直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线位置关系
小结：过抛物线焦点的直线与抛物线交于 A、B 两点，直线 的倾斜角为 ，则有①
x1 x2
p2 4
；② y1 y2
p 2 ；③
AB
x1
x2
p
2p sin 2
当堂检测
1. 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值.
练习：
1. 经过 y 2 8x 的焦点 F 作与对称轴成 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，求|AB|. 3
课堂内容展示
自学指导
规律总结
1、直线与抛物线的位置关系的判断
联 立 直 线 l : y kx m 和 抛 物 线 y2 2 px( p 0) 消 y 整 理 得 ：
k 2x2 2(km p)x m2 0
当 k 0 时， 0 直线与抛物线
，有
不同公共交点
0 直线与抛物线
编者: 于方书
直线与抛物线位置关系（1）
审稿人：全组人员
星期
（ ）月（ ）日
授课类型： 新授课
1.理解直线与抛物线的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与抛物线的各种位置关系； 2.掌握和运用直线被抛物线所截得的弦长公式； 3.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.
3. 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q ，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点， 求直线 l 的斜率的取值范围
直线与抛物线（1） 第一页
类型题二：弦长公式
例 2：已知抛物线 y2 x 与直线 y k(x 1) 相交于 A, B 两点，当 OAB 的 面积等于 10 时，求 k 的值
直线与抛物线位置关系的另类判别方法
本文链接：/Periodical_zxsxjx201303020.aspx
≠ ０） ，
抛物线 ｙ２
＝ ２ ｐｘ （ｐ ≠ ０） ，焦点 Ｆ
－
ｐ ２
，０
，
准线
ｌ１
：ｘ
＝
－
ｐ ２
，直线 ｌ２ ：ｘ ＝
ｐ ２
，直线 ｌ 与 ｌ１ 、ｌ２
交点坐标分别为 ｙ１ 、ｙ２ ，则（１） 直线 ｌ 与抛物线相
切 骋 （ｙ１ ＝ ｙ２ ）（ｙ１ ＋ ｙ２ ） ＝ － ｐ２ ；
（２） 直线 ｌ 与抛物线相交 骋 （ｙ１ ＋ ｙ２ ）（ｙ１ －
则（１） 直线 ｌ 与抛物线相切
骋
ｐ
＝
２ＡＣ Ｂ２
；
（２） 直线
ｌ 与抛物线相交
骋
ｐ
＞
２ＡＣ Ｂ２
；
（３） 直线
ｌ 与抛物线相离
骋
ｐ
＜
２ＡＣ Ｂ２
．
证明 联立 Ａ ｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０
①
ｙ２ ＝ ２ ｐｘ
②
由
②
：ｘ
＝
ｙ２ ２ｐ
③
③
代入
①
：Ａ
·
ｙ２ ２ｐ
＋
Ｂｙ
＋
Ｃ＝
０，
Ａｙ２ ＋ ２ ｐＢｙ ＋ ２ ｐＣ ＝ ０ ，
２０１３ 年第 ３ 期
中学数学教学
５３
直线与抛物线位置关系的另类判别方法
安徽省阜阳市红旗中学 张 震 吴冬梅 （邮编 ：２３６１１２）
文［１］ 、文［２］ 分别研究了直线与椭圆 、双曲
线位置关系的不同判别方法 ，本文将给出有关直
线与抛物线位置关系的另类判别方法 ．
高一数学复习考点知识专题讲解23---抛物线的简单几何性质
高一数学复习考点知识专题讲解抛物线的简单几何性质学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．知识点一 抛物线的简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0,0) 离心率 e ＝1 通径长2p知识点二 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．1．抛物线关于顶点对称．( × )2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ ) 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ )4．抛物线x 2＝4y ，y 2＝4x 的x ，y 的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．( √ )5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．( √ )一、抛物线的几何性质的应用例1 (1)等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2 答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(2p ，2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程， 得(3)2＝±a ，∴a ＝±3.∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1. 跟踪训练1 (1)边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x答案 C解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则抛物线的焦点坐标为( ) A ．(2,0) B ．(1,0) C ．(8,0) D ．(4,0) 答案 B解析 因为c a ＝2，所以c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，于是b 2＝3a 2，则ba ＝3，故双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x . 而抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，则|AB |＝3p ，又三角形的高为p2，则S △AOB ＝12·p2·3p ＝3，即p 2＝4.因为p >0，所以p ＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)． 二、直线与抛物线的位置关系命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断例2 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点． 命题角度2 直线与抛物线的相交问题例3 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程． 解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0 或2x ＋y －p ＝0. 延伸探究本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．解 如图，过A ，B ，M 分别作准线x ＝－p2的垂线交准线于点C ，D ，E .由定义知|AC |＋|BD |＝52p ，则梯形ABDC 的中位线|ME |＝54p ，∴M 点到y 轴的距离为54p －p 2＝34p .反思感悟 直线与抛物线的位置关系(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．(2)一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p . 跟踪训练2 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 答案 B解析 如图，过P 可作抛物线的两条切线，即y 轴和l 1均与抛物线只有一个公共点，过P 可作一条与x 轴平行的直线l 2与抛物线只有一个公共点．故过点P 与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.(2)设抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，直线y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且||AF ·||BF ＝25，则k 的值为( )A ．±2B ．－1C ．±1D ．