设l :y =h h ≠0 ，则S △OAB =21-h 2⋅h ≤1，当h =22时取等号.综上，△OAB 面积的最大值为1当△OAB 面积最大时：若t 存在，则此时t 2=2m 2-4≥0⇒m 2≥2，则AB =1+t 2⋅4t 2+4-m 2t 2+4=22-3m 2∈2,22 ，若t 不存在，则此时AB =41-h 2=22.综上，AB ∈2,22 .．(五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例6】(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ =9QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ，准线方程为x =-p2，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2，所以该抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设Q x 0,y 0 ，则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ，所以P 10x 0-9,10y 0 ，由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ，即x 0=25y 20+910，据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925，所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9，当y 0=0时，k OQ =0；当y 0≠0时，k OQ =1025y 0+9y 0，当y 0>0时，因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30，此时0<k OQ ≤13，当且仅当25y 0=9y 0，即y 0=35时，等号成立；当y 0<0时，k OQ <0；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.(六)与数量积有关的最值问题求解与数量积有关的最值问题，通常利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然后再利用均值不等式求最值.【例7】设椭圆x 25+y 24=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA ⋅PB的最小值．【解析】设椭圆的两切线为l 1，l 2．①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知切点为；②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x ≠±5，设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为-1k，并设l 1,l 2 的交点为x 0,y 0 ，则l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 25+y 24=1，得：5k 2+4 x 2+10y 0-kx 0 kx +5y 0-k 0x 0 2-20=0 ，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得5y 0-kx 0 2k 2-5k 2+4 y 0-kx 0 2-4 =0，∴x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0，∴k 是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的一个根，同理-1k是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的另一个根，∴k ⋅-1k =y 20-4x 20-5得x 20+y 20=9，其中x ≠±5，∴交点的轨迹方程为：x 2+y 2=9x ≠±5 ，∵±5,±2 也满足上式；综上知：轨迹C 方程为x 2+y 2=9；设PA =PB =x ，∠APB =θ，则在△AOB 与△APB 中应用余弦定理知，AB 2=OA 2+OB 2-2OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =PA 2+PB 2-2PA ⋅PB ⋅cos ∠APB ，即32+32-2⋅3⋅3cos 180°-θ =x 2+x 2-2x ⋅x ⋅cos θ ，即x 2=91+cos θ1-cos θ，PA ⋅PB =PA ⋅PB cos ∠APB =x ⋅x cos θ=91+cos θ cos θ1-cos θ，令t =1-cos θ∈0,2 ，则cos θ=1-t ，PA ⋅PB =92-t 1-t t =9t 2-3t +2 t =9⋅t +2t-3 ≥9⋅2t ⋅2t -3 =922-3 ，当且仅当t =2t，即t =2时，PA ⋅PB 取得最小922-3 ；综上，PA ⋅PB 的最小为922-3 .三、跟踪检测1.(2023届山东省青岛市高三上学期检测)在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆C 1:x 2+y 2+2x -454=0内切，且与圆C 2:x 2+y 2-2x +34=0外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心C 2且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ,M 两个不同的点，连接AC 2交轨迹E 于点B .(i )若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；(ii )若过圆心C 1的直线交轨迹E 于D ,G 两个不同的点，且AB ⊥DG ，求四边形ADBG 面积的最小值.【解析】(1)设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为x ,y由题意可知：圆C 1的圆心为C 1-1,0 ，半径为72；圆C 2的圆心为C 21,0 ，半径为12.∵动圆P 与圆C 1内切，且与圆C 2外切，∴PC 1 =72-RPC 2 =12+R⇒PC 1 +PC 2 =4>C 1C 2 =2∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点的椭圆，设其方程为：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其中2a =4,2c =2,∴a =2,b 2=3从而轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1(2)(i )设直线AB 的方程为y =k x -1 k ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 由y =k x -1x 24+y 23=1可得：4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0∴x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3直线BM 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，令y =0可得N 点的横坐标为：x N =x 2-x 1y 2+y 1y 1+x 1=k x 2-x 1 x 1-1 k x 1+x 2-2+x 1=2x 1x 2-x 1+x 2 x 1+x 2-2=2×4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4∴N 为一个定点，其坐标为4,0(ii )根据(i )可进一步求得：AB =1+k 2x 2-x 1 =1+k 2×x 2+x 12-4x 1x 2=1+k 2×8k 24k 2+3 2-4×4k 2-124k 2+3=12k 2+1 4k 2+3.∵AB ⊥DG ,∴k DG =-1k，则DG =12k 2+13k 2+4∵AB ⊥DG ，∴四边形ADBG面积S=12AB×DG=12×12k2+14k2+3×12k2+13k2+4=72k2+124k2+33k2+4(法一)S=72k2+124k2+33k2+4≥72k2+124k2+3+3k2+422=28849等号当且仅当4k2+3=3k2+4时取，即k=±1时，S min=288 49(法二)令k2+1=t,∵k≠0,∴t>1，则S=72t212t2+t-1=72-1t2+1t+12=72-1t-122+494当1t=12，即k=±1时，S min=288492.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点3,-32，且椭圆的离心率e=12，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A,B及C、D．(1)求椭圆的方程；(2)求证：1|AB|+1|CD|为定值；(3)求|AB|+916|CD|的最小值．【解析】(1)由e=ca=12，得c2a2=14，∴a2=4c2=4(a2-b2)，∴3a2=4b2．①，由椭圆过点3,-3 2知，3a2+34b2=1②．联立①②式解得a2=4，b2=3．故椭圆的方程是x24+y23=1．(2)1|AB|+1|CD|为定值712．证明：椭圆的右焦点为F(1,0)，分两种情况．1°不妨设当AB的斜率不存在时，AB:x=1，则CD:y=0．此时|AB|=2b2a=3，|CD|=2a=4，1|AB|+1|CD|=712；2°当直线AB的斜率存在时，设AB:y=k(x-1)(k≠0)，则CD:y=-1k(x-1)．