高中数学思想活用-巧得分系列之四 转化与划归思想在导数研究函数中的应用
转化与化归思想在解析几何中的应用
4 7
.点 D渊
1袁0冤 为线段 OF2 的
中点袁亦c=2袁从而 a=3袁b= 姨 5 袁左焦点 F渊1 -2袁0冤 袁椭圆 E 的方程为
x2 9
+
y2 5
=1.设
M渊
x1袁y1冤 袁N渊
x2袁y2冤 袁P渊
x3袁y3冤 袁Q渊
x4袁y4冤 袁则直线
MD
的
方程为
x=
x1-1 y1
y+1袁
代入椭圆方程 x2 9
法. 化归不仅是一种重要的解题思想袁 也是一种最基本的思维策
略袁更是一种有效的数学思维方式.一般总是将复杂问题通过变换
转化为简单问题曰 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问
题曰将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题袁因此每解一
道题袁无论是难题还是易题袁都离不开化归.化归的基本功能是院生
Hale Waihona Puke 疏化成熟悉袁复杂化成简单袁抽象化成直观袁含糊化成明朗.说到
曲的体裁形式遥 希望大家能在音乐的海洋中继续放飞梦想袁遨游
前进遥
渊 作者单位 江苏省南京市弘光中学冤
誗编辑 谢尾合
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案例展示
2013-10
渊 上接第 165 页冤 条件中的形袁由野 形冶直接转化到野 数冶来解决袁而
大部分题目的确都能通过这个转化来解决. 解析几何还是考查学
生运算能力的重要载体袁很多学生常常因为运算量大而求解错误.
A F2 +5BF2 =0軋渊. 1冤 求椭圆 E 的离心
y M
OD
Q
F2 B x
P
率曰渊 2冤 已知点 D渊 1袁0冤 为线段 OF2 的中点袁M 为椭圆 E 上的动点
化归与转化思想PPT教学课件
因为 c (0,a) ， i (1,0) ，,所以 c i ,a ， i 2c 1,2a.
4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问 题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思 想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是 未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化 归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题， 要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是 熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①
这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.
直线方程为
y
y1
x1 2 y1
x
x1
,
即 x1x 2 y1 y 2 y12 x1 0 ,
②
因为
A x1,
转化与化归思想
转化与化归思想转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解．使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知．转化与化归思想高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中. 类型一 直接转化【典例1】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．【答题模板】【解析】 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，∴{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．【对点练1】 求下列函数的值域：(1)y ＝sin x ＋cos x ；(2)y ＝sin 2x －cos x ＋1； (3)y ＝cos x2cos x ＋1；(4)y ＝1＋sin x 3＋cos x.【解析】 (1)∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数的值域为[－2，2]． (2)∵y ＝sin 2x －cos x ＋1＝2－cos 2x －cos x ＝－(cos x ＋12)2＋94，∴函数的值域为[0，94]． (3)由y ＝cos x 2cos x ＋1，得cos x ＝y1－2y .∵|cos x |≤1，∴解不等式|y 1－2y |≤1，得y ≤13或y ≥1.∴函数的值域为(－∞，13]∪[1，＋∞)．(4)由y ＝1＋sin x3＋cos x ，得sin x －y cos x ＝3y －1，即1＋y 2·sin(x －φ)＝3y －1.∴sin(x －φ)＝3y －11＋y 2.∵|sin(x －φ)|≤1，∴|3y －11＋y 2|≤1.平方化简得y ·(4y －3)≤0.∴0≤y ≤34，即函数值域为[0，34]．类型二 换元法【典例2】 求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值． 【答题模板】【解析】 y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]且sin x cos x ＝t 2－12.∴y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.【对点练2】 (2015·衡水调研)已知x ＋y ＝－1，且x ，y 都是负数，求xy ＋1xy 的最值． 【解析】 设x ＝－sin 2α(sin 2α≠0)，y ＝－cos 2α(cos 2α≠0)，则xy ＋1xy ＝sin 2αcos 2α＋1sin 2αcos 2α＝14sin 22α＋4sin 22α＝14(sin 22α＋16sin 22α)． ∵sin 22α＋16sin 22α在sin 22α∈(0,1]上是减函数，∴sin 22α＝1时，取得最小值，∴xy ＋1xy 的最小值为14(1＋161)＝174.【典例3】 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 【答题模板】 可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决． 【解析】 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得a ＋4＝－(t ＋4t )，∵t >0，∴－(t ＋4t )≤－4.∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]． 【对点练3】 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 【解析】 令2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x .