【走向高考】2015届高中数学二轮复习专题1 集合与常用逻辑用语、函数与导数(第4讲)课时作业新人教A版

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1集合与常用逻辑用语 39张

( )
专题一
集合与常用逻辑用语
6．全称量词与存在量词
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∂x0∈M，綈p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．
《走向高考》二轮专题复习 · 数学新课标版
(2)特称命题(存在性命题)p：∂x0∈M，p(x0)．
原语句是都是 > 至少有一个至多有一个 ∀ x∈A 使 p(x)真
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否定形式
一个也不不都 ≤ 是是没有
至少有 ∂x∈A 两个使p(x)假
(
要严格区分命题的否定与否命题之间的差别．
)
专题一
集合与常用逻辑用语
专题一
集合与常用逻辑用语
《走向高考》二轮专题复习 · ( ) 数学新课标版
专题一
集合与常用逻辑用语
[例1]
(1)(2011·安徽文，2)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝
) B．{1,5} D．{1,2,3,4,5}
{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(∁UT)等于( A．{1,4,5,6} C．{4}
f(－x)是奇函数”的否命题是(
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
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(1)两命题互为逆否命题，它们同真或同假(如原命题和
逆否命题，逆命题和否命题)．因此，在四种命题中，真命题或假命题的个数都是偶数个． (2)两命题互为逆命题或否命题，它们的真假性是否一致不确定．
( )

【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-1-2(专题一集合与常用逻辑用语、函数与

真题感悟 1.(2014·江西卷)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若
f[g(1)]＝1，则a＝( )
A．1
B．2C．3D．－1 Nhomakorabea解析先求函数值，再解指数方程． ∵g(x)＝ax2－x，∴g(1)＝a－1. ∵f(x)＝5|x|， ∴f[g(1)]＝f(a－1)＝5|a－1|＝1， ∴|a－1|＝0，∴a＝1.
答案 A
2．(2014·福建卷)已知函数f(x)＝
x2＋1，x>0， cosx，x≤0，
则下列结论正
确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析根据所给分段函数解析式，画出函数图象解答．
函数f(x)＝
x2＋1，x>0， cosx，x≤0
∴f56π＝f－π6－12. ∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f56π＝0， ∴f236π＝f－π6＝12.故选A.
答案 A
5．(2014·课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减， f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
解析因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x－1)>0⇔f(|x－ 1|)>f(2)，又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<2，解得－1<x<3.
4．函数的周期性的结论
(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的
周期为2|a|.
(2)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝±
1 fx
恒成