又设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组y=k(x-1)3x2+4y2=12 ，消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，∴x1+x2=8k24k2+3，x1∙x2=4k2-124k2+3，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+k2∙(x1+x2)2-4x1x2=1+k2∙64k4-16(k2-3)(4k2+3)(4k2+3)2=12(k2+1)4k2+3，由题知，直线CD的斜率为-1 k，同理可得|CD |=12(1+k 2)4+3k 2所以1|AB |+1|CD |=7k 2+712(k 2+1)=712为定值．(3)解：由(2)知1|AB |+1|CD |=712，∴|AB |+916|CD |=127|AB |+916|CD | 1|AB |+1|CD |=1272516+916|CD ||AB |+|AB ||CD |≥1272516+2916|CD ||AB |×|AB ||CD |=214，当且仅当916|CD ||AB |=|AB ||CD |，即|AB |=34|CD |，即|AB |=3，|CD |=4时取等号，∴|AB |+916|CD |的最小值为214．3.(2023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试)已知离心率为12的椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点1,32，抛物线C 2:y 2=2px p >0 ．(1)若抛物线C 2的焦点恰为椭圆C 1的右顶点，求抛物线方程；(2)若椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为A ，过A 但不经过原点的直线l 交椭圆C 1于B ，交抛物线C 2于M ，且AM =MB，求p 的最大值，并求出此时直线l 的斜率．【解析】(1)由c a =12设a 2=4c 2，b 2=3c 2，所以将点1,32 代入椭圆C 1:x 24c 2+y 23c 2=1得：椭圆C 1:x 24+y 23=1，所以C 1的右顶点为2,0 ，依题意p 2=2，所以抛物线C 2方程为y 2=8x ；(2)设直线l 的方程为x =my +t t ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ，联立x =my +t x 24+y 23=1，消去x 整理得3m 2+4 y 2+6mty +3t 2-12=0，显然Δ>0则y 1+y 2=-6km 3m 2+4，所以y 0=y 1+y 22=-3km 3m 2+4，x 0=my 0+t =4t3m 2+4；联立x =my +t y 2=2px，消去x 整理得y 2-2pmy -2pt =0，∴Δ>0，且y 1y 0=-2pt∴y 1=-2pty 0=2p 3m 2+4 3m由抛物线方程得x 1=y 212p =2p 3m 2+4 29m 2，所以点坐标为A 2p 3m 2+4 29m 2,2p 3m 2+4 3m，将点A 代入椭圆方程3x 2+4y 2=12有：32p 3m 2+429m 22+42p 3m 2+4 3m 2=12整理得：27p2=133m +4m 4+43m +4m 2，令t =3m +4m2，则t ≥23m ⋅4m 2=48，当且仅当3m =4m即m =43，即直线l 的斜率k =32时t ≥48取等号，所以27p2=13t 2+4t ≥20×48，∴p 2≤9320，∴p ≤3540，即p 的最大值为3540，此时直线l 的斜率为32．4.平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为26，过焦点的最短弦长为 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为12的直线与椭圆交于A ,B 两点，P 为椭圆上异于A ,B 的点，求△PAB 的面积的最大值.【解析】(1)由题意得2c =26,2b 2a =2a 2-b 2=c 2⇒a 2=8,b 2=2，故椭圆的标准方程为x 28+y 22=1；(2)设直线AB 的方程为y =12x +m ，则x 28+y 22=1y =12x +m⇒x 2+2mx +2m 2-4=0，，Δ=16-4m 2>0⇒-2<m <2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，x 1+x 2=-2m x 1x 2=2m 2-4AB =16-4m 2×1+14=5×4-m 2，当-2<m ≤0时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第二象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n >0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =2，此时P (-2,1)，P 到AB 的距离最大为d =m -21+14=2m -2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m -2 5=4-m 2×m -2 ，则S 2=(2+m )(2-m )3=13(6+3m )(2-m )3≤13×6+3m +6-3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =-1时取等号. 当0<m <2时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第四象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n <0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =-2，此时P (2,-1)，P 到AB 的距离最大为d =m +21+14=2m +2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m +2 5=4-m 2×m +2 ，则S 2=(2-m )(2+m )3=13(6-3m )(2+m )3≤13×6-3m +6+3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =1时取等号. 所以△PAB 的面积的最大值为33.5.平面直角坐标系中，过点(1,0)的圆C 与直线x =-1相切．圆心C 的轨迹记为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)设A ,B 为曲线Γ上的两点，记AB 中点为M ，过M 作AB 的垂线交x 轴于N ．①求x N -x M ；②当AB =10时，求x N 的最大值．【解析】(1)设C (x ,y )，由题意，则C 到(1,0)的距离等于C 到x =-1的距离，故C 的轨迹为抛物线y 2=4x ；(2)设A y 124,y 1 ,B y 224,y 2 ，则M y 12+y 228,y 1+y 22，①k AB =y 1-y 2y 124-y 224=4y 1+y 2故k MN=-y 1+y 24，MN :y -y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，令y =0，得0-y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，故x N =y 12+y 228+2，即xN -x M =2，②由题意y 124-y 2242+(y 1-y 2)2=10，即40=(y 1-y 2)2[(y 1+y 2)2+16]≤(y 1-y 2)2+(y 1+y 2)2+162=y 12+y 22+8，故x N =y 12+y 228+2≥6．6.已知点F 1、F 2分别为椭圆Γ:x 22+y 2=1的左､右焦点，直线l :y =kx +t 与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，垂足分别为点M 、N .(1)求证：t 2=2k 2+1；(2)求证：F 1M ⋅F 2N为定值，并求出该定值；(3)求OM +ON ⋅ OM -ON的最大值.【解析】(1)联立l :y =kx +t 与Γ:x 22+y 2=1得：2k 2+1 x 2+4ktx +2t 2-2=0，由直线与椭圆有一个公共点可知：Δ=4kt 2-42k 2+1 2t 2-2 =0，化简得：t 2=2k 2+1；(2)由题意得：F 1-1,0 ,F 21,0 ，因为F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，所以F 1M ∥F 2N ，故F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N ，其中F 1M =-k +tk 2+1，F 2N =k +tk 2+1，所以F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N =-k +t k 2+1⋅k +t k 2+1=t 2-k 2 k 2+1=2k 2+1-k 2k 2+1=1，F 1M ⋅F 2N为定值，该定值为1；(3)OM +ON =OF 1 +F 1M +OF 2 +F 2N =F 1M +F 2N =F 1M +F 2N ，由题意得：点F 1,F 2在直线l 的同侧，所以F 1M +F 2N =-k +t k 2+1+k +t k 2+1=2t k 2+1，OM -ON =NM =F 1F 2 ⋅MNMN=F 1F 2 cos α=2k 2+1，(其中α为F 1F 2 ,MN 的夹角)，由此可知：OM +ON ⋅ OM -ON =4t k 2+1=8t t 2+1=8t +1t ≤82t ⋅1t=4，当且仅当t =1t即t =1,k =0时，等号成立，所以OM +ON ⋅ OM -ON 的最大值为4.7.