第六章保角变换

第六章 保角变换(14)

一、内容摘要

1．单叶函数 :复变函数()w f z =在区域 D 内解析，且在 D 内任意不同两点函数值不同，则称该函数为单叶（解析）函数。单叶变换 单叶解析函数确定的变换称为单叶变换。

定理 设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则在z 平面上必存在一个包含0z 点的区域，而在 w 平面上有一个包含()00w f z =的区域，使得解析变换

()w f z =给出这两个区域间点与点的一一对应关系。即()w f z =在0z 点附近是

单叶解析函数。 2．解析函数的保角性:

设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则()w f z =在 0z 的邻域与0w 的邻域的点与点之间建立了一个一一对应关系。若()w f z =在0z 点解析，且

()0'0f z ≠，则在0z 的某邻域内，用映射()w f z =把过0z 的任意两条曲线映射成过0w w =的两条曲线后，其夹角保持不变，无穷小线元成比例。这样的变换称作保角变换。 3．最简单的保角变换 1） 平移变换 =+w z b ． 2） 转动变换 =i w ze α

． 3） 线性伸缩变换 =(r>0)w rz ． 4） 倒数变换 1=

w z ．

4．线性变换

复变函数,0az b w ad bc cz d +=

-≠+确定的变换称为线性变换。该变换除d

z c

=-外处处解析，且d

z c

=-

为一阶极点。 线性变换具有如下性质： (1) 线性变换az b w cz d +=

+的逆变换为dw b

z cw a

-+=-． (2) 线性变换总可以分解成整线性变换和倒数变换的复合。 (3) 线性变换是一个保角变换。 (4) 线性变换具有保圆周性。 (5) 线性变换具有保对称点性。

12,z z 关于直线γ对称，是指12,z z 的连线与γ正交，且被γ平分。12,z z 关于圆:z a R γ-=对称，是指12,z z 都在过圆心 a 的同一射线上，且

212z a z a R --=。

此外，也规定圆心与无穷远点也是关于圆周对称。

二、习题

1．填空题

（1）复平面上一点1+z i =关于单位圆周21z z -==的对称点为________．

（2）已知点101

z =-,,分别变到点0,,3w i i =，试求这个分式线性变换w =_________．

（3）若--i z a

w e z a

θ

=，则()'w z =_________．该分式线性变换在点a 出的旋转角为_________．()0a c bi b =+,>；若-1-i z a

w e za

θ

=,则()'w z =__________．该分式线性变换在点a 出的旋转角为_________．()1a <；若

--i w z a

e

w z a

θββ-=-,则()'w z =__________.该分式线性变换在点a 出的旋转角为_________.()Im Im 0a β,>． （4）圆11

22

z -

=内部的区域在2w z =下的变换为______________．

（5）区域z i z i ??+-变到上半平面的保角变换为_____________． （6）将上半单位圆变到上半平面的保角变换为_____________． （7）将单位圆的

3

π

扇形域变到上半平面的保角变换为____________. （8）将单位圆1z <保角变换成单位圆1w <的线性变换，并使一点

()10a a w <=变到:______________．

（9）函数1

w z

＝把z 平面上的曲线1)1(22=+-y x 映射成w 平面上怎样的曲

线:______________ ．

（10）函数cos z ζ=将带域0Re z π<<映射为w 平面的什么域:_____________ ．

2．在z 平面上有一由中心在点1-及1区域由函数z i

z i

ζ-=

+映射到ζ平面上的区域。 3．将中心各在0点和1，半径为1的二圆的公共部分映射为上半平面。 4．设在z 平面上，沿连接点i 和3i 的直线段有裂缝，将此全z 平面映射为上半平面。

三、参考答案

1．填空题

（1）3122

+i ．

（2）1

33z i z -?

-+．

（3）()()

2

'i a a

w z e z a θ

-=-，-θπ；()()

2

1'1i aa

w z e za θ

-=-，θ；

()()()

()2

''w a w a f a β

ββ--=

，θ．

（4）()()1

1cos 2

ρ?π?π=

-≤≤+． （5）y 轴正半轴以上的区域。

（6）2

1-1z w z +??

???

=．

（7）2

331-1z w z ??

+ ???

=．

（8）1i z a

w e az

β

--=． （9）直线。

（10）实轴上有两条割线[)(]11∞-∞-,,,的全平面。 2．解：两弧有两个公共点：12z i z i -=,=，它们的像

120z i z i

x i z i z i

z i

ζζ--∞==-=

=,=

=++，所以公共点在原点和无穷远点。另一方面

z i

z i

ζ-=

+是分式线性变换，具有保圆性，而连接原点和无穷点的圆弧必为由原点

出发的射线。为了确定这两射线的位置，可通过特殊点的像来推断。1

z 在右圆弧上，代入变换式-=+z i

z i

ζ

，得到

)

(

)

2

1111

i

i

ζ--

+

11i +

表明Re Im 0=<ζζ，即该点在第三象限的分角线上。同样，

1z

在左圆弧上，其象在第二象限的分角线上。最后，根据圆弧上三点的走向与区域的关系，它是张角为

2

π

的角形区，以负实轴为其分角线。

3．解：二圆弧的交点为121122z z -

==，若能将1z

，2z 分别映射为0点和无穷远点，则两圆弧成为射线，而圆弧所包区域成为角形区。为此，要用分

式线性变换：12z t ?- ??它把1z 映射为=t ∞，将2z 映射为0t =。为了弄清角区的位置，可在两圆弧上各找一点。现在要旋转43

π

，使角形区完全处于上半平面，且一边与实轴重合，即令423

3

-

==i i u e

t e

t π

π。最后要将角形域的夹角增至π，

放大倍数为3

22

3

=ππ，所以令3

2u ζ=，即完成了所要求的变换。用一个函数表示

时，可写为()33232

32

3

2

2i t i i u e

e t e πππζ---?

?= ?

?

?===. 4．解：应该先将裂缝变为射线，然后将此射线置于正实轴上，最后用根式函数将裂缝的下沿转至负实轴。将裂缝变为射线需用分式线性变换，比如令3z i t z i

--=

它将i 映射到0点，将3i 点映射到∞点。为决定射线的位置，可将裂缝上的

2=z i 代入，得到-1t =，所以该裂缝为负实轴。现在要将其旋转到正实轴，所以

令=i u e t π。最后，将正实轴上的裂缝展开，用变换ζ。它使裂缝的下沿旋转

到负实轴，而裂缝的上沿，为正实轴。将这几步连起来，就得到ζ()

1

2

=i e t

π

1122

233i z i z i e i z i z i π

--???? ? ?--????

==.