2024届陕西省西安市碑林区西安交通大学附属中学高三下学期期末“3+1”质量调研数学试题
陕西省西安市八校联考2024届高三下学期理科数学试题(含答案与解析)_3730
西安市八校2023~2024学年高三下学期联考试题数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R ，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A. {}B.C. {1,D. {2}N =2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 的共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π34. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40Pm2mmA. 120B. 160C. 200D. 2605. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+最大值为（ ）A 18B. 14C. 10D. 30-6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.7127. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）． A. 1B.C. 2D. 49. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A 48种B. 42种C. 36种D. 30种10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.的.的.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+D. ()lg(51)g x x =+第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．14. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．16. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设21log nn i i b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值．19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A CG B --的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．的（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A{}B.C. {1,D. {2}N =【答案】B 【解析】【分析】先求集合M ，然后由集合的运算可得. 【详解】由10x -≥解得(],1M ∞=-，所以()1,U M ∞=+ð，所以{()U M N ⋂=ð. 故选：B2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-， 所以13i 22z =-. 故选：A3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π3【答案】D 【解析】【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得..的【详解】将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m 个单位， 得()ππ2sin 22sin 2233y x m x m ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 因为π2sin 223y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称， 所以π2π,3m k k -=∈Z ，即ππ,62k m k =+∈Z ， 当3k =时，得5π3m =，使πππ623k m =+=，πππ62k m =+=，ππ4π623k m =+=的整数k 不存在.故选：D4. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40P m2mmA. 120B. 160C. 200D. 260【答案】C 【解析】【分析】根据概率和为1，求得m ，再根据分布列求()E X ，再求()D X 即可. 【详解】由题可知：21m m m ++=，解得14m =，则()040408020E X m m m m =⨯++==； 故()()()()222111020202040201000100200424D X =-+-+-=++=. 故选：C.5. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+的最大值为（ ）A. 18B. 14C. 10D. 30-【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，由图可以得到目标函数取最大值时的位置，求得点的坐标代入即可. 【详解】由约束条件作出可行域如图，目标函数36z x y =-+，即为1126y x z =+，作出直线12y x =， 由图可知，当直线12y x =平移至A 处时，z 取得最大值， 联立224x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得28(,)33A ，则目标函数z 的最大值为z =36148323-⨯+⨯=. 故选：B.6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 的方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.712【答案】D 【解析】【分析】利用韦达定理和判别式求出方程有两个负根时t 的范围，然后由区间长度比可得. 【详解】若方程22430x tx t ++-=有两个负根，则()2043044430t t t t ⎧-<⎪->⎨⎪-->⎩，解得314t <<或3t >，又(1,8)t ∈-，所以当314t <<或38t <<时，方程22430x tx t ++-=有两个负根， 故所求概率()3183741281P -+-==--. 故选：D7. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体即可由圆锥体积公式得解.【详解】由三视图可知，几何体左边为底面半径为3，高为4的圆锥的一半，右边为底面半径为3，高为6的圆锥的一半构成的组合体，如图，所以221111π34π3615π2323V =⨯⋅⨯+⨯⋅⨯=， 故选：A8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）．A. 1B.C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点P 坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值. 【详解】设()1,0A x ，()2,0B x ，则1x 与2x 是方程()20x b a x ab -+-+=的两根，则12x x b a +=-，12x x ab =-，12AB x x a b =-==+，又2y x b a '=-+-，则函数()2y x b a x ab =-+-+在点()1,0A x 处的切线方程为()()112y x b a x x =-+--，同理函数()2y x b a x ab =-+-+在点()2,0B x 处切线方程为()()222y x b a x x =-+--，则()()()()112222y x b a x x y x b a x x ⎧=-+--⎪⎨=-+--⎪⎩，解得()()()12222121212224222x x b a x x x x x x x a b y +-⎧==⎪⎪⎨-++-+⎪===⎪⎩，即点()2,22a b b a P ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，则311142244ABP P S AB y a b ab =⋅=+≥⋅⋅= ，当且仅当1a b ==时等号成立，故选：C.9. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A. 48种 B. 42种 C. 36种 D. 30种【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分三种分堆情况进行讨论，先分类再分步，即可求得结果. 【详解】先把5人分为3堆，根据题意，则有如下三种情况：第一种：第一堆除了,A B 之外，还有一名医生，第二堆是C ，第三堆是1名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；第二种：第一堆为,A B ，第二堆是C ，第三堆是剩余两名医生， 则此时选派方案有：2323C A 6⋅=种；第三种：第一堆为,A B ，第二堆是C 以及另外一名医生，第三堆是剩余的一名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；的综上所述，所有选派方案有：1261230++=种； 故选：D.10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，又渐近线过点()3,9P -，即93b a-=-⨯，则3ba =，所以离心率c e a ====，故选：A.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况. 【详解】由已知()()12f x f x +=-，则()()12f x f x =--，则()()22f x f x +=-， 可知函数()f x 为周期函数，最小正周期4T =，又当20x -≤≤时，()2xf x =-，可知函数()f x 的图象如图所示，且()f x 的值域为[]1,1-， 关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，可得函数()y f x =与函数()log 1a y x =+的图象至少有两个交点， 如图所示，可知当01a <<时，()1log 411log a aa +≥-=，解得15a ≤，即10,5a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 当1a >时，()log 211log a a a +≤=，解得3a ≥，即[)3,a ∞∈+， 综上所述[)10,3,5a ∞⎛⎤∈⋃+ ⎥⎝⎦，故选：C.12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+ D. ()lg(51)g x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理求出1x 的范围，再求出各选项中函数的零点即可判断得解. 【详解】函数()4ln 2x f x x =+-定义域为(0,)+∞，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而1211(4ln 2ln 20,(1)2022f f =+-=-<=>，因此1112x <<，对于A ，由()0g x =，得(1)(1)(32)0x x x +--=，解得=1x -或23x =或1x =， 显然121||32x -<或11|1|2x -<，A 能；对于B ，由()0g x =，得211120422x x ⋅-⋅=，解得13x =，332233(2ln 22ln 2 2.5044f =+->+-=->，即11324x <<，1115163122x <-<<，B 能；对于C ，由()0g x =，得5πcos(012x +=，则5πππ,Z 122x k k +=+∈， 解得ππ,Z 12x k k =+∈，取π110,(,1243k x ==∈，11π16122x <-<，C 能； 对于D ，函数()lg(51)g x x =+在1(,)5-+∞上单调递增，(0)0g =，而1102x ->，D 不能.故选：D【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．【答案】1 【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为a b ⊥，所以()()()221212112222242220a b e e e e e e e e λλλλ⋅=-⋅+=+-⋅-=-=故1λ=. 故答案为：114. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________. 【答案】1023 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意求得k ，再通过赋值法先求0a ，再求目标即可.【详解】521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()52103155111C C 1,0,1,2,51010rrr r r r r T xx r x --+⎛⎫=-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭ ， 令3r =，则可得含x 项的系数()3351C 1110k =⨯⨯-=-，则()101kx -()101x =+， 对()101x +，令0x =，解得01a =；对()101x +，令1x =，解得10011021024a a a +++== ，故1210a a a +++= 102411023-=. 故答案为：1023.