定积分在几何上的应用教案(2)
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解 方法一 如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析 解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320
第二定积分在几何学上的应用
y x2 1 y
dA
2
2
x
x x dx
y 7 x2
dA [7 x2 ( x2 1)] dx (8 2x2) dx
所求面积
A
2
2
dA
22 (8 2x2) dx
(8 x
2 3
x3
)|2 2
64
3
例2. 求由抛物线 y2 2x 与 y x 4 所围成的
平面图形的面积. 解
y 则由对称性，得： 椭圆的面积
b
y y(x)
o
dA
x
A 4A1 设参数方程
x
y
a cos t b sint
a
x x dx a 确定了函数 y y( x)
dA y( x)dx
b
A1
0a
dA
a 0
y( x)dx
0
0
bsint d(acost) absin2 tdt
2
2
0
于是所求面积 A A1 A2
A
0 ( 2
x3
6x
x2 )dx
3(x2 0
x3
6 x )dx
253. 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
例4.
求由椭圆
x y
a cos t b sin t
,(0 t 2 )
所围成的平面图形的面积.
解 画图, 记椭圆在第一象限部分的面积为 A1
第二节 定积分在几何学上的应用
一. 求平面图形的面积
1. 直角坐标
例1. 求由抛物线 y x2 1与 y 7 x2所围成的
平面图形的面积. 解 y x2 1 y
画图,求交点
y x2 1 y 7 x2
人教版高一数学教案-定积分在几何中的应用
1. 7.1 定積分在幾何中的應用課前預習學案【預習目標】1. 瞭解定積分的幾何意義及微積分的基本定理. 2．掌握利用定積分求曲邊圖形的面積 【預習內容】1. 定積分的概念及幾何意義2. 定積分的基本性質及運算的應用3．若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2，則a 的值為（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．24．設2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，則1()a f x ⎰d x 等於（ C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在5．求函數dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴當a = – 1時f (a )有最小值1． 6．求定分322166x x -+-⎰d x ．7．怎樣用定積分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所圍成圖形的面積？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S課內探究學案一、學習目標：2. 瞭解定積分的幾何意義及微積分的基本定理. 2．掌握利用定積分求曲邊圖形的面積 二、學習重點與難點：3. 定積分的概念及幾何意義4. 定積分的基本性質及運算的應用三、學習過程（一）你能說說定積分的幾何意義嗎？例如⎰badx x f )(的幾何意義是什麼?表示x 軸，曲線)(x f y =及直線a x =，b x =之間的各部分面積的代數和， 在x 軸上方的面積取正，在x 軸下方的面積取負 （二）新課例1．求橢圓12222=+b y a x 的面積。
例2．求由曲線3324,16y y x y y x -=-=所圍成的面積。
練習：P58面例3．求曲線y=sinx ,x ]32,0[π∈與直線x=0 ,32π=x ,x 軸所圍成圖形的面積。
数学：《定积分在几何中的应用》教案(新人教A版选修)资料合集
本文涵盖资料目录数学：1.7.1?定积分在几何中的应用?教案 (新人教A 版选修2 -2 )(1) 数学：1.7.1?定积分在几何中的应用?教案 (新人教A 版选修2 -2 )(2) 数学：1.7.2?定积分在物理中的应用?教案 (新人教A 版选修2 -2 )(1) 数学：1.7.2?定积分在物理中的应用?教案 (新人教A 版选修2 -2 )(2)1.7.1定积分在几何中的应用一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的根本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 二、教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的根本性质及运算的应用 三教学过程：(一 )练习1．假设11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2 ,那么a 的值为 ( D )A ．6B ．4C ．3D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩ ,那么1()a f x ⎰d x 等于 ( C )A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最|||小值解：∵12231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最|||小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0 ,x =1 ,y =0及f (x ) =x 2所围成图形的面积 ? 6． 你能说说定积分的几何意义吗 ?