乘法交换律和结合律
(完整版)乘法交换律和结合律
《乘法交换律和结合律》教学设计原州九小胡琴霞教学内容：人教版义务教育教科书四年级下册24—25页内容。
教材分析：教材以学生参加植树活动的情境为主题图，由图引出例5、例6为学习乘法交换律和结合律提供具体的事例。
这样编排能激发学生的学习兴趣，在解决问题的同时描述规律并熟练掌握。
做一做”和练习七的习题基本上是针对两条乘法运算定律的理解、巩固和应用设计的。
学情分析：前面已经学习了加法交换律、结合律，学生对学习数学都有很大的兴趣，特别是男生，更是有很多不同于其他同学的思路。
针对这一点，老师在提问时的问法一定要严谨、明确，否则很容易让学生发散思维而回归不到正常的教学环节中。
教学目标：1、使学生理解并掌握乘法交换律、结合律，并会用字母表示。
2、借助观察、比较、概括、联想等方法，培养学生的分析推理能力，发现并概括出乘法运算定律。
3、使学生感受数学与现实生活的联系，运用新知识解决简单的实际问题的能力。
4、通过教学情境的创设，向学生渗透环保教育。
重点：使学生理解并掌握乘法交换律、乘法结合律。
难点：使学生能灵活运用乘法交换律和乘法结合律的解决简单的实际问题，提高计算能力。
教学准备：课件、课后练习题。
教学过程：一、复习旧知。
前面我们学习的加法运算定律有哪些?用字母如何来表示呢？学生回答，乘法有这样的运算定律吗？今天我们就一起来学习乘法运算定律。
（板书课题）二、探究新知。
（一）探索乘法交换律。
1、出示主题图导入。
师：同学们现在已经是春天了，春回大地，万物复苏，正是植树造林的好时机。
3月12日——植树节这天，光明学校也组织同学们参加植树活动，植树是一项非常有意义的活动，它不仅能防风固沙还能净化空气、美化环境。
同学们都积极地响应学校的号召。
看，他们正干的热火朝天呢！（课件出示课本情景图）他们在植树时还搜集了一些数学信息，请同学们仔细观察图，根据这些数学信息会提出哪些数学问题呢？2、解决问题。
(1)负责挖坑、种树的一共多少人？(2)学生独立解决问题，让两名学生上台板演。
交换律和结合律的区别
1.交换律和结合律的区别是什么？
答：结合律和交换律的区别作用不同：乘法分配律的作用是：两个数的和同一个数相乘，可以用这两个数分别同这个数相乘，并把所得的积相加。
乘法交换律的作用是：两个数的乘法运算中，在从左往右计算的顺序，两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。
乘法分配律是一个因数乘两个加数的和，乘法结合律是三个因数相乘，交换律是两个因数前后互换位置相乘。
乘法分配律的表达式为：(a+b)c＝ac+bc，乘法结合律的表达式为：(ab)c＝a(bc)，乘法交换律的表达式为：a×b=b×a。
乘法交换律和结合律分配律
乘法交换律和结合律分配律乘法交换律、结合律和分配律是数学中常见的运算定律，它们在代数运算中起着重要的作用。
本文将对这三个定律进行详细的介绍和解释。
一、乘法交换律乘法交换律是指，对于任意的两个数a和b，它们的乘积等于b和a 的乘积，即a乘以b等于b乘以a。
这个定律可以用数学式表示为：a * b = b * a。
乘法交换律的应用非常广泛。
比如，在计算机编程中，交换律可以用于优化代码和提高执行效率。
在实际生活中，交换律也常常被用到。
比如，我们在购物时，可以根据乘法交换律来计算不同商品的总价。
二、乘法结合律乘法结合律是指，对于任意的三个数a、b和c，它们的乘积在任意顺序下都保持不变，即(a乘以b)乘以c等于a乘以(b乘以c)。
这个定律可以用数学式表示为：(a * b) * c = a * (b * c)。
乘法结合律的应用也非常广泛。
比如，在代数运算中，结合律可以用于简化复杂的计算过程。
