高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解

习题十

1. 根据二重积分性质，比较

ln()d D

x y σ+??

与2[ln()]d D

x y σ

+??的大小，其中：

（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；

（2）D 表示矩形区域

{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.

解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有

图10-1

12x y ≤+≤

从而

0ln()1x y ≤+<

故有

2ln()[ln()]x y x y +≥+

所以

2ln()d [ln()]d D

D

x y x y σσ

+≥+??

??

（2）区域D 如图10-2所示.显然，当

(,)x y D ∈时，有3x y +≥.

图10-2

从而 ln(x +y )>1

故有

2ln()[ln()]x y x y +<+

所以

2ln()d [ln()]d D

D

x y x y σσ

+<+??

??

2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：

（1）

4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??

;

（2）

22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D

I x y D x y x y σ==≤≤≤≤??;

（3）

2222(49)d ,{(,)|4}D

I x y D x y x y σ=++=+≤??.

解：（1）因为当

(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤

因而

04xy ≤≤.

从而

2≤≤

故

2d D

D

σσσ≤≤??

??

??

即

2d d D D

σσσ≤≤????

而

d D

σσ=??

（σ为区域D 的面积）

，由σ=4

得

8σ≤≤??

(2) 因为

220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而

220sin sin 1x y ≤≤

故

220d sin sin d 1d D

D

D

x y σσσ

≤≤??

????

即

220sin sin d d D

D

x y σσσ

≤≤=????

而

2πσ=

所以

2220sin sin d πD

x y σ≤≤??

（3）因为当

(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以

22229494()925x y x y ≤++≤++≤

故

229d (49)d 25d D

D

D

x y σσσ

≤++≤??

????

即

229(49)d 25D

x y σσσ

≤++≤??

而

2π24πσ=?=

所以

2236π(49)d 100πD

x y σ≤++≤??

3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

（1）

222(,{(,)|};D

a D x y x y a σ=+≤??

（2）

222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤??

解：（1）

(,D

a σ-??

在几何上表示以

D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以

22

31()d π3

D

a x y a σ-+=?? （2

）

222d D

a x y σ

--??

在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a 为半径的上半球的体积，故

22232d π.3D

a x y a σ--=

??

4. 设f (x ，y )为连续函数，求22200201

lim (,)d ,{(,)|()()}πD r f x y D x y x x y y r r

σ→=-+-≤??.

解：因为f (x ，y )为连续函数，由二重积分的中值定理得，

(,),D ξη?∈使得

2(,)d (,)π(,)D

f x y f r f σξησξη=?=???

又由于D 是以（x 0，y 0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当

0r →时，00(,)(,),x y ξη→

于是：

0022

20

00

00(,)(,)

1

1

lim

(,)d lim

π(,)lim (,)ππlim (,)(,)

D

r r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=?===??

5. 画出积分区域，把

(,)d D

f x y σ??

化为累次积分：

（1）

{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;

(2)

2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥

(3)

2

{(,)|,2,2}D x y y y x x x

=≥≤≤

解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为

11,01y x y y -≤≤-≤≤.

所以

110

1

(,)d d (,)d y

D

y f x y y f x y x σ--=??

??

(2) 区域D 如图10-4所示，直线y =x -2与抛物线x =y 2

的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为

22,12y x y y ≤≤+-≤≤.

图10-3 图10-4

所以

222

1

(,)d d (,)d y D

y

f x y y f x y x σ+-=??

??

（3）区域D 如图10-5所示，直线y =2x 与曲线

2y x =

的交点(1，2)，与x =2的交点为(2，4),曲线2

y x

=与x =2的交点为（2，1），区

域D 可表示为

2

2,1 2.y x x x

≤≤≤≤

图10-5

所以

2221

(,)d d (,)d x

D

x

f x y x f x y y σ=??

??.

6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：

（1）

2

220d (,)d y

y y f x y x ??

; (2) e ln 10

d (,)d x

x f x y y ??;

(3)

1320d (,)d y y y f x y x -??

; (4) πsin 0

sin

2

d (,)d x

x x f x y y -??

;

(5)

1

23

30

1

d (,)d d (,)d y

y

y f x y y y f x y x -+??

??

.

解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：

202,

2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.

图10-6

D 亦可表示为：

04,

.2

x

x y x ≤≤≤≤ 所以

22

24

2

d (,)d d (,)d .y

x

x y

y f x y x x f x y y =?

???

(2) 相应二重积分的积分区域D ：

1e,0ln .x y x ≤≤≤≤如图10-7所示.

图10-7

D 亦可表示为：

01,e e,y y x ≤≤≤≤

所以

e

ln 1e

1

e

d (,)d d (,)d y x

x f x y y y f x y x =?

?

??

(3) 相应二重积分的积分区域D 为：

01,32,y y x y ≤≤≤≤-如图10-8所示.

图10-8

D 亦可看成D 1与D 2的和，其中

D 1：

201,0,x y x ≤≤≤≤

D 2：

1

13,0(3).2

x y x ≤≤≤≤-

所以

2

1

1321

3

(3)20

1

d (,)d d (,)d d (,)d y x x y

y f x y x x f x y y x f x y y --=+??

??

??

.

(4) 相应二重积分的积分区域D 为：

0π,sin

sin .2

x

x y x ≤≤-≤≤如图10-9所示.

图10-9

D 亦可看成由D 1与D 2两部分之和，其中

D 1：

10,2arcsin π;y y x -≤≤-≤≤ D 2：

01,arcsin πarcsin .y y x y ≤≤≤≤-

所以

π

sin 0π

1πarcsin 0

sin

1

2arcsin 0

arcsin 2

d (,)d d (,)d d (,)d x

y

x y

y

x f x y y y f x y x y f x y x ----=+?

?

??

??

(5) 相应二重积分的积分区域D 由D 1与D 2两部分组成，其中

D 1：

01,02,y x y ≤≤≤≤ D 2

：13,03.y x y ≤≤≤≤-

如图10-10所示.

图10-10

D

亦可表示为：

02,

3;2

x

x y x ≤≤≤≤- 所以

()1

23

3230

1

2

d ,d d (,)d d (,)d y

y

x

x

y f x y x y f x y x x f x y y --+=?

?

??

??

7. 求下列立体体积：

（1）旋转抛物面z =x 2

+y 2

,平面z =0与柱面x 2

+y 2

=ax 所围； （2）旋转抛物面z =x 2

+y 2

,柱面y =x 2

及平面y =1和z =0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积

V =

22()d d D

x y x y +??

其中D ：22{(,)|}x y x y ax +≤

由被积函数及积分区域的对称性知，V =2

1

22()d d D x y x y +??

，

其中D 1为D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得

cos π

ππcos 3

44442220

00

113

2d d 2d cos d π4232

a a V r r r a a θ

θ

θθθθ====??

?

?.

(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积

22()d d ,D

V x y x y =+??

其中积分区域D 为xOy 面上由曲线y =x 2

及直线y =1所围成的区域，如图10-11所示.

图10-11

D 可表示为：

211, 1.x x y -≤≤≤≤

所以

21

1

22221

()d d d ()d D

x

V x y x y x x y y -=+=+????

21

1

12

32461111188d ()d .333105x

x y y x x x x x --??=+=+--=??????

8. 计算下列二重积分：