高考数学二轮复习第一部分专题一集合、常用逻辑用语

第一部分专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第1讲集合与常用逻辑用语专题强化精练提能理[A 卷]1．(2015·高考天津卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2，5}B ．{3，6}C ．{2，5，6}D ．{2，3，5，6，8}解析：选A.由题意得∁U B ＝{2，5，8}，所以A ∩∁U B ＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．2．已知命题p ：∃x 0>0，log 2x 0＝1，则¬p 是( ) A ．∀x >0，log 2x ≠1 B ．∀x ≤0，log 2x ≠1 C ．∃x 0>0，log 2x 0≠1 D ．∃x 0≤0，log 2x 0≠1解析：选A.由p ：∃x 0>0，log 2x 0＝1推出¬p ：∀x >0，log 2x ≠1.3．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.4．(2015·济南市第一次模拟)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．¬p解析：选B.取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q正确，故¬p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.5．(2015·高考北京卷)设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以当a ·b ＝|a ||b |时，有cos 〈a ，b 〉＝1，即〈a ，b 〉＝0°，此时a ，b 同向，所以a ∥b .反过来，当a ∥b 时，若a ，b 反向，则〈a ，b 〉＝180°，a ·b ＝－|a ||b |；若a ，b 同向，则〈a ，b 〉＝0°，a ·b ＝|a ||b |，故“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．6．下列命题中，是真命题的是( )A ．存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＞ 2B ．存在x ∈(3，＋∞)，使2x ＋1≥x 2C ．存在x ∈R ，使x 2＝x －1D ．对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使sin x ＜x解析：选D.A 中，因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以A 错误；B 中，2x ＋1≥x 2的解集为[1－2，1＋2]，故B 错误；C 中，Δ＝(－1)2－4＝－3＜0，所以x 2＝x －1的解集为∅，故C 错误；D 正确，且有一般结论，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，均有sin x ＜x ＜tan x 成立，故选D.7．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1，0]B ．(－1，0)C ．(－∞，－1)∪[0，1)D ．(－∞，－1]∪(0，1)解析：选D.因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为 (A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]．故选D.8．(2015·南昌市调研测试卷)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析：选C.由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确．因为x 2－x －2＝0⇔x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确．因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题．由tan x ＝1推不出x ＝π4，而由x ＝π4可推出tan x ＝1，则“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确．9．设命题甲：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题乙：对数函数y ＝log (4－2a )x 在(0，＋∞)上单调递减，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝(2a )2－4×4<0，解得－2<a <2；因为y ＝log (4－2a )x 在(0，＋∞)上单调递减，所以0<4－2a <1，解得32<a <2，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B. 10．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32 C.(]－∞，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析：选C.因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②得a ≤－1. 11．命题“存在x 0∈R ，使得|x 0－1|－|x 0＋1|>3”的否定是________________________________________________________________________．解析：命题“存在x 0∈R ，使得|x 0－1|－|x 0＋1|>3”的否定是“对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤3”．答案：对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤312．已知集合A ＝{x ，x ＋y ，xy }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，则x －y 的值为________．解析：已知A ＝B ，即{x ，x ＋y ，xy }＝{0，|x |，y }，根据集合中元素互异性可知x ≠0且y ≠0，所以x ＋y ＝0，即y ＝－x .此时A ＝{0，x ，－x 2}＝B ＝{0，|x |，－x }，即－x 2＝－x .又由x ≠0知x ＝1，则y ＝－1，所以x －y ＝2.答案：213．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2，4]，则实数m ＝________.解析：由题意知A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]，因为A ∩B ＝[2，4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2，m ≥4，则m＝5.答案：5 14．若命题p ：曲线x 2a －2－y 26－a＝1为双曲线，命题q ：函数f (x )＝(4－a )x在R 上是增函数，且p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当p 为真命题时，(a －2)(6－a )>0，解之得2<a <6.当q 为真命题时，4－a >1，即a <3.由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，3≤a <6；当p 假q 真时，a ≤2. 因此实数a 的取值范围是(－∞，2]∪[3，6)．答案：(－∞，2]∪[3，6)15．(2015·济宁模拟)设集合A ＝{－1，0，1}，集合B ＝{0，1，2，3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是________．解析：因为A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，所以A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{－1，0，1，2，3}．因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0，1；因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1，0，1，2，3.答案：10[B 卷]1．设集合A ＝{－1，0，2}，集合B ＝{－x |x ∈A 且2－x ∉A }，则B ＝( ) A ．{1} B ．{－2} C ．{－1，－2} D ．{－1，0}解析：选A.当x ＝－1时，2－x ＝3∉A ，此时－x ＝1∈B ，当x ＝0时，2－0＝2∈A ，当x ＝2时，2－2＝0∈A ，所以B ＝{1}．2．(2015·洛阳市统考)已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2，4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的逆否命题是( )A ．若α≠π6，则sin α≠12B ．若α＝π6，则sin α≠12C ．若sin α≠12，则α≠π6D ．若sin α≠12，则α＝π6解析：选C.以否定的条件作结论，否定的结论作条件得出的命题为逆否命题，即“若α＝π6，则sin α＝12”的逆否命题是“若sin α≠12，则α≠π6”．4．设非空集合A ，B 满足A ⊆B ，则以下表述正确的是( ) A ．∃x 0∈A ，x 0∈B B ．∀x ∈A ，x ∈B C ．∃x 0∈B ，x 0∉A D ．∀x ∈B ，x ∈A解析：选B.根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B 正确．5．已知非空集合A ，B ，全集U ＝A ∪B ，集合M ＝A ∩B ，集合N ＝(∁U B )∪(∁U A )，则( ) A ．M ∪N ＝M B ．M ∩N ＝∅ C ．M ＝N D ．M ⊆N解析：选B.作出满足题意的Venn 图，如图所示，容易知道M ∩N ＝∅.6．(2015·唐山市第一次模拟)命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2，0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真解析：选A.因为x 3<x 2，所以x 2(x －1)<0，所以x <0或0<x <1，在这个范围内没有自然数，命题p 为假命题．因为f (x )的图象过点(2，0)，所以log a 1＝0，对∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q 为真命题．7．(2015·山东省考前质量检测)给定下列三个命题： p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∧p 3 C ．p 1∨(¬p 3) D ．(¬p 2)∧p 3解析：选D.对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(¬p 2)∧p 3为真命题，故选D.8．(2015·南昌市调研测试卷)下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6≠0，则x ≠2”的逆否命题是“若x ＝2，则x 2－5x ＋6＝0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件 D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D.由原命题与逆否命题的关系知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y 知C 正确；对于D ，命题p 或q 为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．9. 如图所示的程序框图，已知集合A ＝{x |x 是程序框图中输出的x 的值}，集合B ＝{y |y 是程序框图中输出的y 的值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当输入的x ＝－1时，(∁U A )∩B 等于( )A ．{－3，－1，5}B ．{－3，－1，5，7}C ．{－3，－1，7}D ．{－3，－1，7，9}解析：选D.根据程序框图所表示的算法，框图中输出的x 值依次为0，1，2，3，4，5，6；y 值依次为－3，－1，1，3，5，7，9.于是A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{－3，－1，1，3，5，7，9}，因此(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7，9}．10．已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－7]B ．[1，＋∞)C ．[－7，1]D ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)解析：选D.记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，Q ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.故选D.11．某个含有三个实数的集合既可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ，b a，0，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a2 015＋b2 015＝________.解析：由题意得a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以a2 015＋b2 015＝0.答案：012．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则¬p ：________________.解析：全称命题的否定为特称命题，¬p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点13．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以¬p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0恒成立．当a＝0时，x >－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4×12×a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，所以a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14．(2015·烟台模拟)函数f (x )＝x 2＋2x ，集合A ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，B ＝{(x ，y )|f (x )≤f (y )}，则由A ∩B 的元素构成的图形的面积是________．解析：集合A ＝{(x ，y )|x 2＋2x ＋y 2＋2y ≤2}，可得(x ＋1)2＋(y ＋1)2≤4，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋2x ≤y 2＋2y }，可得(x －y )·(x ＋y ＋2)≤0.在平面直角坐标系上画出A ，B 表示的图形可知A ∩B 的元素构成的图形的面积为2π.答案：2π15．设命题p ：已知非零向量a ，b ，“|a |＝|b |”是“(a ＋b )⊥(a －b )”的充要条件；命题q ：平面上M 为一动点，A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在角α，使MA →＝sin 2αMB →＋cos 2αMC →，下列命题①p ∧q ；②p ∨q ；③(¬p )∧q ；④(¬p )∨q .其中假命题的序号是________．(将所有假命题的序号都填上)解析：(a ＋b )⊥(a －b )⇔(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |，故p 是真命题．若A ，B ，C 三点共线，则存在x ，y ∈R ，使MA →＝xMB →＋yMC →(x ＋y ＝1)；若MA →＝sin 2αMB →＋cos 2αMC →，则A ，B ，C 三点共线．故q 是假命题．故p ∧q ，(¬p )∧q ，(¬p )∨q 为假命题．答案：①③④。

