(新)高一数学竞赛试题5
高一数学竞赛试卷
高一数学竞赛试卷考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知点 ， ，则与向量同方向的单位向量为( )A ．B ．C ．D ．2.已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3.（2015秋•凉山州期末）已知cos （θ+）=﹣，θ∈（0，），求sin （2θ﹣）的值． 4.已知函数与分别由下表给出：若2时，则=（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ．1 5.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．6.有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为 （ ） A ．2,4,6, 8 B ．2,6,10,14C ．5,8,11,14D ．5,10,15,20 7.函数的最大值为（ ）A．10 B．9 C．8 D．78.要得到函数的图像，只要把函数y="3sin2x" 图像A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9.对实数和，定义运算“”：设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则a3等于（）A．16 B．37 C．-7 D．911.如果幂函数的图象经过点,则的值等于（）A． B． C． D．12.把化成的形式是（）A．B．C．D．13.在数列{}中，若，则（）A．1 B． C．2 D．1.514.已知数列满足，则的最小值为（）A． B． C． D．15.设等差数列的前项和为，若则中最大的( )....16.下列各项中，不能组成集合的是（）A．所有的正数B．所有的老人C．不等于0的实数D．我国古代四大发明17.已知，，以下结论中成立的是（）A．B．C．D．18.函数的零点一定位于的区间是( )A． B． C． D．19.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为()A．2B．3C．0或3D．0或2或320.已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是（）A． B． C． D．二、填空题21.已知数列｛an｝的前n项和=，那么它的通项公式为an=_________.22.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。
高一数学竞赛：函数与方程
高一数学竞赛：函数与方程模块一：易错试题精选【例1】若,a b c <<则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间()A (),a b 和(),b c 内()B (),a -∞和(),a b 内()C (),b c 和(),c +∞内()D (),a -∞和(),c +∞内【例2】若函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x x x f ，函数()1y f f x ⎡⎤=+⎣⎦的零点个数是___________.【例3】已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当()+∞∈,0x 时，()x x f x2017log 2017+=，则函数()x f 的零点个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【例4】奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0、g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b 等于()A.14B.10C.7D.3【例5】设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【例6】函数322,2()log (2),2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()2–41()g x a f x x =-++有6个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.()0,2 B.(]0,2 C.(]0,1 D.()0,1【例7】设函数()4310{log 0x x f x x x +≤=>，，,若关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（）A.()22-B.322⎛⎤- ⎥⎝⎦， C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.()2,-+∞【例8】已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x m =有四个不同的解a b c d ,,,,且a b c d <<<,则的()21a b c c d++取值范围为()A.(]1,1- B.[)1,1- C.(1,)-+∞ D.(,1)-∞【例9】已知定义在R 上的函数()f x 满足(4044)4()f x f x -=-，若函数220192022x y x +=-与()y f x =的图象有m 个交点(,)(1,2,3)i i x y i m =L ，则1()miii x y =+=∑()（注111221()()()()mim m i x y xy x y x y =+=++++++∑L ）A.2022mB.2019mC.2021mD.2024m模块二：培优试题精选【例1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，()2f x x =，函数()()log 1,12,1a x x x g x x ⎧->=⎨≤⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-上恰有8个零点，则a 的取值范围为（）A ．（2，4）B ．（2，5）C ．（1，5）D ．（1，4）【例2】关于x 的方程()242200x m x m ++++=有两个正根()1212,x x x x <，下列结论错误的是（）A ．102x <<B ．226x <<C ．1212x x x x +的取值范围是{01}xx <<∣D ．