－2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线y ＝kx ＋2代入x 2＝4y ， 消去x 得y 2－(4＋4k 2)y ＋4＝0， 所以y 1·y 2＝4，y 1＋y 2＝4＋4k 2，抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1， 因为||AF ＝y 1＋1，||BF ＝y 2＋1，所以||AF ·||BF ＝y 1·y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝4＋4＋4k 2＋1＝25⇒k ＝±2.1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43 B ．－1 C ．－34 D ．－12答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2,3)在准线上，所以－p 2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2,0)，故直线AF 的斜率k ＝3－0－2－2＝－34.2．(多选)以y 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D. x 2＝－8y答案 CD解析 设抛物线方程为x 2＝2py 或x 2＝－2py (p >0)， 依题意得y ＝p2，代入x 2＝2py 或x 2＝－2py 得|x |＝p ，∴2|x |＝2p ＝8，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝8y 或x 2＝－8y .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22) 答案 B解析 由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0. 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B.4．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，若|AB |＝43，则焦点F 到直线AB 的距离为________． 答案 2解析 由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求距离为3－1＝2.5．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 答案 0或1解析 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点， 当k ≠0时，联立方程消去y ，得 k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0， 由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0， ∴k ＝1.1．知识清单：(1)抛物线的几何性质．(2)直线与抛物线的位置关系．2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法．3．常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况．1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则点P到抛物线的焦点F的距离为()A．4 B．5 C．6 D．7答案 A解析由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则P(3，±23)，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在答案 B解析当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16 答案 B解析 由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，设点A (－2，n )， ∴－3＝n －0－2－2，∴n ＝4 3.∴P 点纵坐标为4 3. 由(43)2＝8x ，得x ＝6， ∴P 点坐标为(6,43)，∴|PF |＝|P A |＝|6－(－2)|＝8，故选B.4．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|F A |＋|FB |等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|F A |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7.5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∵当x ＝p 2时，|y |＝p ， ∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p 2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36. 6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫18，±24 解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24. 7．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 是FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，过点M 作MM ′⊥y 轴，垂足为M ′，|OF |＝2，∵M 为FN 的中点，|MM ′|＝1，∴M 到准线距离d ＝|MM ′|＋p 2＝3， ∴|MF |＝3，∴|FN |＝68．已知点A 到点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等，点A 的轨迹与过点P (－1,0)且斜率为k 的直线没有交点，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 设点(x ，y )，依题意得点A 在以y 2＝4x .过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0，当k ＝0时，显然不符合题意； 当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1＞0，解得k ＞1或k ＜－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，由题意知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2， ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17， ∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，O 为坐标原点．(1)求证：l 与C 必有两交点．(2)设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．(1)证明 联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，可得2x 2－kx －1＝0，所以Δ＝k 2＋8>0，所以l 与C 必有两交点．(2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1x 1＋y 2x 2＝1，① 因为y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1，代入①，得2k ＋⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝1，② 由(1)可得x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－12，代入②得k ＝1.11．若点M (1,1)是抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点，则弦AB 的长为________．答案 15解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x ，可得y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2， 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，代入抛物线的方程得4x 2－8x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 则||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×⎝⎛⎭⎫22－4×14＝15， 即弦AB 的长为15.12．