高考数学二轮总复习讲义课件专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数高考热点追踪(一)

(1)证明：函数 Fn(x)＝fn(x)－2 在12，1内有且仅有一个零点(记
为 xn)，且 xn＝12＋12xnn＋1； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn(x)，比较 fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明．
[解] (1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，则 Fn(1)＝n－1＞0，
[名师点评] 在利用有界性法求解函数值域时应该注意两个方面，一是准确分离有明确取值范围的式子，注意式子的等价变形，避免因式子的不等价变形带来值域的扩大或缩小；二是注意自变量的取值范围，注意区分基本初等函数在其定义域上的值域与其在某个区间上的值域，两者不能混淆．
四、导数法导数法就是先利用导数研究函数的单调性，再由单调性求函数值域的方法．
1＋a＋b＝4，
b＝9，
所以f(x)＝x3－6x2＋9x. 从而f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x)在区间(0，4]上的变化情况如下表：
x
(0，1) 1 (1，3) 3 (3，4) 4
f′(x)
＋
0
－
0
＋
＋
f(x)
↗
4
↘
0
↗
4
由此可知函数f(x)＝x3－6x2＋9x在区间(0，4]上的最大值为M ＝4，最小值为m＝0.于是M＋m＝4.
即11－－xxnn＋n 1－2＝0，故 xn＝12＋12xnn＋1. (2)由题设，gn(x)＝（n＋1）2（1＋xn）. 设 h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－（n＋1）2（1＋xn）， x＞0. 当 x＝1 时，fn(x)＝gn(x)．当 x≠1 时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－n（n＋21）xn－1.

高考数学(理科)二轮复习【专题1】集合与常用逻辑用语(含答案)