(2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =22，且点P 2,1 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若点A ,B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP (不包括端点)上.求△AOB 面积的最大值.【解析】(1)离心率e =c a =22，将P 代入椭圆方程，可得4a 2+1b2=1，又a 2-b 2=c 2 ，∴联立上述方程，可得：a =6， b =c =3，∴椭圆方程为x 26+y 23=1；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 可得：x 21+2y 21=6,x 22+2y 22=6，相减可得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0，由题意，k OM =k OP =12，即y 1+y 2x 1+x 2=12，∴直线AB 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22y 1+y 2=-12×2=-1，故可设直线AB 为y =-x +t ，代入椭圆方程可得：3x 2-4tx +2t 2-6=0，由Δ=16t 2-12(2t 2-6)>0，解得-3<t <3，∴x 1+x 2=4t 3,x 1x 2=2t 2-63，AB =2⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2⋅16t 29-8t 2-243=439-t 2，又O 到AB 的距离为d =t2，∴△AOB 面积为S =12AB d =23t 29-t 2≤23⋅t 2+9-t 22=322，当且仅当t 2=9-t 2，即t =±322时，S 取得最大值322.8.(2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点为B 0,1 ，过点2,0 且与x 轴垂直的直线被截得的线段长为233.(1)求椭圆Γ的标准方程﹔(2)设直线l 1交椭圆Γ于异于点B 的P ,Q 两点，以PQ 为直径的圆经过点B ,线段PQ 的中垂线l 2与x 轴的交点为(x 0,0)，求x 0的取值范围.【解析】(1)由已知条件得：b =1，令x =2，得y =±1-2a2，由题意知：21-2a 2=233，解得a =3，∴椭圆的标准方程为x 23+y 2=1，(2)①当直线PQ 的斜率不存在时，显然不合题意；②当直线PQ 斜率存在时，设PQ :y =kx +m ，当k =0时，此时P ,Q 关于y 轴对称，令P (x ,y ),Q (-x ,y )，∴BP =(x ,y -1),BQ =(-x ,y -1)且BP ⋅BQ=0，则(y -1)2=x 2，又x 2=3-3y 2，∴2y 2-y -1=0，解得y =-12或y =1(舍)，则P 32,-12 ,Q -32,-12符合题设.∴此时有x 0=0；当k ≠0时，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，且x 1+x 2=-6km 1+3k2x 1x 2=3m 2-31+3k 2，由BP ⋅BQ=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =0，即1+k 2 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2=0，∴1+k 2 ⋅3m 2-31+3k 2-k m -1 ⋅6km 1+3k 2+m -1 2=0，整理得2m 2-m -1=0，解得m =-12，m =1(舍去)，代入Δ=36k 2+12-12m 2>0得：k ∈R ，∴PQ 为y =kx -12，得：x M =x 1+x 22=3k 21+3k 2 ,y M =-121+3k 2 ，则线段的PQ 中垂线l 2为y +121+3k 2 =-1k x -3k 21+3k 2，∴在x 轴上截距x 0=k 1+3k 2，而x 0=k 1+3k 2≤k 2×3k=36，∴-36≤x 0≤36且x 0≠0，综合①②:线段PQ 的中垂线l 2在x 轴上的截距的取值范围是-36,36.9.(2022届河北省高三上学期12月教学质量监测)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-1,0 ，F 21,0 ，点P 满足PF 1 +PF 2 =22，点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)不过F 1的直线l 与C 交于A ､B 两点，若直线l 的斜率是直线AF 1､BF 1斜率的等差中项，直线AB 和线段AB 的垂直平分线与y 轴分别交于P ､Q ，求PQ 的最小值.【解析】(1)由椭圆的定义知，点P 在以F 1，F 2为焦点且a =2的椭圆上，所以其方程为：x 22+y 2=1(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0.直线l 的方程为y =kx +b ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立得x 2+2y 2=2y =kx +b得1+2k 2 x 2+4kb x +2b 2-2=0，所以Δ=4kb 2-41+2k 2 2b 2-2 >0得k 2+1>b 2x 1+x 2=-4kb 1+2k 2，x 1x 2=2b 2-21+2k 2由题意得2k =y 1x 1+1+y 2x 2+1，即2k x 1+1 x 2+1 =kx 1+b x 2+1 +kx 2+b x 1+1整理得b -k x 1+x 2 =2k -b∵直线l 不过F 1，∴b ≠k ，x 1+x 2=-2∴-4kb 1+2k 2=-2，∴b =1+2k 22k ∵b 2<k 2+1，∴1+2k 22k 2<k 2+1，解得k >22或k <-22线段AB 的中点为-1,b -k ，线段AB 中垂线方程为y -b -k =-1kx +1 当x =0时，y Q =-1k-k +b ，直线AB 与y 轴交点的纵坐标y P =b PQ =y P -y Q =k +1k，k >22或k <-22当k =±1时，PQ 最小，最小值为2.10.已知两圆C 1:(x -2)2+y 2=54,C 2:(x +2)2+y 2=6，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点A 3,0 的直线与曲线C 交于P ,Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求△ARQ 面积的最大值.【解析】(1)依题意，圆C 1的圆心C 12,0 ，半径r 1=36，圆C 2的圆心C 2-2,0 ，半径r 2=6，设圆M 的半径为r ，则有MC 1 =r 1-r ，MC 2 =r 2+r ，因此，MC 1 +MC 2 =r 1+r 2=46>4=C 1C 2 ，于是得点M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点，长轴长2a =46的椭圆，此时，焦距2c =4，短半轴长b 有：b 2=a 2-c 2=20，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：x 224+y 220=1.(2)显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为x =my +3(m ≠0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，由x =my +35x 2+6y 2=120消去x 得：(5m 2+6)x 2+30my -75=0，则y 1+y 2=-30m 5m 2+6，y 1y 2=-755m 2+6，点P 关于x 轴的对称点R (x 1,-y 1)，S △PQR =12⋅|2y 1|⋅|x 2-x 1|，S △APR =12⋅2y 1⋅ 3-x 1 ，如图，显然x 1与x 2在3的两侧，即x 2-x 1与3-x 1同号，于是得S △AQR =S △PQR -S △APR =y 1 x 2-x 1- 3-x 1 =y 1⋅ x 2-x 1 -3-x 1=|y 1|⋅|x 2-3|=|y 1|⋅|my 2|=|my 1y 2|=75|m |5m 2+6=755|m |+6|m |≤7525|m |⋅6|m |=5304，当且仅当5|m |=6|m |，即m =±305时取“=”，因此，当m =±305时，(S △AQR )max =5304，所以△ARQ 面积的最大值5304.11.已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，分别过左、右焦点F 1，F 2作两条平行直线l 1和l 2.(1)求l 1和l 2之间距离的最大值；(2)设l 1与C 的一个交点为A ，l 2与C 的一个交点为B ，且A ，B 位于x 轴同侧，求四边形AF 1F 2B 面积的最大值.【解析】(1)∵椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，且b =1，∴a =2,b =1,c =1，∴x 22+y 2=1，设直线l 1：x =ty -1；直线l 2：x =ty +1.