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________．答案 x ＝5p 2解析 由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.由题意知AF ⊥OB ，则有y x －p 2·－y x ＝－1. 所以y 2＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2，2px ＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2. 因为x ≠0.所以x ＝5p 2. 所以直线AB 的方程为x ＝5p 2. 13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得||x ＝ 3＋p 24. 要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p ＝3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 14．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．答案 48解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6. 所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，所以|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.15．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB→＝0，则k 等于( )A.12B.22C. 2 D ．2答案 D解析 由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，x 1x 2＝4. y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2－4)＝8k， y 1y 2＝－8x 18x 2＝－16.∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4－16－16k ＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0，解得x 1＝12，x 2＝92， 故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9， 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.。
抛物线的标准方程及抛物线与直线的位置关系
抛物线的标准方程及抛物线与直线的位置关系知识点概括：抛物线的概念抛物线的概念1、平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。
2、抛物线的性质、抛物线的性质::抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)y pxp =>22(0)y pxp =->22(0)x pyp =>22(0)x pyp =->图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2py =范围 0x ³ 0x £0y ³ 0y £对称性 x 轴x 轴y 轴 y 轴 顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =焦半径 02x p PF +=02x p PF -=02y p PF +=02y p PF -=焦点弦)(21x x p AB ++=)(21x x p AB +-=)(21y y p AB ++= )(21y y p AB +-=o Fxy l oxy F l xyo F l+2p ， (2)12x x 2x 或x 2＝43y B．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－42x ；当焦点在y 轴上时，抛物线方程为x 2＝42＝3，∴p ＝6. ∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x . 公式3.3.通径：过通径：过通径：过抛物线抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H 1H 2称为通径；通径：称为通径；通径：|H |H 1H 2|=2P 4、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)||AF =x 0=42p ，12y y =－p 2．例1、当a 为任何值时，为任何值时，直线直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过P 点的抛物线的物线的标准方程标准方程为( ) A ．y 2＝－93y解析：由直线过定点P ，所以îíìx ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得定点P (－2,3)．因为抛物线过定点P ，所以，当焦点在x 轴上时，方程为y 2＝－93y .选A. 例2、动圆M 经过点A (3,0)且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆求动圆圆心圆心M 的轨迹方程．解：设圆M 与直线l 相切于点N . ∵|MA |＝|MN |，∴圆心M 到定点A (3,0)和定直线x ＝－3的距离相等．根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上． ∵p例3、已知抛物线C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，点A (2，32＋2＝4，p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 巩固练习：1、（2013年山东数学（理））已知抛物线1C ．316 B ．38 C ．233 D ．433【答案】【答案】D D 2、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 2)在抛物线内．若抛物线上一动点P 到A 、F 两点距离之和的最小值为4，求抛物线C 的方程．的方程．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其准线为x ＝－p 2，过P 点作抛物线准线的垂线，垂足为H (图略)，由定义知，|PH |＝|PF |.∴|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PH |，故当H 、P 、A 三点共线时，|P A |＋|PF |最小． ∴|P A |＋|PF |的最小值为p:212y x p =(0)p >的焦点与的焦点与双曲线双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一于第一象限象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条的一条渐近线渐近线,则p = （ ）A 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为的方程为 （ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】【答案】C C3、（2013年上海市春季年上海市春季高考数学高考数学试卷）试卷）已知已知 A B 、为平面内两定点为平面内两定点,,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线的垂线,,垂足为N .若2MN AN NB l=×,其中l 为常数,则动点M 的轨迹不可能是的轨迹不可能是 （ ） A ．圆．圆 B ．椭圆 C ．抛物线．抛物线 D ．双曲线．双曲线 【答案】【答案】C C+2p ， (2)12x x =42p ，12y y =－p 2．(3) (3) 弦长弦长)(21x x p AB ++=，则AB =q 2sin 2p（5）AF 1+BF 1=P24、（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,F,其其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF D 为等边三角形,则P =_____________【答案】【答案】6 65、（2013年安徽数学（理）试题）已知年安徽数学（理）试题）已知直线直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点两点..