2 流体运动的控制方程

∂ (τ yxu ) 1 ∂ (τ yx u ) 1 + − τ yx u − δ y + τ yx u + δ y δ xδ z ∂y 2 ∂y 2 ∂ (τ zx u ) 1 ∂ (τ zx u ) 1 δ z + τ zx u + + − τ zx u − δ z δ xδ y ∂z 2 ∂z 2 =− ∂ ( pu ) ∂x + ∂ ( uτ xx ) ∂x + ∂ ( uτ yx ) ∂y + ∂ ( uτ zx ) ∂z
2. 流体运动的控制方程
2.1 系统和控制体的概念 2.2 质量守恒方程 2.3 动量守恒方程 2.4 能量守恒方程 2.5 牛顿流体的本构关系 2.6 流体运动控制方程的统一形式
2.1 系统和控制体的概念
系统的定义
包含着确定不变的物质的任何集合，称为系统。在流体力 学中，系统是指由任何确定的流体质点组成的流体团。
对三个动量方程进行变化
Du ∂p ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx =− + + + + Sx ρ Dt ∂x ∂x ∂y ∂z ×u
Dv ∂p ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy ρ =− + + + + Sy Dt ∂y ∂x ∂y ∂z
单位体积表面应力对流体微团所做的净 功为
∂ ( pui ) ∂ ( uτ xx ) ∂ ( uτ yx ) ∂ ( uτ zx ) − + + + ∂xi ∂x ∂y ∂z + ∂ ( vτ xy ) ∂x + ∂ ( vτ yy ) ∂y + ∂ ( vτ zy ) ∂z
∂ ( wτ xz ) ∂ ( wτ yz ) ∂ ( wτ zz ) + + + ∂x ∂y ∂z
流体微团： 流体微团：
宏观上足够小、微观上足够大的流体分子集合体 。
控制体的定义
被流体所流过，相对于某个坐标系而言，固定不变的任何 体积称为控制体。控制体的边界，称为控制面。控制体是 不变的，但占据控制体的流体质点随时间是变化的。
控制体的基本特点
（1）控制体的边界相对于坐标系而言是固定的； （2）在控制面上可以发生质量交换； （3）在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力； （4）在控制面上存在能量的交换。
− ∂q y ∂y
δ xδ yδ z
−
∂qz δ xδ yδ z ∂z
则单位体积内总的流入热量为
∂qx ∂q y ∂qz ∂qi ∂ − − − =− = ∂x ∂y ∂z ∂xi ∂xi ∂T k ∂xi
则能量方程为 ∂ ( pui ) DE ρ =− +
Dt ∂ ( uτ xx ) ∂ ( uτ yx ) ∂ ( uτ zx ) ∂ ( vτ xy ) ∂ ( vτ yy ) ∂ ( vτ zy ) + + + + + ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ ( wτ yz ) ∂ ( wτ zz ) + ∂ ( wτ xz ) + + ∂x ∂y ∂z ∂ ∂T + k + SE ∂xi ∂xi ∂xi
单位体积流体中物理量 φ 的物质导数为
Dφ ∂φ ∂φ ρ =ρ + ρ ui Dt ∂t ∂xi
对于流体力学问题，欧拉方法最有意义 ，因此我们要推导物质导数在流体微团 和微元控制体之间的关系。
对于微元控制体，单位体积中所含物理 量 φ 随时间的增加率与净流出率之和为
∂ ( ρφ ) ∂ ∂φ ∂ρ ∂ ∂φ + ( ρφ ui ) = ρ + ui + φ + ( ρ ui ) ∂t ∂xi ∂xi ∂t ∂t ∂xi ∂φ ∂φ Dφ = ρ + ui =ρ ∂xi Dt ∂t
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教 师：屈秋林 办公室：新主楼C1114 办公室：新主楼 电 话：82339592 电 邮：qql@
计算流体力学 以计算机为硬件平台，采用计算数学方 流动控制方程（PDE）离散化，求得空 法将流动控制方程 流动控制方程 间和时间离散点上的流动物理量，达到再现 真实流动目的的一门流体力学分支。
ρw −
进入微元控制体内的净质量流率