2212x x +的取值范围是{440}xx <<∣【例3】设函数21,0()ln ,0ax ax x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()y f x a =+在R 上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．[)1,0-D ．4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦【例4】已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m【例5】已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个【例6】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()211,0212,22x x f x f x x ⎧--<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为（）A ．8B ．32C ．0D ．18【例7】已知函数23e ,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()()2g x f x kx x =--有两个零点，则k 的可能取值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【例8】设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1]x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解【例9】已知函数()()211x xf x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（）A ．αββα=+B ．22log ααββ+=+C ．4αβ+>D ．1αβ->-【例10】设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【例11】设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.【例12】已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，()221f x x x =-++，若关于x 的方程()()230f x tf x --=在[150,150]-上有300个解，则实数t 的取值范围是_____.【例13】已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有(4)4()f x f x +=，(]0,4x ∈时2()22x f x -=-；若函数2()()()g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为________.【例14】已知函数212,2()2ln(1),2x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨⎪->⎩，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数1()()4g x f f x m ⎛⎫=+- ⎝⎭有6个不同的零点，求m 的取值范围___________.【例15】已知函数2|2|,0,()|log |,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若关于x 的方程()0f x k -=有4个不相等的实数根a ，b ，c ，d ，则+++a b c d 的取值范围是___________，abcd 的取值范围是___________.【例16】已知函数()1ln ,1121,1x f x x x x ⎧⎛⎫-<-⎪ ⎪=+⎝⎭⎨⎪+-⎩，则函数()f x 的零点是__________；若函数()()()g x f f x a =-，且函数()g x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.【例17】已知函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则（1）实数m 的取值范围为_________；（2）+++a b c d 的取值范围是_________．【例18】已知函数()()2ln ,068,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 的各个零点之和为______；若方程1f x mx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭恰有四个实根，则实数m 的取值范围为______．模块三：全国高中数学联赛试题精选【例1】（全国竞赛题）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x x x f 41log )(39,90,>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题(含答案)
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则293f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC 的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如右图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数四、（满分15分）如右图，已知D 为等腰△ABC BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______． 解：令x =y =0得f (0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4．平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0．所以f (1)=f (−1)=2． 