∴l 1和l 2之间距离d =21+t 2≤2，当t =0时，d max =2；(2)根据题意，不妨设直线l 1与椭圆C 交于A 、D 两点，直线l 2与椭圆C 交于B 、N 两点，则AD ∥BN ，且AD =BN ，即四边形ABND 为平行四边形，∴四边形AF 1F 2B 面积为四边形ABND 面积的一半，由(1)知，d =21+t 2，联立方程x =ty -1x 2+2y 2=2 ,则2+t 2 y 2-2ty -1=0，∴Δ=8t 2+1 >0,y 1+y 2=2t 2+t 2,y 1y 2=-12+t 2，∴AD =1+t 2y 1-y 2 =22t 2+1 2+t 2，∴12S ▱ABND =12d ⋅AD =12×21+t 2×22t 2+1 2+t 2=221+t 22+t 22，令u =1+t 2≥1，12S ▱ABND =22u u +1 2=221u +1u+2，∵u ≥1，∴u +1u+2≥4，∴12S ▱ABND ≤2，当且仅当t =0时，取等号.故四边形AF 1F 2B 面积的最大值2.12.(2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟)设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过M 1,32 ，N 3,12 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】(1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得1a 2+34b 2=13a 2+14b 2=1 ，解得a 2=4，b 2=1．所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x 2+y 2=R 2，其中0<R <1，设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y =kx +m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0，由韦达定理得x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1，②因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，③将①代入③并整理得1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=0，联立②得m 2=451+k 2 ，④因为直线AB 和圆相切，因此R =|m |1+k 2，由④得R =255，所以存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率不存在时，易得x 12=x 22=45，由椭圆方程得y 12=y 22=45，显然OA ⊥OB ，综上所述，存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率存在时，由①②④得AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+k 2x 1-x 2 2=1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-8km 4k 2+1 2-4×4m 2-44k 2+1=1+k216+64k 2-16m 21+4k 22=4551+k 21+16k 21+4k 22=45516k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1=4551+9k 216k 4+8k 2+1=4551+916k 2+1k2+8，由16k 2+1k 2≥8，得1<1+916k 2+1k2+8≤54，即455≤AB ≤5．当切线AB 的斜率不存在时，易得AB =455，所以455≤AB ≤5．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=45满足题意，且455≤AB ≤5．13.(2022届上海市青浦区高三一模)已知抛物线y 2=x .(1)过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求OA ∙OB 的值(其中O 为坐标原点)；(2)过抛物线上一点C x 0,y 0 ，分别作两条直线交抛物线于另外两点P x p ,y p ､Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于A 1-1,1 ､B 1-1,-1 两点，求证：y p ⋅y Q 为常数(3)已知点D 1,1 ，在抛物线上是否存在异于点D 的两个不同点M ､N ，使得DM ⏊MN ?若存在，求N 点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点F 的直线为x =my +14，联立y 2=xx =my +14得y 2-my -14=0，y 1+y 2=my 1⋅y 2=-14，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则OA ∙OB =x 1x 2+y 1y 2=y 21⋅y 22+y 1y 2=-316；(2)由题可设过点C x 0,y 0 的一条直线交抛物线于P x p ,y p ，交直线x =-1于A 1-1,1 ，另一条直线交抛物线于Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于B 1-1,-1 ，则k A 1C ≠0,k B 1C ≠0，k A 1C =y 0-1x 0+1,k B 1C =y 0+1x 0+1，直线A 1C 方程可表示为：y =y 0-1x 0+1x +1 +1，直线B 1C 方程可表示为：y =y 0+1x 0+1x +1 +1，联立直线A 1C 与抛物线方程y 2=xy =y 0-1x 0+1x +1+1可得y 2-x 0+1y 0-1y +x 0+1y 0-1+1 ，故y 0+y p =x 0+1y 0-1，即y p =x 0+1y 0-1-y 0，同理联立直线B 1C 和抛物线方程化简可得y 2-x 0+1y 0-1y +1-x 0+1y 0-1=0，故y 0+y Q =x 0+1y 0+1，y Q =x 0+1y 0+1-y 0，即y p ⋅y Q =x 0+1y 0-1-y 0 x 0+1y 0+1-y 0 =y 20+1y 0-1-y 0 y 20+1y 0+1-y 0=y 0+1y 0-1⋅1-y 0y 0+1=-1(3)假设存在点D 满足DM ⏊MN ，设M y 23,y 3 ,N y 24,y 4 ，DM =y 23-1,y 3-1 ,MN =y 24-y 23,y 4-y 3 ，则DM ⋅MN =y 23-1 ⋅y 24-y 23 +y 3-1 y 4-y 3 =0，易知y 3≠1,y 4≠y 3，化简得y 3+1 y 4+y 3 +1=0，即y 4=-1y 3+1+y 3 =-1y 3+1+y 3+1 -1，当y 3+1<0时，y 4=-1y 3+1-y 3+1 +1≥2-1y 3+1⋅-y 3+1 +1=3，当且仅当y 3=-2时取到等号，故y 4≥3；当y 3+1>0时，y 4=-1y 3+1+y 3+1 -1 ≤-21y 3+1⋅y 3+1 -1 =-1，当且仅当y 3=0时取到等号，因为y 3≠1，故y 3+1≠2，令t =y 3+1，则t +1t ≠52，但t =y 3+1=12能取到，此时t +1t =52，故y 4∈-∞,-1 ；故y 4∈-∞,-1 ⋃3,+∞ .。
2020版高考(文)新增分大一轮：第7章 7.2 均值不等式及其应用
§7.2均值不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档.1．均值不等式：ab≤a＋b2(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab(a，b∈R)．(2)b a ＋ab ≥2(a，b 同号)．(a，b∈R)．(4)a 2＋b 22≥(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b 的算术平均值为a＋b2，几何平均值为ab，均值不等式可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．4．利用均值不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，x＋y 有最小值2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，xy 有最大值p24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y＝x＋1x 的最小值是2吗？提示不是．因为函数y＝x＋1x 的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋1x无最小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈4.(×)(2)“x>0且y>0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．(×)(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(√)(4)若a>0，则a 3＋1a 2的最小值为2 a.(×)(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a＋b2≥ab有相同的成立条件．(×)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)题组二教材改编2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy 的最大值为()A．