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．【答案】114 【解析】【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间[60,110)的频率为(0.010.0050.010.015)100.4+++⨯=，数学成绩在区间[60,120)的频率为0.40.025100.65+⨯=，因此数学成绩的中位数(110,120)m ∈，且(110)0.0250.1m -⨯=，解得114m =， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114. 故答案为：11416. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．【答案】⎛ ⎝【解析】【分析】设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+，求出弦长,AB AC ，根据AB AC =整理可得()()221110k k a k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由方程有唯一实数解可得1a <≤，然后可得离心率.【详解】由椭圆2221(1)x y a a+=>可知()0,1A ，易知，直线AB 与AC 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+， 联立22221y kx x a y a=+⎧⎨+=⎩消元得()2222120a k x a kx ++=， 解得22221B a kx a k =-+，同理，联立222211y x k x a y a⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩可解得2222C a kx a k =+， 由题知，AB AC =，222222221a k a k a k a k=++， 整理得()()221110k k ak ⎡⎤-+-+=⎣⎦，因为1k =为上述方程的根，所以，要使满足条件的△ABC 有且只有一个，方程()22110k a k +-+=没有实数解，或者有两个相等的根1k =.当()22Δ140a =--<时，解得1a <<，当()22Δ140a =--=时，解得a =()22110k a k +-+=的根为1.综上，1a <≤.所以，e ⎛= ⎝.故答案为：⎛ ⎝【点睛】求离心率的方法主要有：（1）定义法：根据题意求出a ，c ，然后由离心率公式直接求解；（2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得222,,a b c 的关系式，利用222b a c =-消去2b ，然后两边同时除以2a 转化为关于e 的方程或不等式即可求解.三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log nn ii b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 【答案】（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；（2）先根据等差数列求和公式求n b ，然后利用裂项相消法求n T 即可得证. 【小问1详解】记数列{}n a 的公比为q ，则211252611121632a a q a q a q a q⎧+=⎨⋅=⎩，解得112a q ==， 所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可得，221log log 2nn a n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()()2111log2nnn i i i n n b a i ==+==-=-∑∑，所以()122211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以22222222221223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为*n ∈N ，所以2011n <≤+， 所以22211n -<-≤-+，即21n T -<≤-. 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值． 【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简可得sin C ，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解； （2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解. 【小问1详解】因为222ππ1ππsin sin sin()cos()sin sin 2sin 36226C B B B B B ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()22211113sin cos 2sin 12sin 22244B B B B ⎛⎫=++=+-+= ⎪⎝⎭，因为sin 0C >，所以sin C =由△ABC 为钝角三角形且a c <，b c <知，C 为钝角，所以1cos 2C =-，即tan C =，所以()tan()tan πtan A B C C +=-=-=【小问2详解】因为1sin 2ABC S ab C ===△， 所以48ab =，由余弦定理，222222cos 3144c a b ab C a b ab ab =+-=++≥=，当且仅当a b ==此时2c 的最小值为144，所以c 的最小值为12.19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A CG B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明AF ⊥平面ABCD ，再利用AF CE ∥即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解二面角A CG B --的余弦值即可. 【小问1详解】证明： 四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形.AF AC ∴⊥，又AF BD ⊥，且AC 与BD 是平面ABCD 上的两条相交直线.AF ∴⊥平面ABCD .由ACEF 为正方形，得AF CE ∥，CE ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】由题意知，直线AB 、AD 、AF 两两互相垂直.分别以直线AB 、AD 、AF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐系A xyz -.设2AB =，则AC =，于是，有()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D，(2,2,E，(0,0,F，(1,1,G ，(1,1,BG ∴=- ，()0,2,0BC = ，()2,2,0DB =-.设平面BCG 的一个法向量为()111,,n x y z =，则11111110020y n BG x y x n BC y ⎧=⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅==⎪⎪⎩⎩，令11z =，得1x =所以()n =，AF DB ⊥ ，DB AC ⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACEF ，DB ∴⊥平面ACEF ，即DB ⊥平面ACG ()2,2,0DB ∴=-是平面ACG 的一个法向量.设二面角A CG B --的大小为α，结合图形，知α为锐角，2cos cos ,3n DB n DB n DBα⋅∴=====⋅，∴二面角A CG B --的余弦值为23. 20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）24x y =；（2）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义及给定弦长求出p 即得. （2）假设存在符合要求的两点，并设出两点坐标，再利用对称思想列式求解判断即得. 【小问1详解】抛物线2:2S x py =的焦点(0,)2p F ，直线l方程为2py x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222py x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y得：22330x p --=，则12x x p +=，12125)3y y x x p p +=++=，128||||||3AB AF BF y y p p =+=++=，于是81633p =，解得2p =，所以抛物线S 的方程为24x y =. 【小问2详解】 由（1）知直线l：1y x =+， 假设在抛物线S 上存在关于直线l 对称的相异两点，设这两点坐标为221212(,(,44x x M x N x ，于是直线MN的斜率22121212144()4MNx x k x x x x -==+=-，解得12+=-x x 线段MN的中点0()y -在直线l 上，则01y =-，而0()y -应在线段AB 上，必有00y >与01y =-矛盾，所以在抛物线S 上不存在关于直线l 对称的相异两点.【点睛】思路点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++（或12||AB y y p =++），若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . 【答案】（1）[)2,-+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）考查已知带参函数的单调性求参数取值范围的问题，根据导数正负与函数单调递增的关系：函数()f x 单调递增()0f x '⇒≥恒成立，令导数()0f x '≥，过程中对参数k 进行分离参数得()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，再将问题转化成研究具体函数()()()()22121x h x x x +=->-+的最值问题即可.（2）由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增得()2ln 12xx x +>+，再根据所需求证不等式的特征令22x a x =+不等式变成2ln2a a a +>-，再根据所需依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ 进行研究即可得到.小问1详解】由题()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()()2222221111212k x kx x k x x x f x x x x '+-+++=+=>-++++， ()f x ()1,-+∞上单调递增时，()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，得()()22210x k x +++≥在()1,-+∞恒成立，即()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，设()()()()22121x h x x x +=->-+，得()()()()()()()2222212212121x x x x x h x x x ++-++'=-⨯=-++，由()0h x '=，得0x =，或2x =-（舍去），当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在()1,0-上单调道增；当0x >时，()0h x '<，()h x 在()0,∞+上单调递增，()h x ∴在0x =处取得极大值也是最大值，即()()max 02h x h ==-⎡⎤⎣⎦， 2k ∴≥-，()f x \在其定义域上单调递增时，k 的取值范围为[)2,-+∞.【小问2详解】由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增.【在∴当2k =-，0x >时，()()()2ln 1002xf x x f x =+->=+，即()2ln 12x x x +>+.① 令22x a x =+，则22a x a =-，代入①，整理得2ln2a a a+>-.② 在②中，依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ . 顺次得到231ln 211n n n +>++，251ln 232n n n +>++，271ln 253n n n +>++，…，411ln 412n n n+>-. 将以上各不等式两边分别相加并整理，得1111411ln ln 2ln 212322121n n n n n n n +⎛⎫++++<=-< ⎪+++++⎝⎭.证毕. 【点睛】方法点睛：导数与单调性关系：（1）在函数定义域内，不等式'()0f x >的解即为函数()y f x =的增区间；不等式'()0f x <的解即为函数()y f x =的减区间.（2）若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递增，则'()0f x ≥对(),x a b ∈恒成立；若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递减，则'()0f x ≤对(),x a b ∈恒成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．