因为)32)(31(4)32()31()32(31)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f 1118=3()4()()3339f ， 所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f 所以.9894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)． 另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以 2AM y y AK x xy ===5−4cos α． 类似地对于△BCM ，得到54cos .BM BLα=+ 因此，10.AM BM AK BL+= C BD A LK a y αMx3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344，可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24．即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0．当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24． 由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立． 于是abcd =2060或2061．所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S AD S OD==．5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．证明：见右图：AKLB ，BMNC ，ACPQ 都是正方形，对应的面积为S 1、S 2和S 3．设,,βα=∠=∠ABC BAC .γ=∠ACB 因为,,,321S AC S BC S AB === 则根据余弦定理，有αcos 232321S S S S S -+=βcos 231312S S S S S -+=γcos 221213S S S S S -+= 由此，.cos 2cos 2cos 2321213132S S S S S S S S S ++=++γβα ①又因为 ,180,180,180γβα-=∠-=∠-=∠ NCP LBM QAK 以及,,,465S NP S LM S QK === 则有αcos 231315S S S S S ++= ②βcos 221216S S S S S ++= ③ γcos 232324S S S S S ++= ④由等式①～④得 S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．解：存在. 例证如下：因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数122020,,,p p p ，构造2020个两两不同的数： 1220202ii p p p x p ，i =1, 2, 3, …, 2020． 易知，因为122020,,,x x x 的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任意两个数的乘积 12202012202022i i i j p p p p p p x x p p 2222222222122020121111202022ii j j i j p p p p p p p p p p p p ． 这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．A B C I 1 I 2 • • F 四、（满分15分）如图，已知D 为等腰△ABC 底边BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．证明： （1）当D 与M 重合时，显然有∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．（2）当D 不与M 重合时，不妨设BD ＞DC ， 过I 1作I 1E ⊥BC 于点E ，过I 2作I 2F ⊥BC 于点F ，连结I 1D ，I 2D ，I 1I 2．因为⊙I 1为△ABD 的内切圆，⊙I 2为△ACD 的内切圆，所以 2AB BD AD BE +-=，2DC AD AC DF +-= 所以，EM =BM −BE=22BC AB BD AD +--()2BC BD AD AB -+-=.2DF AC AD DC =-+= 进而有 ED=MF ．因为I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心，易知∠I 1DI 2=90°． 由勾股定理得I 1D 2+I 2D 2=I 1I 22．(*)在Rt △I 1DE 与Rt △DI 2F 中，由勾 股定理得I 1E 2+ED 2=I 1D 2，I 2F 2+DF 2=I 2D 2，代入(*)式，得(I 1E 2+ED 2)+(I 2F 2+DF 2)= I 1I 22．注意EM=DF ，ED=MF 代换得(I 1E 2+MF 2)+(I 2F 2+EM 2)= I 1I 22．即 (I 1E 2+EM 2)+(I 2F 2+MF 2)= I 1I 22．所以 I 1M 2+I 2M 2=I 1I 22．根据勾股定理的逆定理，有△I 1MI 2为直角三角形，∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}划分为两个子集A ={a , b , c , d , e }和B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ． 解：（1）集合I 共有2个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．理由简述如下：1° 由易知，a =1，所以a ∈A ． A B C I 1 I 2 • •2° 由0∉ I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=A ∪B ，而5×2=10，所以5∈A ．3° 试验知，a , b , c , d , e 均不能等于9，所以9∈B ，进而有8∈A ．4° 因为数wxyz abcde 和的9个数字和恰为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，可判知+abcde wxyz 是9的倍数，即+abcde wxyz ≡0(mod9)． 又2wxyz abcde ，所以3wxyz ≡0(mod9)．