高中数学第二章柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明导学案新人教B版
2021学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法
2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1.理解三维形式的柯西不等式，在此根底上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.自学导引a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，那么(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |，其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n(当b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1，2，…，n ).参数配方法.根底自测x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，那么x ＋2y ＋3z 的最大值是( )2 C.322 解析 x ＋2y ＋3z ＝x ＋2(2y )＋3(3z ) ＝[x ＋2〔2y 〕＋3〔3z 〕]2≤〔x 2＋2y 2＋3z 2〕〔1＋2＋3〕＝18＝32，选A. 答案 A2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2D.1n解析 (a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝[(a 1)2＋(a 2)2＋…＋(a n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 22＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a 11a 2＋a 21a 2＋…＋a n1a n 2＝n 2，选C.答案 Cx 、y 、z ∈R *且x ＋y ＋z ＝2，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值是________.解析 x 2＋y 2＋z 2＝〔x 2＋y 2＋z 2〕〔12＋12＋12〕3≥〔x ＋y ＋z 〕23＝23.答案 23知识点1 利用柯西不等式证明不等式 【例1】 设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明 2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]· [(1a ＋b)2＋( 1b ＋c)2＋( 1c ＋a)2]≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b · 1a ＋b＋b ＋c · 1b ＋c＋c ＋a · 1c ＋a 2 ＝(1＋1＋1)2＝9. ∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. ∵a ，b ，c 互不相等，∴等号不可能成立，从而原不等式成立.●反思感悟：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态构造，就可以到达利用柯西不等式的目的.a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数.求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥〔a 1＋a 2＋a 3〕2b 1＋b 2＋b 3.证明 由柯西不等式得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3(b 1＋b 2＋b 3) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋a 3b 3·b 32＝(a 1＋a 2＋a 3)2.∴a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥〔a 1＋a 2＋a 3〕2b 1＋b 2＋b 3. 知识点2 利用柯西不等式求函数的最值【例2】 a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值. 解4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1＝4a ＋1·1＋4b ＋1·1＋4c ＋1·1 ≤(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)12(12＋12＋12)12＝7×3＝21. 当且仅当4a ＋11＝4b ＋11＝4c ＋11时取等号. 即a ＝b ＝c ＝13时，所求的最大值为21.●反思感悟：利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重新排序、改变构造、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式.a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为________.解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2·(12＋12)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋b ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋a ab 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，即ab ≤14，∴1ab ≥4.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25. ∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥25 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.答案252知识点3 利用柯西不等式解方程【例3】 在实数集内解方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝94－8x ＋6y －24y ＝39.解 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ≥(－8x ＋6y －24y )2①∵(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ＝94×(64＋36＋576)＝392又(－8x ＋6y －24y )2＝392∴(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ＝(－8x ＋6y －24z )2， 即不等式①中只有等号成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 x －8＝y 6＝z－24， 它与－8x ＋6y －24y ＝39联立，可得x ＝－613，y ＝926，z ＝－1813.●反思感悟：利用柯西不等式解方程.关键是由不等关系转换成相等关系，然后再通过等号成立的条件求出未知数的值.3.利用柯西不等式解方程：21－2x ＋4x ＋3＝15. 解 ∵21－2x ＋4x ＋3＝22－4x ＋1·4x ＋3 ≤2－4x ＋4x ＋3·2＋1＝5·3＝15. 又由21－2x ＋4x ＋3＝15.