80B．77C．81D．82答案C解析∵x>0，y>0，∴x＋y2≥xy，即＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max ＝81.3．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.答案25解析设矩形的一边为xm，面积为ym 2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，∴y＝x(10－x)≤x＋(10－x )22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y max ＝25.题组三易错自纠4．“x>0”是“x＋1x ≥2成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析当x>0时，x＋1x≥2x·1x＝2.因为x，1x 同号，所以若x＋1x ≥2，则x>0，1x >0，所以“x>0”是“x＋1x ≥2成立”的充要条件，故选C.5．若函数f(x)＝x＋1x－2(x>2)在x＝a 处取最小值，则a 等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．4答案C解析当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2(x－2)×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.6．若正数x，y 满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y 的最小值是()A．2B．3C．4D．5答案D解析由3x＋y＝5xy，得3x＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4＋9＋3y x ＋≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12x y，即y＝2x 时，“＝”成立，故4x＋3y 的最小值为5.故选D.题型一利用均值不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x 的值为________．答案23解析x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)函数y＝x 2＋2x－1(x>1)的最小值为________．答案23＋2解析∵x>1，∴x－1>0，∴y＝x 2＋2x－1＝(x 2－2x＋1)＋(2x－2)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立．命题点2常数代换法例2(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m，n∈N +)，则2m ＋1n 的最小值为()A．1B.32C．2D.92答案A解析由题意可得，a 1＝q，∵a m a 2n ＝a 24，∴a 1·qm－1·(a 1·qn－1)2＝(a 1·q 3)2，即q m·q 2n＝q 8，即m＋2n＝8.∴2m ＋1n ＝(m＋2n)×182＋m n ＋4nm ＋2×18≥(4＋24)×18＝1.当且仅当m＝2n 时，即m＝4，n＝2时，等号成立．命题点3消元法例3已知正实数a，b 满足a 2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b()A．有最大值145B．有最小值145C．有最小值3D．有最大值3答案B解析∵a 2－b＋4≤0，∴b≥a 2＋4，∴a＋b≥a 2＋a＋4.又∵a，b>0，∴a a＋b ≤a a 2＋a＋4，∴－a a＋b ≥－a a 2＋a＋4，∴u＝2a＋3b a＋b ＝3－a a＋b ≥3－a a 2＋a＋4＝3－1a＋4a＋1≥3－12a·4a ＋1＝145，当且仅当a＝2，b＝8时取等号．故选B.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法．跟踪训练1(1)(2019·丹东质检)设x>0，y>0，若xlg2，lg 2，ylg2成等差数列，则1x ＋9y 的最小值为()A．8B．9C．12D．16答案D解析∵xlg2，lg 2，ylg2成等差数列，∴2lg 2＝(x＋y)lg2，∴x＋y＝1.∴1x ＋9y ＝(x＋y)≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16，当且仅当x＝14，y＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.故选D.(2)若a，b，c 都是正数，且a＋b＋c＝2，则4a＋1＋1b＋c的最小值是()A．2B．3C．4D．6答案B解析∵a，b，c 都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋1>0，b＋c>0.∴4a＋1＋1b＋c ＝13·(a＋1＋b＋c)·＝135＋4(b＋c )a＋1＋a＋1b＋c ≥13(5＋4)＝3.当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立．故选B.题型二均值不等式的综合应用命题点1均值不等式与其他知识交汇的最值问题例4已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，过第一象限内圆O 外的点P(a，b)作圆O 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若PO →·PA →＝8，则a＋b 的最大值为()A．3B．32C．42D．6答案B解析根据题意，结合向量数量积的定义式，可求得PO →·PA →＝|PA →|2＝8，所以可求得|PO|2＝9，即a 2＋b 2＝9，结合均值不等式，可得a＋b≤2(a 2＋b 2)＝32，当且仅当a＝b＝322时取等号，故选B.命题点2求参数值或取值范围例对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为()A．2B．4C．6D．8答案B解析对任意正实数x，y 9，∵1＋a＋y x ＋axy ≥a＋2a＋1，当且仅当y＝ax 时，等号成立，∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练2(1)在△ABC 中，A＝π6，△ABC 的面积为2，则2sinC sinC＋2sinB ＋sinB sinC的最小值为()A.32B.334C.32D.53答案C解析由△ABC 的面积为2，所以S＝12bcsinA＝12bcsin π6＝2，得bc＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sinC sinC＋2sinB ＋sinB sinC ＝2c c＋2b ＋bc ＝2cb b (c＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立，故选C.(2)已知函数f(x)＝ax 2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则8a＋bab的最小值是()A．10B．9C．8D．32答案B解析由函数f(x)＝ax 2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2a＋b＝2，所以8a＋b ab ＝1a ＋8b ＝10＋b a ＋＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b，即a＝13，b＝43时等号成立，所以8a＋bab的最小值为9，故选B.利用均值不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k ⇒k＝2，∴x＝3－2m＋1，每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (万元)，∴2019年的利润y＝1.5x×8＋16xx －8－16x－m＝－16m＋1＋(m＋1)＋29(m≥0)．(2)∵m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1⇒m＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升利用均值不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用均值不等式求得函数的最值．1．函数f(x)＝x 2＋4|x|的最小值为()A．3B．4C．6D．8答案B解析f(x)＝x 2＋4|x|＝|x|＋4|x|≥24＝4，当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是()A．x＝y B．x＝2y C．x＝2且y＝1D．x＝y 或y＝1答案C解析∵x>0，y>0，∴x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2y 时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的充分不必要条件．故选C.3．(2018·沈阳模拟)已知正数a，b 满足a＋b＝1，则4a ＋1b 的最小值为()A.53B．3C．5D．9答案D解析由题意知，正数a，b 满足a＋b＝1，则4a ＋1b ＝＝4＋1＋4b a ＋ab ≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a＝23，b＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4．