例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴 ,曲线)(x f y =及直线a x = ,b x =之间的各局部面积的代数和 , 在x 轴上方的面积取正 ,在x 轴下方的面积取负二、新课例1．教材P56面的例1 例2．教材P57面的例2 . 练习：P58面例3．求曲线y =sinx ,x ]32,0[π∈与直线x =0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积 . 练习：1．如右图 ,阴影局部面积为 ( B ) A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d x D ．[()()]ba g x f x +⎰d x2．求抛物线y = –x 2 + 4x – 3及其在点A (1 ,0 )和点B (3 ,0 )处的切线所围成的面积．321.7.1定积分在几何中的应用一、教学目标：2. 了解定积分的几何意义及微积分的根本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 二、教学重点与难点：3. 定积分的概念及几何意义4. 定积分的根本性质及运算的应用 三教学过程：(一 )练习1．假设11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2 ,那么a 的值为 ( D )A ．6B ．4C ．3D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩ ,那么1()a f x ⎰d x 等于 ( C )A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最|||小值解：∵12231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最|||小值1．4．求定分322166x x -+-⎰d x ．5．怎样用定积分表示：x =0 ,x =1 ,y =0及f (x ) =x 2所围成图形的面积 ? 7． 你能说说定积分的几何意义吗 ?例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴 ,曲线)(x f y =及直线a x = ,b x =之间的各局部面积的代数和 , 在x 轴上方的面积取正 ,在x 轴下方的面积取负 二、新课例1．教材P56面的例1 例2．教材P57面的例2 . 练习：P58面例3．求曲线y =sinx ,x ]32,0[π∈与直线x =0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积 . 练习：1．如右图 ,阴影局部面积为 ( B ) A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d x D ．[()()]ba g x f x +⎰d x2．求抛物线y = –x 2 + 4x – 3及其在点A (1 ,0 )和点B (3 ,0 )处的切线所围成的面积．321.7.2定积分在物理中的应用一、教学目标：3. 了解定积分的几何意义及微积分的根本定理.2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题 . 二、教学重点与难点：5. 定积分的概念及几何意义6. 定积分的根本性质及运算的应用 三教学过程：(一 )练习1．曲线y = x 2 + 2x 直线x = – 1 ,x = 1及x 轴所围成图形的面积为 (B )．A ．38B ．2C ．34D ．322．曲线y = cos x 3(0)2x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为 ( D )A ．4B ．2C ．52D ．33．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．解：如图：由2230y x x y ⎧=⎨--=⎩得A (1 ,– 1 ) ,B (9 ,3 )．选择x 作积分变量 ,那么所求面积为10011[()][(3)]2S x x dx x x dx =--+--⎰⎰ =199011121(3)2dx xdx x dx +--⎰⎰⎰=3321992201142332||()|33423x x x x +--=．(二 )新课变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ,等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ,b ]上的定积分 ,即⎰=badt t v s )(．2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ,那么 t 1 = 3至|||t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3． (只列式子 )3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 –t 2 ,初始位置v (0) = 1 ,前2s 所走过的路程为325．例1．教材P58面例3 .练习：P59面1 . 变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动 ,那么从位置x =a 到x = b 变力所做的功W =F (b -a )．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动 ,那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰badx x F )(．例2．教材例4 . 练习：1．教材P59面练习22．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F (x )做功为 ( B )A ．44JB ．46JC ．48JD ．50J3．