所以等号成立， 由等号成立的条件2－4x ·1＝4x ＋3· 2 得：2－4x ＝8x ＋6，∴x ＝－13，即方程的解为x ＝－13.课堂小结柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比拟广泛.柯西不等式的应用比拟广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变构造等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.随堂演练x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝1，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A.1B.13C.23解析 x 2＋y 2＋z 2＝〔x 2＋y 2＋z 2〕〔12＋12＋12〕3≥〔x ＋y ＋z 〕23＝13，故应选B.答案 B2.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证： (a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明 由三角形中的正弦定理得sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R2a2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R2c2于是左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2.故原不等式获证.a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .证明 (12＋12＋…＋12)(a 21＋a 22＋…＋a 2n ) ≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2. ∴n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2∴1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .根底达标a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3，那么1a ＋1b ＋1c的最小值为( )A.9B.3C. 3解析 [(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32.又∵a ＋b ＋c ＝3，∴1a ＋1b ＋1c≥3，最小值为3.答案 Ba 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，那么a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( )A.1B.nC.n解析 由柯西不等式(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2得1·1≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2， ∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1. 所求的最大值为1. 答案 Aa ，b ，c 为正数，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 有( )A.最大值9 C.最大值3解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝[( a b)2＋( b c )2＋( c a )2]· [(b a )2＋( c b)2＋( a c )2] ≥(a b× b a ＋b c× c b＋c a× a c)2＝9. 答案 Ba ，b ∈R ＋，那么a ＋b2与a ＋b 的大小关系是________________.解析 ∵a ＋b ＝〔a 〕2＋〔b 〕2·12＋12·12 ≥12(a ·1＋b ·1)＝a ＋b2.∴a ＋b ≥a ＋b2.答案 a ＋b ≥a ＋b2x ＋2y ＋3z ＝1，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为________.解析 由柯西不等式，有(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2≥114，当且仅当x 1＝y 2＝z3时取等号.即x ＝114，y ＝17，z ＝314时，x 2＋y 2＋z 2取最小值114.答案114a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值.解 由柯西不等式得，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2由条件可得，5－a 2≥(3－a )2解得，1≤a ≤2当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立，当b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2.b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1.综合提高x ＋3y ＋4z ＝10，那么x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( )A.53，109，56B.2029，3029，4029C.1，12，13D.1，14，19解析 x 2＋y 2＋z 2＝〔x 2＋y 2＋z 2〕〔22＋32＋42〕29≥〔2x ＋3y ＋4z 〕229＝10029当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k时，等号成立，那么4k ＋9k ＋16k ＝29k ＝10，解得k ＝1029，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.选B.答案 B8.n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2D.1n解析 设n 个正数为x 1，x 2，…，x n ，由柯西不等式，得(x 1＋x 2＋…＋x n )1x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋…＋1x n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1×1x 1＋x 2×1x 2＋…＋x n ×1x n 2＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2. 答案 Cm 、n 、p 为正实数，且m 2＋n 2－p 2pm ＋n的最小值为________.解析 2p 2＝2(m 2＋n 2)＝(12＋12)(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2， ∴p 2〔m ＋n 〕2≥12，∴p m ＋n ≥22.当且仅当m ＝n 时取等号. ∴pm ＋n的最小值为22. 答案22a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，那么e 的取值范围为______________.解析 4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2即4(16－e 2)≥(8－e )2，即64－4e 2≥64－16e ＋e 2∴5e 2－16e ≥0，故0≤e ≤165.