则4x 2＋y 2＋xy ＝1变形为6x 2－3tx ＋t 2－1＝0. Δ＝9t 2－4·6·(t 2－1)≥0，t 2≤85.∴－2105≤t ≤2105，即2x ＋y 的最大值是2105.类型三 数形结合法【典例4】 求函数f (x )＝2－sin x2＋cos x 的值域．【解析】 函数f (x )＝2－sin x2＋cos x ，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率．点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的直线斜率存在，不妨设为k .∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴满足|2－2k |1＋k 2＝1，解之得k ＝4±73.∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]． 【对点练4】 设f (x )＝1＋x 2，求证：对于任意实数a ，b ，a ≠b ，都有|f (a )－f (b )|<|a －b |.【解析】 设A (x 1,1)，B (x 2,1)，则|OA |＝1＋x 21，|OB |＝1＋x 22，|AB |＝|x 1－x 2|.在△AOB 中，||OA |－|OB ||<|AB |，即有|1＋x 21－1＋x 22|<|x 1－x 2|，所以|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，即|f (a )－f (b )|<|a －b |. 类型四 构造法【典例5】 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【答题模板】 用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积时，无法求出三棱锥的高．但若换个角度来思考，注意到三棱锥的三对棱两两相等，我们可以构造一个特定的长方体，将问题转化为长方体中的某个问题．【解析】 如图所示，把三棱锥P －ABC 补成一个长方形AEBG －FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.所以V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.故所求三棱锥P －ABC 的体积为160.【对点练5】 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【解析】先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33. 类型七 参数法【典例8】 已知直线l 过点A (2,3)且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，则当|AM |·|AN |最小时，直线l 的方程为________． 【解析】 设∠AMO 为θ，则θ∈(0，π2)， ∴|AM |＝3sin θ，|AN |＝2cos θ. ∴|AM |·|AN |＝6sin θ·cos θ＝12sin2θ≥12. 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝π4时取“＝”号．此时k l ＝－1，∴l 的方程为x ＋y －5＝0. 【对点练8】 (2015·北京东城联考)已知点P (3,4)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，A ，B 是圆C 上两个动点，且|AB |＝23，则OP →·(OA →＋OB →)(O 为坐标原点)的取值范围是( ) A ．[3,9] B ．[1,11] C ．[6,18] D ．[2,22]【解析】 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，因为|AB |＝23，所以|CD |＝1，故点D在圆(x －2)2＋y 2＝1上，所以点D 的坐标为(2＋cos α，sin α)，故OP →·(OA →＋OB →)＝2OP →·OD →＝2(6＋3cos α＋4sin α)＝2[6＋5sin(α＋φ)]，而2≤2[6＋5sin(α＋φ)]≤22，则OP →·(OA →＋OB →)的取值范围是[2,22]．。
化难为易 化繁为简——例谈函数与导数中的转化与化归思想
化难为易化繁为简——例谈函数与导数中的转化与化归思想刘红霞
【期刊名称】《新高考（高二数学）》
【年(卷),期】2015(000)005
【总页数】3页(P4-6)
【作者】刘红霞
【作者单位】江苏省靖江高级中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.化难为易化繁为简——例谈函数与导数中的转化与化归思想 [J], 刘红霞
2.化难为易化生为熟化繁为简——谈化归思想在小学数学教学中的应用 [J], 徐俊岭
3.化繁为简不走寻常路——例谈解析几何中转化与化归思想的巧用 [J], 薛梅;
4.化繁为简化难为易--化归思想在初中数学教学中的应用分析 [J], 吴鑫
5.变难为易,化繁为简——论低年级数学教学中的"转化"思想 [J], 黄冰冰
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转化和化归_数学思想方法
• [评析] 1.在运用补集的思想解题时，一 定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都 不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面 是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3) 垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直 线y＝m(x－3)垂直平分”．
[评析] 本题如果从已知条件 a23＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝ a1(a1＋8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求式子： aa21＋＋aa43＋＋aa190＝a1a＋1＋d＋a1＋a12＋d3＋d＋a1＋a18＋d9d，也能求解，但 计算较繁锁，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单 的数列进行分析，可以很快得到答案．
(1)若 a2＋b2＝1，可设 a＝cosα，b＝sinα； (2)若 a2＋b2≤1，可设 a＝rcosα，b＝rsinα(0≤r≤1)； (3)对于 1－x2，∵|x|≤1，由|cosθ|≤1 或|sinθ|≤1 知， 可设 x＝cosθ 或 x＝sinθ.