证明：把质量为m (单位kg )的物体从地球的外表升高h (单位：m )处所做的功W =G ·()Mmhk k h + ,其中G 是地球引力常数 ,M 是地球的质量 ,k 是地球的半径．证明：根据万有引力定律 ,知道对于两个距离为r ,质量分别为m 1、m 2的质点 ,它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ,其中G 为引力常数． 那么当质量为m 物体距离地面高度为x (0≤x ≤h )时 ,地心对它有引力f (x ) =G ·2()Mmk x +故该物体从地面升到h 处所做的功为()hW f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|hk x -+ =11()()MnhGMm k G k h k k h -+=⋅++． 1.7.2定积分在物理中的应用一、教学目标：4. 了解定积分的几何意义及微积分的根本定理.2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题 . 二、教学重点与难点：7. 定积分的概念及几何意义8. 定积分的根本性质及运算的应用 三教学过程：(一 )练习1．曲线y = x 2 + 2x 直线x = – 1 ,x = 1及x 轴所围成图形的面积为 (B )．A ．38B ．2C ．34D ．322．曲线y = cos x 3(0)2x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为 ( D )A ．4B ．2C ．52D ．33．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．解：如图：由2230y x x y ⎧=⎨--=⎩得A (1 ,– 1 ) ,B (9 ,3 )．选择x 作积分变量 ,那么所求面积为10011((3)]2S dx x dx =+-⎰⎰ =91112(3)2x dx +--⎰⎰⎰=3321992201142332||()|33423x x x x +--=． (二 )新课变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ,等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ,b ]上的定积分 ,即⎰=badt t v s )(．2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ,那么 t 1 = 3至|||t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3． (只列式子 )3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 –t 2 ,初始位置v (0) = 1 ,前2s 所走过的路程为325．例1．教材P58面例3 .练习：P59面1 . 变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动 ,那么从位置x =a 到x = b 变力所做的功W =F (b -a )．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动 ,那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰badx x F )(．例2．教材例4 . 练习：1．教材P59面练习2 2．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F (x )做功为 ( B )A ．44JB ．46JC ．48JD ．50J3．证明：把质量为m (单位kg )的物体从地球的外表升高h (单位：m )处所做的功W =G ·()Mmhk k h + ,其中G 是地球引力常数 ,M 是地球的质量 ,k 是地球的半径．证明：根据万有引力定律 ,知道对于两个距离为r ,质量分别为m 1、m 2的质点 ,它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ,其中G 为引力常数． 那么当质量为m 物体距离地面高度为x (0≤x ≤h )时 ,地心对它有引力f (x ) =G ·2()Mmk x +故该物体从地面升到h 处所做的功为()hW f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|hk x -+ =11()()MnhGMm k G k h k k h -+=⋅++．。
定积分在几何中的应用 课件
↗
4
t
1
0,
1
由表知,当 t= 2 时,S(t)取极小值 4 , 也就是在区间(0,1)上的最小值.
∴当 t=
1
时,使
2
S=S1+S2 最小.
反思涉及不规则平面图形的面积问题,都可考虑采用定积分来处理,
在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关
量间的关系;(2)定积分的正确计算.
1
S= 0
1
x- - 3 x
3
dx + 1
1
(2-x)- - 3 x
dx
3
1
1
=
x + x dx +
2-x + x dx
3
3
0
1
2 3 1 2 1
1 2 1 2 3
2
=
x + x |0 + 2x- x + x |1
3
6
2
6
2 1
1
= + + 2x- x 2 |13
3 6
3
5
1
1 13
= +6− × 9−2+ =
平行线 l.曲线 C 与直线 x=0,x=1 及直线 l 围成的图形包括两部分,
面积分别记为 S1,S2.
(1)求 t 的值,使 S1=S2;
(2)求 t 的值,使 S=S1+S2 最小.
分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出
用 t 表示的两图形的面积 S1,S2 的表达式,再根据各小题的条件求解.