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，165x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝8，x 2＋y 2＋z 2＝24.求证：43≤x ≤4，43≤y ≤4，43≤z ≤4.证明 显然x ＋y ＝8－z ，xy ＝〔x ＋y 〕2－〔x 2＋y 2〕2＝z 2－8z ＋20∴x ，y 是方程t 2－(8－z )t ＋z 2－8z ＋20＝0的两个实根， 由Δ≥0得43≤z ≤4，同理可得43≤y ≤4，43≤x ≤4.p 是△ABC 内的一点，x ，y ，z 是p 到三边a ，b ，c 的距离.R 是△ABC 外接圆的半径，证明：x ＋y ＋z ≤12R·a 2＋b 2＋c 2.证明 由柯西不等式得，x ＋y ＋z ＝ax1a＋by1b＋cz1c≤ax ＋by ＋cz1a ＋1b ＋1c设S 为△ABC 的面积，那么ax ＋by ＋cz ＝2S ＝2abc 4R ＝abc2Rx ＋y ＋z ≤abc 2Rab ＋bc ＋caabc＝12Rab ＋bc ＋ca ≤12Ra 2＋b 2＋c 2，故不等式成立.。
《二 一般形式的柯西不等式》教案
《二 一般形式的柯西不等式》教案教学目标1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重、难点重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式. 难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式.教学过程一、复习引入：定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立.定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立. 定理3：(三角形不等式)设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-二、讲授新课： 类似的，从空间向量的几何背景业能得到•αβαβ≤将空间向量的坐标代入，可得到2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当,αβ共线时，即0,β=或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立.这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理(一般形式的柯西不等式)：设n 为大于1的自然数，i i b a ,(=i 1，2，…，n )为任意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 即 211212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，其中等号当且仅当1212n n b b b k a a a ==== 时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ).证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i n i i b x b a x a x f 121212)(2)()( 由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a ， 即：))(()(121221∑∑∑===≤n i i ni i n i i i b a b a ， 等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ， 即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ). 如果i a (n i ≤≤1)全为0，结论显然成立.三、应用举例：例1 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证22221221)(1n n a a a a a a n+++≤+++ 例2 已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，证明a 2 +b 2+c 2+d 2>ab +bc +cd +da .例3 已知x +2y +3z =1，求222x y z ++ 的最小值.四、巩固练习：1．设x ，y ，z 为正实数，且x +y +z =1，求zy x 941++的最小值. 2．已知a +b +c +d =1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值.3．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +3c =9，求c b a ++23的最大值.五、课堂小结重点掌握三维柯西不等式的运用.。
高中数学 2.1 柯西不等式课件 新人教B版选修45
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 选修4-5
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
RB ·数学 选修4-5
2．1 柯西不等式
课 前 自
2．1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式
当 堂 双
主 导
2．1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
基 达
学
标
课
1.认识柯西不等式的几种不同形
因此 1＝(x＋y＋z)2≤161(2x2＋3y2＋z2)．
课 时
动
作
探 究
∴u＝2x2＋3y2＋z2≥161，
业
当且仅当
2x＝
λ， 2
3y＝ λ3，z＝λ 时等号成立．
菜单
RB ·数学 选修4-5
课
当
前
堂
自 主 导 学
∴x＝2λ，y＝3λ，z＝λ 代入 x＋y＋z＝1，
双 基 达 标
得 x＝131，y＝121，z＝161时，等号成立．
业
究
参数配方法 ．
菜单
RB ·数学 选修4-5
课
当
前 自
1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条
堂 双
主
基
导 学
件可以写成a＝c吗？
达 标
bd
【提示】 不可以．当 b·d＝0 时，柯西不等式成立，但
课 a＝c不成立．
堂bd
课
互
时
动
作
探
业
究
菜单
RB ·数学 选修4-5
2．在平面直角坐标中，若△ABC 的三个顶点分别为 A(x1，
学
标
(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.
人教B版高中数学选修4-5课件：第二章柯西不等式与排序不等式及其应用
2������
2
24
=
3������
+
1
=
3
+
1 ������
≥
3
+
1 2
=
7,
5
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
又由柯西不等式,得������+1 1
+
1 ������+2
+
⋯
+
1 2������
1
1
1
<
( 12 + 12 + … + 12 )
������ 个
(n + 1)2 + (n + 2)2 + … + (2n)2
≤
n
1 n
-
1 2n
= 22.
4
111
112
故 7 < 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ + 2n-1 − 2n < 2 .
6
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,其证明的关键是找
出两组有序数组,通常可以根据函数的单调性去寻找.