在化简代数表达式时，结合律可以帮助我们将多个乘积合并为一个乘积，从而简化计算。
三、乘法分配律乘法分配律是指，对于任意的三个数a、b和c，它们的乘积满足如下关系：a乘以(b加c)等于a乘以b加上a乘以c。
这个定律可以用数学式表示为：a * (b + c) = a * b + a * c。
乘法分配律的应用非常广泛。
在代数运算中，分配律可以帮助我们将复杂的乘法运算分解为简单的加法和乘法运算。
在实际生活中，分配律也经常被用到。
比如，在计算购物时，我们可以根据分配律来计算不同商品的总价。
乘法交换律、结合律和分配律是数学中常见的运算定律，它们在代数运算中起着重要的作用。
乘法交换律可以用于优化代码和提高执行效率，乘法结合律可以简化复杂的计算过程，乘法分配律可以将复杂的乘法运算分解为简单的加法和乘法运算。
掌握和灵活运用这些定律，将有助于我们更好地理解和解决数学问题。
交换律结合律分配律公式
交换律结合律分配律公式
1、乘法交换律：在两个数的乘法运算中，在从左往右计算的顺序，两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。
乘法交换律公式：a×b=b×a
2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
乘法结合律公式(a×b)×c=a×(b×c)
3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再将积相加。
乘法分配律公式：(a+b)×c=a×c+b×c
注意：
与连续信号卷积积分运算规则对照，离散序列信号卷积和运算也有相应的一些运算规则，不过卷积和的差分规则、累和规则用得很少，常用的离散信号卷积和运算的几个基本运算规则是交换律，结合律和分配律。
卷和运算的交换律、结合律、分配律可仿照卷积运算的交换律、结合律、分配律推导过程证明成立，这里应强调的是，结合律与分配律应用于系统分析时主要用来等效化简复合系统：两个子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应等于相并两子系统单位序列响应的代数和。
结合律和交换律的公式
结合律和交换律的公式介绍如下：
结合律和交换律是数学中常见的两个运算规律。
结合律是指数学运算在进行加法或乘法时，无论数值的先后顺序如何，其结果都是一样的。
交换律是指在进行加法或乘法时，数值的先后顺序可以改变，其结果仍然是一样的。
下面是结合律和交换律的公式：
1.结合律的公式
加法的结合律：a + (b + c) = (a + b) + c
乘法的结合律：a × (b × c) = (a × b) × c
2.交换律的公式
加法的交换律：a + b = b + a
乘法的交换律：a × b = b × a
这些公式是数学中常见的基础公式，可以应用于各种数学运算中，如代数、几何、概率等。
熟练掌握这些公式可以帮助我们更好地进行数学推理和解题。
乘法交换律和结合律教案
乘法交换律和结合律教案1. 目标：通过本节课的学习，让学生掌握乘法交换律和结合律的概念，并能运用这两个法则解决简单乘法问题。
2. 导入：教师向学生出示以下两个算式，并询问学生它们之间有何不同。
a) 3 × 4b) 4 × 3引导学生观察算式中乘号两边的数值，并发现两个算式的结果相同。
提问学生是否知道这就是乘法交换律。
3. 概念解释：a) 乘法交换律：乘法交换律是指两个（或多个）数相乘，交换因数的位置，积不变。
换句话说，将乘法算式中的因数位置互换，结果不变。
示例：3 ×4 = 124 × 3 = 12b) 乘法结合律：乘法结合律是指多个数相乘时，括号的位置可以更改，结果不变。