【答案】（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=（2）AB =【解析】【分析】（1）利用消元法可得直线l 的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线Γ的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=，利用韦达定理和弦长公式，即可得到结果. 【小问1详解】直线l的参数方程为1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），相加消去t ，得其普通方程为30x y +-=， 曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，转化成直角坐标方程为()2224x y -+=.【小问2详解】设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入()2224x y -+=，得到210t ++=，12121t t t t +=-=， 故12AB t t =-==.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集． 【答案】（1）4（2）[]0,3 【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的性质及均值不等式求解即可； （2）分区间讨论去掉绝对值解不等式即可.【小问1详解】()244442222224f x x a x x a x x a x a a a a a a a =++-=++-≥++-=+=+≥, 当且仅当()42204x a x a a a ⎧⎛⎫+⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩时，即2a =±，11x -≤≤时等号成立，所以函数()f x 的最小值为4 【小问2详解】由（1）知，min [()]4a f x ==， 则2()24224124f x x x x x =++-=++-， 所以(1)2232f x x x -=++-25x ≤+，①当1x ≤-时，原不等式可化为：222325x x x ---+≤+， 即46x -≤，解得23x ≥-，又1x ≤-，故无解； ②当312x -<≤时，原不等式可化为：222325x x x +-+≤+， 即525x ≤+，解得0x ≥，又312x -<≤，所以302x ≤≤；③当32x <时，原不等式可化为：222325x x x ++-≤+，即26x ≤，解得3x ≤，又32x <，所以332x <≤.综上，不等式的解集为[]0,3.。
2023年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学三模试卷及答案解析
2023年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学三模试卷一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的）1．﹣3的绝对值是（）A．3B．C．D．﹣32．如图，Rt△ABC和Rt△DAB叠放在一起，∠BAC＝∠ABD＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，则∠AEB的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．72°3．计算：2x4y3÷（﹣xy）3＝（）A．﹣2x3y2B．﹣2xy C．﹣2x D．2xy4．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．AD＝BC D．AB＝CD5．如图，已知正方形ABCD，若点E在正方形ABCD内，且AB＝AE，当时，∠BAE的度数为（）A．30°B．150°C．45°D．135°6．一次函数y＝2x﹣a与一次函数y＝bx﹣4交于x轴上同一点，则a和b满足（）A．B．C．ab＝8D．ab＝﹣87．如图，在⊙O中，AD是直径，∠DAB＝31°，点C是圆上的一动点（不与点A重合），则∠ACB的度数为（）A．31°B．59°C．31°或59°D．59°或121°8．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图建立坐标系后，可由函数y＝﹣（1+t2）x2+tx确定，其中t为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（）A．2B．4C．2或﹣2D．4或﹣4二、填空题（本大题共5小题）9．分解因式：2a2﹣4a＝．10．关于x的方程x2﹣x+＝9的解是．11．在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝．12．如图，点B和点C是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限上的点，过点B的直线y＝x﹣2与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝6．则S△BCE＝．13．如图，已知在平面直角坐标系中，点B的坐标是（0，4），∠OBA＝60°，点A在x轴正半轴上．将Rt△ABO中沿着直线AB平移得到Rt△A'B'O'，当OB'+OA'最小时，Rt△ABO 和Rt△A'B'O'的重叠部分面积是．三、解答题（本大题共13小题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）14．计算：3÷（﹣）﹣2+|﹣|﹣2cos30°．15．先化简，再求值：（÷）÷，其中x＝1．16．解不等式组：．17．如图，已知▱ABCD，AB＜BC，请用尺规作图的方法在边BC上求作一点E，使BE+ED ＝CB．（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，已知菱形ABCD，∠ADC＝120°，点F在DB的延长线上，点E在DA的延长线上，且满足DE＝BF．求证：△EFC是等边三角形．19．如图，在平面直角坐标系中．△ABC的坐标分别为A（3，4），B（2，0），C（0，2）．（1）请你在图中作出将△ABC先向下平移2个单位，再向左平移4个单位后的△A'B'C'（点A与点A'对应，点B与点B'对应，点C与点C'对应）；（2）四边形BB'C'C的面积为．20．在如火如荼的“费曼学习法”活动中，各班积极组织开展了数学讲题比赛．具体要求如下：老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在背面完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“1”的概率是．（2）小博随机一次抽取两张卡片，请你用画树状图或列表的方法求出卡片数字之和是“5”的概率．21．如今，许多名山大川都修建了索道，方便游客游览．索道的起点和终点之间有数个索道支架装置，用来支持承载索和曳引索．如图，B，C，D是三个索道支架，BC和CD的跨距相等（即BC＝DC），索道支架B和索道支架D的垂直距离是344米（即AD＝344米），∠ABC＝32°，∠DCF＝19°．请你根据以上数据，计算索道支架B和索道支架D的水平距离（即AB的长度）．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，sin19°≈0.33，cos19°≈0.96；结果保留整数）22．春暖花开，正是踏青采摘的好时节，小远周末和家人一起去秦岭脚下采摘园采摘草莓．现有甲乙两家草莓采摘园，两家草莓的品种品质相同，售价均为60元/kg ．两家分别推出了不同的优惠方案：甲采摘园：9折优惠；乙采摘园的采摘重量（kg ）和价格（元）之间的关系如图所示．设小远和家人采指草莓xkg ，在甲乙采摘园采摘所需费用分别是y 甲和y 乙．（1）请你分别写出y 甲和y 乙与x 的函数关系式；（2）请你帮助小远分析，去哪一家采摘园采摘草莓更合算．23．2023年春节假期，西安文旅全面复苏，接待人次、旅游收入双创新高；重点景区人气爆棚，持续高位运行．据统计，2023年1月21日到1月27日期间，西安共接待游客约881万人次．其中著名打卡景区有，A ：大唐不夜城，B ：秦始皇帝博物院，C ：大唐芙蓉园，D ：华清宫景区，E ：华山景区，F ：其他．小志为了解哪个景区最受欢迎，随机调查了自己学校的部分同学，并根据调查结果绘制了人数两个完整的统计图．请你根据统计图中的信息，解决下列问题：（1）这次调查一共抽取了名同学；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数．（2）请补全条形统计图．（3）若小志所在学校共有3000名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“大唐不夜城”和“大唐芙蓉园”的学生人数．24．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC，以AD为直径作⊙O，交AB于点E，交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OB与EF交于点P，若OG＝3，EG＝4，求PG的长．25．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛的某起跳台的高度OA为64m，基准点K到起跳台的水平距离为72m，高度为hm （h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度为y（m），水平距离为x（m），它们之间满足二次函数关系．（1）若运动员飞行的水平距离为24m时，恰好起跳后达到最大高度76m，请你求出此时y与x之间的函数关系式；（2）若h＝21，在（1）的条件下，该运动员的落地点能否超过基准点K？26．（1）已知：等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝AC，若AB＝1，则BC的长是．（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD，满足∠ADB＝45°．求证：BD2+2AD2＝DC2．（3）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝2，AC＝4，DC＝6，点E是线段DC上的一个动点（点E不与点C和点D重合），连接BE，过点C作CF⊥BE交BE于点F，点G在线段BF上，且满足∠FCG＝30°，点M是线段AC上的动点，点N是线段AB上的动点．当点G在△ABC的内部时，是否存在△MNG周长的最小值？如果存在，请你求出△MNG周长的最小值；如果不存在，请你说明理由．2023年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的）1．【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．【解答】解：﹣3的绝对值是3．故选：A．【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．2．【分析】根据∠BAC＝∠ABD＝90°，可得AC∥BD，外角性质就可求出最后结果．【解答】解：∵∠BAC＝∠ABD＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，∴AC∥BD，∴∠CAD＝∠D＝45°，∴∠AEB＝∠DAC+∠C＝45°+30°＝75°．故选：C．【点评】此题考查了直角三角形和外角性质，掌握性质的熟练应用是解题关键．3．【分析】先根据积的乘方法则进行计算，再根据单项式除以单项式法则即可求解．【解答】解：2x4y3÷（﹣xy）3＝2x4y3÷（﹣x3y3）＝﹣2x，故答案为：C．【点评】本题主要考查了积的乘方和单项式除以单项式，掌握相关法则是解题的关键，单项式除以单项式法则是把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的变数字母的幂也作为商的因式．4．【分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，又由当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选：D．【点评】此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．【分析】作EF⊥AB于点F，S△ABE＝AB•EF，而S四边形ABCD＝AB2，且＝，即可推导出＝＝，由sin∠BAE＝＝，得∠BAE＝45°，于是得到问题的答案．＝AB•EF，【解答】解：作EF⊥AB于点F，则∠AFE＝90°，S△ABE∵四边形ABCD是正方形，＝AB2，∴S四边形ABCD∵＝，∴＝，∴＝，∵AB＝AE，∴＝，∴sin∠BAE＝＝，∴∠BAE＝45°，故选：C．【点评】此题重点考查正方形的性质、三角形的面积公式、正方形的面积公式、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．6．【分析】根据x轴上点的坐标特点分别求出一次函数y＝2x﹣a与x轴的交点坐标为（，0），一次函数y＝bx﹣4与x轴的交点坐标为（，0），由于一次函数y＝2x﹣a与y＝bx﹣4与x轴交于同一点，则＝，即可得出答案．【解答】解：对于y＝2x﹣a，令y＝0，则ax﹣2＝0，解得x＝，所以一次函数y＝ax﹣2与x轴的交点坐标为（，0），对于y＝bx﹣4，令y＝0，则bx﹣4＝0，解得x＝，所以一次函数y＝bx﹣4与x轴的交点坐标为（，0），∵一次函数y＝ax﹣2与y＝bx﹣4与x轴交于同一点，∴＝，即ab＝8．故选：C．【点评】本题考查了两直线相交问题：两直线相交，则交点坐标满足两直线的解析式．也考查了坐标轴上点的坐标特点．7．【分析】连接BD，得到∠ABD＝90°，求出∠ADB＝59°，分两种情况，由圆周角定理即可求解．