• [例3] 试求常数m的范围，使曲线y＝x2的 所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平 分．
[解析] 设 t＝sinx＋cosx， 则 t＝ 2sinx＋π4，t∈[－ 2， 2]， 而 sinxcosx＝21[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)， 于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx ＝a2－at＋12(t2－1)＝12t2－at＋a2－12
• [解析] 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B ＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时 a的取值范围．如图：
转化与化归的思想方法
专题四:转化与化归的思想方法化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。
事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。
例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。
化归灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。
高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
1. 转化运算．例1.已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= .分析：题目中的已知条件很容易求得246810a a a a a ++++，而所求的为212310l o g [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅ 可以转化为等差数列{}x a 的前10项之和，根据公差，可以把前10项之和转化为用246810a a a a a ++++表示出来，从而求得。
解：由()2x f x =和246810()4f a a a a a ++++=知2468102a a a a a ++++=，2123102122210log [()()()()]log ()log ()log ()f a f a f a f a f a f a f a ⋅⋅⋅=+++ =()123102468102526a a a a a a a a a ++++=++++-⨯=-评注：仔细分析题目，把运算进行转化，可以大大地节省时间，提高做题的效率。
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
问题表述多元性等价转化变直观——解答函数问题中的转化思想
姨 姨 则（ f x）＝-2t2＋at＋1.因为x∈ π ， π ，所以t∈ 1 ，1 ，所
62
2
姨 以（ f x）＝-2t2＋at＋1，t∈ 1 ，1 .因为（ f x）＝cos2x＋asinx在区 2
姨 间 π ， π 上是减函数，所 以 f（x）＝-2t2＋at ＋1 在 区 间 62
（ f x）在R上的大致图像，如图4.
解法探究
教学 参谋
y a2
-4a2 -3a2 -2a2 -a2 O a2 2a2 3a2 x
-a2
图4
观察图像可知，要使坌x∈R，（ f x-1）≤（ f x），则需满
例3 （2014年高考天津）已知函数（ f x）＝|x2＋3x|，x∈ R.若方程（ f x）-a|x-1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为_________.
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高中版
2015 年 3 月
解 析 ：显然a≠1，所以a =
y
x2+3x ， 令 t =x -1， 则 a =
x-1
t+ 4 +5 . 因 为 t + 4 ∈（-∞，
x
y=e-x- 1 2
图1
当lna<
1
时，两图像有交点，解得a<
摇
姨
e
，故a∈（-∞，
2
摇
姨
e
）.答案为B.
评注：本题解答中，将两函数存在关于y轴对称的点，
对称转化为两个函数的交点问题， 进而将问题求解.在
利用函数的对称性求解相关问题时，要注意变量的变与
不变.
