利息理论——第二章2.1

1 (1 i ) n (1 i ) n 1 1 (1 i ) i
(2.1.4)
关于 an 的基本公式
1 v 公式(2.1.2) an i 也可以写为 n
n
(2.1.5) 经济意义解释：公式的左侧表示在时刻0进行投 资，投资本金为1，公式的右侧表示投资的回收 方式，即这1单位的本金每期投资一次，并在每 一期期末均产生利息i，那么n期利息的现值之和 为 ian ；到n期末，即时刻n时，将投资本金1收回， n v 并折现到时刻0的现值为 。在利率为i时，投资 额与投资回报本利和的现值是相等的。因而，公 式(2.1.5)左右两侧相等，如下图所示。
n
关于 sn 的基本公式
(1 i ) 1 公式(2.1.4) sn 也可以写为 i n
n
(2.1.6) 经济意义解释：公式左侧表示将1单位本金投资n期, 每期按复利i计算，在n期期末，投资积累值即本利 n 和为 (1 i)；公式右侧表示投资本金为1，即这1单位 的本金每期投资一次，每期期末产生利息i，而每期 所产生的利息又以利率i再投资，这样到n期期末各 积累值之和为isn ，这部分是所生利息的积累值，再 加上投资本金1，即为全部本利和，等式左右两侧分 别是一种投资的两种算法，实质上是相等的，如下 图：
an
于在0时刻投资本金为1，则n期期末本利和为 n n (1 i) ，而 (1 i) 1 isn ，这与每期期末投资 P的n期积累值是等价的，即 1 isn Psn ，由此 1 1 得
an
P
sn
i
an 和 sn 在几种不同利率情况下，对于n从1~50 的值在本书附录中可以查到。通常an 和sn 符号 中不必标出计算所依据的利率，在一个问题中涉 a 及多个利率时，为避免引起混淆，可写作： n i a 和 sn i 的形式，如 a10 0.06 、 20 0.08 和 s20 0.07 等。
1 ian v
时刻0下方的1位投资本金。时间轴上方的数字表 示投资回收额，各期期末可得利息i，在n期期末 还可收回本金1。各期利息及本金在时刻0的现值 分别为：
iv, iv , iv ,, iv
2 3
2
3
n2
, iv
n 1
n
, iv , v
n
n
n
所以 1 iv iv iv iv v ian v 。
年金的标准型：我们将付款时间间隔相等、每次 付款额度相等、整个付款期内利率不变且计息频 率与付款频率相等的年金称为年金的标准型（也 可称为基本年金）。 年金的各种变化形式称为年金的一般型。 年金的现金流是许多复杂现金流的基础，是利率 计算最直接的一种应用。 年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计算 两大类。
(1 i ) 1 isn

sn an (1 i )
2
an 与 sn 之间的关系：
an v v v
n n
(2.1.7) (1 i)n (2.1.1)式两端同乘以 ，可得：
n 2 n
n
(1 i ) an (1 i ) (v v v ) 1 (1 i ) (1 i ) sn
1 000 (1.09)10 2 367.36(元)
应付利息为：2 367.36－1 000=1367.36（元） (2) 每年支付利息为： 1 000×0.09=90（元） 应付的利息为： 90×10=900（元） Ra (3) 设每年付款额为R元，有价值方程： 10 0.09 1 000 R 1 000 / a10 0.09 得 R=155.82（元），应付利息为：10×155.82－1 000=558.20(元)
Ra30
从而有：
0.025
10 000
10 000 10 000 R 477.78(元) a30 0.025 20.9303
年金的要求是定期支付，间隔相等，但不一定非 得是“年度”的，具体计算可利用年度表或直接 做数值 计算。