【解答】解：连接BD，∵DA是圆是直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ADB＝90°﹣∠DAB＝90°﹣31°＝59°，当C在上时，∠ACB＝∠ADB＝59°，当C在上时，由圆内接四边形对角互补得到∠ACB＝180°﹣59°＝121°，∴∠ACB的度数是59°或121°．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是注意分两种情况讨论．8．【分析】根据题意可知：二次函数顶点的纵坐标＝4，然后代入数据计算即可．【解答】解：∵y＝﹣（1+t2）x2+tx，其中t为实数．其中某个喷泉水柱的最大高度是4，∴＝4，解得t＝±2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确次函数顶点的纵坐标为．二、填空题（本大题共5小题）9．【分析】观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．【解答】解：2a2﹣4a＝2a（a﹣2）．故答案为：2a（a﹣2）．【点评】本题考查了因式分解的基本方法一﹣﹣﹣提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．10．【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：x2﹣x+＝9，x2﹣x﹣＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣）＝36＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝﹣．故答案为：x1＝，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．11．【分析】证明点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，得BC＝AB，则AC＝AB﹣BC＝AB，即可得出答案．【解答】解：∵点C把线段AB分成两部分，＝，∴点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC＝AB，∴AC＝AB﹣BC＝AB，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．12．【分析】先求此反比例函数的表达式，再求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：当y＝0时，即x﹣2＝0，∴x＝2，即直线y＝x﹣2与x轴交于点A的坐标为（2，0），∴OA＝2＝AD，又∵CD＝6，∴点C的坐标为（4，6），而点C（4，6）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝4×6＝24，∴反比例函数的关系式为y＝；方程组的正数解为，∴点B的坐标为（6，4），当x＝4时，y＝4﹣2＝2，∴点E的坐标为（4，2），即DE＝2，∴EC＝6﹣2＝4，＝×4×（6﹣4）＝4，∴S△BCE故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．13．【分析】根据OB'和OA'的变化规律得出OB'+OA'最小时位置，然后计算出Rt△ABO和Rt△A'B'O'的重叠部分面积即可．【解答】解：将Rt△ABO中沿着直线AB平移过程中OB'先变小后变大，OA'的一直变大，故当OB'最小时，OB'+OA'最小，即当OB'⊥AB时OB'+OA'最小，∵点B的坐标是（0，4），∠OBA＝60°，∴OB＝4，AB＝2OB＝8，BB'＝OB＝2，∴AB'＝AB﹣BB'＝8﹣2＝6，设O'B'交x轴于点P，∵∠OBA＝60°，∴∠PAB'＝30°，∴PB'＝AB'＝3，PA＝3，∴Rt△ABO和Rt△A'B'O'的重叠部分面积为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．三、解答题（本大题共13小题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）14．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：3÷（﹣）﹣2+|﹣|﹣2cos30°＝3÷4+3﹣2×＝+3﹣＝+2．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝••＝，当x＝1时，原式＝＝5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．16．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≤，解②得x＜﹣．故不等式组的解集是：x＜﹣．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，17．【分析】若使BE+ED＝CB，则DE＝CE，即∠C＝∠CDE，根据作一个角等于已知角的方法作图即可．【解答】解：∵BE+ED＝CB，BE+CE＝CB，∴DE＝CE，∴∠C＝∠CDE，即利用尺规作∠CDE＝C即可．如图，点E即为所求.【点评】本题考查尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．18．【分析】由∠ADC＝120°，根据菱形的性质得∠BCD＝180°﹣∠ADC＝60°，则△BCD 是等边三角形，可证明∠EDC＝∠FBC＝120°，再证明△EDC≌△FBC，得CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，则∠ECF＝∠BCD＝60°，所以△EFC是等边三角形．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，∴AD∥BC，CD＝CB，∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∴∠FBC＝∠BCD+∠BDC＝120°，∴∠EDC＝∠FBC，在△EDC和△FBC中，，∴△EDC≌△FBC（SAS），∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，∵∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠BCE+∠DCE＝∠BCD＝60°，∴△EFC是等边三角形．【点评】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明△EDC≌△FBC是解题的关键．19．【分析】（1）根据平移的性质作图即可．+S△B'C'B，再利用三角形的面积公式计算即可．（2）将四边形BB'C'C的面积转化为S△BC'C【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求.+S△B'C'B＝＝12．（2）四边形BB'C'C的面积为S△BC'C故答案为：12．【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．20．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中卡片数字之和是“5”的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“1”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中卡片数字之和是“5”的结果有4种，∴卡片数字之和是“5”的概率为＝．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】根据锐角三角函数，可以求得CD和BC的长，再根据锐角三角函数即可求得CF和BE的长，然后根据CF＝AE，AB＝AE+EB，即可计算出AB的值．【解答】解：作CE⊥AB于点E，由已知可得：BC＝DC，AD＝344米，∠ABC＝32°，∠DCF＝19°，设BC＝DC＝x米，则DF＝CD•sin19°≈0.33x（米），CE＝BC•sin32°≈0.53x（米），∵AD＝DF+FA＝DF+CE，∴0.33x+0.53x＝344，解得x＝400，∴CF＝CD•cos19°≈400×0.96＝384（米），BE＝BC•cos32°≈400×0.85＝340（米），∴AE＝CF＝384米，∴AB＝AE+EB＝384+340＝724（米），即索道支架B和索道支架D的水平距离约为724米．【点评】本题考查直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．【分析】（1）出y甲与x的函数关系式为正比例函数；y乙与x的函数关系式为分段函数；（2）结合（1）的结论解答即可．＝0.9×60x＝54x；【解答】解：（1）由题意得：y甲＝60，当0＜x≤1时，y乙当x＞1时，设y＝kx+b，则：乙，解得，∴y＝48x+12，综上所述，y＝；乙（2）当54x＜48x+12时，即x＜2时，到甲采摘园更合算；当54x＝48x+12时，即x＝2，到两家摘园一样；当54x＞48x+12时，即x＞2，到乙采摘园更合算．【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数关系式是解题的关键．23．【分析】（1）由A景点人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以D景点人数所占比例即可；（2）根据六个景点人数和等于总人数求得C景点人数即可补全图形；（3）用总人数乘以样本中A、C景点人数所占比例即可．【解答】解：（1）一共抽取的学生数为18÷30%＝60（名），扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝72°，故答案为：60，72°；（2）C景点人数为60﹣（18+12+12+6+3）＝9（名），（3）3000×＝1350（名），答：估计该校最喜爱“大唐不夜城”和“大唐芙蓉园”的学生有1350名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．24．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；（2）连接DE，DF，OE，根据圆周角定理得到∠AED＝∠AFD＝90°，根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠FAD，根据勾股定理得到OE＝＝＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接DE，DF，OE，∵AD为⊙O的直径，∴AED＝AFD＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADE＝∠ADF，∴＝，∴AG⊥EF，∴EF∥BC，∵OG＝3，EG＝4，∴OE＝＝＝5，∴AG＝8，AD＝10，∵EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，∴＝，∴＝，∴BD＝5，∴BD＝OD，∴△ODB是等腰直角三角形，∴∠OBD＝45°，∵EF∥BC，∴∠OPG＝∠OBD＝45°，∴△OPG是等腰直角三角形，∴PG＝OG＝3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）根据运动员飞行的水平距离为24m时，恰好达到最大高度76m，得出抛物线顶点，再把解析式设为顶点式，把（0，64）代入解析式即可；（2）把x＝72代入（1）解析式求出y的值与21比较即可．【解答】解：（1）∵运动员飞行的水平距离为24m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（24，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣24）2+76，把（0，64）代入得：64＝a（0﹣24）2+76，解得a＝﹣，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣（x﹣24）2+76；（2）当x＝72时，y＝﹣（72﹣24）2+76＝28＞21，∴该运动员的落地点能超过基准点K．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．26．【分析】（1）作AD⊥BC于D，解直角三角形ABD求得BD，进而得出结果；（2）作AE⊥AB，并截取AE＝AB，连接DE，可得出DE2＝AD2+AE2＝2AD2，∠EDA＝45°，进而可证明△ADC≌△AEB，从而DC＝BE，进而得出BD2+2AD2＝DC2；（3）以BC为边作等边三角形BCQ，并作其外接圆O，连接OA，延长AB交⊙O于R，连接CR，可求得∠BGC＝∠CFB+∠FCG＝120°，从而点G在上运动，当G点在OA与DE交点时，AG min＝OA﹣OG＝2，分别作G关于AB和AC的对称点H，T，连接HT，交AB于M，交AC于N，此时△GMN的周长最小，最小值是HT的长，由对称求得AH＝AG＝AT，∠HAT＝120°，进一步得出结果．【解答】（1）解：如图1，作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴BC＝2BD，∠BAD＝60°，∴BD＝AB•sin60°＝1×＝，∴BC＝，故答案为：；（2）证明：如图2，作AE⊥AB，并截取AE＝AB，连接DE，∴DE2＝AD2+AE2＝2AD2，∠EDA＝45°，∵∠BAC＝90°，∠ADB＝45°，∴∠BAC＝∠DAE，∠BDE＝90°，∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，BE2＝BD2+DE2＝BD2+2AD2，∴∠BAE＝∠CAD，∵AC＝AB，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴DC＝BE，∴BD2+2AD2＝DC2；（3）解：如图3，以BC为边作等边三角形BCQ，并作其外接圆O，连接OA，延长AB交⊙O于R，连接CR，∵∠CBR＝∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，BC＝2，⊙O 的直径＝＝4，CR是⊙O的直径，∵∠R＝∠Q＝60°，∴△ACR是等边三角形，∵点O是CR的中点，∴OA＝AC•sin60°＝2，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∵∠FCG＝30°，∴∠BGC＝∠CFB+∠FCG＝120°，∴点G 在上运动，当G点是OA 与交点时，AG min＝OA﹣OG＝2，分别作G关于AB和AC的对称点H，T，连接HT，交AB于M，交AC于N，此时△GMN的周长最小，最小值是HT的长，由对称可得：AH＝AG＝AT，∠HAN+∠TAM＝∠BAC＝60°，∴∠HAT＝120°，∴HT ＝AG ＝，∴△GMN的周长最小值为：6﹣2．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形及确定点的轨迹。
