《确定二次函数的表达式》参考课件
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确定二次函数的表达式第2课时课件.ppt
解：设所求的二次函数的表达式为 y ax2 bx c
由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，
得
10 a b c 4 a b c 解这个方程组，得 7 4a 2b c
a 2 b 3 c 5
∴ 所求函数表达式为 y 2x2 3x 5
∴ y 2x2 3x 5 2(x 3)2 31
引入课题
1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数， a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把 ________________叫做二次函数的一般式。
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c，用配方法可化成：
y＝a(x-h)2＋k，顶点是(h，k)。
对称轴是x＝
，顶点坐标是
,
其中 h＝
，k=
（1）若已知图像上三个非特殊点，常设 一般式y＝ax2＋bx＋c ；
（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴， 常设顶点式置
• 作业：习题2.32 1.2.3
∴可设 y a(x 1)2 2
∴将A（0，1）代入上式解得 a 1
∴ y (x 1)2 2
随堂练习
1.已知二次函数的图像过点A（0，－1） B（1，－1）C（2，3）求此二次函数解式；
2.已知二次函数的图像过点A（1,0）B（3,0） C（2，3）求此二次函数解析式；
课时小结
• 在确定二次函数的表达式时
1 c 2 a b c 1 4a 2b c
解这个方程组，得
a 1 b 2 c 1
∴ 所求函数表达式为 y x2 2x 1
方法二
解：∵A（0，1）与C（2，1）的纵坐标相同
∴ A, C两点关于二次函数的对称轴对称 ∴根据对称轴性质可得对称轴的横坐标x 0 2 1
确定二次函数的表达式 第1课时 由两点确定二次函数的表达式 课件
[技巧归纳] 当二次函数各项系数中有两个是未知的，知
道图象上两点的坐标，可设函数的表达式为 y ＝ mx2＋
bx ＋ c 或 y ＝ ax2＋ mx ＋ c 或 y ＝ ax2＋ bx ＋ m （ m 为已知
常数）；当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的
坐标时，通常设函数的表达式为 y ＝ a （ x － h ）2＋ k ；
∴ቊ
解得ቊ
+ − = ，
＝ − .
题型二 二次函数的实际应用
如图1是气势如虹、古典凝重的开封北门，也叫安
远门，有安定远方之寓意.其主门洞的截面如图2，上部
分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边 AB 为
16 m，边 BC 为6 m，最高处点 E 到地面 AB 的距离为8 m.
（3）请比较 m 和 n 的大小： m ＜ n .
；
3. 已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx －3（ a ≠0）经过点（－1，
0），（3，0），求 a ， b 的值.
解：∵抛物线 y ＝ ax2＋ bx －3（ a ≠0）经过点（－1，
0），（3，0），
− − = ，
= ，
；
（3）当 x
＜0或 x ＞2
时， y ＞0.
（第1题）
2. 已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）上部分点的横
坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x
y
…
…
－1.5
n
0
1
1
3
2
1
…
…
4
m
2＋4 x ＋1
y
＝－2
北师大版数学九年级下册《确定二次函数表达式(一般式及顶点式)》课件
解：设这个二次函数的表达式是 y=a(x +3)2+k，
{ { a(-4 +3)2+k = -3，
a = 1，
a(-1 +3)2+k = 0， 解得 k = -4，
∴该二次函数的表达式是 y= (x -1)2 -4
当堂练习
y
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象
5 4
的表达式应是 y
3 4
x2
.
3 2 1
缺少常数项， 图象经过原点
自学检测1：（3分钟）
完成课本第43页“随堂练习”第2题第（1）题。
解：将点（1,1）、（2、3）分别代入表达式
y=x2+bx+c，得
{1=1+b+c 3=4+2b+c
已知一次项系数
解这个方程组，得
{ b=-1 c=1
小所结以：，所求二次函数的表达式为y=x2-x+1。
1. 已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数 ，再知道图
自学检测3：（5分钟）
1.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 y=-2(x-1)2+6 .