若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b 的最小值为()A．8B．6C．4D．2答案C解析由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有1a ＋1b＝1，所以＋b)＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b 的最小值为4，故选C.5．已知函数f(x)＝e x 在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l 上，则2a ＋2－b 的最小值是()A．4B．2C．22 D.2答案D解析由题意得f′(x)＝e x ，f(0)＝e 0＝1，k＝f′(0)＝e 0＝1.所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，∴2a ＋2－b ≥22a·2－b＝22a－b＝22－1＝2a＝－12，b＝12时取等号D.6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A.a＋b2≥ab(a>0，b>0)B．a 2＋b 2≥2ab(a>0，b>0)C.2aba＋b≤ab(a>0，b>0)D.a＋b 2≤a 2＋b22(a>0，b>0)答案D解析由AC＝a，BC＝b，可得圆O 的半径r＝a＋b2，又OC＝OB－BC＝a＋b 2－b＝a－b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a－b )24＋(a＋b )24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO≤FC，即a＋b2≤a 2＋b22，当且仅当a＝b 时取等号．故选D.7．设x，y 均为正数，且xy＋x－y－10＝0，则x＋y 的最小值是________．答案6解析由xy＋x－y－10＝0，得x＝y＋10y＋1＝9y＋1＋1，∴x＋y＝9y＋1＋1＋y≥29y＋1·(1＋y )＝6，当且仅当9y＋1＝1＋y，即y＝2时，等号成立．8．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________．答案4解析设正项等比数列{a n }的公比为q(q>0)，∵S 7－S 5＝a 7＋a 6＝3(a 4＋a 5)，∴a 7＋a 6a 5＋a 4＝q 2＝3.∴4a 3＋9a 7＝4a 3＋9a 3q 4＝4a 3＋1a 3≥24a 3·1a 3＝4，当且仅当4a 3＝1a 3，即a 3＝12时等号成立．∴4a 3＋9a 7的最小值为4.9．已知△ABC 的角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a 2＝b 2＋c 2－bc，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________．答案3解析由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc，∴2bccosA＝bc，∴cosA＝12，∴A＝π3.∵△ABC 的面积为334，∴12bcsinA＝343，∴bc＝3.∵a 2＝b 2＋c 2－bc，∴a 2≥2bc－bc＝bc＝3(当且仅当b＝c 时，等号成立)，∴a≥ 3.10．已知a，b 为正实数，且(a－b)2＝4(ab)3，则1a ＋1b 的最小值为________．答案22解析由题意得(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，代入已知得(a＋b)2＝4(ab)3＋4ab，两边同除以(ab)2得＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2≥4·2ab·1ab＝8，当且仅当ab＝1时取等号．所以1a ＋1b ≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2.11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy 的最大值；(2)求1x ＋1y 的最小值．解(1)∵x>0，y>0，∴由均值不等式，得2x＋5y≥210xy.∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y 时，等号成立．此时xy 有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy 有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴1x ＋1y＝·2x＋5y207＋5y x ＋＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．＝2x y，x＝1010－203，y＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.12.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y 表示S；(2)若要使S 的值最大，则x，y 的值各为多少？解(1)由题意可得xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a ＝(3x－8)y－33＝1808－3x－83y(x>3，y>3)．(2)方法一S＝1808－3x－83×1800x≤1808－23x×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x＝4800x，即x＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y＝1800x＝45，所以当x＝40，y＝45时，S 取得最大值．方法二设则f′(x)＝4800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x2，令f′(x)＝0，则x＝40，当0<x<40时，f′(x)>0；当x>40时，f′(x)<0.所以当x＝40时，S 取得最大值，此时y＝45.13．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2a－c b ＝cosCcosB，b＝4，则△ABC 面积的最大值为()A．43B．23C．33 D.3答案A解析∵2a－c b ＝cosCcosB，∴(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC ＝sin(B＋C)＝sinA.又sinA≠0，∴cosB＝12.∵0<B<π，∴B＝π3.由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2accosπ3＝a 2＋c 2－ac≥2ac－ac＝ac，∴ac≤16，当且仅当a＝c 时等号成立．∴S △ABC ＝12acsin π3≤12×16×32＝4 3.故△ABC 面积的最大值为4 3.故选A.14．如图，在△ABC 中，点D，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为()A．32B．2C．52D．92答案D解析设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →，∵B，D，E，C 共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1，∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝(m＋λ)AB →＋(n＋μ)AC →，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y＝x＋y )5＋y x ＋＝92，当且仅当x＝23，y＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92，故选D.15．已知正三棱柱ABC－A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为46，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为()A．24πB．162πC．8πD．4π答案B解析设BC＝a，CC 1＝b，则ab＝46，底面三角形外接圆的半径为r，则a sin60°＝2r，∴r＝33a.所以R 2＝b 24＋a 23≥2b 24·a 23＝29612＝42，当且仅当a＝32b 时，等号成立．所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×42＝162π.16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p，q∈N *，都有a p＋q ＝a p ·a q ，则f(n)＝S n－1·(S n－1＋2)＋256a n的最小值为________．答案30解析当q＝1时，a p＋1＝a p ·a 1＝2a p ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n，S n ＝2(2n－1)2－1＝2n＋1－2，∴S n－1＝2n －2，S n－1·(S n－1＋2)＝(2n －2)·2n，∴f(n)＝(2n－2)2n＋2562n ＝2n －2＋2562n≥2256－2＝30，当且仅当2n ＝16，即n＝4时，等号成立，f(n)min ＝30.。
均值不等式,巧解高考题(高二、高三)
均值不等式,巧解高考题(高二、高三)
均值不等式是数学中一个重要的定理，在高考数学考试中，也常常出现均值不等式这类题目，值得深入了解。