于是wxyz ≡0(mod3)．所以)(wxyz S 是3的倍数，进而推得)(abcde S 也是3的倍数．5° 同样试验可判定7∈B ．此时分配剩下的4个元素：2, 3, 4, 6．由于A 中的1+5+8=14，被3除余2，所以从2, 3, 4, 6中选出的两个数之和被3除余1．于是只能选3, 4或4, 6属于A ，对应剩下的2, 6或2, 3归属于B ．因此，找到集合I 的两个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．（2）集合I 的“两倍型2分划”满足的不同的2wxyz abcde 共12个．1° 当B={2, 6, 7, 9}时，得到6个不同的式子：6729×2=13458， 6792×2=13584， 6927×2=13854,7269×2=14538， 7692×2=15384， 9267×2=18534．2° 当B={2, 3, 7, 9}时，得到6个不同的式子：7293×2=14586， 7329×2=14658， 7923×2=15846，7932×2=15864， 9273×2=18546， 9327×2=18654．。
高一数学竞赛第五讲 反函数
的定义域)”，分段函数的反函数要分段处理。 2、求分段函数的反函数应先求出各个区间
上的反函数，然后合并写成分段函数的形式；求 反函数的步骤，一般是一解二换三定也可以是一 换二解三定，第（3）题就是先换后解。
值域〕。 ②运用原函数与其反函数转化关系求值。
原函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域，因为要求函 数的定义（值）域可以转化为求其反函数的值（定义）域。由于
f [ f 1(x)] x 也 可 以 用 其 转 化 有 关 反 函 数 问 题 。 如 f 1(x) 是 函 数
f (x) 2x 2x 的 反 函 数 ， 若 f 1(x) 1 ， 求 f (x) 的 值 。 因 为 2
【例 3】证明：函数 y ex ex 的反函数是奇函数，且它在 (0, ) 上是增函数。 2
f [ f 1(x)] f (1) 所以 x 2 21 3 ， 22
所以 f (x) f (3) 2 2 1 7 2
2
22 4
Hale Waihona Puke ③运用原函数与其反函数转化关系探求函数性质。 原函数与其反函数在单调性、图象关系上有很多性质，如性质
2、3、4。这些转化关系在解题中常有应用。如已知函数
性质 3 若奇函数存在反函数，则其反函数仍是奇函数。
性质 4 若函数 y f (x) 是单调函数，则它的反函数 y f 1(x) 的 单调性和原函数 y f (x) 的单调性相同。
性质 5 函数 y f (x) 为自身反函数的等价条件是它自身的图象 关于直线 y x 对称。 性质 6 设函数 y f (x)(x A, y B) 存在反函数 y f 1(x)(x B, y A) 则 f 1[ f (x)] x(x A) f [ f 1(x)] x(x B) ，即反函数与原
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。
三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。
四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。
五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。
答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
高一数学竞赛试卷
高一数学竞赛试卷考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.数的定义域是（ ） A ． B ．C ．D ．2.已知，则（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．1或-2 3.下列叙述中（ ）①变量间关系有函数关系，还有相关关系； ②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系； ③x i =x 1+x 2+…+x n ；④线性回归方程y=bx+a 中，b=，a=；⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④⑤ C ．①②③④ D ．③④⑤ 4.若方程x 2﹣5x+6=0和方程x 2﹣x ﹣2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．45.经过点(－2,2)，倾斜角是60°的直线方程是( )A ．y ＋2＝(x －2)B ．y －2＝(x ＋2)C ．y －2＝(x ＋2)D ．y ＋2＝(x －2)6.若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7.在区间上随机取两个数,记为事件“”的概率,为事件“”的概率,则( ) A ．B ．C ．D ．8.已知等差数列和的前n 项和分别为和,且，则的值为（） A ．B ．C ．D ．9.（2014•顺义区二模）已知直线l 1：x ﹣2y+1=0与直线l 2：mx ﹣y=0平行，则实数m 的值为（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣210.下列四组函数中表示相等函数的是（ ） A ．与B ．与C ．与D ．＞与11.在数列中，=1，，则的值为 （ ）A ．99B ．49C ．102D ．101 12.直线经过的象限是 （ ）A ．一、二、三B ．一、三、四C ．一、二、四D ．二、三、四13.已知两条直线，与函数的图象从左到右交于两点，与函数的图象从左到右交于两点，若，当变化时，的范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．14.已知a=lg3+lg ，b=lg9，c=lg2，则a ，b ，c 的大小关系是A ．b<a<cB ．c<a<bC ．a<b<cD ．c<b<a 15.已知，为非零实数，且，则 （ ）A ．B ．C ．D ．16.如果a ＜b ＜0，那么( )．A ．a －b ＞0B ．ac ＜bcC ．＞D ．a 2＜b 217.已知，，，那么（ ）A ．B ．C ．D ．18.设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为A ．B ．C ．D ．19.