换句话说，将括号内的乘法进行先后变化，积不变。
示例：(2 × 3) × 4 = 242 × (3 × 4) = 244. 实例演示：教师通过实例演示具体操作乘法交换律和结合律的过程和步骤，让学生可以更好地理解。
示例 1: 2 × 3 × 4 = ?- 运用乘法结合律，我们可以改变括号的位置：- (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24- 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24示例 2: 4 × 5 × 6 = ?- 运用乘法交换律，我们可以改变因数的位置：- (4 × 5) × 6 = 20 × 6 = 120- (5 × 6) × 4 = 30 × 4 = 1205. 练习：让学生在黑板上或练习册上完成以下题目，并展示解题过程：a) (2 × 3) × 4 = ?b) 2 × (3 × 4) = ?c) (4 × 5) × 2 = ?d) 2 × (4 × 5) = ?6. 总结：教师对本节课的内容进行总结，强调乘法交换律和结合律的重要性，以及在解决实际问题中的应用价值。
乘法交换律和乘法结合律
乘法交换律和乘法结合律乘法交换律和乘法结合律是数学中两个基本的乘法法则。
它们对于整数、分数、小数、甚至是数学中其他领域如代数和几何等都有重要的意义。
在本文中，我们将会深入探讨乘法交换律和乘法结合律的含义、重要性以及如何应用它们。
首先，我们来看看乘法交换律。
它的表述方式是“乘法的顺序可以随意交换，不改变乘积的大小”。
例如，对于两个数 a 和 b，它们的乘积a×b 等于b×a。
这个法则听起来似乎很简单，但实际上它对于我们日常生活中的计算有着重要的影响。
如果我们在计算中忘记了这个法则，那么最后算出的结果可能会与真实结果不符。
因此，在学习数学的过程中，我们需要时刻牢记这个基础的数学法则，以避免出现错误。
接下来，我们再来看看乘法结合律。
它的表述方式是“乘法运算的顺序可以任意改变，其结果不变”。
例如，对于三个数 a、b 和 c，它们的乘积a×b×c 等于(a×b)×c 或a×(b×c)。
这个法则也非常重要，因为在进行大量的乘法计算时，我们经常需要改变数的顺序，但如果没有这个法则的指导，我们可能会花费更多时间来计算出正确的答案。
乘法交换律和乘法结合律在实际生活中非常常见。
例如，在买菜时，如果我们需要计算某一种蔬菜的总价，我们可以先计算每一斤的价格，然后将其乘以需要购买的重量即可。
根据乘法交换律和乘法结合律，我们可以随意改变计算顺序，从而更加方便地计算出蔬菜的总价。
在学习数学的过程中，我们需要掌握这些基本的数学法则，并在实际生活中应用它们。
这样不仅能够帮助我们更加准确地做出计算，还有助于我们更好地理解数学的基本原理。
特别是对于小学生来说，乘法交换律和乘法结合律是数学学习的重要基础，从而为以后的数学学习打下坚实的基础。
总之，乘法交换律和乘法结合律是数学中非常重要的两个基础法则。
我们需要在学习数学的过程中充分理解它们的意义和应用方法，并在实际生活中加以运用，从而更好地掌握数学知识，提高自己的计算能力。
结合律和交换律
结合律和交换律
结合律和交换律是数学中常见的两个基本概念。
结合律指的是加法和乘法操作中，对于任意三个数a、b、c，无论先进行哪两个数的运算，最终结果都是相同的。
也就是说，
(a+b)+c=a+(b+c)和(a×b)×c=a×(b×c)。
交换律指的是加法和乘法操作中，对于任意两个数a、b，交换它
们的位置，最终结果不会受到影响。
也就是说，a+b=b+a和a×b=b×a。
结合律和交换律的概念不仅存在于数学中，在实际问题中也能有
所应用。