·1
������1
+
������22
·1
������2
+
⋯
+
���������2���
·1
������������
=x1+x2+…+xn=P(定值),
柯西不等式导学案
柯西不等式导学案1. 重要不等式： 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立2.均值不等式：当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒均值不等式：3.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 __时等号成立. 4. 二维形式的柯西不等式的变式:.),0,,,()())((2等号成立，时当且仅当db ca d cb a bd acd c b a =>+≥++5. 二维形式的柯西不等式的向量形式:.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤6.三维形式的柯西不等式：若,,,,,a b c d e f R∈，则 .当且仅当 ___________________时, 等号成立.7. 柯西不等式的一般形式：设n 为大于1的自然数，,i i a b R ∈(=i1,2,…,n )，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i ni ini ib a ba 即当且仅当_____________________________________时, 等号成立. 8.柯西不等式应用：求式子的最值及证明不等式。
一、求最值1、已知,12=+y x 求22y x +的最小值。
2、已知,63222=+y x 求y x 2+的最大值。
3、设b a 、为正数，求)212)(1(a b b a ++的最小值。
4、求函数x x y -+-=6453的最大值。
5、求函数x x y 2cos 14sin 3++=的最大值。
6、已知+∈R d c b a 、、、且,1=+++d c b a 求2222d c b a +++的最小值。
7、设+∈R z y x ,,, 且x+2y+3z =36, 求zyx321++的最小值．8、已知，、、R z y x ∈且,10432=++z y x 求222z y x ++的最小值。
高中数学第二章几个重要的不等式2.1.2一般形式的柯西不等式545数学
12/13/2021
由 k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得 k＝56. 所以ax＋＋by＋＋zc＝k＝56. 答案：56
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利用柯西不等式证明不等式
设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 明：由柯西不等式，得
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设 a，b，c，x，y，z 都是正数，且 a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2 ＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则ax＋＋by＋＋zc＝____________.
解析：由柯西不等式，知 25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋ z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，
aibi
i＝1
当且仅当 bi＝λai(1≤i≤n)时等号成立．
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12/13/2021
ab2＋
bc2＋
ca2[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2.
于是ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
12/13/2021
[互动探究]结合本例的证明过程和结果，求证：
对实数 a1，a2，…，an，和正实数 b1，b2，…，bn，有 ba121＋ab222＋…＋ban2n≥ab11＋＋ab22＋＋……＋＋abnn2. 证明：ba121＋ab222＋…＋bann2(b1＋b2＋…＋bn) ≥ ab11· b1＋ ab22· b2＋…＋ abnn· bn2 ＝(a1＋a2＋…＋an)2.
高二数学人教b版选修4-5课件：第二章_2.1_柯西不等式
2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)
＝
a 2＋ b
b 2＋ c
ca2·[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2＝(a＋b＋c)2，
2 ． 1 第柯 二西 章不 等 式
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二 考点三
2．1
柯西不等式
[读教材·填要点]
1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式 (1)定理 1(柯西不等式的代数形式) 设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则 (a21＋a22)(b21＋b22)≥ (a1b1＋a2b2)2 . 上式等号成立⇔ a1b2＝a2b1 . (2)定理 2(柯西不等式的向量形式) 设 α，β 为平面上的两个向量，则
()
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．不确定
解析：由柯西不等式知
1
1
(a21＋a22＋…＋an2) 2 ·1＋1＋···＋1 2
n个
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an.
即得
a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an，∴P≥Q.
答案：B
7．函数 y＝2cos x＋3 1－cos 2x的最大值为________．
解析：y＝2cos x＋3 1－cos 2x＝2cos x＋3 2sin2x
≤ cos2x＋sin2x[22＋3 22]＝ 22.
