北京四中高中数学-f03等比数列及其前n项和
高考数学《等比数列及其前n项和》PPT课堂考点讲解
(1)定义法：若
an＋1 an
＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数
列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a
2 n＋1
＝an·an＋
2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
12
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利 用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目 标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解方程中注意 合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
33
(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的， 即{an}为等差数列⇒{aan}(a＞0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等 比数列⇒{logaan}(a＞0且a≠1)为等差数列．
18
于是 an＝1－1 λλ－λ 1n-1. (2)由(1)得 Sn＝1－λ－λ 1n. 由 S5＝3321得 1－λ－λ 15＝3312，即λ－λ 15＝312. 解得 λ＝－1.
19
考点3 等比数列性质的应用(多维探究) 应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积 或某项的平方，这是最常用的性质．
34
1 (1)已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3， 2 a5，a4
a3＋a5 成等差数列，则a4＋a6的值是( )
5－1 A. 2
5＋1 B. 2
3－ 5 C. 2
3＋ 5 D. 2
35
(2)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
第28讲 等比数列及其前n项和(讲)解析版
第28讲 等比数列及其前n 项和【学科素养】1.与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养．2.结合具体问题的计算，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，凸显数学运算的核心素养．3.与实际应用问题相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养． 【课标解读】1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系． 【备考策略】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的重点．预测2022年高考将会以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前n 项和为考查重点，也可能将等比数列的通项、前n 项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查．题型以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型.【核心知识】知识点一 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．知识点二 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .知识点三 等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m ． (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ．【必会结论】等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .(6)等比数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列；满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．【高频考点】高频考点一 等比数列基本量的运算【例1】(1)(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n ＝( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1(2)(2020·全国卷Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n .若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】(1)B (2)C【解析】(1)法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12，a 6－a 4＝a 1q 5－a 1q 3＝24解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B.法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4(1－q 2)a 3(1－q 2)＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B.(2)令m ＝1，则由a m ＋n ＝a m a n ，得a n ＋1＝a 1a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n，所以a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝a k (a 1＋a 2＋…＋a 10)＝2k×2×(1－210)1－2＝2k ＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k ＝4，故选C.【举一反三】(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，，则S 5=____________。
高一数学等比数列的前n项和知识点分析
高一数学等比数列的前n项和知识点分析高中数学的等比数列是考试的重点的内容，学生在学习的是会要多花费一些的功夫，下面是店铺给大家带来的有关于高一数学关于等比数列的知识点的介绍，希望能够帮助到大家。
高一数学等比数列的前n项和知识点一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1).两个防范(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列.(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.高一数学等比中项必考知识点1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题多以基础题为主，解答题多以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题，难度较大。
(1)函数的思想方法数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。
高中数学等比数列的前n项和性质及应用课件
思路探究：(1 )由 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 成等比数列求解．
S偶
(2 )利用
S奇
＝q ，及 S 2n＝S
奇＋S
偶求解．
合作探究
思
而
学
(1 )A (2)24 [(1)∵{a n}为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 也为等比数列， 即 7 ，S 4－7 ,9 1 －S 4 成等比数列， ∴(S 4－7 )2＝7 (9 1 －S 4)，解得 S 4＝2 8 或 S 4＝－2 1 . ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1 ＋q 2)＝S 2(1 ＋q 2)> S 2，∴S 4＝2 8 .