c
解析:由定积分的几何意义知 S= ( x)dx − a
高中数学选修本(理科)定积分在几何上的应用
定积分在几何上的应用目的要求1．掌握定积分解决实际问题的思想方法：分割、近似代替、作和、求极限．能应用定积分求出某些平面图形的面积，知道某些简单的定积分表达式的几何意义．2．通过学习，对“面积〞的概念有较为完整的认识．知道在求平面图形的面积时，定积分是一种普遍适用的方法．内容分析1．定积分在几何中的应用源于最初对积分的研究．但是，作为一种数学方法，定积分有广泛的应用．本节课主要研究运用定积分求一些平面图形的面积，同时，通过应用加深对定积分概念的理解，进一步体会学习微积分的重要性．2．本节的教学重点是运用定积分求一些平面图形的面积，教学难点是使学生理解“当x∈[a，b]时，假设f(x)＜0，即f(x)的图象位于x轴下3．微积分的思想方法产生于实践，形成一般理论后，又回过来广泛应用于实践．它表达了唯物主义的认识论，教学中要充分发挥教科书的优势，寓思想教育于教学过程之中，这对正在成长中的青年一代世界观的形成，将会产生积极的影响．教学过程1．复习引入(1)板演练习：分别用初等数学方法和定积分方法计算由x＝0、x＝3、x轴及直线y＝x＋3围成的梯形的面积．(2)复习：在练习的基础上复习定积分的几何意义、微积分基本公式(3)提出问题：如果图形由曲线y1＝f1(x)、y2＝f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0)，及直线x＝a、x＝b(a＜b)围成(见课本图4－13)，那么所围成的图形的面积如何用定积分表示？2．尝试探索(1)推导公式观察图形，由学生归纳出面积公式：练习：完成教科书第170页练习第(1)、(2)、(3)题．(2)尝试应用例1 计算由曲线y2＝x、y＝x2所围成的图形的面积．解：(见教科书例1)归纳：求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤．①画出图形；②确定图形X围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；③确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；④写出平面图形面积的定积分表达式；⑤运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．变式一：求由曲线y＝x2、y＝2x＋3所围成的图形的面积．[D]A．①、③B．③、④C．②、③D．②、④(3)变形公式在变式二的基础上，推导出以下变形公式：①如图54－1，在区间[a，b]上f(x)≤0，这时曲边梯形的面积②如图54－2，在区间[a，c]上f(x)≤0，在区间[c，b]上f(x)≥0，那么阴影部分的面积为(此公式应用了定积分的性质，即定积分对积分区间的可加性．)③如图54－3，在区间[a，b]上，g(x)＜f(x)＜0，那么图中阴影部分面积为(4)拓广公式①如图54－4，由曲线x＝g(y)和三条直线y＝c、y＝d、x＝0围成的曲边梯形的面积为②如图54－5，阴影部分图形的面积为3．强化训练例2 利用定积分的几何意义说明解：(见教科书例2解答)例3 计算由曲线y2＝2x、y＝x－4所围成的图形的面积．解法一：(见教科书例3解答)解法二：假设取x为自变量，这时应分为两段求积分：教师引导学生对比解法一、解法二的繁简程度．变式一：教科书练习第5、6题．变式二：由y＝sinx、y＝cosx、x＝0、x＝π所围成的图形的面积可表示为[B]4．归纳总结1．求平面图形面积的基本步骤、理论根据及“面积〞概念的完整认识．2．各种图形中的曲边梯形的面积公式(分两大类)．3．能利用定积分表达式的几何意义求定积分．布置作业1．教科书习题4．5第1、3题．2．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点M(0，－3)和N(3，0)处的两条切线所围成图形的面积．3．(1996年某某高考题)A(－1，2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a≠－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．(1)求直线l1的方程；(2)设△ABD的面积为S1，求|BD|及S1的值；(3)设由抛物线C及直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数．(答案：4x＋y＋2＝0；|BD|＝2(a＋1)2，S1＝|a＋b|3；S1∶S2＝3∶2．)。
定积分在几何中的应用_ppt课件
S 0 ( y 4)dy 0
dy 2
40
3
10
思考：计算由曲线 y2 2x 直线y=x-4以及x轴围成图形的面 积.