若该抛物线上存在点C ,使得ABC Ð为直角为直角,,则a 的取值范围为的取值范围为___ _____. ___ _____. 【答案】),1[+¥6、（ 2013年江苏卷（数学））抛物线2x y =在1=x 处的切线与两处的切线与两坐标轴坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与包含三角形内部与边界边界).).若点若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是的取值范围是__________.__________. 【答案】úûùêëé-21,21、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ， 则(1)||AF =x 0,p x x x x =³+21212,即当x 1=x 2时,通径最短为2p (4) (4) 若若AB 的倾斜角为θ2. 221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p pp-＜ 由22x py =得22x y p=，则,xy p ¢= 所以12,.MAMBx x kkpp==因此直线MA :102(),xy p x x p+=- 直线MB :202().xy p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p +=- ② 由①、②得: 0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. (2)解：由(1)知，当x 0=2时，时， 将其代入①、②并整理得：将其代入①、②并整理得：弦长公式2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-3.3.点点P(x 0,y 0)和抛物线22y px =(0)p >的位置关系的位置关系(1) (1)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >内Ûy 20<2px 0 (2) (2)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >上Ûy 20=2px 0 (3) (3)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >外Ûy 2>2px 0例1、如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0)，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，引抛物线的切线，切点切点分别为A ，B . (1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成三点的横坐标成等差数列等差数列；(2)已知当M 点的坐标为点的坐标为（（2，p 2-）时，时， 410AB =，求此时抛物线的方程； (3)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1)证明：由题意设2211440,x x p --= 2222440,x x p --=所以x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p -+===-所以2.AB k p =由弦长公式2221212241()411616.AB k x x x x p p=++-=++的方程为011(),xy y x x p-=-由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上，上，代入得033.xy x p=若D （x 3,y 3）在抛物线上，）在抛物线上， 则2330322,x py x x ==因此x 3=0或x 3=2x 0. 即D (0，0)或202(2,).x D x p(1(1’ ’ 当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意. (2(2’ ’ 当00x ¹，对于D (0，0)又0,AB x k p=AB ⊥CD ，所以222201212201,44AB CDx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾. 对于202(2,),x D x p 又410AB =，所以p =1或p =2，因此所求，因此所求抛物线抛物线方程为22x y =或24.x y =(3)解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x2, y 1+ y 2), 则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB ，此时2212222212120002(2,),,224CDx x x x x x p C x kpx px +++==因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴，轴，解:（1）证明：设221122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E EF F E x y B x y 、则直线AB 的方程：()222121112x x y x x x x x -=-+-, 即：121()y x x x x x =+- 因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ① 又直线AP 方程：2101x yy x y x -=+由210012x y y x y x x yì-=+ïíï=î得：2210010x yx x y x ---= 所以22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=Þ=-= 同理，同理，200222,F F y y x y x x =-= 所以直线EF 的方程：201201212()y x x y y x x x x x +=-- 令令0x x =-得: 0120012[()]yy x x x y x x =+-将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上.即证即证. .yxPNOMAEBF又00,ABx kp=¹所以所以直线直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，，与题设矛盾， 所以00x ¹时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意. 例2、已知已知抛物线抛物线2y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ¹>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交的延长线分别交曲线曲线C 于E F 、．（1）证明E F N 、、三点三点共线共线；（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以，使以线段线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．由．（2）解：由已知A B M N 、、、.共线，所以()0000,,(,)A y y B y y - 以AB 为直径的为直径的圆的方程圆的方程：()2200x y y y +-=由()22002x y y y x y ì+-=ïí=ïî得()22000210y y y y y --+-=所以0y y =（舍去），01y y =-要使圆与要使圆与抛物线抛物线有异于,A B 的交点，则010y -³所以存在01y ³，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--= 例3、已知已知直线直线:1L x my =+（0m ¹）过）过椭圆椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F ，且交椭圆C 与A ，B 两点.（1）若抛物线243x y =的焦点为椭圆C 的上的上顶点顶点，求椭圆C 的方程；的方程； （2）对于（）对于（11）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF l l ==，当m 变化时，求12l l +的值，由已知得222(5)3x x y +=-+-，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所于是0254 3.1k y kk ++=+注意:本题中条件” 12,MA AF MB BF l l ==”的处理很好! 