含参数的不等式(分类讨论)

1 含参数的不等式（分类讨论） 一、解不等式问题（分类讨论） 1．解关于x的不等式 34422mmmxx

解：原不等式等价于 3|2|mmx 当03m即3m时， )3(232mmxmmx或 ∴333mxmx或 当03m即3m时， 0|6|x ∴x6 当03m即3m时， xR

2．设aR，函数22()2.fxxaxa 若()0fx的解集为A，|13,BxxABI，求实数a的取值范围。

点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不重不漏。

3．（2007· 广东） 已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx

在区间11，上有零点，求a的取值范围． 2

解析：由函数()fx的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就0a和0a两类情况进行讨论。

答案：函数()yfx在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解， a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0ff

或(1)0(1)048(3)01[1.1]afafaaa15a或372a或5a372a或a≥1. 所以实数a的取值范围是372a或a≥1. 点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。

4．（本题满分12分）已知 2()3(6)fxxaaxb （1）解关于a的不等式(1)0f．

（2）当不等式f(x)>0的解集为（－1，3）时，求实数,ab的值．

4．解：（1）f(1)=-3+a(6-a)+b =263aab ∵ f(1)>0 ∴2630aab ------------------- 2分 △ =24+4b 3

当b≤-6时，△≤0∴ f(1)>0的解集为φ；------------- 4分 当b>-6时，3636bab ∴ f(1)>0的解集为|3636xbab--------- 6分

（2）∵ 不等式2-3+(6-)+b>0xaax的解集为（-1，3） ∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解 ∵23(6-)-b<0xaax解集为（-1，3）----------------- 8分

∴ 3b33)a6(a2------------------ 11分

解之得9b33a----------------------- 1２分 二、含参数不等式的恒成立 “含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想： 即一般的，若函数xf在定义域为D，则当x∈D时，有 Mxf恒成立Mxfmin；

Mxf恒成立Mxfmax.

因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.

1．定义在R上的函数xf既是奇函数，又是减函数，且当2,0时，有 022sin2cos2mfmf恒成立，求实数m的取值范围.

分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于xf0在给定区间[a，b]上恒成立问题 4

可以转化成为xf在[a，b]上的最小值问题，若xf中含有参数，则要求对参数进行讨论。 【解析】由022sin2cos2mfmf得到：22sin2cos2mfmf 因为xf为奇函数， 故有22sin2cos2mfmf恒成立， 又因为xf为R减函数，

从而有22sin2cos2mm对2,0恒成立 设tsin，则01222mmtt对于1,0t恒成立， 在设函数1222mmtttg,对称轴为mt. ①当0mt时，0120mg， 即21m，又0m ∴021m(如图1) ②当1,0mt，即10m时, 012442mmm,即0122mm,

∴2121m,又1,0m, ∴10m(如图2) ③当1mt时，0212211mmg恒成立. ∴1m(如图3) 故由①②③可知：21m.

变式一：条件改为：若02933xxxfkf对任意x∈R恒成立，

t g(t) o · 1 图1

t g(t)

o · 1 图2

t g(t)

o · 1 图3

t=m t=m t=m 5

2．已知向量a=(2x，x+1)，b= (1-x，t)。若函数baxf)(在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。（2005年湖北卷第17题） 分析：利用导数将“函数)(xf在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“0)(xf

在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数023)(2txxxf在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t分离出来，通过讨论最值来解出t的取值范围。 【解析】依定义ttxxxxtxxxf232)1()1()(。 则txxxf23)(2， 若)(xf在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(xf恒成立。

∴0)(xfxxt232在（-1，1）上恒成立。 考虑函数xxxg23)(2，（如图4） 由于)(xg的图象是对称轴为31x， 开口向上的抛物线， 故要使xxt232在（-1，1）上恒成立)1(gt， 即5t。 而当5t时，)(xf在（-1，1）上满足)(xf>0，即)(xf在（-1，1）上是增函数。 故t的取值范围是5t. 数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化．因此，更要重视转化的数学思想． 三、能成立问题(部分成立)（存在性问题） 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,

图4 · o

x ·

1 ·

-1

y · g(x) 3

1

x 6

即f(x)>A在区间D上能成立, f(x)max > A 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)即f(x)

1．已知两个函数2()816fxxxk，32()254gxxxx，其中k为实数. (1)若对任意的33，x，都有)()(xgxf成立，求k的取值范围； (2)若对任意的3321，、xx，都有)()(21xgxf，求k的取值范围. (3)若对于任意1x3,3,总存在03,3x使得)()(10xfxg成立，求k的取值范围.

【分析及解】 (1) 令kxxxxfxgxF1232)()()(23, 问题转化为0)(xF 在 3,3x上恒成立,即0)(minxF即可 ∵)2(61266)(22'xxxxxF, 由0)('xF, 得2x 或 1x. ∵(3)45(3)9(1)7(2)20FkFkFkFk，，，, ∴45)(minkxF, 由045k, 解得 45k. (2)由题意可知当33，x时,都有minmax)()(xgxf. 由01616)('xxf 得1x. ∵kfkf8)1(24)3(，, kf120)3(, ∴120)(maxkxf.

由04106)(2'xxxg得321xx或, ∵21)3(g, 111)3(g , 1)1(g, 2728)32(g, ∴21)(minxg. 7

则21120k, 解得141k. (3) 若对于任意1x3,3,总存在03,3x使得)()(10xfxg成立，等价于fx的值域是gx的值域的子集， 由(2)可知， 2()816fxxxk在3,3的值域为8,120kk， 32()254gxxxx在3,3的值域为21,111，

于是，8,12021,111kk，即满足 821,120111.kk解得913k。 2．设函数2()()2ln(1)fxaxx，且()fx在0x处取得极值。 （1）求实数a的值 （2）若存在0[0,1]x使不等式0)(0mxf能成立，求实数m的最小值；

【分析及解】：（1）2()2()1fxaxx，(0)0,1fa令得 （2）依题意得mxfmin)(, 由（I）知2()(1)2ln(1)fxxx，{|1}xx定义域为 2()2(1),()02(),01[0,1]()0,()fxxfxxxxfxfx令得舍

当时故为增函数

min()(0)1fxf1,1mm即的最小值为.