均值不等式是指大于等于算术平均数的等式：有n个实数的算术平均数为x1, x2, x3,…, xn 的时候，可得:x1+x2+x3+…+xn≥n*x。
在高考中，经常出现均值不等式的题目。
比如有个简单的题目：若给定的三个数a,b,c的和为6，则a,b,c的算术平均数不大于多少呢？解题方法
1.设三个数为a,b,c，因为这三个数的和为6，所以，有a+b+c=6；
2.现在要求a,b,c的平均数不大于多少，即求a,b,c的算术平均数x，即x=（a+b+c）/3；
3.由于a,b,c三个数的和为6，代入上式可以得x=2；
4.最后，通过均值不等式可以得：a+b+c≥3*2，也就是a,b,c的算术平均数不大于2。
以上就是均值不等式的一般求解方法，解题的思路是先明确问题的类型，然后再利用均值不等式的条件来解决问题。
同时也可以利用均值不等式解答一些常见的数学题目。
总之，均值不等式是一个重要的数学定理，在高考数学考试中，也经常出现，要想在考试中取得好成绩，就要熟悉均值不等式相关的试题，并掌握它的解题思路。
高中阶段平均值不等式几点应用
高中阶段平均值不等式几点应用【摘要】均值不等式是高中数学学习的重点内容，在很多领域都有十分重要的应用，是高考试题的一个热点。
笔者根据多年的教学经验，浅谈了高中阶段平均值不等式的几点应用，具有一定的参考意义【关键字】均值不等式；高中；应用；最值中图分类号：G633.6均值不等式是高中数学教材的一个重点和难点内容，在这部分的学习中，均值不等式的应用主要有三个方面，用于求最值，用于比较式子大小和用来证明不等式的成立。
应用均值不等式解题时需要注意均值不等式的使用条件，掌握变形技巧，这样才能得心应手的应用均值不等式。
作为一名数学教育工作者，我在教学时不断摸索和总结高效的教学方法，我发现通过开展总结性的教学专题，有利于取得更好的教学效果。
例如，在教学均值不等式这部分时，我对均值不等式的各种应用情况和应用技巧进行总结，使同学们形成一个系统的框架，有利于加深同学们的理解，熟练的进行应用一、灵活配凑，求出最值应用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙变形求最值、结合待定系数法求最值三个层次。
解题时的技巧是要学会灵活的配凑，配凑方法主要有拆项配凑法、加倍裂项配凑法、平方裂项配凑法、添项配凑法、换元配凑法和待定系数配凑法等我在对这一应用类型进行教学时，将每种配凑方法都用对应的几道典型例题进行讲解，让同学们体会配凑方法的选取与应用。
例如，已知x>-10，所以y=[（x+1）+4][（x+1）+1]/（x+1），进而化简为y=[4/（x+1）]（x+1）+5，化简到这一式子即可应用均值不等式，y≥5+2√（x+1）[4/（x+1）=9，当且仅当x=1时成立，y的最小值为9。
通过对典型例题进行分析与讲解，同学们掌握了拆项配凑法求最值的解题方法。
另外，对于不同的求最值题型，我也总结出相应的求解技巧，以促进同学们遇到时能快速的做出判断。
例如在求几个正数和的最值时，解题关键在于构造条件，使其积为常熟，然后选用配凑的方法进行变换。
高三数学第一轮复习（高考教练）考点46 均值不等式及应用（理科）课件
You made my day!
我们，还在路上……
理科数学
第六章 不 等 式
考点46 均值不等式及Hale Waihona Puke 用知识要点基础自测
典例示范
互动演练
方法总结
R+ R+
正数 正数
积为定值 和为定值
等号能成立 等号能成立
C
A
B
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
高考专题17 均值不等式及其应用(原卷版) (2)
提升训练2.7 均值不等式的应用一、选择题1．已知x ＞0，函数9y x x =+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 ∵x ＞0， ∴函数9926y x x x x=+≥⋅=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6． 故选：C ． 2．已知1(0,)4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．110【答案】C 【解析】因为1(0,)4x ∈，所以40,140x x >->，所以2114141(14)=4(14)44216x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即18x =，等号成立. 故答案选C .3．()2301x x y x x++=>+的最小值是()A ．B ．1C ．1+D ．2【答案】B 【解析】1,10x x >-∴+>，231x x y x ++∴==+331123111x x x x +=++-++…， 当且仅当311x x =++，即31x =时等号成立，所以()2301x x y x x++=>+的最小值是231，故选B.4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．29 B ．18C ．14D ．12【答案】B 【解析】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =，即11,42a b ==时，ab 取最大值18. 故选B5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1B ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】 ∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab的最小值为4，故选：D ．6．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y +的最小值为（）A ．2B ．12x xC ．4D ．23【答案】C 【解析】111133()(3)22243333y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥+⋅=,当且仅当132x y ==时取等号，故113x y +的最小值为4，选C.7．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n +的最小值为（）A ．322+B ．32C ．222+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=， 则111122()(2)33232n m n mm n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅=+，当且仅当2n mm n =，即2n m =时等号成立，所以11m n +的最小值为322+ A.8．若两个正实数x ，y 满足211x y +=，则2x+y 的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】A 【解析】两个正实数x y ，满足211x y +=，则()2122222241529y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当22y xx y =，即3x y ==时取等号，故2x y +的最小值为9. 故选A ．9．若正实数满足，则（ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．有最小值D ．有最大值【答案】D 【解析】 对于A ，取，则，故A 错误；对于B ，取，则，故B 错误；对于C ，取，则，故C 错误；对于D ，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D 正确.10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab ）x=1-b 无解. 所以当ab=1,且a,b 不同时为1，其中、，∴，即.故选:B11．若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】A 【解析】由111a b +=得：1111a b a a -=-=，即：1a b a =- 0b >，0a >10a ∴->()()1919119129161111111a a a ab a a a a ∴+=+=+-≥⨯-=------- 当且仅当()1911a a =--，即4a =时取等号 min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭ 本题正确选项：A12．设，，均为正实数，则三个数，，( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【解析】假设，，均小于，则 ，又因为，，，故，这与矛盾，故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D ．二、填空题13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________．【答案】258【解析】因为0a >，0b >，25a b +=，所以21122522228a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，取等号；故答案为25814．若a b >，则()82a b a b-+-的最小值为______． 【答案】8 【解析】因为a b >，所以()822168a b a b-+≥=-, 当且仅当2a b -=时取等号,即()82a b a b-+-的最小值为8.15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________. 【答案】由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.