2020高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2
2.1。
1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2。
1。
2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明学习目标：1。
认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。
2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．教材整理1 柯西不等式1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（a错误!＋a错误!）（b错误!＋b错误!）≥（a1b1＋a2b2)2。
2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则｜α|｜β|≥｜α·β｜。
3．柯西不等式的三角不等式:|α｜＋｜β|≥｜α＋β|。
4．柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1,b2，…，b n为实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)错误!(b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)错误!≥|a1b1＋a2b2＋…＋a n b n|，其中等号成立⇔错误!＝错误!＝…＝错误!（当某b j＝0时，认为a j＝0，j＝1，2，…，n)．教材整理2 参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法．已知不等式（x＋y）错误!≥9对任意的正实数x,y恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．2 B．4C．6 D．8[解析］由柯西不等式可求出(x＋y)错误!≥错误!错误!＝（1＋错误!)2，当x＝1，y＝错误!时，(x＋y）错误!的最小值是(错误!＋1）2，故只需(1＋错误!）2≥9，即a≥4即可．［答案］B利用柯西不等式证明不等式a b x y a b ax1bx2（bx1＋ax2)≥x1x2。
［精彩点拨］如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．[自主解答] ∵a,b，x，y大于0，∴（ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝（ax1＋bx2)(ax2＋bx1）≥（a错误!＋b错误!）2＝（a＋b)2x1x2.又因为a＋b＝1，所以（a＋b)2x1x2＝x1x2，其中等号当且仅当x1＝x2时成立．所以(ax1＋bx2)（bx1＋ax2）≥x1x2.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设x1，x2,…,x n为正数，求证:（x1＋x2＋…＋x n)错误!≥n2。
柯西不等式与排序不等式及其应用-柯西不等式-柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证
2.1.2 柯西不等式的一般式及其配方证明本小节的主要内容是柯西不等式的一般形式（定理）及其简单应用. 1．教科书首先用参数配方法证明了112222222212121122nnn naaabbba b a b a b等号成立当且仅当1212nna a ab b b 这里某一个i b 为零时，规定相应的i a 为零.教学中要求学生掌握其等号成立的充分必要条件，为学习2．4节解决某些特定函数的极值问题打好基础.2．当2n 时，本节的定理即为2．1．1的定理1.3．本小节通过例1，例2给出了柯西不等式一般形式的应用，这些例子证明的关键是构造两个适当的数组.4．n R 中柯西不等式的向量形式，记122,,:R 1,2,,nn jR a a a a a jn，称的n R 中的向量，j a ，1,2,,,j n 称为的分量. 特别当的n 个分量都是零时，称其为零向量，记为0.设，为n R 中的向量，R ，1212,,,,,,n na a ab b b令1122,,n na b a b a b12,,,na a a它们分别称为向量与的加法及实数和向量的数乘，令1122n n a b a b a b ，称其为向量与的内积，则特别有：222120na a a1200na a a记22212na a a 称其为向量的长度，在这种规定的内积下，通过直接计算可得： （1）0,0 （正性）（2）（对称性）（3）,,nR（4）,nR R当n R 中的向量如上定义其长度时，n R 称为欧氏空间，由本小节的定理，立即得定理（柯西不等式的一般（向量）形式），设,n R ，则且等号成立1212n na a ab bb 存在常数及，使得.（如，为非零向量时，等号成立）.于是根据上述定理，对于n R 中的非零向量，，以<，>表示，的夹角，规定0,令cos ,b（1）由上述柯西不等式的向量形式，知cos ,1αβ≤于是（1）的规定是合理的，特别当2n =时cos ,αβ=}（线性）n=时3cos,β=。
数学柯西不等式导学案
∴ ＋ ＋ ≥2.
∴ ＋ ＋ 的最小值为2.
本题关键由柯西不等式
(a＋b＋c) ≥ 2
2、设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝ ，求x＋y＋z.
解由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤ .因为x＋2y＋3z＝ ，所以x＝ ＝ ，解得x＝ ，y＝ ，z＝ ，于是x＋y＋z＝ .
柯西不等式导学案
学号姓名小组日期2017年12月19日编写者余昌银 审批者
学
习
目
标
知识与
能力
柯西不等式的四种形式①柯西不等式的代数形式②柯西不等式的向量形式
③柯西不等式的三角不等式④柯西不等式的一般形式
过程与
方法
自主学习，师生共同探讨
情感态度与价值观
培养学生用旧知识解决新问题的数学思维方法，激发学生求知欲，增强学生自信心，从而调动学生学习积极性。
②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则 ＋ ≥ .
④柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a ＋a ＋…＋a )(b ＋b ＋…＋b )≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0 (i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立．
∴( ＋ ＋ )2≤3.故 ＋ ＋ 的最大值为 .
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2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.自学导引1.设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |，其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n(当b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1，2，…，n ).2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.基础自测1.设x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值是( ) A.3 2 B.4 C.322 D.6解析 x ＋2y ＋3z ＝x ＋2(2y )＋3(3z ) ＝[x ＋2（2y ）＋3（3z ）]2≤（x 2＋2y 2＋3z 2）（1＋2＋3）＝18＝32，选A. 答案 A2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2D.1n解析 (a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝[(a 1)2＋(a 2)2＋…＋(a n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 22＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a 11a 2＋a 21a 2＋…＋a n1a n 2＝n 2，选C.答案 C3.已知x 、y 、z ∈R *且x ＋y ＋z ＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________. 解析 x 2＋y 2＋z 2＝（x 2＋y 2＋z 2）（12＋12＋12）3≥（x ＋y ＋z ）23＝23.答案 23知识点1 利用柯西不等式证明不等式 【例1】 设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明 2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]· [(1a ＋b)2＋( 1b ＋c)2＋( 1c ＋a)2]≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b · 1a ＋b＋b ＋c · 1b ＋c＋c ＋a · 1c ＋a 2 ＝(1＋1＋1)2＝9. ∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. ∵a ，b ，c 互不相等，∴等号不可能成立，从而原不等式成立.●反思感悟：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.1.已知a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数.求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥（a 1＋a 2＋a 3）2b 1＋b 2＋b 3.证明 由柯西不等式得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3(b 1＋b 2＋b 3)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋a 3b 3·b 32＝(a 1＋a 2＋a 3)2.∴a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥（a 1＋a 2＋a 3）2b 1＋b 2＋b 3. 知识点2 利用柯西不等式求函数的最值【例2】 已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值. 解4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1＝4a ＋1·1＋4b ＋1·1＋4c ＋1·1 ≤(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)12(12＋12＋12)12＝7×3＝21. 当且仅当4a ＋11＝4b ＋11＝4c ＋11时取等号. 即a ＝b ＝c ＝13时，所求的最大值为21.●反思感悟：利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式.2.若a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为________.解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2·(12＋12)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋b ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋a ab 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，即ab ≤14，∴1ab ≥4.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25. ∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥25即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.答案252知识点3 利用柯西不等式解方程【例3】 在实数集内解方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝94－8x ＋6y －24y ＝39.解 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ≥(－8x ＋6y －24y )2①∵(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ＝94×(64＋36＋576)＝392又(－8x ＋6y －24y )2＝392∴(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ＝(－8x ＋6y －24z )2， 即不等式①中只有等号成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 x －8＝y 6＝z－24， 它与－8x ＋6y －24y ＝39联立，可得x ＝－613，y ＝926，z ＝－1813.●反思感悟：利用柯西不等式解方程.关键是由不等关系转换成相等关系，然后再通过等号成立的条件求出未知数的值.3.利用柯西不等式解方程：21－2x ＋4x ＋3＝15. 解 ∵21－2x ＋4x ＋3＝22－4x ＋1·4x ＋3 ≤2－4x ＋4x ＋3·2＋1＝5·3＝15. 又由已知21－2x ＋4x ＋3＝15.所以等号成立， 由等号成立的条件2－4x ·1＝4x ＋3· 2 得：2－4x ＝8x ＋6，∴x ＝－13，即方程的解为x ＝－13.课堂小结柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.随堂演练1.