巩固练习：1、在直角在直角坐标系坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的上点的距离的最小值最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ¹±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值的纵坐标之积为定值. .解:（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y 以22(5)5x y x -+=+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，由题设知，曲线曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，的距离，因此，曲线曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，上运动时，P P 的坐标为0(4,)y -，又03y ¹±，则过P 且与圆且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个，每条切线都与抛物线有两个交点交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.01218.724y yk k +=-=- ②② 由101240,20,k x y y k y x -++=ìí=î得21012020(4)0.k y y y k -++= ③③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则0112120(4).y k y yk +×= ④④同理可得0234220(4)y k y y k +×=⑤⑤ 于是由②，④，⑤三式得于是由②，④，⑤三式得于是由②，④，⑤三式得: :010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++由023222c --=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) ) 抛物线抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x ¢= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),),则切线则切线,PA PB 的斜率分别为整理得2200721890.k y k y ++-= ①① 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故=2012012124004()16y k k y k k k k éù+++ëû==6400 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.2、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点为原点,,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点上的点,,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) ) 求抛物线求抛物线C 的方程的方程; ;(Ⅱ) ) 当点当点()00,P x y 为直线l 上的定点时上的定点时,,求直线AB 的方程的方程; ; (Ⅲ) ) 当点当点P 在直线l 上移动时上移动时,,求AF BF ×的最小值. 【答案】【答案】((Ⅰ) ) 依题意依题意依题意,,设抛物线C 的方程为24x cy =,112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112xy y x x -=-,,21BF y =+, 所以()221212121AF BF y y yy y x y×=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y æö+-+=++=++ç÷èø所以当012y =-时．1617 B ．1615 C 即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --= 因为切线,PA PB均过点()00,P x y ,所以1220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解的两组解. . 所以所以直线直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) ) 由由抛物线定义可知11AF y =+所以()()()121212111AF BF y y y y y y ×=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=ìí=î,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = , AF BF ×取得取得最小值最小值,且最小值为92.课后作业：1．抛物线28y x =的准线方程是（方程是（ ）(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- 2.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（ ）A ．87D ．0 3.在抛物线y px 22=上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（的值为（ ）则=×OB OA （ ）（A ）43 （B ）－43（C ）3 （D ）－3 6．已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（的坐标为（ ）A. （41，－1）B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）7．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l,垂足为K ，则△AKF 的面积是（的面积是（ ））（A ）4 （B ）33 (C) ．．10．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = 一、选择题：12345678ABCDBACB题 号答 案二.填空题:9．x A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 4．与．与直线直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x 2的切线方程是（是（） (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0 5、设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，43 (D)8 8．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ×+× ＝0，则动点P （x ，y ）的）的轨迹方程轨迹方程为（为（ ） （A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 二.填空题:9．在．在平面直角坐标系平面直角坐标系xOy xOy中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于x x 轴对称，顶点在原点，顶点在原点O O ，且过点P(2,4)P(2,4)，则该抛物线的方程是，则该抛物线的方程是 ．11．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________. 12．已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、两点，则y 2221y +的最小值是的最小值是y 82= ； 10． -1. ． 11．4)1(22=+-y x ；12． 32 。
抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系