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A ．2 B ．－2 C ．2－ D ．－220..某工程中要将一长为100m 倾斜角为的斜坡，改造成倾斜角为的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长（ ）mA ．B ．C ．D ．200二、填空题21.数据 平均数为6，标准差为2，则数据的方差为__ __ 22.若函数f （x ）=,则f （-3）=______．23.已知满足对任意成立，那么的取值范围是_______ 24.定义在上的函数，则不等式的解集为____________.25.已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(cos θ，－2)，θ为第二象限角．若a ∥b ，则＋3tan 2θ＝________． 26.把函数的图象，按向量 （m>0）平移后所得的图象关于轴对称，则m 的最小正值为__________________、 27.下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是28.已知集合A={}，B={}，若，则实数=29.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃.”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2.则肯定进入夏季的地区有____个.30.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为三、解答题31.已知直线（）.（1）证明：直线过定点；（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；（3）若直线轴负半轴于，交轴正半轴于，△的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.32.已知，.（1）求证：……；（2）求…的值.33.若f(x)＝Asin(x－)＋B，且f()＋f()＝7，f(π)－f(0)＝2，求f(x).34.（本小题满分10分）在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？35.设f(x)=(1)将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求．并用“五点法”画出y="g(x)," x∈[0,π]的图像。
高一数学集合、命题、不等式 竞赛试题及答案
高一数学竞赛 2018.10.28班级_______________姓名_________________学号__________________得分____________一．填空题（每题8分，共56分）1．不等式23(1)(2)0(4)(6)x x x x -+≤+-的解集为_____________________。
(,4){2}[1,6)-∞-- 2．不等式111x-<<的解集为____________________。
(,1)(1,)-∞-+∞ 3．已知集合U R =，且2{||1|2},{|680}A x x B x x x =->=-+<，则U C A B =____。
(2,3]4．已知命题:25x α-≤<，命题:121m x m β+≤≤-，且α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是__________________。
3m <5．已知,,a b c 为非零实数，则代数式||||||||a b c abc a b c abc +++的值的集合为____。
{4,0,4}- 6．若集合22{|23,},{|43,},A y y x x x R B y y x x x R ==+-∈==-+∈则A B=______。
[1,)-+∞7．有四个命题：（1）若0a b >>，则11a b <；（2）若0a b <<，则22a b >；（3）若11a >，则1a >；（4）若12,a <<且03b <<，则22a b -<-<。
上述命题正确的序号为______________________。
（写出所有正确的序号）(1)(2)(3)(4)二．选择题（每题8分，共16分）8．设集合2{|10},{|440P m m Q m mx mx =-≤≤=+-< 对任意x 恒成立｝，则P 与Q 的关系是( ) BA ．P Q ≠⊂B ．Q P ≠⊂C ．P Q =D ．P Q φ=9．设数集31{|},{|}43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤，且,M N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是( )CA ．13B ．23C ．112D ．512三．解答题（每题14分，共28分） 10．已知全集22,{|120},{|50},{2}u U R A x x px B x x x q C AB ==++==-+==,求p q +的值。
高一数学竞赛试题及答案201314
高一数学竞赛试题本卷满分为120分，考试时间为100分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1．已知集合{,,()},,,M a b a b a R b R =-+∈∈，集合{1,0,1}P =-，映射:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则以,a b 为坐标的点组成的集合S 有元素（ ）个A ．2B ．4C ．6D ．82 D 为△A B C 的边A B 的中点，P 为△A B C 内一点，且满足,25A P A D B C =+，则A P D AB CS S =△△（ ） A.35B.25C.15D.3103. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β （ ） A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对4．已知α是函数 ()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数()2008xg x xa =-的一个零点，则αβ的值为（ ）A ．1B ．2008C ．22008 D ．40165．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[,],m n D ⊆使()f x 在[,]m n 上的值域为11[,]22m n ，那么就称()y f x =为“好函数”。