故答案为.16．若，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a，b，所以a2+b2＝（）2+（）2，当且仅当x2，y2时取等．故答案为．三、解答题17．已知正实数a，b满足，求的最小值.【答案】【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.18．设,x y 都是正数，且123x y +=，求2x y +的最小值．【答案】83. 【解析】∵123x y +=，∴11213x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴()()11222123x y x y x y x y ⎛⎫+=+⨯=+⨯+ ⎪⎝⎭1414442?33y x y x x y x y ⎛⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝ (8)3=. 当且仅当4y x x y=，即2y x =时，取“＝”． 又∵123x y +=，∴23x = 43y =.∴2x y +的最小值为83. 19．已知，求证：.【答案】证明见解析 【解析】 证明：，，，上面三式相加，得：，所以，.20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m，侧面宽为5m时，总造价最低为59800元.【解析】令房屋地面的正面长为x m，侧面宽为y m，总造价为z元，则30x y⋅=，1500390065800450054005800z x y x y=⋅+⋅+=++，∵450054002450054002900563029003054000x y xy+≥⨯⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯=，∴45005400580054000580059800z x y=++≥+=，当且仅当4500540030x yx y=⎧⎨⋅=⎩即65xy=⎧⎨=⎩时取等号，答：房屋正面长为6m，侧面宽为5m时，总造价最低为59800元. 21．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．【答案】（1）；（2）不存在.【解析】（1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在．因为，所以，又，所以．从而有，因此不存在，满足．22．设a>0，b>0，且证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．。
均值不等式的妙用
均值不等式的妙用1.不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题⇒假设建模⇒求解模型⇒检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.2.不等式综合应用类型类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题.类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题.类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等.类型4：探究数列的递增(递减)性，前n项和的最值等问题.3．基本不等式三．题型方法规律总结1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.。
均值不等式的4种变形及应用yqh
均值不等式的四种变形及其应用定理：如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =取等号）。
这个定理至少有四种变式。
例如一 第一种变式为2222()()a b a b +≥+它是怎样用定理“如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =取等号），”推导出来的呢？只要在么222a b ab +≥的两边同时加上22a b +可推出为2222()()a b a b +≥+它可以用中文数学语言叙述成“两个非负数的平方和的2倍不小于这两个非负数的和的平方。
”什么时候用这一均值不等式的变式呢？凡带有根号形式的不等式证明题可用此第一种变式。
例1设0,0a b >>，1a b +=≤证明：22(2121)22(1)8a b a b ≤+++=⨯++=≤ 例2设x,y 均为正数,10=-y x 且,求证:x-2y 200≤（1987年列宁格勒数学奥林匹克试题）.证明：用均值不等式的变形公式（)(2)222b a b a +≤+y y y x y x y x 2200)100(2)10(10102+=+≤+=⇒+=⇒=-移项得x-2y 200≤.例3 若a,b,c +∈R 且a+b+c=1,求证:21141414≤+++++c b a .证明:用三元均值不等式的变形公式)(3)(2222c b a c b a ++≤++.21)141414(3)141414(2=+++++≤+++++c b a c b a两边开方得出21141414≤+++++c b a例4 若a,b,c,d +∈R 且a+b+c+d=1求证:2414141414≤+++++++d c b a证明: 用四个变量均值不等式的变形公式)(4)(22222d c b a d c b a +++≤+++32]4)(4[4)14141414(2=++++≤+++++++d c b a d c b a .两边开方得出所要证的结果.二 笫二种变形22a a b b≥-。
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均值不等式及其变形在高考中的应用
20114113001 宁龙
知识梳理：
1．基本不等式
（1）ab b a R b a 2,,22≥+∈则；（2）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（3）
ab b a ≥+2 （4）不等式链2211222b a b a ab b
a +≤+≤≤+ （5）22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab 若b a +为定值时,则ab 有最大值.（6）222b a ab +≤若22b a +为定值时,则ab 有最大值.
2．最值定理:
设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则x=y 时
,x y +和有最小值
（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,22
S xy 积有最大值（） 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等。
注意：大于等于有最小值；小于等于有最大值。
应用1．若0>x ，求函数x
x y 1+=的最值； 应用2．求函数x x e
e y 1+=的最值； 应用3．若0<x ，求函数x
x y 1+=的最值； 应用4．若45<x ，求函数x
x y 45145-+-=的最值； 应用5．若45>x ，求函数x
x y 45145-+-=的最值； 应用6．若45<x ，求函数x
x y 45141-+-=的最值； 应用7.已知54x <，求函数1()4245
f x x x =-+-的最大值。
解析：由题意知，首先要调整符号，又1(42)45
x x --不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
∵54x <，540x ->∴ 当且仅当15454x x -=
-，即时等号成
立。
应用8．若3>x ，求函数3
1-+
=x x y 的最值； 应用9．若25≥x ，求函数()22542-+-=x x x y 的最值； 应用10．若1->x ，求函数1
132++-=x x x y 的最值；
应用11．设403
x <<，求()x x y 343-=的最大值。
应用12．设403
x <<，求(43)y x x =-的最大值。
解：∵ 403
x << ∴ 034>-x
∴ )
34(x x y -=34)2343(31)34(3312=-+⋅≤-⋅=x x x x 当x x 343-=即
32=x 时，34max =y
应用13.当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当且仅当，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，的最大值为8。
应用14．求y=(x-a)2+(x-b)2的最小值.
解:y=(x-a)2+(x-b)2=(a-x)2+(x-b)2≥ [(a-x)+(x-b)]2 2 = (a-b)2 2
当且仅当a-x=x-b 即x= a-b 2
时取最值. 均值不等式中带约束条件问题的解法（对常数的巧妙利用）
应用1．已知141x y
+=，求y x +的最小值。
解：141=+y x ，14-=x x y ∴ 114)1(4)1(14+-+-+-=-+=+x x x x x y x
95421414)1(=+≥++-+-=x x ,
141-=-x x 当6,3==y x ∴
9)(min =+y x
应用2. 设a 、+∈R b ，a ≠b 且a ＋b ＝1，则b a 11+的取值范围是
A.[3，)∞+
B.（3，＋∞）
C.[4，＋∞）
D.（4，＋∞）
应用3. 已知正数y x ,满足1=+y x ，则y
x 41+的最小值为
应用4. 已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则y
x 311+的最小值是
A.2
B.22
C.4
D.32。