∂ ( ρu ) 1 ∂ ( ρu ) 1 ⋅ δ x δ yδ z − ρ u + ⋅ δ x δ yδ z ρu − ∂x 2 ∂x 2 ∂ ( ρv) 1 ∂ ( ρv) 1 + ρv − ⋅ δ y δ xδ z − ρ v + ⋅ δ y δ xδ z ∂y 2 ∂y 2 ∂ ( ρ w) 1 ∂ ( ρ w) 1 + ρw − ⋅ δ z δ xδ y − ρ w + ⋅ δ z δ xδ y ∂z 2 ∂z 2 ∂ ( ρu ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w) ∂ = − + + ( ρ ui ) δ xδ yδ z δ xδ yδ z = − ∂y ∂z ∂xi ∂x
单位体积内微元控制体在x方向的表面力 的合力为
∂p ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx − + + + ∂x ∂x ∂y ∂z
则的动量方程为
Du ∂p ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx =− + + + + Sx ρ Dt ∂x ∂x ∂y ∂z
Dv ∂p ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy ρ =− + + + + Sy Dt ∂y ∂x ∂y ∂z
热流密度的定义为 为 其中热流密度的定义为T ∂
qi = −k ∂xi
x,y,z方向上流入微团内的热量为
∂qx 1 ∂qx 1 ∂qx qx − ∂x 2 δ x − qx + ∂x 2 δ x δ yδ z = − ∂x δ xδ yδ z
ρw +
∂ ( ρv) 1 ρv + ⋅ δy ∂y 2
∂ ( ρ w) 1 ⋅ δz ∂z 2
y
z x
∂ ( ρu ) 1 ρu − ⋅ δx ∂x 2
( x,
y, z )
ρu +
∂ ( ρu ) 1 ⋅ δx ∂x 2
ρv −
∂ ( ρ w) 1 ⋅ δz ∂z 2
∂ ( ρv) 1 ⋅ δy ∂y 2
微元控制体在x方向的表面力(T/B面, N/S面)
∂τ zx 1 ∂τ zx 1 ∂τ zx δ z δ xδ y + τ zx + δ z δ xδ y = δ xδ yδ z − τ zx − ∂z 2 ∂z 2 ∂z
∂τ yx 1 ∂τ yx 1 ∂τ yx − τ yx − δ y δ xδ z + τ yx + δ y δ xδ z = δ xδ yδ z ∂y 2 ∂y 2 ∂y

微元控制体在x方向的表面力（W/E面）
∂τ xx 1 ∂p 1 p − ∂x 2 δ x − τ xx + ∂x 2 δ x δ yδ z ∂τ xx 1 ∂p 1 + − p + δ x + τ xx + δ x δ yδ z ∂x 2 ∂x 2 ∂p ∂τ xx = − + δ xδ yδ z ∂x ∂x
(
) ) )
能量
E,
r ∂ ( ρ w) + ∇ ⋅ ρ wV ∂t
(
r ∂(ρE) + ∇ ⋅ ρ EV ∂t
(
动量守恒的基本概念（流体微团）
流体微团的动量增加率=流体微团所受到的 合力
流体微团所受到的两种类型的力
表面力：压力和粘性力 体积力：重力、电磁力
微元控制体内流体微团受到的表面力： 压力p和9个粘性剪切应力τij（下标i表示 垂直于i轴的平面，下标j表示该平面上平 行于j轴的方向）
微元控制体足够小， 微元控制体足够小，用泰勒展开的前两项 来代替控制体面上的值而足够精确
∂p 1 p− δx ∂x 2
∂p 1 p+ δx ∂x 2
2.2 质量守恒方程
质量守恒的基本概念（微元控制体）
微元控制体内质量增加率=进入微元控制体内 的净质量流率
微元控制体内的质量增加率为
∂ ∂ρ ( ρδ xδ yδ z ) = δ xδ yδ z ∂t ∂t
控制体概念对应Euler观点，即以通过确定 的体积的流体质点作为研究对象，研究控制 体内流体各物理量的关系。。
例如，F=ma，F指控制体边界面上所有作用于水体上外力 的合力。
微元控制体： 微元控制体：
流体内部一个微小的几何体。
T S
N
( x,
E
δy
y, z )
δz
y z x
W
B
δx
p ( x, y , z , t ) ρ ( x, y , z , t ) T ( x, y , z , t ) r u ( x, y , z , t )
质量守恒方程为
∂ρ ∂ + ( ρ ui ) = 0 ∂t ∂xi
上式即为可压缩、非定常流动的质量守恒方 程，也叫连续方程。
对于不可压缩流动，质量守恒方程为
∂ui =0 ∂xi
2.3 动量守恒方程
动量守恒定律和能量守恒定律是关于流体微团 定义的，微团的每一个宏观物理量 φ （单位质 量流体所具有的某一物理量）都是空间和时间 的函数。