现有()log (),xa f x a k =+(0,1)a a >≠是“好函数”，则k 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．1(,)4-∞ C ．1(0,)4D ．1(0,]46．若⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πα，则αs i n l o g 33等于（ ）A ．αsin B ．αsin 1 C ．αsin -D ．αcos 1-7．如图，一个棱长为a 的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切 且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角 都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（ ）。
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)2014-2015学年度高一数学竞赛试题一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案。
1.已知集合$M=\{x|x+3<0\}$，$N=\{x|x\leq -3\}$，则集合$M\cap N$=（）A。
$\{x|x0\}$ D。
$\{x|x\leq -3\}$2.已知$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$，则$(1-\tan\alpha)(1-\tan\beta)$等于（）A。
2 B。
$-\frac{2}{3}$ C。
1 D。
$-\frac{1}{3}$3.设奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数，且$f(1)=0$，则不等式$f(x)-f(-x)<0$的解集为（）A。
$(-\infty,-1)\cup (0,1)$ B。
$(-1,0)\cup (1,+\infty)$ C。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ D。
$(0,1)$4.函数$f(x)=\ln|x-1|-x+3$的零点个数为（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
05.已知函数$f(x)=\begin{cases}1/x。
& x\geq 4 \\ 2.&x<4\end{cases}$，则$f(\log_2 5)$=（）A。
$-\frac{11}{23}$ B。
$\frac{1}{23}$ C。
$\frac{11}{23}$ D。
$\frac{19}{23}$二．填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
将正确的答案写在题中横线上。
6.已知$0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$，则函数$f(x)=4\sqrt{2}\sin x\cos x+\cos^2 x$的值域是\line(5,0){80}。
7.已知：$a,b,c$都不等于0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$，则$\max\{m,n\}=$\line(5,0){80}，$\min\{m,n\}=$\line(5,0){80}。
四川宜宾2024年高中数学联赛(初赛)高一组试题+答案
2024宜宾市高中数学联赛（初赛）试题（高一组）（考试时间120分钟满分120分）题号一二三四合计得分复核人一、填空题（本小题满分64分，每小题8分）1.已知函数()()0,6sin >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx x f ，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤3πf x f 对任意的实数x 都成立，则ω的最小取值为2.已知12,0,0=+>>b a b a ，则ba ab+2的最大值为3.已知函数()()a x g x x f x +=+=+22,1，若对任意的[]4,31∈x ，存在[]1,32-∈x ，使得()()21x g x f ≥成立，则实数a 的取值范围是4.定义{}c b a ,,max 为c b a ,,中的最大值，设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=x x x x h 6,38,max 2，则()x h 的最小值为5.若区间[]b a ,满足：①函数()x f 在区间[]b a ,上有定义且单调；②函数在区间[]b a ,上的值域也为[]b a ,，则称区间[]b a ,为函数的共鸣区间.函数()31x x f =的一个共鸣区间为；若函数()k x x f -+=12存在共鸣区间，则实数k 的取值范围是6.已知ABC ∆的三边为c b a ,,，满足βα=++=++222222222,a c c b b a c b a ，则ABC ∆的面积为7.若函数()b ax x x f ++=2与坐标轴有三个交点C B A 、、，且ABC ∆的外心在x y =上，则ABC∆；8.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”()Benz -ercedes M 的o log 很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知O 是ABC ∆内一点，BOC ∆、AOC ∆、AOB ∆的面积分别为C B A S S S 、、，则0=⋅+⋅+⋅OC S OB S OA S C B A .若O 是ABC ∆锐角内的一点，C B A 、、是ABC ∆的三个内角，且O 点满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则下列说法正确的是（填序号）①O 是ABC ∆的外心；②π=+∠A BOC ；得分评卷人二、（本大题满分16分）9.已知cba、、均为正实数，且1222=++cba.（1）求证：1≤++cabcab；（2）求证：1242424≥++bcabca.