2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷+答案解析
2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是( )A. B. C. D. 20242.《清朝野史大观清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最.”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是( )A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同C. 左视图与俯视图相同D. 三视图都相同3.如图为商场某品牌椅子的侧面图，，DE与地面平行，，则( )A. B. C. D.4.计算：的结果是( )A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数的图象不经过第象限.( )A. -B. 二C. 三D. 四6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC平分，若，的周长为16，则对角线AC的长为( )A.B.C.D.7.如图，AB是的直径，点E，C在上，点A是的中点，过点A画的切线，交BC的延长线于点D，连接若，则的度数为( )A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，二次函数为常数的图象经过点，，，且，则m的值为( )A. 3或B. 或C. 3D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.分解因式：______.10.2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点，，则______结果保留根号11.如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要______12.如图，在平面直角坐标系中，的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数的图象经过B，C两点.若的面积是12，则k的值为______.13.如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别在边CD，BC上，且，连接BE，将沿BC向右平移得到，连接DF，DH，则的面积的最小值为______.三、解答题：本题共13小题，共81分。
2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷及答案解析
2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）的绝对值是（）A．B．C．﹣2024D．20242．（3分）《清朝野史大观•清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最．”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同D．三视图都相同3．（3分）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝（）A．78°B．73°C．69°D．61°4．（3分）计算：3x2y•（﹣2xy）2的结果是（）A．﹣6x3y3B．6x3y3C．﹣12x4y3D．12x4y35．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝mx﹣2的图象向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数y＝x+m的图象不经过第（）象限．A．﹣B．二C．三D．四6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC平分∠BAD，若AB＝6，△ABD的周长为16，则对角线AC的长为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O 的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58°，则∠ACE的度数为（）A．29°B．31°C．58°D．32°8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（﹣1，y1），（0，3），（2，y2），且y1＜3＜y2，则m的值为（）A．3或﹣1B．﹣3或﹣1C．3D．﹣1二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）分解因式：9x﹣xy2＝．10．（3分）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，则BC＝cm．（结果保留根号）11．（3分）如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长a＝12mm，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要mm．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是12，则k的值为．13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别在边CD，BC上，且BF＝CE，连接BE，将△BCE沿BC向右平移得到△FGH，连接DF，DH，则△DFH的面积的最小值为．三、解答题（本大题共13小题，共81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：．15．（5分）求不等式的负整数解．16．（5分）解方程：．17．（5分）如图，已知△ABC，在平面内求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点且以AC 为对角线的四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不要求写作法）18．（5分）已知：如图AB＝AE，AB∥DE，∠ABC＝∠DAE．求证：AE＝DE+CE．19．（5分）《九章算术》第七章“盈不足”中有一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数、物价各几何”．译文：现有一些人买一件物品，每人出8钱，则结余3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问购买物品的人数是多少？这件物品的价格是多少？20．（5分）二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．（1）2024年2月4日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为；（2）老师选出写有“谷雨、芒种”的两张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀重复此动作共三次．请利用画树状图或列表的方法，求小张同学三次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．21．（6分）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑以紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范[如图（1）]．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量紫云楼的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究，决定进行如下操作：如图（2），首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根2米的标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆FG，接着沿BG方向后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A（点A，F，H在一条直线上），此时，小花测得GM＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM＝1.5米．请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．22．（7分）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．已知量杯中原来装有10mL水，30min内7个时间点量杯中的水量变化如表所示，其中t（min）表示时间，y（mL）表示量杯中的水量．时间t/min0510********量杯中的水量y/mL10203040506070为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：y＝kx+b（k≠0），y＝ax2+bx+c（a≠0），．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表达式；（2）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少mL？23．（7分）为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全学生成绩的频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为°，本班成绩的中位数落在组；（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：60≤x＜70的中间值为65）来代替，试估算小明班级的平均成绩；（4）根据本班成绩，请估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有多少人？24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝60°，弦BD交AC于点E，且AE＝DE．（1）求证：△EBC是等边三角形；（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，求AB的长．25．（8分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．26．（10分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，AB＝8，点D 为AB中点，点E为BC上一动点，连接DE，将△DBE沿DE折叠，点B的对应点为点F．①连接BF，则线段DE和线段BF的位置关系是．②当点F落在AC边上时，求△DBE的面积．（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，，点F在CD边上，过点F作EF∥BD，交BC于点E，将△EFC沿EF折叠得到△EFG，以EG为直径作⊙O．当⊙O与△ABD的边相切时，求CF的长．2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，计算即可求出值．【解答】解：|﹣|＝．故选：A．【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．2．【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．【解答】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．3．【分析】根据题意可得：DE∥AB，从而利用平行线的性质可得∠ABD＝∠D＝48°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠D＝48°，∵∠DEF是△DCE的一个外角，∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝121°﹣48°＝73°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．4．【分析】先计算乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．【解答】解：3x2y•（﹣2xy）2＝3x2y•4x2y2＝12x4y3，故选：D．【点评】本题了单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．5．