XXXX 教育学科教师辅导讲义一．概念回顾抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 2．抛物线的准线方程：(1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：2px-=(2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2py-=(3))0(22>-=p px y , 焦点:)0,2(p -，准线l ：x=(4) )0(22>-=p py x , 焦点:)2,0(p -，准线l ：py=相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp =不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 3．抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性 以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 抛物线的焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF+=+=抛物线)0(22>-=p px y ，022x p p x PF-=-=抛物线)0(22>=p py x ，022y p p y PF+=+=抛物线)0(22>-=p py x ，022y p p y PF-=-=5．直线与抛物线： （1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将bkx y l+=:代入0:22=++++F Ey Dx CyAxC，消去y ，得到关于x 的二次方程02=++c bx ax （*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得： 联立⎩⎨⎧=+=pxyb kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点） 0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点 （相离） （2）相交弦长：弦长公式：21kad+∆=，（3）焦点弦公式： 抛物线)0(22>=p px y ，)(21x x p AB ++=抛物线)0(22>-=p px y ，)(21x x p AB +-=抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=（5）若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y yθsin 24422221p pkp y y =+=-⇒θθ221sin2sin 1p y y AB =-=⇒（6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-pkx p p kxk221py y -=⇒和21px x =6．抛物线)0(22>=p px y的参数方程：⎩⎨⎧==222pt y ptx （t 为参数）二．基础巩固1、抛物线y =4ax 2（a ＜0）的焦点坐标为………………………………………………（ ）(A )(a41，0) (B )(0，a161) (C ) (a161，0) (D ) (0，－a161)2、方程1sin cos 22=θ+θyx 一定不会表示……………………………………（ ）(A )圆 (B )椭圆 (C ) 双曲线 (D ) 抛物线3、抛物线2y 2＋5x =0的准线方程是 . 4、点M 到F （－4，0）的距离比它到直线x －5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程是 . 5、抛物线2xy=上的点到直线x －y －2=0的最短距离是_______________。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解直线与抛物线的概念及其性质；2. 掌握直线与抛物线的交点求法；3. 能够判断直线与抛物线的位置关系。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，求解直线与抛物线的交点；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
情感态度价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心；2. 培养学生的团队合作精神；3. 让学生感受数学在生活中的应用。
二、教学重难点：重点：直线与抛物线的概念及其性质，直线与抛物线的交点求法。
难点：判断直线与抛物线的位置关系，解决实际问题。
三、教学准备：教师准备：教学课件、例题、练习题、黑板。
学生准备：笔记本、笔、数学书。
四、教学过程：1. 导入：引导学生回顾直线和抛物线的基本概念和性质。
2. 新课讲解：讲解直线与抛物线的交点求法，举例说明。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用直线与抛物线的位置关系解决问题。
4. 课堂练习：学生独立完成练习题，教师解答疑问。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用。
五、课后作业：1. 完成练习题：要求学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 研究性问题：鼓励学生探索直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如：优化路线、最大/最小值问题等。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和思路，培养团队合作精神。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生课后练习的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括思考问题的深度、团队合作能力等。
七、教学反思：教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，分析学生的反馈，调整教学方法和策略，以提高教学效果。
关注学生的学习进度和需求，针对性地进行辅导。
4高中数学 抛物线的性质及其应用PPT课件
于A，B两点。
(1)求证：A以B为直径的圆与准线相切 y
(2)求证： 1 1 为定值
A
| AF| | BF|
M
A
M
k2x2(F x
B
l
B
| AFx|1x2|B x2 p 1F| (xx12x1 xp 2)2pp4x22 2pp42p22p (2k k222 kp 22)p42
直线与抛物 线相交(一 个交点)
>0 =0 <0
相交 相切 相离
7
最值问题
例：求 y24x抛 上物 的 P 到线 点 直 3x4y线 1 5 0 的距 的最小值
设 l:3x4yb0
代入抛物线 y2 ， 4(得 4y ： b)
3 整理得 3y2： 16y4b0
P
162 48b0b16 3
dmin
|1516| 3
若 ，则l直 :x线 p A (p,p)B ,(p,p) |A| B 2p
2
22 2
若 ，设l直 :y线 k(xp),代入抛物线方程
2
2
k2y2p(k22)x1k2p20
4
|A| B 1 k 2|x A x B |1 k 2 p 2 (k k 2 4 2 )2 p 2
k21 ta2n1 2p 2p k2 2p ta2nsi2n
B
l
B
2
2
(2 )设 A (x 1 ,y 1 ) B ,(x 12 ,y 2 )当 1,A 垂 1B 1x 轴 直 2 x 1 时 于 x 2 2 p ， |AF | |BF | p p p
当 A不 B 垂x直 轴于 时，A 设 B :y直 k(x线 p), 2
代入抛物线方程，得 15
2[1].4.2.2抛物线方程及性质的应用 课件(人教A版选修2-1)
求λ 的值．
【解题指导】
【规范解答】(1)直线AB的方程是
y=2 2 (x),与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0, 2 5p ① 所以：x1+x2= .………………………………………2分
4
p
由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，所以p=4,…………4分
所以抛物线方程为y2=8x.…………………………………6分
第2课时 抛物线方程及性质的应用
1.明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关 系的判定方法. 2.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、 弦长及弦中点等问题.
重点：代数法判断直线与抛物线的位置关系. 难点：应用抛物线的几何性质解决有关问题.
