新版高一数学必修第一册第四章全部教学设计

新版高一数学必修第一册第四章全部教学设计第四章 指数函数与对数函数4.1.1 n 次方根与分数指数幂本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n 次方根与分数指数幂》第１课时。

从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n 次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。

体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。

重点：根式的概念、分数指数幂的概念；难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；多媒体（一）、温故知新 1．思考辨析(1)实数a 的奇次方根只有一个．( ) (2)当n ∈N *时，(n－2)n ＝－2.( ) (3)(π－4)2＝π－4.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 2.416的运算结果是( ) A ．2 B ．－2 C±2 D ．±2 A [416＝424＝2.]3．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A 4m 2 B.5m C 6m D.5－mC [当m <0时，6m 没有意义，其余各式均有意义．] 4．若x 3＝－5，则x ＝________. －35 [若x 3＝－5，则x ＝3－5＝－35.]（二）、探索新知探究1 n 次方根的概念问题例1 (1)27的立方根是________；16的4次方根是________． (2)已知x 6＝2 016，则x ＝________.(3)若4x ＋3有意义，求实数x 的取值范围为________. (1)3；±2 (2)±62 016 (3)[－3，＋∞] 解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x 6＝2 016，所以x ＝±62 016.(3)要使4x ＋3有意义，则需要x ＋3≥0，即x ≥－3. 所以实数x 的取值范围是[－3，＋∞)．[规律方法] n 次方根的个数及符号的确定 1.n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；2.n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号. 跟踪训练1．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列4个式子：①6－32n ；②5a 2；③6－52n ＋1；④9－a 2，其中无意义的有( ) A ．1个 B ．2个 C 3个 D ．0个A [①中(－3)2n >0，所以6－32n有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)2n ＋1<0，因此无意义，④中根指数为9，有意义．选A.] 探究2 利用根式的性质化简求值 例2 化简下列各式： (1)5－25＋(5－2)5； (2)6－26＋(62)6； (3)4x ＋24；[解] (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2.－x －2，x <－2.跟踪训练2．若9a 2－6a ＋1＝3a －1，求a 的取值范围． [解] ∵9a 2－6a ＋1＝3a －12＝|3a －1|，由|3a －1|＝3a －1可知3a －1≥0，∴a ≥13.探究3 根式与分数指数幂的互化 (1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)55215202(2)22===1243433231(333)3=== 1212343444()aa a a ===1051025255()a a a a ===结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?353544=；535377=；2323a a =总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?353544;=43的5次方根是 354;535377;= 75的3次方根是 537;2323;aa =a 2的3次方根是 23;a结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的，综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义；1.正数的正分数指数幂的意义：m m n na a = (0,,N ,1)且a m n n *>∈>2.正数的负分数指数幂的意义：11(0,,N ,1)m nm n m naa m n n a a *-==>∈>且 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.( ) (2)523＝53.( )(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a 2＝a 12.( ) 答案] (1)× (2)× (3)×跟踪训练1.用根式表示下列各式:(a ＞0)12a ， 34a ， 35a -， 23a -2.用分数指数幂表示下列各式：34()(0)a b a b ++>； 23()m n -； 4()()m n m n ->；65(0)p q p ⋅>[规律方法] 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 三、当堂达标1．下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义．A ．1B ．2C 3D ．4【答案】B [①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.] 2．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C 210 D ．±102【答案】D [∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数， ∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m ＝±102.]3. 把根式a a 化成分数指数幂是( ) A ．(－a ) 32 B ．－(－a ) 32 C -a 32 D ．a 32[答案]D [由题意可知a ≥0，故排除A 、B 、C 选项，选D.] 4.π－42＋3π－33＝________.【答案】1 [π－42＋3π－33＝4－π＋π－3＝1.]5.（设x <0，则(－x )2＝________. 【答案】－x [∵x <0，∴－x >0，∴－x2＝－x .]6．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a 3·3a 2；(2)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．221133323333121141342242242336331,2.a aaaaa ab ab a b ab a b a ba b 答案7. (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值. 思路探究：(1)由x <0，先计算|x |及x 2，再化简． (2)结合－3<x <3，开方，化简，再求值． (1)－1 [∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ， ∴x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.][解] (2)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。

有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。

课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。

数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。

重点：（1）根式概念的理解； （2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质. 难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．n 次方根23111,(),(),222111,,,248600010000100000573057305730111(),(),()2222．根式(1)叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *)①(na )n＝ a . ②na n＝,,.a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a ras＝ar＋s(a＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s＝rsa (a ＞0，r ，s ∈Q)． (3)(ab )r ＝r ra b (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简√a n n时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(√a n)n 时,关键是明确√a n是否有意义,只要√a n有意义,则(√a n)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简(1)n (x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析【解析】 (1)∵x ＜π，∴x －π＜0.当n 为偶数时，n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π. 综上可知，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题(1)(2)(3)(4)例2 求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.跟踪训练二1.计算(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1.【答案】见解析【解析】(1)(12527)-23=(5333)-23=5-23-2=3252=925.(2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25.(3)(812401)-34=(3474)-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0={1,a≠-12,无意义,a=-12.(5)[56-(35)-1]-1=(56-53)-1=(-56)-1=-65.题型三根式与分数指数幂的互化例3用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）【答案】见解析223338(2)=2323224⨯===334()44162()()813-⨯-=3227()38-==【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)【答案】C【解析】 －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；x 1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2223a a a ⋅=⋅28233aa+===421332()a a==2 .化简:√a 72√a -33÷√√a -83·√a 153√√a -3·√a -13(a>0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615.(2)原式=√a 72·a -323÷√a -83·a 153÷√a -32·a -123=√a 23÷√a 73÷√a -23=a 23÷(a 73)12÷a -23=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 16=√a 6.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书 设计七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.【新教材】4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了分数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则.有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入无理数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性.课程目标1. 理解无理数指数幂的概念;2. 掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握实数指数幂的运算性质；4. 能利用已知条件求值.数学学科素养1.数学抽象：无理数指数幂的概念；2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；5.数学建模：通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质。