解法1：
采用分割的方法
y2 2x
S2 S1 S1
B
A y=x-4
2
8
S 2S1 S2 2 0
2xdx ( 2x x 4)dx 2280 源自 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
成的图形的面积。
y
解：如图：由x2-1=0得到抛物线
与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所
求面积如图阴影所示：
所以：
S
2 ( x2 1)dx 1 ( x2 1)dx
1
1
x
( x3 x) 2 ( x3 x) 1 8
3
13
1 3
14
练习2. 求抛物线y=x2+2与直线y=3x和x=0所
得
x＝－3 y＝5
或
x＝2 y＝0
，
（-3,5）
（2,0）
所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4
的交点为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S，根据图形可得
S＝ʃ 2－3(－x＋2)dx－ʃ －2 3(x2－4)dx ＝＝(2225x－－(12－x2)23|52－3)－＝(11326x53.－4x)|2－3
S s1 s2
a
f (x)dx
g( x)dx
a
b
a [ f (x) g(x)]dx
b
b
(3) S a f ( y)dy a g( y)dy
b
a [ f ( y) g( y)]dy
4
例题讲解
( 人教A版)定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)
a
b
D.cf(x)dx－bf(x)dx
b
a
解析：由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为cf(x)dx，x 轴下方阴影部分的面 b
积为－bf(x)dx，故 D 正确． a
答案：D
2．图中阴影部分的面积等于________．
解析：根据积分应用可知所求面积为13x2dx＝x3|10＝1. 0
答案：1
怎样求由多条曲线围成的较为复杂的图形的面积？ 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方 和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将 积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在 每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以 选 y 为积分变量，这时 y 为自变量，x 是函数，故应把函数表达式变形成用 y 表示 x 的形式．
解方程组yy＝ ＝2xx2，，
得xy＝＝00，，
x＝2， y＝4，
解方程组yy＝ ＝xx， 2，
得xy＝＝00，，
x＝1， y＝1.
所以所求面积为 S＝1(2x－x)dx＋2(2x－x2)dx
0
1
＝1xdx＋2(2x－x2)dx
0
1
＝12x210 ＋x2－13x321 ＝76.
∴此平面图形的面积为76.
课时作业
[自主梳理]
一、利用定积分求曲边多边形的面积
1．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地
确定出 被积函数及积分的上、下限 ．
2．若一平面图形是由 y＝f1(x)，y＝f2(x)及 x＝a，x＝b(a<b)所围成，并且在[a，b]上
f1(x)≤f2(x)，则该平面图形的面积 S＝
定积分在几何中的应用教案
《定积分在几何中的应用》教学设计（一）复习引入1.定积分的几何意义.2.展示精美的大桥油画提问：桥拱的面积如何求解呢？【课件展示】课题：定积分在几何中的应用（二）问题探究探究1：观察下列几种平面图形，它们的面积和定积分有什么关系？的学习习惯求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为启性的铺垫类型1: 一条曲线)(x f y =和直线x =a ，x =b (a <b )及0=y 围成的平面图形的面积S.①如图1所示，0)(>x f ，⎰>ba dx x f 0)(，S=⎰ba dx x f )(； ②如图2所示，0)(<x f ，⎰<badx x f 0)(，S=|⎰badxx f )(|= –⎰badx x f )(；③如图3所示，当a ≤x ≤c 时，)(x f ≤0，⎰<ba dx x f 0)(，当c ≤x ≤b 时，)(x f ≥0，⎰>b a dx x f 0)(，S=|⎰c a dx x f )(|+⎰b c dx x f )(= –⎰c a dx x f )(+⎰bc dx x f )(；类型2: 由两条曲线)(x f y =与y=)(x g ，直线x =a ，x =b (a <b )围成的平面图形的面积S.