13.1 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
人教版初二数学上册探究线段的垂直平分线的性质
§ 13.1.2线段的垂直平分线的性质教学目标1. 了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质.2. 探究线段垂直平分线的性质.3. 经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察. 重点难点；重点：1. 轴对称的性质.2. 线段垂直平分线的性质.难点：体验轴对称的特征.教学过程一、创设情境，弓I入新课上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽.那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？今天继续来研究轴对称的性质.二、导入新课：观看投影并思考.如图，△ ABC和厶A ' B' C'关于直线MN对称，点A '、B '、C '分别是点A、、C的对称点，线段AA '、BB '、CC '与直线MN有什么关系？图中A、A '是对称点，AA '与MN垂直，BB '和CC '也与MN垂直.AA '、BB '和CC '与MN除了垂直以外还有什么关系吗？△ ABC与厶A' B ' C '关于直线MN对称，点A'、B '、C '分别是点A、B、C的对称点，设AA '交对称轴MN于点卩，将厶ABC和厶A 'B 'C '沿MN对折后，点A与A'重合，于是有AP=A ' P,Z MPA= / MPA ' =90 °.所以AA '、BB '和CC '与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA '、BB ' 和CC '的中点.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段. 我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系.我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.下面我们来探究线段垂直平分线的性质.［探究1］如下图.木条L 与AB 钉在一起，L 垂直平分AB , P i , P 2, P 3,… 是L 上的点， 分别量一量点 P i , P 2, P 3,…到A 与B 的 距离，你有什么发现？1.用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB ，过AB 中点作AB 的垂直平分线L ,在L 上取P i 、P 2、P 3…，连结AP i 、AP 2、BP i 、BP 2、CP i 、CP 2…2. 作好图后，用直尺量出 AP i 、AP 2、BP i 、BP 2、CP i 、CP 2… 讨论发现什么样的规律.与B 不可能重合，也就是/ APP i ^Z BPP i ,即卩L 与AB 不垂直.2. 如上图乙，若 AP i =BP i ,那么沿L 将图形折叠后，A 与B 恰好重合，就有Z APP i = Z BPP i ,即卩L与AB 重合.当 AP 2=BP 2时，亦然.探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.也就是说在［探究2］图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂 直.［师］上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分 线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 证明.证法一：利用判定两个三角形全等. 如下图，在△ APC 和厶BPC 中，即 AP i =BP i, AP 2=BP 2 ,…PC PC PCA PCB Rt AC BC△ APC ◎△ BPC PA=PB. 证法二：利用轴对称性质.由于点C 是线段AB 的中点，将线段 AB 沿直线L 对折，线段PA 与PB 重合的，因此它们也是相等的.带着探究I 的结论我们来看下面的问题.［探究2］如右图•用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓” ，“箭 通 么？活动：I •用平面图形将上述问题进行转化•作线段 取其中点P ,过P 作L ,在L 上取点P i 、BP i 、BP 2.会有以下两种可能.2.讨论：要使L 与AB 垂直，AP i 、足什么条件？探究过程：1.如上图甲，若 AP i M BP,那么沿 L 将图形折叠后，A是AP 2、BP i 、BP 2应满AB ,P 2,连结 AP i 、AP 2、都在它的垂直平分线上. 所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.三、随堂练习：课本P62练习1、2.四、课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题.五、课后作业：课本P65习题13. 1第3、4、9题.板书设计。
线段的垂直平分线的性质 初中数学原创课件
求证：PA=PB=PC. 分析：
A
M
M′
点P在线段AB的垂 点P在线段BC的
直平分线上
垂直平分线上
P
PA=PB
PB=PC
B
C N N′
PA=PB=PC
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.
求证：PA=PB=PC. 证明：∵MN垂直平分AB
A
M
M′
∴PA=PB.
P
同理 PB=PC.
∴PA=PB=PC.
B
三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到
C N N′
三角形三个顶点的距离相等
例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分 别表示位于公路AB两侧的村庄，
(1)当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行驶到什么位置时距
村庄N最近？
M
A
P1
P2 N B
答：如图，当汽车行驶到P1时，距村庄M最近，当汽车行驶到P2时， 距村庄N最近.
(1)点P 在线段AB上.
点P是AB的中点，此时点P在线段AB的 垂直平分线上.
C
P
B
D
如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的
垂直平分线上呢？ 点P的位置有两种可能：
(2)点P 在线段AB外.
A
M
B
P
设AB 中点为M，连接PM. 由SSS可知△PMA≌△PMB ∠AMP=∠BMP=90° PM⊥AB PM是线段AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上.
作线段的垂直平分线.
已知：线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线.