得分评卷人三、（本大题满分20分）10.下图是函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<>>+=20,0,0,sin πϕωϕωA x A x f 的部分图像，N M 、是()x f 与x 轴的两个不同交点，D 是图像的最高点且横坐标为4π，点()10，F 是线段DM 的中点.（1）求函数()x f 的解析式及()x f 在()ππ2,内的单调增区间；（2）当⎦⎤⎢⎣⎡-∈12512ππ，x 时，函数()()12+-=x af x f y 的最小值为21，求实数a 的值.得分评卷人四、（本大题满分20分）11.已知集合()()(){}成立都有，对定义域内任意的存在正实数x f a x f x a x f M a >+=；（1）若()22x x f x-=，判断()x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；（2）若()3413+-=x x x g ，且()a M x g ∈，求实数a 的取值范围；（3）若()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x k x x h 3log，其中[)R k x ∈+∞∈，,1，且()2M x h ∈，求()x h 的最小值.得分评卷人年宜宾市高中数学竞赛试题9115.［0，1］答案不唯一；［1，2）二、9.证明：（1）因为a ，b ，c 均为正实数，且a 2+b 2+c 2=1，所以ab +bc +ac=2ab +2bc +2ac2≤()a 2+b 2+()b 2+c 2+()a 2+c 22=a 2+b 2+c 2=1，当且仅当a =b =c 故ab +bc +ac ≤1.（2）因为a ，b ，c 均为正实数，且a 2+b 2+c 2=1，所以a 4c 2+b 4a 2+c 4b2+a 2+b 2+c 2=æèçöø÷a 4c 2+c 2+æèçöø÷b 4a 2+a 2+æèçöø÷c 4b 2+b 2≥=2()a 2+b 2+c 2=2，当且仅当a =b =c 故a 4c 2+b 4a 2+c 4b2≥1.三、10.解：（1）因为点F （0，1）是线段DM 的中点，所以点D æèöøπ4,2，M æèöø-π4,0.因为函数f （x ）=A sin （ωx +φ），所以A =2，周期T =4×éëêùûúπ4-æèöø-π4=2π=2πω，所以ω=1.因为f æèöøπ4=2sin æèöøπ4+φ=2，所以π4+φ=π2+2k π，k ∈Z ，解得φ=π4+2k π，k ∈Z .又0<φ<π2，所以φ=π4，所以f （x ）=2sin æèöøx +π4.令2k π-π2≤x +π4≤2k π+π2，k ∈Z ，解得2k π-3π4≤x ≤2k π+π4，k ∈Z .当k =1时，5π4≤x ≤9π4，所以函数f （x ）在（π，2π）内的单调递增区间为éëöø5π,2π.所以x +π4∈éëùûπ6，2π3，所以f （x ）=2sin æèöøx +π4∈［1，2］.令t =f （x ），则t ∈［1，2］，所以y =t 2-at +1，t ∈［1，2］.又y =t 2-at +1图象的对称轴为t =a 2，当a 2≤1，即a ≤2时，y min =1-a +1=12，解得a =32.当1<a 2<2，即2<a <4时，y min =-a 24+1=12，解得a =±2（舍去）.当a 2≥2，即a ≥4时，y min =4-2a +1=12，解得a =94（舍去）.综上，a =32.四、11.解：（1）因为f （1）=f （0）=1，所以f （x ）∉M 1.（2）由题意可得g ()x +a -g ()x =()x +a 3-x 3-14()x +a +14x=3ax 2+3a 2x +a 3-14a .由g （x ）∈M a ，得3ax 2+3a 2x +a 3-14a >0对任意的x ∈R恒成立，所以9a 4-12a æèöøa 3-14a <0，解得a >1，故实数a 的取值范围是（1，+∞）.（3）因为h ()x +2-h ()x =log 3éëùû()x +2+k x +2-log 3æèöøx +k x >0，即log 3éëùû()x +2+k x +2>log 3æèöøx +k x ，所以()x +2+k x +2>x +k x >0对任意x ∈［1，+∞）都成立，故-x 2<k <x （x +2）对任意x ∈［1，+∞）都成立.令s （x ）=-x 2（x ≥1），t （x ）=x （x +2）（x ≥1），则s （x ）max =s （1）=-1，t （x ）min =t （1）=3，所以-1<k <3.当-1<k ≤0时，易判断h （x ）在［1，+∞）上单调递增，所以h ()x min =h ()1=log 3()1+k .年宜宾市高中数学竞赛试题（高一组）参考答案令t =x +k x，则t 1-t 2=x 1+k x 1-æèçöø÷x 2+k x 2=()x 1-x 2()x 1x 2-k x 1x 2.由0<k ≤1≤x 1<x 2，得x 1-x 2<0，x 1x 2-k >0，x 1x 2>0，所以t 1-t 2<0，即0<t 1<t 2，所以log 3t 1<log 3t 2，即h （x 1）<h （x 2），所以h （x ）在［1，+∞）上单调递增，所以h ()x min =h ()1=log 3()1+k .当1<k <3时，由1≤x 1<x 2≤k ，得x 1-x 2<0，x 1x 2-k <0，x 1x 2>0，所以t 1-t 2>0，即t 1>t 2>0，所以log 3t 1>log 3t 2，即h （x 1）>h （x 2），所以h （x ）在[]1,k 上单调递减.同理可证h （x ）在[)k ,+∞上单调递增，所以h ()x min =h ()k =log 3()2k .综上，h ()x min =ìíîlog 3()1+k ，-1<k ≤1，log 3()2k ，1<k <3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学竞赛试题（1）
(注意:共有二卷,时间100分钟, 满分150)
第一卷（本卷100分）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．下列结论中正确的是（ ）
A ．{}{}3,2,1,00∈
B ．{}无理数∈2
C ．{
}
φ==0|2
x x D ．{}{}