已知x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A.1 B.13 C.23D.2解析 x 2＋y 2＋z 2＝（x 2＋y 2＋z 2）（12＋12＋12）3≥（x ＋y ＋z ）23＝13，故应选B.答案 B2.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证： (a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明 由三角形中的正弦定理得sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R2a2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R2c2于是左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2.故原不等式获证.3.已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证： 1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .证明 (12＋12＋…＋12)(a 21＋a 22＋…＋a 2n ) ≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2.∴n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2∴1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .基础达标1.设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c的最小值为( )A.9B.3C. 3D.1解析 [(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32.又∵a ＋b ＋c ＝3，∴1a ＋1b ＋1c≥3，最小值为3.答案 B2.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A.1 B.n C.nD.2解析 由柯西不等式(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2得1·1≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2， ∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1. 所求的最大值为1. 答案 A3.已知a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 有( )A.最大值9B.最小值9C.最大值3D.最小值3解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c＝[(a b)2＋( b c )2＋( c a)2]·[(b a )2＋( c b )2＋( a c )2] ≥(a b× b a＋b c× c b＋c a× a c)2＝9. 答案 B4.设a ，b ∈R ＋，则a ＋b2与a ＋b 的大小关系是________________.解析 ∵a ＋b ＝（a ）2＋（b ）2·12＋12·12 ≥12(a ·1＋b ·1)＝a ＋b2.∴a ＋b ≥a ＋b2.答案 a ＋b ≥a ＋b25.已知x ＋2y ＋3z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________.解析 由柯西不等式，有(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2≥114，当且仅当x 1＝y 2＝z3时取等号.即x ＝114，y ＝17，z ＝314时，x 2＋y 2＋z 2取最小值114.答案1146.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值. 解 由柯西不等式得，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2由条件可得，5－a 2≥(3－a )2解得，1≤a ≤2当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立，当b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2.b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1.综合提高7.已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56B.2029，3029，4029C.1，12，13D.1，14，19解析 x 2＋y 2＋z 2＝（x 2＋y 2＋z 2）（22＋32＋42）29≥（2x ＋3y ＋4z ）229＝10029当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k时，等号成立，则4k ＋9k ＋16k ＝29k ＝10，解得k ＝1029，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.选B.答案 B8.n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2D.1n解析 设n 个正数为x 1，x 2，…，x n ，由柯西不等式，得(x 1＋x 2＋…＋x n )1x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋…＋1x n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1×1x 1＋x 2×1x 2＋…＋x n ×1x n 2＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2. 答案 C9.设m 、n 、p 为正实数，且m 2＋n 2－p 2＝0.则pm ＋n的最小值为________.解析 2p 2＝2(m 2＋n 2)＝(12＋12)(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2， ∴p 2（m ＋n ）2≥12，∴p m ＋n ≥22. 当且仅当m ＝n 时取等号. ∴pm ＋n的最小值为22. 答案2210.已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为______________.解析 4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2即4(16－e 2)≥(8－e )2，即64－4e 2≥64－16e ＋e 2∴5e 2－16e ≥0，故0≤e ≤165.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，16511.已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝8，x 2＋y 2＋z 2＝24. 求证：43≤x ≤4，43≤y ≤4，43≤z ≤4.证明 显然x ＋y ＝8－z ，xy ＝（x ＋y ）2－（x 2＋y 2）2＝z 2－8z ＋20∴x ，y 是方程t 2－(8－z )t ＋z 2－8z ＋20＝0的两个实根， 由Δ≥0得43≤z ≤4，同理可得43≤y ≤4，43≤x ≤4.12.设p 是△ABC 内的一点，x ，y ，z 是p 到三边a ，b ，c 的距离.R 是△ABC 外接圆的半径，证明：x ＋y ＋z ≤12R·a 2＋b 2＋c 2.证明 由柯西不等式得，x ＋y ＋z ＝ax1a＋by1b＋cz1c≤ax ＋by ＋cz1a ＋1b ＋1c设S 为△ABC 的面积，则ax ＋by ＋cz ＝2S ＝2abc 4R ＝abc2Rx ＋y ＋z ≤abc 2Rab ＋bc ＋caabc＝12Rab ＋bc ＋ca ≤12Ra 2＋b 2＋c 2，故不等式成立.。