第1讲集合与常用逻辑用语考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．1．集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．4．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．5．基本逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．6．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川改编)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.(2)(2013·广东改编)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是________．①(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S；②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；③(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S；④(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1){－1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}．(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则M∩N＝________.(2)(2013·山东改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津改编)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件．(2)(2014·江西改编)下列叙述中正确的是________．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β.思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．答案(1)充要(2)④解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|.(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，①错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，②错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，③错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．(2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案(1)若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数(2)充分不必要解析(1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log3M>log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M>N；当M>N 时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义．故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件．热点三逻辑联结词、量词例3(1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，sin x<x，则下列命题正确的是________．①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p ∧(綈q )是真命题 ④命题p ∨(綈q )是假命题(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是_________________________________________________________________．思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围．答案 (1)③ (2)[1，＋∞)解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故③正确．(2)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②，得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是________．①p 真q 假 ②p 假q 真③“p ∧q ”为假 ④“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)③ (2)(1，＋∞)解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝________.答案{2}解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．2．(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q②綈p∧綈q③綈p∧q④p∧綈q答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故④为真命题．押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.2．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是________．答案 ②解析命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．3．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解由x ＋210－x≥0，得－2≤x <10，即p ：－2≤x <10；由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3，又m <0，所以实数m 的取值范围是－3≤m <0.(推荐时间：40分钟)1．(2014·陕西改编)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1)解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为_______________________________________________________________．答案 13解析若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________．答案 7解析因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的________条件．答案必要不充分解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件．5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是________．答案 ∀x ∈(0，π2)，使得cos x >x 解析原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”．6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的________条件．答案充要解析在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充要条件．7．(2013·湖北改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝________.答案 {x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是_________________________________________________________________．答案 2解析集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1消去y 得x 2＋x ＝0，由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有2个元素．9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案 ③解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.答案 (1，＋∞)解析由x (x －1)≥0可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1，则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________.答案－4解析由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.答案 1解析根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0,1)，因为(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.。

高考理数二轮总复习讲义课件(全国卷Ⅱ)专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第4讲

1 ＜2x＜4，解得－1＜x＜ 2. 2
栏目导引
第十二章
选考部分
x－1 a－2 2 2 (2)由定义知，不等式 ≥ 1 等价于 x － x － ( a － a－ a＋1 x
2)≥1，所以 x2－ x＋ 1≥ a2－ a 对任意实数 x 恒成立，
2 1 3 3 2 因为 x － x＋ 1＝ x－2 ＋ ≥ ， 4 4
栏目导引
第十二章
选考部分
考点一
不等式的解法
[命题角度] 1．一元二次不等式的解法．
2．与分段函数有关的不等式的解法．
3．由不等式恒成立求参数范围．
栏目导引
第十二章
选考部分
1 (1)已知一元二次不等式 f(x)≤ 0 的解集为x|2≤ x≤ 4，则
{x|－1<x<2} f(2x)<0 的解集为 _______________ ．
3 1 3 所以 a － a≤ ，解得－ ≤ a≤ ， 4 2 2
2
3 则实数 a 的最大值为 . 2
栏目导引
第十二章
选考部分
方法归纳
不等式的求解技巧
(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c＞ 0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
a>0， ① ax ＋ bx＋ c>0(a≠0)恒成立的条件是 Δ <0；
2
a<0， ② ax ＋ bx＋ c<0(a≠0)恒成立的条件是 Δ <0.
2
(2)快速判断 Ax＋ By＋ C≥ 0 表示的平面区域 ①当 C≠0 时，取原点 (0，0)，若能满足 Ax＋ By＋ C≥ 0，则不等式表示的平面区域就是含原点的区域，反之亦然； ②当 C＝0 时，取点(0， 1)或(1， 0)，判断方法同上．

推荐高考(押题)数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第四讲不等式教案理

第四讲不等式不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·深圳一模)已知a>b>0，c<0，下列不等关系中正确的是( )A．ac>bc B．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c ) D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确； B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c 1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 则A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c 2，则m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52.答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．已知x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，则可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋t t 2，故只要求解h (t)＝－1＋t t2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x的取值范围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a .(2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·长春模拟)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.答案：B2．(2017·高考天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．答案：B2．已知平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12 B.3 C.32D.34解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，故选D. 答案：D3．(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y 张桌子，利润为z 元，则得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.故选A.答案：A2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，则a ＝________.解析：如图所示，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．已知互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，则下列等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：若a >b >0，则a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ；又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.故选B. 答案：B2．已知b >a >0，a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，故选 C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C4．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.故选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，则实数m等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13. 故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12. 答案：C9．(2018·太原一模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，故选C.答案：C10．(2018·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·淄博模拟)已知点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，则OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，故选C.答案：C 二、填空题13．(2018·青岛模拟)若a >0，b >0，则(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋22.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·石家庄模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125.答案：－12516．已知a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。

2015届高考数学二轮专题知识突破课件：1-1-2(专题一集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式)

答案 (－1,3)
知识方法· 考点串联
连点串线成面构建知识体系
1．函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，简单地说，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
2．函数的单调性 (1)单调性定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]， fx1－fx2 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔ >0⇔f(x)在[a，b]上是 x1－x2 增函数； fx1－fx2 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔ <0⇔f(x)在[a，b]上是减函 x1－
(1)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象
的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系． (2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究． (3)掌握基本初等函数的图象(一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)，它们是图象变换的基础.
答案 A
5．(2014· 课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减， f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
解析因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x－1)>0⇔f(|x－ 1|)>f(2)，又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<2，解得－1<x<3.
(2)令t＝x＋1，则由已知函数定义域为[0,2 0≤t≤2 014.
014]，可知f(t)中
故函数f(x＋1)有意义，则有0≤x＋1≤2 014，解得－1≤x≤2 013，故函数f(x＋1)的定义域为[－1,2 013]．
－1≤x≤2 所以函数g(x)有意义的条件是 x－1≠0，