④如图4所示，当)(x f >)(x g >0时，⎰-=b a dx x g x f S )]()([；⑤如图5所示，当)(x f >0，)(x g <0时，S=⎰b a dx x f )(+|⎰b a dx x g )(|=⎰-ba dx x g x f )]()([.探究2：观察下列两种平面图形，它们的面积和定积分有什么关系？（1） （2）【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验.的几何意义学生用发展、的问题于尝试、的究，学本过程与方法y=g(x) g(x)y=f(x) g(x)ab X0 ySy=h(x)y=g(x)y=f(x) g(x)yO x图1y =f (x )b ay Oxy =f (x )图2a by Oxy =f (x )图3abcy Oxy =f (x )y =g (x )图4ab yOxy =f (x )y =g (x )图5abSyaO bxA: 442128021⨯⨯-=-=⎰dx x s s sB: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=+=⎰⎰⎰84844021)422dx x dx x dx x s s s （（四）巩固练习1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )2.求由曲线y=x2 与y=2x+3围成的图形的面积.思考：在前面的问题中，设该抛物线拱的高为常数h, 宽为常数b. 如何求抛物线拱的面积？（五）课堂小结1.求曲线围成的平面图形的面积的一般步骤;2.思想方法. （六）课后作业课本Ｐ60 Ａ组1 Ｂ组3．通一所学内容⎰-=abdxx g x f S )]()([ )1(⎰+-=8)8222( )2(dxx x S ⎰⎰+=7441)()( )3(dxx f dx x f S ⎰-=a)]()([ )4(dxx f x g S ⎰-+badxx g x f )]()([。
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定积分在几何上的应用教案(2)
目的要求
1．了解旋转体的概念，理解旋转体体积公式的推导过程，继续了解“分割——近似代替—
—求和——取极限”的思想方法．
2．掌握用旋转体的体积公式求旋转体的体积，学会用定积分解决一些在几何中用初等数学
方法无法解决的体积问题．
3．对几何图形的基本度量——体积的概念有较完整的认识，知道在求旋转体的体积时，定
积分是一种普遍适用的方法，进一步体会学习定积分的必要性．
4．培养学生应用数学的意识和能力，进一步培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及
应用定积分的基本思想解决问题的能力．
内容分析
1．本节课是在学习了定积分的概念与计算的基础上，介绍定积分在几何中的又一种应用，
它是微积分解决初等数学的一个生动实例，这充分体现了新教科书对培养学生应用数学的意识
的重视．大家知道，微积分是十七世纪数学发展史上的里程碑，是人类思想史上的重大飞跃，
微积分可以解决初等数学难以解决或无法解决的许多问题．通过这部分内容的学习，可使旋转
体的体积在理论上解决得更彻底，并使学生对体积的概念有较完整的认识．
2．“旋转体的体积”这部分内容包括旋转体的定义、旋转体的体积公式的推导、旋转体体
积的计算．教学中以旋转体体积的计算为重点；由于旋转体体积公式的推导比较抽象，空间想
象能力要求较高，故为本节课的教学难点；突破难点的关键是数形结合，充分采用现代化的多
媒体教学手段显示旋转体的形成过程，在计算机中虚拟几何体的分割过程的“真实”情景，“放
大”微观世界，使抽象问题形象化、直观化．
3．考虑到本课内容比较抽象，故宜采用启发引导、讲练结合的教学方法，同时采用计算机
辅助教学．在具体教学中要注意到以下几点：
关于旋转体的定义，要与以前学习过的柱、锥、球等旋转体的定义结合起来教学，使学生
明确旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体的
平面图形都是直线或圆弧，而在这里是一般的曲线．
关于旋转体体积公式的推导，其实在第二册(下)关于体积公式的推导过程中已经渗透了定
积分的思想方法．教学中，可通过对球的体积公式的推导及曲边梯形面积公式的推导作一简单
的回顾，采用类比的方法，遵循“有限→无限→有限、连续→离散→连续、精确→近似→精确”
的原则，化曲为直，化整为零，变未知为已知．
关于旋转体体积公式的计算，课本例3显然可直接应用圆锥的体积公式求出圆锥的体积．之
所以安排这道例题，是为了让学生明白用定积分求旋转体的体积是一种普遍适用的方法，教学
中切勿一带而过．在讲完例3后，要注意总结求旋转体体积的解题步骤．本课的练习要紧紧围
绕旋转体的体积公式展开，让学生通过一定的练习，加深对定积分概念的了解，并达到熟练掌
握公式的教学效果．
4．本节课是定积分应用的一个高潮，有必要在知识和能力方面有所突破，即安排一些综合
性较强的例题或课外练习题，让学有余力的学生继续探讨，以提高他们分析问题与解决实际问
题的能力．
教学过程
(一)铺垫引入，创设情景
1．铺垫引入
①数轴可表示什么样的图形？