2.已知二次函数的顶点坐标为（2,5），且图像经过点
（3，7），求此二次函数的表达式。 y=2(x -2)2+5，
3.二次函数的图像过点A(－4，－3)和B(-1,0)，对称轴
是直线x＝－3，求二次函数解析式
解：设这个二次函数的表达式是 y=a(x -2)2+3，
再把点（-1，0）代入上式得 a(-1-2)2+3=0，
小结： 解得 a= -—13 . ∴1.用所顶求点的式二y次=a函(x数－的h)表2+k达时式，是知道y=顶-1点/3（(xh-2,k)2）+3和图象 上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式。
北师版初中数学九年级下册精品教学课件 第二章二次函数 3确定二次函数的表达式
∵函数的图象开口向上,∴a>0,∴a=1.
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5.如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
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解 (1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),
∴将A(0,3),B(-1,0)的坐标分别代入y=ax2+2x+c,解得a=-1,c=3.
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)由顶点坐标
4-2
- ,
2
4
得 D(1,4).
∵抛物线的对称轴与x轴交于点E,
∴DE=4,OE=1.
在Rt△BED中,根据勾股定理得 BD= 2 + 2 = 22 + 42 =2 5.
C.y=-3(x+1)2+3
D.y=3(x+1)2+3
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3.函数y=x2+bx+3的图象经过点(-1,0),则b等于
4
.
把点(-1,0)的坐标代入函数表达式,得0=1-b+3.解得b=4.
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4.已知二次函数y=ax2-x+a2-1的图象如图所示,则a的值是
1
.
图象过原点(0,0),∴0=a2-1,∴a=±1.
达式为 y=x2-2x+3 .
3.已知抛物线y=ax2-5x+c与x轴的交点坐标为(1,0)与(4,0),这个抛物线的函数
y=x2-5x+4
表达式为
.
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5.如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
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解 (1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),
∴将A(0,3),B(-1,0)的坐标分别代入y=ax2+2x+c,解得a=-1,c=3.
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)由顶点坐标
4-2
- ,
2
4
得 D(1,4).
∵抛物线的对称轴与x轴交于点E,
∴DE=4,OE=1.
在Rt△BED中,根据勾股定理得 BD= 2 + 2 = 22 + 42 =2 5.
C.y=-3(x+1)2+3
D.y=3(x+1)2+3
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3.函数y=x2+bx+3的图象经过点(-1,0),则b等于
4
.
把点(-1,0)的坐标代入函数表达式,得0=1-b+3.解得b=4.
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4.已知二次函数y=ax2-x+a2-1的图象如图所示,则a的值是
1
.
图象过原点(0,0),∴0=a2-1,∴a=±1.
达式为 y=x2-2x+3 .
3.已知抛物线y=ax2-5x+c与x轴的交点坐标为(1,0)与(4,0),这个抛物线的函数
y=x2-5x+4
表达式为
.
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北师大版九年级数学下册课件 2.3 第1课时 由两点确定二次函数的表达式
解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，
∴可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
又∵它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9.
1
解得 a .
8
1
2
y
(
x
8)
9.
∴所求的二次函数的表达式是
8
二、自主合作，探究新知
典型例题
例3：已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这
时，通常需要 2 个独立的条件.确定反比例函数 =
（k≠0)关系式时，
通常需要 1 个条件.
思考: 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，
通常又需要几个条件？
二、自主合作，探究新知
探究：确定二次函数表达式
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所
道图象上一个点的坐标.
(2)形如y＝a(x-h)2，y＝ax2+c和y＝ax2+bx的二次函数，有两个未知系
数，所以需要知道图象上两个点的坐标.
(3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那
么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
二、自主合作，探究新知
做一做：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）
− + = ,
∴
+ + = −,
= −,
解得
= −,
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.