例如，在群体协作中，结合律可以帮助我们更好地理解任务
完成的方式。
而交换律则可以帮助我们优化任务分配的方式。
在日常
生活中，这两个概念也被广泛地应用于各种场景，例如做菜、减肥等等。
了解并掌握结合律和交换律的运用，可以极大地提高我们日常生
活中的数学素养和逻辑思维能力。
乘法交换律结合律分配律的相同与不同点
乘法交换律结合律分配律的相同与不同点乘法交换律、结合律和分配律都是数学中重要的运算律，它们在我们日常生活中也是经常用到的。
虽然它们都是关于乘法的运算律，但是它们有不同的特点和应用场景。
首先，乘法交换律是指两个数相乘的结果不随它们的顺序而改变，也就是说，a*b=b*a。
这个运算律常常被用于简化计算，因为它可以
让我们改变运算的顺序，从而更加方便地计算。
其次，乘法结合律是指三个数相乘的结果不随它们的加括号方式而改变，也就是说，(a*b)*c=a*(b*c)。
这个运算律常常被用于简化
复杂的乘法运算，因为它可以让我们改变计算的顺序，从而更加方便地计算。
最后，分配律是指一个数乘以两个数的和等于这个数分别乘以两个数再相加，也就是说，a*(b+c)=a*b+a*c。
这个运算律常常被用于
将一个乘法运算转化成两个加法运算，从而更加方便地计算。
总的来说，乘法交换律、结合律和分配律都是非常有用的运算律，它们可以让我们更加方便地进行乘法运算。
但是它们的应用场景和特点也不尽相同，我们需要根据具体的问题来选择合适的运算律进行计算。
- 1 -。
乘法交换律和乘法结合律
《乘法交换律和乘法结合律》的教学设计教材分析：本课时的教学内容是义务教育课程标准实验教科书四年级下册第33—35页中的乘法交换律和乘法结合律。
这部分内容是在教学了加法的运算律及其相关简便运算后学习的。
对于乘法的交换律，学生学习表内乘法时有了初步体验，知道根据同一幅图能列出两个乘法算式，知道互换因数位置得数相同。
在学习两位数乘两位数的验算方法时，知道互换因数的位置，积不变。
教材对乘法交换律的编排与加法交换律类似，也是由生活情境中的数学问题，引出一组算式，让学生初步理解两个因数交换位置，积不变；再让学生通过举例，经历分析、综合、抽象的过程，得出乘法交换律并用字母表示。
乘法结合律的编排与加法的结合律相似，但对学生探索的要求有所提高。
在教师的引导下，利用学生已掌握的加法运算定律进行知识迁移，学生通过猜想、探究、归纳出乘法交换律和乘法结合律并理解其作用，为后面的简便计算作好铺垫。
学情分析：学生在本课前已经学习掌握了加法的运算定律，并会运用加法运算定律进行简便计算。
但学生对于加法运算定律的表述不是很清楚，本节课要进一步加强学生对乘法交换律和乘法结合律的理解，要使学生能够利用所学的加法运算定律进行知识迁移，从而学习掌握新知，并能灵活运用新知进行简便计算。
教学设计意图：1、通过复习加法交换律和加法结合律，引导学生对运算定律的表述进行了复习。
而且本环节，也为后面学生探究学习乘法交换律和乘法结合律奠定了基础。
2、探究新知环节，主要是通过引导学生对主题图的观察，让学生探究解决“负责挖坑、种树的一共有多少人？”和“一共要浇多少桶水？”这两个问题，找出解决问题的相关信息，并会用不同的方法解答。
在此基础之上，再引导学生通过对两种方法的比较，归纳总结出乘法交换律和乘法结合律。
随后还引导学生学会运用刚刚学到的乘法交换律和乘法结合律进行简便计算，培养学生学以致用的能力。
3、巩固练习主要穿插在各个知识点的教学之后，及时反馈学生对各个知识点的掌握情况。
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教学设计学科名称：北师大版课标小学数学四年级第七册三乘法乘法
结合律和交换律
教材分析：本课是北师大版数学实验教材四年级上册的一个教学