【分析】由平移的性质知，平移后一次函数的表达式为：y＝m（x﹣2）﹣2，将（0，0）代入上式得：0＝m（﹣2）﹣2，解得：m＝﹣1，即可求解．【解答】解：由平移的性质知，平移后一次函数的表达式为：y＝m（x﹣2）﹣2，将（0，0）代入上式得：0＝m（﹣2）﹣2，解得：m＝﹣1，即一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1，故该函数不过第二象限，故选：B．【点评】本题考查了一次函数与平移，熟练掌握点的平移规律：左减右加，上加下减是解题的关键．6．【分析】先证四边形平行四边形ABCD是菱形，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∵△ABD的周长为16，∴AB+AD+BD＝16，∴BD＝4，∴BO＝2，∴AO＝＝＝4，∴AC＝8，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．【分析】先根据切线的性质得到∠BAD＝90°，则利用互余计算出∠B＝32°，然后根据圆周角定理得到∠ACE的度数．【解答】解：∵AD为⊙O的切线，∴AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ADB＝90°﹣58°＝32°，∵点A是的中点，∴＝，∴∠ACE＝∠B＝32°．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．8．【分析】先根据函数解析式确定出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1﹣m，再根据二次函数增减性得出结论．【解答】解：∵二次函数y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m为常数），∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1﹣m，∵二次函数y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（﹣1，y1），（0，3），（2，y2），且y1＜3＜y2，∴1﹣m＜，∴m＞1.5．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解即可．【解答】解：9x﹣xy2＝x（9﹣y2）＝x（3+y）（3﹣y）．故答案为：x（3+y）（3﹣y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．10．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，∴BC＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，故答案为：（5﹣5）．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．11．【分析】根据正六边形的性质和锐角三角函数，可以求得AG的长，然后即可得到AC 的长，从而可以得到扳手张开的开口b至少要多少mm．【解答】解：如图所示，由题意可得，AB＝12mm，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝120°，作BG⊥AC于点G，∴∠ABG＝60°，∠AGB＝90°，∴AG＝AB•sin60°＝12×＝6mm，∴AC＝AG＝12mm，故答案为：12．【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），则CD＝a，OA＝c，由△AOC的面积是6得ac＝12，将点C（a，b）代入反比例函数的表达式得k＝ab，然后根据点B为AC的中点得点，将点B代入反比例函数表达式得，据此即可求出k的值．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是12，∴，∴ac＝24，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝24代入上式得：k＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．13．【分析】根据正方形的性质和平移的性质得出函数解析式，进而利用函数解析式的取值解答即可．【解答】解：设BF＝x，则CE＝BF＝x，∵正方形ABCD的边长为3，∴CF＝3﹣x，由平移的性质可得：BF＝CG＝x，CE＝GH＝x，CE∥HG，＝S四边形DFGH﹣S△FGH∴S△DFH＝＝，当x＝时，△DFH的最小值为：，∴△DFH的面积的最小值为；故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出CF解答．三、解答题（本大题共13小题，共81分，解答应写出过程）14．【分析】根据题目逐步计算即可．【解答】解：原式＝﹣（2﹣）+1＝2﹣2++1＝3﹣1．【点评】本题考查的是实数的运算和零指数幂，正确掌握实数运算的“三个关键”是解题的关键．15．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可．【解答】解：，去分母得：4x﹣（6x+1）≤6，去括号得：4x﹣6x﹣1≤6，移项合并得：﹣2x≤7，系数化为1得：x≥，∴不等式的负整数解为﹣3，﹣2，﹣1．【点评】本题考查了解一元一次不等式的整数解，解答此题要熟知不等式的基本性质，能根据不等式的解集求出符合条件的负整数解，进而求出答案．16．【分析】利用去分母的方法将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：（x+3）2＝（x﹣2）（x+3）﹣2（x﹣2），整理得：6x+9＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x﹣2）（x+3）≠0，故原方程组的解为x＝﹣．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．17．【分析】以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在AC的右侧相交于点D，连接AD，CD即可．【解答】解：如图，以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在AC的右侧相交于点D，连接AD，CD，则AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即平行四边形ABCD为所求．【点评】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答本题的关键．18．【分析】先根据ASA证明△DAE≌△CBA，得到AC＝DE，即可求证．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，在△ABC和△AED中，，∴△DAE≌△CBA（ASA），∴AC＝DE，又∵AE＝AC+CE，∴AE＝DE+CE．【点评】此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的判定方法．19．【分析】根据题干中价格相等的条件列出8x﹣3＝7x+4，求解即可．【解答】解：设购买物品的人数是x人，根据题意得，8x﹣3＝7x+4，解得x＝7，所以这件物品的价格是8x﹣3＝8×7﹣3＝53（元），答：购买物品的人数是7人，这件物品的价格是53元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，正确列出方程是解题的关键．20．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列树状图可得出所有等可能的结果数以及三次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，随机抽取一张卡片，抽到“立春”的概率为．故答案为：．（2）列树状图如下：共有8种等可能的结果，其中三次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有2种，∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21．【分析】根据已知条件得到AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC ＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2，∴AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP，∴△ANH∽△FPH，∴，即，∴x＝39，∴紫云楼的高AB为39米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．22．【分析】（1）用描点，连线的方法画出函数图象，并用待定系数法求函数解析式；（2）把x＝24小时＝1440分钟代入解析式求出y的值．【解答】解：（1）由表格中数据，在坐标系内描点，连线，如图所示：由图象可知，最符合实际情况的函数类型y＝kx+b（k≠0），设量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y＝kt+b，把（0，10），（5，20）代入y＝kx+b得：，解得，∴量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y＝2t+10；（2）一天24小时＝1440分钟，∴当x＝1440时，y＝2×1440+10＝2890，∴一天量杯中的水量约为2890mL．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．23．【分析】（1）先根据C组是10人，所占班级人数的20%求出班级人数为＝40人，由此可求出B组的人数为8人，据此可补全频数分布直方图；（2）由C组是4人，班级人数为40人求出A组人数占班级人数的百分比，进而可求出A组所对应的圆心角的度数；（3）分别求出A组，B组，C组，D组的中间值，然后利用加权平均数的计算公式即可求出班级的平均成绩；（4）利用样本估计总体思想即可求解．【解答】解：（1）由频数分布直方图可知：C组是10人，由扇形统计图可知：C组占班级人数的20%，∴班级人数为：10÷25%＝40（人），∴B组的人数为：40×20%＝8（人），∴补全频数分布直方图如图所示：（2）由频数分布直方图可知：C组是4人，∴A组人数占班级人数的百分比为：4÷40＝10%，∴A组所对应的圆心角的度数为：360°×10%＝36°；本班成绩的中位数在80～90之间，即在C组，故答案为：36；C；（3）∵A组中间值为65分，A组有4人，B组中间值为75分，B组有8人，C组中间值为85分，C组有10人，D组中间值为95分，D组有18人，∴班级的平均成绩为：（65×4+75×8+85×10+95×18）÷40＝85.5（分），答：估计小明班级的平均成绩为85.5分；（4）在抽取出的学生中，成绩不低于80分的有：10+18＝28（人），8000×＝5600（人），答：估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有5600人．【点评】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，加权平均数的计算，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．24．【分析】（1）首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB＝EC，又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴△EBC为等边三角形；（2）解：作BM⊥AC于点M，∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM＝，∴BM＝＝，∴AM＝AC﹣CM＝，∴AB＝＝7．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键．25．【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，解得：a＝﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，解得：x1＝﹣1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x＝0时，y＝﹣（x﹣3）2+5＝．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0＝﹣×162+16b+，解得：b＝3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+3x+＝﹣（x ﹣）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y＝1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．26．【分析】（1）①利用折叠的性质和线段垂直平分线的判定与性质解答即可；②依题意画出图形，利用直角三角形的边角关系求得线段BC，利用直角三角形的判定定理得到∠AFB＝90°，利用三角形的中位线的判定与性质求得BE，再利用三角形的面积公式解答即可；（2）利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理得到∠DBC＝30°，∠BDC＝60°；利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：当⊙O与BD的边相切于点P时，连接CG并延长交BD于点M，设CG与EF交于点N，连接OP，PG，设FC＝FG＝x，利用等边三角形的判定与性质，圆的切线的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；②当⊙O与AD的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，连接PO 并延长交BC于点N，利用①的方法解答即可；③当⊙O与AB的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，PO，过点O作NH⊥AD于点N，交BC边于点H，类比①的方法解答即可．