走向高考数学大二轮总复习(课件+课时训练+专题检测,通用版)：专题一集合与常用逻辑用语、函数与导数

专题一第三讲一、选择题1．(2014·江西文，4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x <0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1 D ．2[答案] A[解析] ∵f (－1)＝2－(－1)＝2， ∴f (f (－1))＝f (2)＝4a ＝1，∴a ＝14.2．(文)(2013·江西八校联考)已知实数a 、b ，则“2a >2b ”是“l og 2a >log 2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由y ＝2x 为增函数知，2a >2b ⇔a >b ；由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数知，log 2a >log 2b ⇔a >b >0，∴a >b ⇒/ a >b >0，但a >b >0⇒a >b ，故选B.(理)(2014·陕西文，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝(12)x[答案] B[解析] 本题考查了基本初等函数概念及幂的运算性质．只有B 选项中3x ＋y ＝3x ·3y 成立且f (x )＝3x 是增函数．3．(2014·哈三中二模)幂函数f (x )的图象经过点(－2，－18)，则满足f (x )＝27的x 的值是( )A.12B.13C.14D.15 [答案] B[解析] 设f (x )＝x α，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∴f (x )＝x －3，由f (x )＝27得，x －3＝27，∴x ＝13.4．(文)(2013·霍邱二中模拟)设a ＝log 954，b ＝log 953，c ＝log 545，则( ) A ．a <c log 953，∴a >b ，又c ＝log 545＝1＋log 59>2，a ＝log 954＝1＋log 96<2，∴c >a >b ，故选D.(理)(2013·新课标Ⅱ文，12)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) [答案] D[解析] 由题意得，a >x －(12)x (x >0)，令f (x )＝x －(12)x ，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )>f (0)＝－1，∴a >－1，故选D.5．(2013·重庆一中月考)下列函数图象中不正确的是( )[答案] D[解析] 由指数函数、对数函数的图象与性质知A 、B 正确，又C 是B 中函数图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，故C 正确．∵y ＝log 2|x |＝⎩⎨⎧log 2x (x >0)log 2(－x ) (x <0)是偶函数，其图象关于y 轴对称，故D 错误．6．(2013·南开中学月考)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集是( )A ．(0，12)B ．(2，＋∞)C ．(0，12)∪(2，＋∞)D ．(12，1)∪(2，＋∞)[答案] C[解析] 解法1：∵偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上为减函数，又f (13)＝0，∴f (－13)＝0，由f (log 18x )>0得，log 18x >13或log 18x <－13，∴0<x <12或x >2，故选C.解法2：∵f (x )为偶函数，∴f (log 18x )>0化为f (|llog 18x |)>0，∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (13)＝0，∴|log 18x |>13，∴|log 8x |>13，∴log 8x >13或log 8x <－13，∴x >2或0<x <12.二、填空题7．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |－1，x ≤1，2－2x，x >1，若f (x )＝1，则x ＝________. [答案] －2[解析] 当x ≤1时，由|x |－1＝1，得x ＝±2，故可得x ＝－2；当x >1时，由2－2x ＝1，得x ＝0，不适合题意．故x ＝－2.(理)(2013·大兴区模拟)已知函数f (x )＝在区间[－1，m ]上的最大值是1，则m 的取值范围是________．[答案] (－1,1][解析] ∵f (x )＝2－x －1＝(12)x －1在[－1,0]上为减函数，∴在[－1,0]上f (x )的最大值为f (－1)＝1，又f (x )＝x 12在[0，m ]上为增函数，∴在[0，m ]上f (x )的最大值为m ，∵f (x )在区间[－1，m ]上的最大值为1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≤1，或－1<m ≤0，∴－1<m ≤1.8．已知x ＋x －1＝3，则x 12－x －12＝________.[答案] ±1[解析] (x 12－x -12)2＝(x 12 )2－2x 12·x -12＋(x -12)2＝x ＋x －1－2＝3－2＝1，∴x 12－x -12＝±1. 9．计算(lg 14－lg25)÷100－12＝________.[答案] －20[解析] 原式＝lg0.01÷100－12＝－2×10＝－20.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，(x >0)，3－x ， (x ≤0).若f (m )>1，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 当m >0时，由f (m )>1得，log 3(m ＋1)>1， ∴m ＋1>3，∴m >2；当m ≤0时，由f (m )>1得，3－m >1. ∴－m >0，∴m <0. 综上知m <0或m >2.一、选择题11．(2013·天津和平区质检)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x 3＋x －2的零点分别为x 1、x 2、x 3，则( )A ．x 3<x 1<x 2B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 1<x 2<x 3[答案] D[解析] x 1＝－2x 1<0，若x >1，则g (x )＝x ＋ln x >1，∴0<x 2<1，x 3＝1，∴x 1<x 2<x 3.12．(文)(2013·榆林一中模拟)命题p ：函数f (x )＝a x －2(a >0且a ≠1)的图象恒过点(0，－2)；命题q ：函数f (x )＝lg|x |(x ≠0)有两个零点．则下列说法正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．¬p 为假命题 D ．¬q 为真命题 [答案] A[解析] ∵f (0)＝a 0－2＝－1，∴p 为假命题；令lg|x |＝0得，|x |＝1，∴x ＝±1，故q 为真命题，∴p∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为真，¬q 为假，故选A.