等腰直角三角形等腰三角形∈ 2．若集合M={x │x 2-3x+2≥0}，N={x|5<x ,R x ∈}，则M ∩N 是（ ） A ．}15|{≤<-x x B. }52|{<≤x x C. }5215|{<≤≤<-x x x 或 D. φ 3．函数2-=x y 的图象是( )
4. 一个教室的面积为x m 2
, 其窗子的面积为y m 2
, (x>y), 如果把y/x 称为
这个教室的亮度, 现在教室和窗子同时增加z m 2
, 则其亮度将( )
A. 增加
B. 减小
C. 不变
D. 不确定 5．奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的
表达式为f(x)=( ) A ．x x +- B ．x x --
C ．x x -+
-
D ．x x ---
6．函数()22--+=x x x f 是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
7．已知x x 322
-≤0，则函数f (x ) = x 2
+x +1 ( )
A. 有最小值
43, 但无最大值 B. 有最小值4
3
, 有最大值1 C. 有最小值1，有最大值4
19
D. 以上选项都不对
8. 方程ax 2
+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A. 0<a ≤1
B. a<1
C. 0<a ≤1或a<0
D. a ≤1
9. 已知)2(log ax y a -=在[0，1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（0，2）
D ．),2[+∞
10．若 02log 2log <<b a ，则( )
A. 0＜a ＜b ＜1
B. 0＜b ＜a ＜1
C. a ＞b ＞1
D. b ＞a ＞1
二．填空题（每小题5分，共15分）
11．数y=)1(log 2
1--x x 的定义域是____________________
12．“若0)2)(1(=+-y x ，则21-==y x 或”的否命题是
_________________________________________________
13．函数y=1
313+-x x 的反函数是______________________________
三．解答题(共35分. 需要写出详细求解过程)
14．（10分） （1）求函数42
36
)(22
-++-=
x x x x f 的定义域； （2）已知函数43)(-=x x f 的值域为[-1，5]，求函数)(x f 的定义域。
15．（10分）设集合},01)2(|{2
R x x p x x A ∈=+++=，若A ∩φ=+
R ，
求实数p 的取范围。
16．（15分）某商人如果将进货单价为８元的商品按每件10元售出时，每天可销售100
件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10个，问他将售价定为多少时，才能使每天所赚得的利润最大？最大利润是多少？
第二卷（共50分）
四．选择题（每小题5分，共15分）
17．已知))1,0((,,∈===a a z a y a x a
a
a ，那么，下列式子成立的是（ ）
A ．x < y < z B. z < y < x C. z < x < y D. x < z < y
18．已知N n ∈，且=)(n f ⎩
⎨⎧<+≥-)10()]5([)10(3
n n f f n n ，则)5(f 的值等于
A ．9
B ．10
C ．7
D ．8
19. 甲乙两人同时到同一商店分两次购买面粉, 甲每次都购买10千克, 乙每次 都购买10元钱的。
已知两次价格不同, 设甲两次的平均价格为p, 乙两次
的平均价格为q, 则( )
A. p>q
B. p=q
C. p<q
D.与价格有关
五．填空题（每小题5分，共10分）
20. 不等式13|1|+>++-x x x 的解集_____________
21．有一函数))((*
N n n f ∈,n=1时，3)()1(=++n f n f ；当n 为偶数时，
3)()1(=-+n f n f ；n 为奇数时，1)()1(-=-+n f n f 。
则=)(n f _________
六．解答题（共25分）
22．（10分）已知函数),)(lg()(为常数b a b a x f x
x
-=， ①)(,,0,x f b a b a 求时且当≠>的定义域；
②)(,01x f b a 判断时当>>>的单调性，并用定义证明。
23．（15分）设)(,x f R a ∈为奇函数，且1
42
4)2(+-+⋅=x
x a a x f （1）试求)(x f 的反函数)(1
x f -及其定义域；
（2）设],3
2
,21[.1log )(2
∈+=x k x x g 若)(1
x f -≤)(x g 恒成立，
求实数k 取值范围。
附加参考题（不计分）
24．讨论函数)0,()(的常数均为大于q p x
q
px x f +
=的单调性。
参考答案（仅供参考）
一． BCCAB ACDBA
二． 11. (1,2)∪(2,+∞) 12．若0)2)(1(≠+-y x ，则21-≠≠y x 且 13.)11(,11log 3<<--+=x x
x y
三． 14. 略（第2问应要求说明函数单调性）
15. 记方程判别式△=（p+2）2 – 4
因为φ=⋂+
R A ，所以方程01)2(2
=+++x p x (*)无正实数根。
(1)若方程（*）无实数根，则φ=A ，所以△<0，即04<<-p ， 此时φ=⋂+R A ，故04<<-p 满足条件。
(2)若方程（*）有实数根，显然x=0不是根，所以根均为负数, 所以⎩⎨
⎧<+≥∆0
2)(p -0
⎩⎨⎧->≥-≤⇒204p p p 或，,0≥⇒p
综合（1）（2）有p>-4
16. 略（要求逐步分析，写出函数式，再解决问题） 四． 17~19题 DDA 五．20. [-3, 1)∪(1,+∞) 21．⎩⎨
⎧+-=)
(1)
(1)(为奇数为偶数n n n n n f
六．22．解：①,1)(0>⇒>⇒>-x x x x x b
a
b a b a
.)(01,0定义域为则
若x f x b a
b a >⇒>>> 若.)(010,0定义域为则x f x b
a
b a <⇒<<<<
②任取x 1,x 2使),(021b a x x ><< ;121
x x a a
a <⇒>由再212110x x x x
b b b b b -<-⇒>⇒<<由
,2211x x x x b a b a -<-所以
)()(),lg()lg(212211x f x f b a b a x x x x <-<-⇒即，
所以，f(x)为增函数。