作法： (1)分别以点A，B为圆心， 1
以大于 2 AB的长为半径作弧，两 弧分别交于C，D两点；
《线段的垂直平分线的性质与判定》教学设计
中小学教师教学设计大赛参赛稿件人教版八年级上册线段的垂直平分线的性质与判定教学设计教材分析线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的做法，会做轴对称图形的对称轴。
线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明,方便计算。
在本课的学习中,应注重联系线段的垂直平分线性质,提高综合运用知识的能力。
学情分析由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。
教学目标①探索掌握线段的垂直平分线性质及它们的应用。
②正确理解两条性质的关系,准确选择定理与方法,提高解决问题的能力。
③揭示数学与现实生活中实际问题的联系，从而激发学生学习数学的积极性。
教学重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学准备：课件、多媒体设备、三角板、圆规课时安排：1课时教法与学法：授课法、讨论法教学过程：一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA ＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt △PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C.(如下图)求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF，∴C，F都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题．2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO ＝BO，为什么？(2)如左下图，△ABC中，AC＝16 cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE 的周长为26 cm.求BC的长．(3)有A，B，C三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．板书设计线段的垂直平分线的性质与判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．用符号语言表示为：∵ PC垂直平分AB(CA=CB,PC ⊥AB), ∴ PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上用符号语言表示为：∵PA=PB ∴ P在线段AB的垂直平分线上作图：教学反思：本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．。
13.1.2__线段的垂直平分线性质
平分线的性质
M P
定理:线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点距离相等.
B
A N
C
提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一.
几何语言：
∵AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点(已知)， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点距离相等).
P A B
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
12.3 角的平分线
D A P O E
13.1 线段的垂直平分线
M P A N 定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等. 逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等的所有点的集合. B
你能用其 他方法证线的判定：
定理：与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上． P ∵ ∴
用数学符号表示为： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上． A
B
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线 经过某一点)的根据之一.
归纳：
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相 等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距 离相等的点？ P 这些点能组成什么几何图形？ 线段AB 的垂直平分线l 上的 点与A，B 的距离都相等；反过来， 与A，B 的距离相等的点都在直线l A 上，所以直线l 可以看成与两点A、 B 的距离相等的所有点的集合．
C
B
课堂练习
13.1垂直平分线的判定
B
线段垂直平分线的判定:
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上． ∵ ∴
用数学符号表示为： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上． 垂直平分线上的点 性质 互 判定 逆 PA =PB A B
P
C
课堂练习1
如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的 垂直平分线吗？ 1.个人独立完成； A 2.3人小组交流讨论；(时间:2分钟) 3.代表汇报； 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上， B ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 平分线．
八年级
上册
13.1 轴对称 （第3课时）
• 学习目标： 1．理解线段垂直平分线的判定． 2．能运用线段垂直平分线的判定解决实际问 题． • 学习重点： 线段垂直平分线的性质．
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等． 用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB．
A
P O
B
2.如图，在⊿ABC中，边AB,BC的垂直平分 线相交于点P. （1）求证:PA=PB=PC. （2） 点P是否也在边AC 的垂直平分线上？由此你还能 得出什么结论？
要求：小组合作学习，用大卡 进行展示解题过程 ；（时间：8分钟）
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
布置作业
教科书习题13.1第6、9题．
M
D C
尺规作图
如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线 的垂线？
13.1.2线段的垂直平分线的性质(1)
课题: 13.1.2 线段的垂直平分线的性质(1) 课标要求: 掌握垂直平分线的性质和判定 课时:80-4- 教学目标 知识与技能 能够运用学过的方法证明线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定 过程与方法 经历探索、猜测、证明的过程、进一步发展推理证明意识和能力 情感态度与价值观 能够运用线段垂直平分线的知识解决问题，在问题解决的过程中，养成探究意识、提高学习兴趣，体会归纳、转化、特殊到一般等数学思想方法。 教学重点 能够证明线段垂直平分线的性质、判定并能简单应用 教学难点 线段垂直平分线的性质与判定在应用上的区别及各自的作用 教学方法：操作，归纳 教学用具：课件 教学过程： 一、预习引入 1.线段是轴对称图形吗？ 你能找出线段的对称轴吗？ 线段的对称轴与这条线段有什么关系？ 2、 经过线段________并且________于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 二、课堂探索 探究一、线段垂直平分线的性质 请看教材图13.1-6，直线l垂直平分线段AB，P、P1、P2、...是l上的点，分别量一量点P、P1、P2、...到点A与点B的距离，你有什么发现？ 如果把线段AB沿直线l对折，能验证你的发现吗？你能用语言归纳你的发现吗？
师生根据文字写出已知求证，尝试证明： 已知：如图，MN⊥AB于C,AC=BC，点P是直线MN上任意一点 求证：PA=PB
几何语言：（如上图） ∵ 点P在直线MN上，直线MN垂直平分线段AB ∴ _________=_________ 线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离________ 练习：1、如图1，EF是△ABC中BC边上的垂直平分线，若FC=5，则BF=_______ 2、如图2， AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， （1）、如果△EBC的周长是24cm，那么BC=__________
A B M N P C （2）、如果BC=8cm，那么△EBC的周长是__________ 探究二、线段垂直平分线的判定： 如图，P、P1、P2、...是L上的点，且P1、P2到线段AB两端点的距离相等，你发现直线L与线段AB有什么位置关系？ 你能证明你的结论吗？ （写出已知求证，尝试证明） 已知：线段AB，点P1是平面内一点且P1A=P1B 求证：P1点在AB的垂直平分线上．
线段垂直平分线的性质及判定定理
整理课件
驶向胜利 的彼岸
12
M P
A
B
N
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （和一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）