二、等价换元— ——化陌生为熟悉
化陌生为熟悉，是等价转化思想的精髓所在，高中
巧借转化思想,让高中数学解题豁然开朗
巧借转化思想,让高中数学解题豁然开朗摘要：转化思想作为数学教学中最重要的教学方法之一，不仅仅在课堂教学中得到了应用，同时也常用于数学解题中。
如果说学生掌握的数学知识是解决问题的基础，那么转化思想就是解决问题的灵魂和关键，通过应用转化思想可以实现从“数学问题”到“数学图形”再到“数量计算”的转变，从而有效提高学生解题的效率，同时也锻炼了学生的逻辑思维能力，促进了学生数学核心素养的提升。
关键词：转化思想；高中数学解题；应用；引言在传统的课堂教学中，教师为让学生能够更加灵活地应用所学的知识去解题，就会使用所谓“题海战术”，在这样的操作下，学生叫苦连天，久而久之，学生就会丧失学习数学的兴趣。
从学生的学习效果来看，这种“题海战术”式的教学，对学生提高数学解题能力的效果提升很小，有时候虽然做过类似的问题，但是遇到新的问题又会不知所措。
转化思想的应用，能够帮助学生把握问题的本质，寻找解题的突破口，提高学生的解题能力，是学生在高中数学学习过程中必备的数学知识。
一、转化思想在中学代数问题当中的应用策略在学习代数的过程当中经常会用到等价转化以及非等价转化。
等价转化的思想，需要在解题的过程当中保障前面的问题不仅是后面问题的充分条件，还要是后面问题的必要条件，只有这样才可以保障在解题过程中实现同解。
例如在进行方程问题的解答是虽然方程有很多类型，解决的方法也各不相同，然而大多数的解决办法都是通过降次法，从高次的方程逐渐转化为低次的方程，还可以利用消元法，将多元的方程式转化为一元方程式，或者是利用转化的思想，将不好求解的分式方程转化为整式方程，这些转化的方法都体现出了，等驾照花的解题思路而等驾转化的解题思路，不仅需要考虑各个因素，而且还要顾及到二者之间的转化联系。
例如在高中数学当中要解决不等式恒成立求参数的取值范围的解题，首先可以通过分离参数求最值的问题，如要使a≥g（x）恒成立，只需a≥g（x）max，从而转化为求g（x）的最大值问题。
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。
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[典例] (2012·山西四校联考)已知函数f(x)＝
x3＋ax2－a2x＋m(a>0)．
(1)若a＝1时函数f(x)有三个互不相同的零点，
求实数m的取值范围；
(2)若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在[－
2,2]上恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)当a＝1时f(x)＝x3＋x2－x＋m.
∵函数f(x)有三个互不相同的零点，
∴x3＋x2－x＋m＝0即m＝－x3－x2＋x有三个互不相等的实数根．
令g(x)＝－x3－x2＋x，
则g′(x)＝－3x2－2x＋1＝－(3x－1)·(x＋1)，
∴g(x)在(－∞，－1)和13，＋∞上均为减函数，在－1，13上为增函数，
∴[g(x)]极小值＝g(－1)＝－1，
[g(x)]极大值＝g13＝527，
∴m的取值范围是－1，527.
(2)∵f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3x－a3(x＋a)，
且a>0，
∴当x<－a或x>a3时，f′(x)>0；
当－a
当a∈[3,6]时，a3∈[1,2]，－a≤－3.又x∈[－2,2]，
∴[f(x)]max＝max{f(－2)，f(2)}，
又f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，
∴[f(x)]max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m.
又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，
∴[f(x)]max≤1即－8＋4a＋2a2＋m≤1，
即当a∈[3,6]时，m≤9－4a－2a2恒成立．
∵9－4a－2a2在[3,6]上的最小值为－87，
∴m的取值范围是(－∞，－87]．
[题后悟道] 所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手
段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转
化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换
转化为已解决的问题．解答本题利用了转化与化归思想，第(1)问中把函数的零点问题转化
为g(x)＝－x3－x2＋x与y＝m图象的交点；第(2)问中把问题转化为求f(x)在[－2,2]的最大值，
利用最大值小于等于1，进一步转化为m≤9－4a－2a2在a∈[3,6]恒成立，从而可求m的范
围．
针对训练
设函数f(x)＝13x3＋x2＋x，g(x)＝2x2＋4x＋c.当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两
个公共点，求c的取值范围．
解：设f(x)＝g(x)，则有13x3＋x2＋x＝2x2＋4x＋c，所以c＝13x3－x2－3x.
设F(x)＝13x3－x2－3x，则F′(x)＝x2－2x－3，令F′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如表所示：
x －3 (－3，－1) －1 (－1,3) 3 (3,4) 4
F′(x) ＋ 0 － 0 ＋
F(x)
－9 极大值 极小值 －203
由表可知F(x)在[－3，－1]，[3,4]上是增函数，在[－1,3]上是减函数．
当x＝－1时，F(x)取得极大值F(－1)＝53；当x＝3时，F(x)取得极小值F(3)＝－9，而
F(－3)＝－9，F(4)＝－203.
如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与y＝c有两个公共点，所以－
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