2
2
128
S偶
1
[解]
设等比数列为{a n }，项数为
2n ，一个项数为
2n
的等比数列中， ＝q .则 S奇
q＝ ， 2
3
3
又
an
和
a n ＋1
为中间两项，则
a
n
＋a
n
＋1
＝ 1
2
8
，即
a1q
n －1＋a 1q
n＝ ， 128
1
1
又
a
1
＝ 2
，q
＝ 2
，
1 ∴
2
·21
n
－1
1 ＋
2
·21
n
＝ 1
高中数学
数列
等比数列
等比数列的前n项 和性质及应用
学习目标
学
而
思
1．等比数列前 n 项和的变式
a 1 1 －q n
2021高三数学北师大版(理)：等比数列及其前n项和含解析
即病毒共复制了13次．∴所需时间为13×3＝39(秒)．]考点1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，a n，q，n，S n，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．抓住基本量a 1, q ，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优，如T 3，方法二避免了讨论．考点2 等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若an ＋1an ＝q (q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列；(2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列；(3)通项公式法：若a n ＝Aq n (A ，q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列．设数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝53，a n ＋2＝53a n ＋1－23a n ，令b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)(20xx·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．[解] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋ b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.考点3 等比数列性质的应用 等比数列性质的应用可以分为3类 (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．。
北京四中高三数学高考总复习等差、等比数列前n项和巩固练习
【巩固练习】1．在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ,则20191817a a a a +++的值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．172．在等比数列{}n a 中,若62=a ,且0122345=+--a a a ,则n a 为（ ）A ．6B ．2)1(6--⋅nC ．226-⋅nD ．6或2)1(6--⋅n 或226-⋅n3．在等差数列{}n a 中,2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ,则1a 为（ ）A ．22.5-B ．21.5-C ．20.5-D ．20-4．已知等差数列n a n 的前}{项和为m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-等于（ ）A ．38B ．20C ．10D ．95．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ,则该数列的前（ ）项之和等于9。
A ．98 B ．99 C ．96 D ．976．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） A ．23 B ．2131n n -- C ．2131n n ++ D ．2134n n -+ 7. 已知数列{}n a 中,11a =-,11n n n n a a a a ++⋅=-,则数列通项n a =___________。
8．已知数列{}n a 的前n 项和12++=n n S n ,则12111098a a a a a ++++=_____________。
9．三个不同的实数c b a ,,成等差数列,且b c a ,,成等比数列,则::a b c =_________。
10．在等差数列{}n a 中,公差21=d ,前100项的和45100=S ,则99531...a a a a ++++=_____________。
高三数学总复习课件-等比数列及其前n项和
(3)等比数列{an}的单调性:
①满足 aq110,或 a01q0, 1 时，{an}是_递__增__数列；
②满足
a01q0,
或 1
qa110,
时，{an}是_递__减__数列；
③当 aq110, 时，{an}为_常__数列；
④当q<0时，{an}为摆动数列.
A. 3
B. 2
C. 2
D. 2 或 2
2
3
3
33
【解析】选C.方法一：由 又a1<0，因此 q 2 .
a1q 18, a1q3 8,
解得
a1 27,
q
2 3
,
或
a1 27,
q
2 3
.
3
方法二：由已知得 a4 a1q3 q2 8 4，即 q2 4 ,
即a1q2=9a1,解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得
a1
1. 9
(2)①设{an}的公比为q,依题意得 解得 aq131.,
aபைடு நூலகம்q 3,
a1q
4
81,
因此，an=3n-1.
②因为bn=log3an=n-1,
所以数列{bn}为等差数列，其前n项和
Sn
n(b1 2
【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个 数列是等比数列.( ) (2)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( ) (3)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( )
(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数 列.( )
第03讲 等比数列及其前n项和 (精讲)(学生版)
第03讲 等比数列及其前n项和 (精讲） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 题型一：等比数列基本量的运算 题型二：等比数列的判断与证明 题型三：等比数列的性质及其综合应用 角度1：等比数列的性质 角度2：等比数列与等差数列的综合问题 第四部分：高考真题感悟
1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(0q)表示．数学语言表达：1(2)nnaqna，q
为常数，0q. (2)等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔2Gab.
2.等比数列的有关公式 (1)若等比数列{}na的首项为1a，公比是q，则其通项公式为11nnaaq；可推广为nmnmaaq.
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆 (2)等比数列的前n项和公式：当1q时，1nSna；当1q时，11(1)11nnnaaqaqSqq. 3.等比数列的性质 设数列{}na是等比数列，nS是其前n项和． (1)若mnpq，则mnpqaaaa，其中,,,mnpqN.特别地，若2mnp，则2mnpaaa，其中,,mnpN.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ka，kma，2kma，…仍是等比数列，公比为mq
(,kmN)．
(3)若数列{}na，{}nb是两个项数相同的等比数列，则数列{}nba，{}nnpaqb和{}nnpaqb(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x、8成等比数列，则x的值为（ ） A．4 B．4 C．4 D．5 2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等比数列及其前n项和
北京四中 吕宝珠
一、 知识要点：
1.等比数列
2.等比数列的前n项和
二、典型例题分析
例1.设na是公比为q的等比数列，1q，
令1nnba1,2,n，
若数列nb有连续四项在集合53,23,19,37,82中，
则6q
解析：
例2. 已知na是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa，
345
345
1111
()64aaaaaa
，
(1)求na的通项公式.
(2)设21()nnnbaa，求数列nb的前n项和nT.
解析：
例3.已知数列{}na与{}nb满足：1120nnnnnbaaba，
3(1)2nnb
，*nN，且122,4aa．
（1）求345,,aaa的值；
（2）设*2121,nnncaanN，证明：nc是等比数列.
解析：