例3 现有一笔为期10年的贷款1 000元。若实际年利率为9%， 试比较下面三种还款方式的利息额度： (1) 全部贷款加累积的利息在第10年年末一次还清； (2) 每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清； (3) 每年底偿还固定的金额，10年还清。 解： (1) 贷款在第10年年末的积累值为：
两次年金付款之间的间隔称为年金支付期。 相邻的两个计息日期之间的间隔称为 计息周期。 每一支付周期支付的金额为每次年金额。 每计息期中各次年金额的总和称为每期年金总额。 自第一次支付周期开始到最后一次支付周期终了， 称为年金时期。
年金一般分为两类： 1. 一定时期内，在相同间隔的时间上，按确定的 数额进行的一系列支付，称为确定年金 （Annuity-immediate）。例如，家庭的抵押付 款和事业机构的固定支出均为确定年金。 2. 在未来相应的时间点上支付是否发生是不确定 的，称为不确定年金，又叫或有年金 （Contingent Annuity）。具有代表性的不确定 年金是人寿保险中的生命年金（Life Annuity）。
比较三种还款方式的利息， 我们发现，第三种 还款方式的利息金额较前两种方式明显的小。对 于实务中的贷款而言，付款付得越迟，则支付的 利息总量越高，反过来，付款越早，则支付的利 息额越小。 另外，虽然三种还款方式应付的利息总额不同， 但所有还款的现值是相同的，均等于原始贷款额 1 000元。
2.1.2
例1 已知一笔期末付年金，每半年末支付＄500，共支 付20年，若每半年计息一次的年名义利率为9%，求这 笔年金的现值。 解： PV 500a40 0.045 500 18.4016 9200.80 例2 某人在银行存入10 000元，计划每两个月支取一次， 分5年支取完毕，且每两个月计息一次的年名义利 率为 15%，求其每次支取的金额？ 解： 设R为每次提取的金额。在投资之时的数值方程为：
每个支付周期期末支付的年金称为期末付年金 （Annuity-annuity），例如，每年年末支付的年 金、每月月末支付的年金；每个支付周期期初支 付的年金称为期初付年金或期首付年金 （Annuity-due），例如，每年年初支付的年金、 每个季度初支付的年金。
注：
在不发生混淆的情况下，年金一词一般指期末支付 的确定年金。 默认考虑的现金流的金额与利率无关，但现金流在 不同时刻的时间价值与利率水平有关。 年金一词最初的含义是指仅限于每年一次的付款。 但实际上，很多种付款与年金具有相同的性质，只 是时间单位并不仅仅局限于1年，所以现在已将年金 一词的意义扩展到每一固定时间间隔支付一次，这 种时间间隔可长可短，理论上，甚至可以是连续付 款，没有时间间隔。
(1 i ) n 1 (1 i ) n 1 (1 i) n 1 (1 i ) (2.1.12) (1 i ) 1 iv d 与期末付年金的 an 和 sn 的定义式对比，分子相同，差 s 别在于分母，an 和 sn 以i作分母，而 an 和 n 以d作分 母。即在期末付年金公式中，i是利息在每期期末支付 的度量标准；而在期初付年金公式中，d是利息在每期 期初支付的度量标准。
第二章
年
金
统计学专业专业限选课程 长春工业大学
第二章
年Leabharlann 金（Annuity）定义（年金）：所谓年金，就是一系列按照相等 时间间隔支付的款项。 在金融实务中，年金也指以固定的时间周期、以 相对固定的方式发生的现金流。 年金在经济生活中有很广泛的应用， 如零存整 取的银行存款、房屋的租金、抵押支付、商品的 分期付款、保险领域中的养老金给付、分期交付 保费以及投资款项的利息支付等等，都是年金的 例子。
将每期期末的付款均按利率i折现到0时刻，再求和，就可以 得到 an 的值。 首期付款额1 在0时刻的现值为v，第二期付款额1 在0 时刻的现值为v 2 ，…，第n期付款额1在0时刻的现值为v n ， 则有：
an v v v
2 2
n n 1
(2.1.1)
v(1 v v v
)
(2.1.2 )
若i=0，显然这时有 an n ，若n=0，定义 an 0。
1 vn 1 vn v (1 v d iv) 1 v i
B点为时刻n，恰好是最后一次付款的时刻，上述年金所有 付款在时刻n的积累值之和，记为 sn i ，在不引起混淆的情 况下，也可简记为 sn 。 将每期期末的付款1均按利率i积累到时刻n，求和，即可得 到 sn 的值。 第n期期末付款额1在时刻n的积累值为1，第n－1期期末的付 款额1在时刻n的积累值为(1+i)，…，第1期期末的付款额1在 (1 i ) n 1 ，则有 sn 为各积累值之和，有： 时刻n的积累值为 n 1 n2 sn (1 i ) (1 i ) (1 i ) 1 (2.1.3)
1 1 i a n sn
公式的推导比较简单，即
(2.1.8)
1 i i i n sn (1 i ) 1 i i (1 i ) i i 1 n n (1 i) 1 1 v an
n
经济意义解释：设每期期末投资本金为P，投资n 1 期的本利和现值为1，则P ，其积累值相当
§2.1 2.1.1
年金的标准型 期末付年金（Annuity-annuity）
期末付年金：在每个付款期期末付款的年金，称 为期末付年金，或称为延付年金。 设一笔年金，付款期限为n期，每期期末付款额 为1，每期利率为i，这样的年金称为 n期期末付 确定年金。
付款期从0开始，直到n。时刻t=1上方的付款额1为第一期付 款额，其发生在首个付款期（0~1）的期末。时刻t=2上方的 付款额1发生在第二付款期 （1~2）的期末，依此类推，n个 付款期内，都在期末付款1。 A点为初始时刻0， 所有付款在0时刻的现值之和，记为an i , 该记号中，a为年金的英文单词的第一个字母，n为年金现 金流的次数，i为年金的计算利率，在不需强调利率i或不致 引起混淆的情况下，可将 an i 简记为 an 。