【解答】解：（1）①由题意得：△BDE≌△FDE，∴DB＝DF，EB＝EF，∴DE垂直平分BF．∴线段DE和线段BF的位置关系是：DE⊥BF．故答案为：DE⊥BF；②当点F落在AC边上时，如图，∵∠ABC＝90°，，∴，∵AB＝8，∴BC＝6，∵点D为AB中点，∴BD＝AD＝AB＝4．由（1）①知：DB＝DF，∴DF＝AD＝BD＝AB，∴∠AFB＝90°．∴BF⊥AC．∵DE⊥BF，∴DE∥AC，∴DE为△ABC的中位线，∴BE＝BC＝3，∴△DBE的面积＝BD•BE＝3×4＝6；（2）∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∵，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°．①当⊙O与BD的边相切于点P时，连接CG并延长交BD于点M，设CG与EF交于点N，连接OP，PG，如图，设FC＝FG＝x，由（1）①知：EF⊥CG，∵EF∥BD，∴CM⊥BD，∴∠MCB＝90°﹣∠DBC＝60°，∵EC＝EG，∴△EGC为等边三角形，∴∠GEC＝∠EGC＝60°，∴∠FEC＝∠GEC＝30°，∴CG＝EC＝x．∴OG＝OP＝x．∵⊙O与BD的边相切于点P，∴OP⊥BD，∴OP∥CM，∴∠OPG＝∠EGC＝60°，∴△OPG为等边三角形，∴PG＝OG＝x，∴MG＝PG＝x，∴CM＝MG+CG＝x．∵CM＝CD＝2，∴x＝2，∴x＝．∴FC＝；②当⊙O与AD的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，连接PO并延长交BC于点N，如图，由（1）①知：EF⊥CG，∵EF∥BD，∴CM⊥BD，∴∠MCB＝90°﹣∠DBC＝60°，∵EC＝EG，∴△EGC为等边三角形，∴∠GEC＝∠EGC＝60°，∴∠FEC＝GEC＝30°，设FC＝FG＝x，∴CG＝EC＝x．∴OG＝OP＝x．∵⊙O与AD的边相切于点P，∴OP⊥AD，∴AD∥CB，∴ON⊥EQ，∴EN＝EQ＝EQ，∵△OEQ为等边三角形，∴ON＝×x＝x．∴PN＝OP+ON＝（）x．∵四边形PNCD为矩形，∴PN＝CD＝4，∴4＝（）x，∴x＝．∴FC＝；③当⊙O与AB的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，PO，过点O作NH⊥AD于点N，交BC边于点H，如图，∵AD∥BC，∴NH⊥BC，∴四边形NHCD为矩形，∴NH＝CD＝4．∵⊙O与AB的边相切于点P，∴OP⊥AB，∴四边形OPBH为矩形，∴BH＝OP，由（1）①知：EF⊥CG，∵EF∥BD，∴CM⊥BD，∴∠MCB＝90°﹣∠DBC＝60°，∵EC＝EG，∴△EGC为等边三角形，∴∠GEC＝∠EGC＝60°，∴∠FEC＝GEC＝30°，设FC＝FG＝x，∴CG＝EC＝x．∴OG＝OP＝x．∴BH＝x．∵△OEQ为等边三角形，∴GQ＝OE＝x，∵EH＝HQ＝EQ＝x，∴BC＝EC+BH﹣EH＝x，∴4＝x，∴x＝．∴FC＝．综上，CF的长为或或．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，折叠的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线。
2024届陕西省西安市交大附中高三质量测试(二模)化学试题含解析
2024届陕西省西安市交大附中高三质量测试（二模）化学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(共包括22个小题。
每小题均只有一个符合题意的选项）1、有关晶体的下列说法中正确的是A．原子晶体中共价键越强，熔点越高B．分子晶体中分子间作用力越大，分子越稳定C．冰熔化时水分子中共价键发生断裂D．CaCl2晶体中含有两种化学键2、下列关于有机化合物的说法正确的是A．C3H6C12有4种同分异构体B．乙烯与Br2的CC l4溶液反应后，混合液分为两层C．乙醇被氧化一定生成乙醛D．合成材料会造成巨大的环境压力，应禁止使用3、下列关于物质保存或性质的描述错误的是（）A．金属钠可以保存在无水乙醇中B．氢氧化铜的悬浊液加热后变为黑色C．氟化钠溶液需在塑料试剂瓶中保存D．向盛二氧化碳的塑料瓶中加入饱和碳酸钠溶液，振荡后会变浑浊4、根据下列实验操作和现象能得到的结论正确的是A．A B．B C．C D．D5、25℃时，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A．无色透明的溶液中：K+、Cu2+、SO42-、C1-B．加石蕊试液后变红色的溶液中：Ba2+、Na+、C1O-、NO3-C．能使Al转化为A1O2-的溶液中:Na+、K+、NO3-、C1-D．加入盐酸后能形成不溶于硝酸的白色沉淀的溶液中：K+、Ca2+、Br-、OH-6、常温下，用0.100mol·L－1NaOH溶液分别滴定20.00mL0.100mol·L－1的HA溶液和HB溶液的滴定曲线如图。
下列说法错误的是（己知lg2≈0.3）A．HB是弱酸，b点时溶液中c（B－）>c（Na+）>c（HB）B．a、b、c三点水电离出的c（H+）：a>b>cC．滴定HB溶液时，应用酚酞作指示剂D．滴定HA溶液时，当V（NaOH）=19.98mL时溶液pH约为4.37、N A是阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．16.25 g FeCl3水解形成的Fe(OH)3胶体粒子数为0.1 N AB．22.4 L（标准状况）氩气含有的质子数为18 N AC．92.0 g甘油（丙三醇）中含有羟基数为1.0 N AD．1.0 mol CH4与Cl2在光照下反应生成的CH3Cl分子数为1.0 N A8、下列有关14C60的叙述正确的是A．与12C60化学性质相同B．与12C60互为同素异形体C．属于原子晶体D．与12C60互为同位素9、我国科技人员全球首创3290块长宽均为800毫米，重量仅为2.85公斤的可折叠光影屏助阵70周年国庆庆典。
陕西省西安市2024届高三下学期期中考试 数学(文)含答案
2023-2024学年高中毕业班阶段性测试文科数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数()2211i z =--，则z 的虚部为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-2．已知全集{}2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,4A =，{}21,B x x k k Z ==+∈，则()U B A =I ð（）A ．{}1,3,7B ．{}5,6,7C ．{}3,5D ．{}5,73．某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天的最高气温T （单位：℃），数据如下：时间第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天T （℃）81281416111821则这8天的气温数据的极差为（）A ．10B ．12C ．13D ．144．已知非零向量a r ，b r 满足1a =r ，a b ⊥r r ，若0λ>，0μ>，则“222λμ+≥”是“()1a a b μλ⋅+=r r r ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．1021B ．919C ．1123D ．20216．社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娛活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行社火活动，现有小明和小华等5名小朋友报名，从中任选2名小朋友参加，则小明和小华恰有1人被选中的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．457．已知446sin 6cos 7sin 20θθθ+-=，则cos 4θ=（）A ．19B ．49C ．23D ．898．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1BB =，D ，E 分别为棱BC ，1BB 的中点，F 为棱AB ．上的动点，且线段1C F ，则异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为（）A B C ．D9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，上顶点的坐标为(，右顶点为A ，P 为C 上横坐标为1的点，直线PA 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，则OM =（）A ．1B C ．D10．已知函数()()cos 22π0,2f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与函数()()sin 2g x x ϕ=+的图象重合，则()g x 在下列哪个区间上单调递增（）A ．0,π3⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,1212π⎛⎫- ⎪⎝⎭C π2π,312⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭11．一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗．铁匠老张准备从一个半径为R 的圆形铁片上剪出一个扇形（圆心和半径与圆形铁片--致）作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）．若该漏斗的容积为，则圆形铁片的面积最小值为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．9π12．已知点A ，B 在抛物线()2:20C y px p =>上，设C 的焦点为F ，线段AB 的中点M 在C 的准线l 上的射影为'M，且||AB MM '=∣，则向量FB uur ，FA uu r的夹角的最大值为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，48a =-，32236S S =+，则1a =______．p ，14．设实数x ，y 满足约束条件21020250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最小值为______．15．已知直线1:260l x y +-=与2:240l x y ++=均与M e 相切，点()2,2在M e 上，则M e 的方程为______．16．对任意的实数x ，记函数(){}min 1,41f x x x =---（{}min ,m n 表示m ，n 中的较小者）．若方程()()()210f x t f x t ⎡⎤⎦-++=⎣恰有5个不同的实根，则实数c 的取值范围为______．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每个学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查男、女生各100人，发现选择《三国演义》的有110人，其中女生占411．（I ）补充完整下述2×2列联表，现按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人，求这18人中男生和女生的人数；《红楼梦》《三国演义》合计男生女生合计（II ）判断能否有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P k h ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24536a a a a a =，2121S S =-．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（I ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在圆台1O O 中，11A ABB ，为轴截面，12AB A =，14B =，160A AB ∠=︒，C 为下底面圆周上一点，P 为下底面圆O 内一点，1A E 垂直下底面圆O 于点E ，COF EFO ∠=∠．（I ）求证：平面1O OC ∥平面1A EF ；（II ）若EFO △为等边三角形，求点E 到平面1A OF 的距离．20．（12分）已知函数()1x f x e =-．（I ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（II ）若0a >，(1,)x ∀∈-+∞，22()a f x a a x +-≥，求a 的取值范围．21．（12分）已知双曲线22:13y C x -=的左、右顶点分别是1A ，2A ，直线l 与C 交于M ，N 两点（不与2A 重合），设直线2A M ，2A N ，l 的斜率分别为后，1k ，2k ，k ，且()126k k k +=-．（I ）判断直线l 是否过x 轴上的定点．若过，求出该定点；若不过，请说明理由．（II ）若M ，N 分别在第一和第四象限内，证明：直线1MA ，与2NA 的交点P 在定直线上．