内容,它是在学习了两位数乘两位数乘法和初次体验有趣算式规律探
索的基础上进一步拓展。乘法结合律这一内容与以往教材安排不同的
是把认识乘法结合律放在学生自主探索中,通过创设情境活动,让学
生逐步发现乘法计算中的特殊现象。这样安排不仅是让学生能发现乘
法运算定律，更主要的是让学生经历探索过程，通过对乘法结合律探
索基本步骤的体验为学生今后的数学探索活动打下基础。
学情分析：学习方式上：四年级的学生,经历四年的课改实验,
已具有一定的发现问题、提出问题、解决问题的能力。同学之间能够
较好地合作交流与倾听。能比较主动地探究新知,运用已有的知识经
验来学习新知。
知识技能上:在学习本课前,学生已经知道：25×4=100 、125×8=1000
以及整十整百整千数乘法计算比较简便。
学习目标：
知识与技能:通过探索活动,发现乘法交换律、结合律,并用字母进行
表示。在理解乘法结合律的基础上,会对一些算式进行简便计算。
过程与方法:经历数学探索过程,进一步体会探索的过程和方法。
情感、态度、价值观:感受数学探索的乐趣,培养自主探究问题的能力。
学习重难点：探索、发现、理解、应用乘法结合律。
教学过程：
一、创设情境，发现问题
师：同学们喜欢搭积木吗？
生：喜欢
师：我们的淘气也很喜欢搭积木，而且聪明的他还从其中发现了
一些数学的奥秘呢，你们想知道是什么吗？
生：想
师：那好，就让我们一起去探索与发现。
二、探索乘法交换律
播放课件1，出示情境图。（用小正方体搭成的一个长方体的一
面）
师：你知道图中有多少个小正方体吗？说说自己是怎样想的。
生：我是横着数一行有5个小正方体，一共有4行，5×4=20个。
生：竖着数一排有4个小正方体，一共有5排，4×5=20个。
师（板书5×4=4×5）可以这样写吗？为什么？
生：可以因为积相等，（求的就是一个整体）
师：认真观察这个等式，你能发现什么奥妙吗？
生思考，汇报（数字相同，交换了位置，积不变）
师：你们的发现淘气也找到了，不过喜欢思考的他还想到了一个
问题，是不是所有的两个数相乘交换乘数的位置积都不变呢？
生：„„
师：请你帮淘气举一些这样的例子来验证一下行吗？
生举例验证
师：大家找到了这么多例子，也就是说两个数相乘交换乘数的位
置，积不变是普遍存在的一种规律，如果用a、b表示两个数，你能
写出发现的规律吗？
生说师板书：
a×b＝b×a叫做乘法交换律
师：a.b指的是什么？（设计意图：乘法的结合律探索中往往包
含着交换律，因此先经历交换律的探索过程既把分散的情景整合为一
个整体，又为乘法结合律的学习作了铺垫。）
三、探索乘法结合律
1、课件2出示情景图（书54页）
师：请大家认真观察，估一估搭这个长方体用了多少个小正方
体？
学生独立观察、思考后集体交流。（说说估计的方法）
师：谁估计的准确呢？请同学们在本子上算一算。
（学生独立思考，计算，教师巡视）
师：谁愿意把你的想法介绍给大家？
生举手汇报，师追问：怎样想的？
师引导从上面、正面观察
上面：（3×5）×4
师：这个算式可以写成 （5×3）×4 吗？
生：可以，都是求同一个物体，
生：可以，虽然3和5的位置交换了，但根据乘法的交换律它们
的积不变。
师：出示4×（5×3） 可以这样写吗？
生交流，师引导可以把（5×3）看成一个数，这里也运用了乘法
的交换律。
正面：（4×5）×3
师：你还可以怎样写？根据是什么？
生：（5×4）×3 3×（5×4）
（设计意图：通过对算式的变换，巩固乘法交换律）
师：细心的淘气在这些算式中发现了两组特别的算式，（师擦掉
其它算式，留下（3×5）×4 3×（5×4）请同学们比较这两个算
式你发现了什么？把你的发现告诉大家。
生;乘数相同，三个数的位置不相同，运算顺序不同，积相同。