整理课件
13
1、如图PA=PB，则直线MN 是线段AB的垂直平分线。
M
P
A
B
N
整理课件
14
2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是
线段BC的垂直平分线吗？2 Nhomakorabea动起来！
已知直线l垂直平分线段AB，垂足为C；在l上 任取一点P，连结PA、PB；
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
命题：线段垂直平分线
上的点与这条线段两个端点 A
的距离相等。
●P1
B
C
整理课件
3
猜测（命题）1：线段垂直平分线上的点与 这条线段两个端点的距离相等。
17
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等。
定理2 到一个角的两边的距离相等 逆定理 和一条线段两个端点距离相
的点，在这个角的平分线上。
等的点，在这条线段的垂直平分线上。
角的平分线是到角的两边距离 线段的垂直平分线可以看作是和线段
解：∵ DE是AB边的中垂线 （已知），
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点 D
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
要点感知1 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
_____.
预习练习1-1 点P是△ABC的边AB的垂直平分线上的点,则一定有
( )
A.PA＝PC B.PA＝PB C.PB＝BC D.点P到∠ACB两边的距离相等
要点感知2 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
.
预习练习2-1 如图,AC＝AD,BC＝BD,则有
( )
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
知识点1 线段垂直平分线的性质
1.
如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为
( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.
如图所示,AB是CD的垂直平分线,若AC=2.3 cm,BD=1.6 cm,则四边形ACBD的周长是
( )
A.3. 9 cm B.7.8 cm C.4 cm D.4.6 cm
3.
如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4 cm，△ABD的周长为14 cm，则△ABC的周长为
( )
A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm
4.
如图所示,在△ABC中,BC＝8 cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于18 cm,则AC的
长等于
( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
5.
如图,AD⊥BC,BD=CD,点C在AE的垂直平分线上.若AB=5 cm,BD=3 cm,求BE的长
.
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知识点2 线段垂直平分线的判定
6.
已知：如图，直线PO与AB交于O点，PA=PB.则下列结论中正确的是
()
A.AO=BO B.PO⊥AB C.PO是AB的垂直平分线 D.P点在AB的垂直平分线上
7.
如图所示,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上的一点,BE是否与CE相等？试说明理由
.
知识点3 经过直线外一点作已知直线的垂线
8.
如图，已知钝角△ABC，其中∠A是钝角，求作AC边上的高
BH.
9.
(临沂中考)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
10
.如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB∶∠CAE=3∶1，则∠C等于( )
A.28° B.25° C.22.5° D.20°
11.
已知：如图，AC是线段BD的垂直平分线，E是AC上的一点，则图中全等的三角形共有
( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
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12.
在锐角△ABC内一点P，满足PA=PB=PC，则点P是
△ABC( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
13.
如图所示，直线MN是线段AB的对称轴，点C在MN外，CA与MN相交于点D，如果CA+CB=8 cm，那么
△BCD
的周长等于
_____cm.
14
.如图,△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P,且AP=5,那么PC=_____.
15
.如图所示,已知AB比AC长2 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14 cm,求AB和AC
的长
.
16.
如图，AD是△ABC的高，E为AD上的一点，且BE=CE，求证：直线AE是BC的垂直平分线
.
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挑战自我
17
.如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC
交AC于点G.求证：
(1)BF=CG；
(2)AF=21(AB+AC).
参考答案
课前预习
要点感知1 相等
预习练习
1-1
B
预习练习
2-1
A
当堂训练
1.B 2.B 3.B 4.
C
5.
∵AD⊥BC,BD=CD,∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∵AB=5 cm,BD=3 cm,∴CE=5 cm,CD=3
cm.∴BE=BD+DC+CE=11 cm. 6.D
7
.相等.连接BC,∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上.同理,D点也在线段BC的垂直平分线上.∵
两点确定一
条直线,∴AD是线段BC的垂直平分线.∵E是AD延长线上的一点,∴BE=CE. 8.图略
.
课后作业
9.C 10.A 11.D 12.D 13.8 14
.5
15
.∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.∵△ACD的周长是14 cm,AC+AD+DC=14 cm,∴AC+AD+BD=14 cm,即AC+AB=14 cm.
又
∵AB-AC=2 cm,∴AB=8 cm,AC=6 cm.
16
.证明：在Rt△BDE和Rt△CDE中，ED=ED,
BE=CE,∴Rt△BDE≌Rt△CDE.∴∠BED=∠CED.∴∠AEB=∠AEC.在△ABE和△ACE中，AE=AE,
∠AEB=∠AEC,
BE=CE,∴△ABE≌△ACE.∴AB=AC.∴点A在BC的垂直平分线上.又∵BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上，∴
直线AE是BC的垂直平分线
.
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17.
(1)证明：连接BE、CE.∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG.∵DE垂直平分BC，∴EB=EC.在Rt△EFB
和Rt△EGC中，EF=EG，
EB=EC，∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).∴BF=CG.(2)证明：∵BF=CG，∴AB+AC=AB+BF+AG=AF+AG.
又易证
Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)，∴AF=AG.∴AF=21(AB+AC).