②什么样的图形叫做圆？
③什么样的图形叫做球？(多媒体演示球的形成过程)
2．创设情景
(1)问题一 下列几何体是如何形成的？(多媒体演示形成过程)
①圆柱 ②圆锥 ③花瓶
归纳：
①什么叫旋转体？(平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所成的几何体)
②旋转体形成的两个要素是什么？(一是被旋转的平面图形，二是旋转轴)
③举一些日常生活中的旋转体的例子，并说明被旋转的平面图形及旋转轴分别是什么．(多
媒体演示一些旋转体)
(2)问题二 如何求旋转体的体积？
学生展开讨论并提出解决的几种方案，估计会出现下列情况：
①对于特殊的旋转体(如球、圆柱、圆锥)，可直接运用公式求解；
②对于一般的旋转体，可用物理中测量不规则物体的体积的方法求解；
③像求曲边梯形的面积一样，推导出一个计算一般的旋转体的体积公式．
(二)类比启迪，推导公式
1．复旧：先回忆曲边梯形面积公式的推导思路，再回顾球的体积公式的推导过程(多媒体
演示)．
2．类比：将球的体积公式的推导过程与曲边梯形面积公式的推导过程进行对比：有限→无
限→有限，精确→近似→精确．
3．探求：在计算机中虚拟旋转体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，然后由
师生共同归纳旋转体体积的推导过程．(如图55－1)
①分割：将闭区间[a，b]用n－1个分点a＝x0＜x1＜x2＜„＜
②近似代替：过各分点xi作垂直于x轴的平面，将旋转体割成厚度
个小圆柱体，它的底面半径可以用区间上任一点ξi的纵坐标f(ξi)来近
就可用与这个区间对应的小圆柱的体积来近似代替
③作和：当n很大时，每个薄片可以近似地看作圆柱，圆柱的底面半径近似地等于区间左
端点的函数值．这样旋转体的体积近似地等于n个圆柱的体积之和．
④求极限：
4．深化：
[C]
A．由y＝x2、y＝0、x＝1、x＝2所围成的曲边梯形的面积
B．由y＝x、y＝0、x＝1、x＝2所围成的曲边梯形的面积
C．由y＝x、y＝0、x＝1、x＝2所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积
D．由y＝x2、y＝0、x＝1、x＝2所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积
②思考2：猜想下列图中阴影部分的图形绕对称轴旋转所得的旋转体的体积公式
(三)范例讲解，运用公式
三角形绕x轴旋转而成的旋转体的体积．
解：依题意知直线与两坐标轴围成的图形为△OSA，其中S(h，0)，A(0，r)．
△OSA绕x轴旋转而成的旋转体为圆锥．由旋转体的体积公式得：
归纳：求旋转体体积的解题步骤：
①根据题意画出草图；
②找出曲线范围，确定积分上、下限和被积函数；
③写出求体积的定积分表达式；
④计算定积分，求出体积．
变式：利用旋转体的体积公式，求出底半径为r、高为h的圆锥的体积公式．学生讨论后，
归纳出两种解法：
解法一：(以高所在直线为x轴，以底面半径所在直线为y轴，建立直角坐标系求解．)
解法二：(以高所在直线为y轴，以底面半径所在直线为x轴，建立直角坐标系求解．)
绕x轴旋转一周所成旋转体体积的2倍，
y轴旋转一周所成旋转体体积的2倍．
转而成的旋转体的体积．
(四)练习反馈，巩固公式
[C]
A．单位圆面积的一半
B．以1为半径的球的表面积的一半
C．以1为半径的球的体积的一半
D．以1为半径的球的体积
练习2：由曲线y＝sinx，x∈[0，π]与x轴所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积
是________
练习3：椭圆x2＋3y2＝12绕y轴旋转所得的旋转体的体积是
[D]
B．9π
D．32π
练习4：抛物线y2＝4x被其通径所截得部分绕x轴旋转得旋转体的体积是
[A]
A．2π B．3π
C．6π D．8π
转体的体积是________
(五)归纳小结，内化公式
布置作业
1．必做题：教科书习题4．4第2、4题．
2．选做题：
(1)复习参考题四(B组)第5题．
(2)(2001年全国新课程高考数学试题)某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其
中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A1是双曲线的顶点，C、C1是冷却塔上口直径
的两个端点，B、B1是冷却塔下口直径的两个端点，已知AA1＝14m，CC1＝18m，BB1＝22m．
(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程；
(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3，塔壁厚度不计，π取3.14)．
说明：
本题是一道综合性较强的试题，主要考查了选择适当坐标系建立曲线方程和解方程组等基
础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力．