师:可以写成（3×5）×4 = 3×（5×4）吗？
生思考回答。
(设计意图:通过对算式异同的比较,让学生自己发现规律,)
2、提出假设，举例验证
师：你们的发言很精彩，那么象这样的三个乘数的位置不变，改
变运算顺序，积不变是不是在其他算式中也存在呢？你还能举出例子
来吗？可以是两位数或三位数相乘的，为了节省大家计算的时间，在
运算时可以使用计算器
（学生在小组内举例交流讨论，教师巡视指导。）
师：谁愿意介绍一下你们举例的情况。
生：„„
3、概括规律
师：从刚才大家所举的例子来看，每一组的结果都是相同的。这
样的例子多不多？（生：多）能不能举完呢？（生：不能）那么从中
你又能发现乘法运算中的什么规律吗？
生思考概括
师：你们概括得真好，你能用三个不同的字母分别表示乘法算式
中的任意三个数字，写出我们发现的规律吗？
生说师板书：
（a×b）×c＝a×（b×c）叫做乘法结合律
三、运用模型，完成练习
1、学生独立完成“练一练”1题。最后运用课件集体订正。
2、运用乘法结合律很快算出38×25×4 42×125×8
生独立完成，小组交流后汇报
3、完成“练一练”。先要求学生独立计算，教师巡视，发现有错
的让该生上去视屏展示，集体交流，并说明运用了什么规律。
(设计意图:通过练习让学生能够独立运用乘法结合律进行简便
运算.对所学的知识通过练习加以巩固运用.)
五、小结：
1、这节课你学到了什么？
2、我们是怎样认识这个好朋友的？
板书：
探索与发现
乘法交换律 乘法结合律
a×b＝b×a （a×b）×c＝a×（b×c）
5×4＝4×5 （3×5）×4 =3×（5×4）
教学反思：
⒈充分挖掘教材结合学生实际进行再设计。教材中对于乘法结合
律和交换律的探索是两个分散的情景，在第一次的备课时我依据书上
的过程设计教学，可试课时发现在探索结合律时，学生可以从不同的
角度去计算小长方体的块数，但几乎没有用括号的。他们习惯于先算
哪一面就把哪两个数字写在前面，教师在引导出书上的算式上也有些
牵强，而且我发现学生列出的这些算式中本身就有乘法的交换律。那
么何不先探索乘法交换律，把探索交换律的过程作为探索结合律的阶
梯，由浅入深，由易到难会让学生更容易接受。因此，我大胆改变教
材结构，先探索乘法交换律，并利用淘气这个人物把书中分散的情景
进行整合，突出整体性。收到了较好的效果。
⒉注意渗透一种科学的学习方法。对于结合律的教学，不应仅仅
满足于学生理解、掌握乘法结合律，会运用乘法结合律进行一些简便
计算，重要的是让学生经历一个数学学习的过程，在学习中受到科学
方法、科学态度的启蒙教育，本节课我抓住这一教学重点，有意识地
设计了“创设情景，发现问题————提出假设，举例验证————
概括规律”三个教学环节，使学生经历探究过程，并在此过程中注意
渗透“探索与发现”的一般方法，学生学得积极、主动。
⒊体现学生的自主学习，合作交流。数学课程标准中提出：数学
教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。
教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机
会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的
数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。当然
独立思考是合作的前提，没有独立思考的合作交流是空的，在本教学
中也有体现，例如在进行猜想验证的教学环节中，我要求每个学生自
己先写一个式子，再四人小组进行交流，最后全班进行交流。为学生
搭建充分参与数学活动的平台，帮助学生在自主探索和合作交流中真
正理解和掌握数学知识。