(理)(2013·德阳市二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋12，x ≤0log 2x ，x >0(其中a ∈R )，函数g (x )＝f [f (x )]＋1.下列关于函数g (x )的零点个数的判断，正确的是( )A ．当a >0时，有4个零点；当a <0时，有2个零点，当a ＝0时，有无数个零点B ．当a >0时，有4个零点；当a <0时，有3个零点，当a ＝0时，有2个零点C ．当a >0时，有2个零点；当a ≤0时，有1个零点D ．当a ≠0时，有2个零点；当a ＝0时，有1个零点 [答案] A[解析] 取a ＝1，令x ＋12＝－1得x ＝－32，令log 2x ＝－1得，x ＝12.令x ＋12＝－32得x ＝－2，令log 2x ＝－32得x ＝2－32，令log 2x ＝12得x ＝2，令x ＋12＝12得x ＝0，由此可排除C 、D ；令a ＝0，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12 (x ≤0)，log 2x (x >0).由log 2x ＝－1得x ＝12，由f (x )＝12知，对任意x ≤0，有f (x )＝12，故a ＝0时，g (x )有无数个零点．13．(文)(2013·天津市六校联考)设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos2，则( ) A ．c 1，b ＝log 32∈(0,1)，c ＝cos2<0， ∴c c >bB ．a >b >cC ．c >b >aD ．b >c >a [答案] B[解析] ∵y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，34>23，∴(34)23>(23)23.又y ＝(23)x 在R 上为减函数，34>23，∴0<(23)34<(23)23，∴a >b >0，又y ＝log 23x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 23 43<log 231＝0，∴a >b >c .14．(2014·衡水中学模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)<x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)[答案] C[解析] 由条件式得(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0， ∴x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为减函数，又f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴不等式f (1－x )<0化为f (1－x )<f (0)，∴1－x >0，∴x <1，故选C.15．(2014·中原名校第二次联考)函数y ＝f (x ＋π2)为定义在R 上的偶函数，且当x ≥π2时，f (x )＝(12)x＋sin x ，则下列选项正确的是( )A ．f (3)<f (1)<f (2)B ．f (2)<f (1)<f (3)C ．f (2)<f (3)<f (1)D ．f (3)<f (2)<f (1) [答案] A[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，∴f (1)＝f (π－1)，当π2≤x ≤3π2时，f ′(x )＝－(12)x ·ln2＋cos x <0，∴f (x )在[π2，3π2]上单调递减，∵π2<2<π－1<3<3π2，∴f (2)>f (π－1)>f (3)， ∴f (2)>f (1)>f (3)，故选A.16．(2013·新课标Ⅱ文，11)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 [答案] C[解析] 本题考查函数的图象与性质及导数的应用．由题意得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，该函数图象开口向上，若x 0为极小值点，如图，f ′(x )的图象应为：故f (x )在区间(－∞，x 0)不单调递减，C 错，故选C. 二、填空题17．(2013·吉林省吉大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] 函数f (x )的图象如图所示：当0<m <1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象有三个交点．三、解答题18．(文)已知函数f (x )＝1x ＋a ln x (a ≠0，a ∈R )．(1)若a ＝1，求实数f (x )的极值和单调区间；(2)若a <0且在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)因为f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，当a ＝1时，f ′(x )＝x －1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)因为f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，其充要条件是f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.因为a <0，所以x ＝1a <0，f ′(x )<0对x ∈(0，＋∞)成立，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a lne ＝1e ＋a ，由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈(－∞，－1e)． (理)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a 、b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．[解析] (1)设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(a ·2x 1＋b ·3x 1)－(a ·2x 2＋b ·3x 2)＝a ·(2x 1－2x 2)＋b ·(3x 1－3x 2)，由x 1<x 2得，2x 1－2x 2<0,3x 1－3x 2<0，因为a ·b >0，当a >0，b >0时，f (x 1)－f (x 2)<0，f (x )为增函数；当a <0，b <0时，f (x 1)－f (x 2)>0，f (x )为减函数．(2)由f (x ＋1)>f (x )得，a ·2x ＋1＋b ·3x ＋1>a ·2x ＋b ·3x ，即a ·2x >－2b ·3x ，因为a ·b <0，所以a 、b 异号．当a >0，b <0时，－a 2b >(32)x ，得x <log 32 (－a 2b )；当a <0，b >0时，－a 2b <(32)x ，得x >log 32 (－a2b )．。