1.直线与抛物线的位置关系
相离 、_____ 相切 、_____. 相交 (1)直线与抛物线的位置关系有_____ y
线方程y2=5x联立得方程组
y kx 3 消去x得ky2-5y+15=0， ， 2 y 5x
当k=0时，解得y=3，当k≠0时，Δ=(-5)2-4k×15=0解得
k= 5 ，代入直线方程得5x-12y+36=0，综上，所求直线方程是
12
x=0，y=3，5x-12y+36=0. 答案:x=0，y=3，5x-12y+36=0
2.抛物线y2=-8x中，以(-1,1)为中点的弦的直线方程是______.
【解析】1.由于(5,0)恰在抛物线对称轴上，能符合题意的直
线与对称轴垂直，故直线方程是x=5.
答案:x=5
2.方法一：设弦的两个端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有 y12=-8x1,y22=-8x2，两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=-8(x1-x2)，
高考数学一轮专项复习讲义(通用版)-抛物线(二)(含解析)
抛物线(二)复习要点1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求直线与抛物线相交所得的弦长.3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题．
直线与抛物线的位置关系联立y2＝2px，y＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①相切：k≠0，Δ＝0；②相交：k≠0，Δ>0或k＝0；③相离：k≠0，Δ<0.常/用/结/论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2
)，
且y1>y2
，则有下列性质：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.联立方程，利用根与系数的关系可求出．焦半径：坐标式．(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；
焦半径：倾斜角式，推导过程如下：
|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；
|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.由(2)知|AB|＝|AF|＋|BF|＝2p1－cos2θ＝2psin2θ
.易知：通径是焦点弦中最短的弦．
(3)S△AOB＝p22sinθ.设点O到直线AB的距离为d，则d＝psinθ2，由(2)知S＝12|AB|d＝p22sinθ.
(4)1|AF|＋1|BF|为定值2p.由(2)知1|AF|＋1|BF|＝1－cosθ＋1＋cosθp＝2p.
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
AB中点P到准线的距离d＝|PQ|＝12|AC|＋|BD|＝12|AB|＝r.
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．证明同(5)．(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
由y1y＝px1＋x→过A的切线，y2y＝px2＋x→过B的切线，y21＝2px1，y22＝2px2，得两切线交点Qy1y2
2p，
y1＋y2
2，又由y1y2＝－
p2知xQ＝－p2，即Q点轨迹方程为准线x＝－p2.易验证kQA·kQB＝－1，即QA⊥QB．1．判断下列结论是否正确．(1)若直线与抛物线相交，则它们有1个或2个公共点．(√)(2)所有的焦点弦中，通径的长最短．(√)(3)若直线l过点(2p,0)，与抛物线y2
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与抛物线的交点情况；2. 学会利用数学方法判断直线与抛物线的位置关系；3. 能够运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。
教学重点：1. 直线与抛物线的交点情况；2. 直线与抛物线的位置关系的判断方法。
教学难点：1. 直线与抛物线的交点坐标的求解；2. 直线与抛物线的位置关系的判断方法的运用。
教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直线与抛物线的基本概念；2. 提问：直线与抛物线的位置关系有哪些？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与抛物线的交点情况，如图示；2. 讲解直线与抛物线的位置关系的判断方法，如图示。
三、案例分析（10分钟）1. 给出案例，让学生判断直线与抛物线的位置关系；2. 引导学生思考如何求解直线与抛物线的交点坐标。
四、课堂练习（10分钟）1. 让学生完成练习题，巩固所学知识；2. 解答学生疑问。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与抛物线的位置关系及其判断方法；2. 提出拓展问题，引导学生思考如何运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解、案例分析和练习，使学生掌握了直线与抛物线的位置关系及其判断方法。
在教学过程中，要注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
通过拓展问题，培养学生的实际问题解决能力。
六、实例解析（15分钟）1. 通过具体的直线和抛物线图形，分析它们的交点情况；2. 举例说明如何利用数学方法判断直线与抛物线的位置关系。
七、练习与巩固（10分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固对直线与抛物线位置关系的理解；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
八、直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用实例；2. 引导学生学会如何将实际问题转化为直线与抛物线的位置关系问题。
九、小组讨论与分享（10分钟）1. 学生分组讨论直线与抛物线位置关系的问题；2. 每组选取一个代表分享讨论成果。