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- 1 - 【走向高考】2015届高中数学二轮复习专题1 集合与常用逻辑用语、函数与导数（第4讲）课时作业新人教A版

一、选择题 1．(文)函数f(x)＝－1x＋log2x的一个零点落在区间( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) [答案] B [解析] ∵f(1)·f(2)<0，∴选B. (理)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( ) A．(1.4,2) B．(1.1,4)

C．(1，32) D．(32，2) [答案] D [解析] 令f(x)＝x3－2x－1，则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(32)＝－58<0，∴选D.

2．若x0是方程12x＝x13的解，则x0属于区间( ) A.23，1 B.12，23 C.13，12 D.0，13 [答案] C [解析] 令f(x)＝12x－x13，f(1)＝12－1＝－12<0，

f12＝1212－1213<0， f13＝1213－1313>0， f23＝1223－2313＝1413－2313<0， ∴f(x)在区间13，12内有零点． 3．利民工厂某产品的年产量在150t至250t之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的关系可近似地表示为y＝x210－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( ) A．240 B．200 C．180 D．160 [答案] B - 2 -

[解析] 依题意得每吨的成本是yx＝x10＋4000x－30，则yx≥2x10·4000x－30＝10，当且仅当x10＝4000x，即x＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t，选B.

4．(2014·山东理，8)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )

A．(0，12) B．(12，1) C．(1,2) D．(2，＋∞) [答案] B

[解析] 作出函数y＝f(x)的图象如图，当y＝kx在l1位置时，过A(2,1)，∴k＝12，在l2位置时

与l3平行，k＝1，∴12

5．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知a、b∈[－1,1]，则函数f(x)＝ax＋b在区间(1,2)上存在一个零点的概率为( )

A.12 B.14

C.18 D.116 [答案] C [解析] 如图，由图形可知点(a，b)所在区域的面积S＝4，满足函数f(x)＝ax＋b在区间(1,2)上

存在一个零点的点(a，b)所在区域面积S′＝12×12×1×2＝12，故所求概率P＝124＝18.

6．(2014·新课标Ⅰ理，11)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为( ) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) - 3 -

C．(－∞，－2) D．(－∞，－1) [答案] C

[解析] f ′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，若a>0，则f(x)在(－∞，0)和(2a，＋∞)上单调递增，在(0，2a)上单调递减，又f(0)＝1，∴f(x)不可能存在唯一零点；由选项知a＝0不必考虑；a<0时，f(x)

在(－∞，2a)和(0，＋∞)上单调递减，在(2a，0)上单调递增，欲使f(x)落在唯一零点x0>0，应有极小值f(2a)>0，即a·(2a)3－3·(2a)2＋1>0，∴a<－2. [点评] 可以用验证法求解． 7．(2013·郑州市质检)已知函数f(x)＝12x－cosx，则方程f(x)＝π4所有根的和为( )

A．0 B.π4 C.π2 D.3π2 [答案] C [解析] 依题意，方程f(x)＝π4，即cosx＝12x－π4，在同一坐标系下画出函数y＝cosx与y＝12x－π4的大致图象，注意到当x≥3π2时，y＝cosx≤1，y＝12x－π4≥π2>1，即此时，y＝cosx与y＝12x－π4的

图象必无交点；当x<－π2时，y＝cosx≥－1.y＝12x－π4≤－π2<－1，即此时y＝cosx与y＝12x－π4的图象必无交点，结合图象可知，它们的图象只有唯一公共点(π2，0)，即方程cosx＝12x－π4有唯一解x＝π2，因此方程f(x)＝π4所有的实根和等于π2，故选C.

二、填空题 8．(2013·济宁模拟)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x

∈(0，32)时，f(x)＝sinπx，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是________． [答案] 7 - 4 -

[解析] 易知在(－32，32)内，有f(－1)＝0，f(0)＝0，f(1)＝0，即f(x)在一个周期内有3个零点，又区间[0,6]包含f(x)的2个周期，而两端点都是f(x)的零点，故f(x)在[0,6]内有7个零点． 9．已知函数f(x)＝(15)x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0“>”、“<”、“≥”、“≤”)． [答案] >

[解析] 解法1：∵f(x)＝(15)x－log3x在(0，＋∞)上为减函数，且0∴f(x1)>f(x0)．解法2：如图知，f(x1)>f(x0)．

10．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)．若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________. [答案] 1 [解析] 由函数图象知，1

一、选择题 11．(文)(2013·四川内江市二模)若定义域为R的函数f(x)的周期为2，当x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与y＝log3|x|的图象的交点个数为( ) A．8 B．6 C．4 D．2 [答案] C [解析] 在同一坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝log3|x|的图象可见，当x>0时，y＝f(x)与y＝log3x的图象有2个交点，又y＝log3|x|为偶函数，∴两函数图象交点有4个．

(理)(2014·银川市一中二模)现有四个函数：①y＝x·sinx；②y＝x·cosx；③y＝x·|cosx|；④y＝x·2x的图象(部分)如下： - 5 -

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②① [答案] A [解析] ①y＝xsinx为偶函数，对应第一个图；②y＝xcosx为奇函数，且x>0时，y可正可负，对应第三个图；③y＝x|cosx|为奇函数，且x>0时，y>0，对应第四个图；④y＝x·2x为增函数，对应第二个图，故选A. 12．(2014·百校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)为奇函数，f(0)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝log2x，则在(8,10)内满足方程f(x)＋1＝f(1)的实数x为( )

A.192 B．9

C.172 D.334 [答案] C [解析] 由条件知f(－x)＝f(x) ①，f(－x＋1)＝－f(x＋1) ②，在②式中给x赋值x＋1得f(－x)＝－f(x＋2)，将①代入得f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.在②中令x＝0得f(1)＝0，∴方程f(x)＋1＝f(1)，化为f(x)＝－1，由于f(x)的图象关于点(1,0)对称，当0

时，f(x)＝log2x<0，∴当10，令f(x)＝－1，(0

＝f(12＋8)＝f(12)＝－1，故选C.

13．若函数f(x)＝ x＋3x， x≤013x3－4x＋a， x>0在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是( ) A．a>163 B．a≥163

C．a<163 D．a≤163 [答案] A [解析] 当x≤0时，函数y＝－x与函数y＝3x的图象有一个交点，所以函数y＝f(x)有一个零点；而函数f(x)在其定义域上只有一个零点，所以当x>0时，f(x)没有零点．当x>0时，f ′(x)＝x2－4，令f ′(x)＝0得x＝2，所以f(x)在(0,2)上递减，

在(2，＋∞)上递增，因此f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝a－163>0，解得a>163.故选A. 14．(2013·天津南开中学月考)已知定义域为(－1,1]的函数f(x)，对任意x∈(－1,0]，f(x＋1)＝- 6 -

11＋fx，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数

m的取值范围是( ) A．[0，12) B．[12，＋∞)

C．[0，13) D．(0，12] [答案] D [解析] ∵x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，又x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴f(x＋1)＝x＋1，又f(x＋1)＝

11＋fx，∴x∈(－1,0]时，f(x)＝1x＋1－1，作出函数f(x)＝ x， x∈[0，1]，1x＋1－1， x∈－1，0.的

图象，由于y＝m(x＋1)过定点(－1,0)，∴要使y＝m(x＋1)与y＝f(x)的图象有两个交点，应有015．(文)(2013·黄浦区模拟)如果函数y＝|x|－2的图象与曲线C：x2＋λy2＝4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( ) A．[－1,1) B．{－1,0} C．(－∞，－1]∪[0,1) D．[－1,0]∪(1，＋∞) [答案] A

[解析] y＝ x－2 x≥0，－x－2 x<0.与圆x2＋y2＝4有三个不同公共点，当0点在y轴上的椭圆，满足题设要求，当λ>1时，不满足；当λ<0时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，其渐近线斜率k＝－1λ，由题意应有－1λ≥1，∴－1≤λ<0，综上知－1≤λ<1.

(理)(2013·绍兴市模拟)已知函数f(x)＝ |log2x|，04.若方程f(x)＝t(t∈R)有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4，则x1x2x3x4的取值范围为( ) A．(30,34) B．(30,36) C．(32,34) D．(32,36) [答案] C [解析] 设四个实数根满足x1＝t得x－6＝±2＋t，∴x＝6±2＋t，∴x3＝6－2＋t，x4＝6＋2＋t，∴x1x2x3x4＝2－t·2t·[6－2＋t][6＋2＋t]＝36－(2＋t)＝34－t∈(32,34)，故选C. 二、填空题 16．(2014·天津理，14)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________． [答案] (0,1)∪(9，＋∞) [解析] 解法一：显然有a>0， (ⅰ)当y＝－a(x－1)与y＝－x2－3x相切时，a＝1，此时f(x)－a|x－1|＝0恰有3个互异的实数根．

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