（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（α为参数），直线l 的参数方程为cos sin x t y t γγ=⎧⎨=⎩，（0π2γ<<，t 为参数），以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）设直线l 与圆C 的两个交点分别为M ，N ，求11||||OM ON +的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0a >，0b >，函数()f x x a x b =-++．（I ）当1a b ==时，解不等式()4f x >；（II ）若()f x 的最小值为2，证明：()152228a ab +≥+．天一大联考2023-2024学年高中毕业班阶段性测试文科数学（老教材版）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1．答案B命题意图本题考查复数的运算及复数的虚部的定义．2解析()222111i 2i1i z =-=-=-+--Q ，z ∴的虚部为1．2．答案D命题意图本题考查集合的运算．解析由题可知U {5,6,7,8}A =ð，又{|21,}B x x k k Z ==+∈，(){5,7}U B A ∴=I ð．3．答案C命题意图本题考查样本的数字特征．解析将数据按从小到大的顺序排列为8，8，11，12，14，16，18，21，所以这8天的气温数据的极差为21813-=．4．答案B命题意图本题考查向量的数量积及充分必要条件．解析因为()1a a b μλ⋅+=r r r ，所以21a λμ=r，所以1λμ=，所以2222λμλμ+≥=，反之不成立，故“222λμ+≥”是“()1a a b μλ⋅+=rr r ”的必要不充分条件．5．答案A命题意图本题考查程序框图．解析由图可知，输出的111111111111101113355719212335192122121S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ．6．答案C命题意图本题考查古典概型．解析设小明和小华为a ，b ，其余3人为A ，B ，C ，任选2人的所有可能的结果为（A ，B ），（A ，C ），（A ，a ），（A ，b ），（B ，C ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，a ），（C ，b ），（a ，b ），共有10种，设“小明和小华恰有1人被选中”为事件E ，则E 包含的基本事件有（A ，a ），（A ，b ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，a ），（C ，b ），共6种，故63()105P E ==．7．答案A命题意图本题考查同角三角函数的基本关系及倍角公式．解析由题可知22222 6(sin cos )2sin cos 7sin 20θθθθθ⎡⎤+--=⎣⎦，化简可得23sin 27sin 260θθ+-=，解得2sin 23θ=或sin 23θ=-（舍去），所以2221cos 412sin 21239θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭．8．答案A命题意图本题考查空间中的位置关系及余弦定理的应用．解析连接CF ，当F 为棱AB 的中点时，CF 最短，则1C F 最短，=，解得2AC =．连接1CB ，1AB ，则1CB DE ∥，1ACB ∠为异面直线AC 与DE 所成的角（或其补角），由余弦定理可得2221111cos 2CA CB AB ACB CA CB +-∠===⋅，故异面直线AC 与DE所成角的余弦值为6．9．答案D命题意图本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系解析设C 的半焦距为()0c c >．由题可知2c a =，b =，又222a b c =+，解得2a =，故C 的方程为22142x y +=，当1x =时，2y =±，不妨取61,2P ⎛ ⎝⎭，又(2,0)A ，所以直线PA的方程为(2)2y x =--，令0x =，得M y =，所以OM =．10．答案B命题意图本题考查诱导公式及三角函数的单调性．解析：()cos(22)sin 222πf x x x ϕϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭Q 的图象与()sin(2)g x x ϕ=+的图象重合，22π2πk ϕϕ∴-+=+，k Z ∈，2π3π6k ϕ∴=-，k Z ∈，令0k =，可得π6ϕ=，()sin 26πg x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．令π2π22π262ππk x k -≤+≤+，k Z ∈，可得π6πππ3k x k -≤≤+，k Z ∈，()g x ∴的单调递增区间为ππ,π3π6k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，选项中只有π,1212π⎛⎫ ⎪⎝⎭-为区间ππ,π3π6k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈的一个子集．11．答案D命题意图本题考查几何体的体积的计算及导数的应用．解析设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则母线长为R ．当圆形铁片的面积最小时，2R最小，因为该漏斗的容积21π3V r h ==，所以2r h =，所以2222R h r h h =+=+．设2y x x =+，则22y x x'=-，令220x x -=，可得x =，当0x <<时，'0y <，当x >'0y >，所以当x =y 取得最小值9，故圆形铁片的面积的最小值为9π．12．答案C命题意图本题考查抛物线的性质及基本不等式的应用．解析如图所示，作AG ⊥l 于点C ，作BH ⊥l 于点H ，设FB uur ，FA uu r的夹角为θ．因为111(||||)(||||)(||||)||222||||||3AG BH AF BF AF BF MM AB AB AB +++'===，所以22211(||||)(||||2||||cos )43AF BF AF BF AF BF θ+=+-，故22||||4cos 312||||AF BF AF BF θ++=≥，所以1cos 2θ≥-，当且仅当||||AF BF =时取等号，又π[]0,θ∈，所以max 2π3θ=．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案14-命题意图本题考查等差数列的性质解析设{}n a 的公差为d ，32236S S =+Q ，112(33)3(2)6a d a d ∴+=++，解得2d =．由4138a a d =+=-，解得114a =-．14．答案22-命题意图本题考查线性规划．解析作出不等式组21020250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，如图中阴影部分所示（含边界），目标函数z x y =-，即y x z =-表示斜率为1，纵截距为z -的直线，当该直线过点A 时，其纵截距z -最大，z 最小由210250x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得()1,3A ，所以min 132z =-=-．15．答案()2215x y +-=命题意图本题考查两直线的位置关系及直线与圆的位置关系．解析设M e 的半径为r ．易知两平行线间的距离等于圆的直径，所以255r ==，5r =由平行关系，可知点M 在直线210x y +-=上，设(),12M a a -，因为点()2,2在M e 上，所以()()2221225r a a =-+--=0a =，故()0,1M ，M e 的方程为()2215x y +-=．16．答案{})11(,-+∞U 命题意图本题考查函数与方程的综合问题．解析因为()()()210f x t f x t ⎡⎤⎦-++=⎣，所以()1f x =或()f x t =恰有5个不同的实根．设(){}2,42G x min x x =---，即()0G x =或()1G x t =-恰有5个不同的实根．设()42g x x =--，()2h x x =-，()g x ，()h x 的大致图象如图，可知()G x 有3个不同的零点，所以方程()1G x t =-需有2个不同的实根，所以10t ->或12t -=-，所以1t >或1t =-．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查分层抽样和独立性检验．解析（I ）列联表补充如下：《红楼梦》《三国演义》合计男生3070100女生6040100合计90110200男生人数为3018690⨯=，女姓人数为60181290⨯=．（II ）因为()()()()()()2222003040607018.18210.82890110100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关，18．命题意图本题考查等比数列的通项公式及错位相减法求数列的前n 项和．解析（I ）2121S S =-Q ，12121a a a ∴+=-，211a a ∴=-．24523636a a a a a a a a ==Q ，21a ∴=，．a ，=2，则{a 。
2024年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学五模试卷及答案解析
2024年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学五模试卷一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣2024的倒数是（）A．﹣2024B．2024C．D．2．（3分）如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．三个视图都是B．主视图C．左视图D．俯视图3．（3分）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射．如图，∠1＝70°，∠2＝175°，则∠3的度数是（）A．70°B．80°C．85°D．75°4．（3分）若将一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称，所得的图象经过点（2，1），则b的值是（）A．﹣3B．3C．﹣5D．55．（3分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E在边AD上，且AE＝2，连接BE，过点C作CF⊥BE 于点F，交BD于点P，交AB于点Q，则DP的长为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，AB为⊙O的弦，MN垂直平分AB，垂足为M，交⊙O于N，若，MN＝3，则的长是（）A．B．C．D．π7．（3分）二次函数y＝x2+bx+3的图象过点A（2，3），若关于x的一元二次方程x2+bx＝t﹣4（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．6＜t＜11B．2≤t＜11C．3≤t＜12D．3≤t＜7二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）8．（3分）若点A在数轴上表示的数是﹣3，将点A向右平移2个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是．9．（3分）在标准条件下，每立方米氢气约重0.0000899吨．数据0.0000899用科学记数法表示为．10．（3分）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．11．（3分）如图，点A、B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，过点A作AC⊥y轴于点C，交BO于点D，若，△OAD的面积为8，则k的值为．12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点D是边AC上一动点，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，当最大时，AD的长为．三、解答题（共13小题，计84分.解答应写出过程）13．（5分）计算：．14．（5分）解不等式：．15．（5分）解方程：．16．（5分）如图，在△ABC中，点D为AB边的中点，请用直尺和圆规在AC边上求作一点E，使得S△BCE ．（不写作法，保留作图痕迹）＝S△BCD17．（5分）如图，AB∥CD，点E在BC上，AC＝ED，且∠ACD＝∠B+∠D，求证：BC＝CD．18．（5分）有一张直角三角形纸片，它的两条直角边分别为a和b（a＜b），将这张直角三角形纸片分别以它的两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到两个圆锥体（如图①、图②）．试猜想哪个圆锥体的体积大，并通过计算证明你的猜想．（注：，共中V为圆锥的体积，r为圆锥的底面半径，h为圆锥的高）19．（5分）在一个盲盒中放有6个白球，7个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全相同，每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.3左右．（1）估计盲盒中大约有个红球；（2）从盲盒中取出2个白球，2个黄球，1个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，请用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率．20．（6分）某商场销售一种学生用的计算器，进价为每台20元，售价为每台30元，每周可卖160台．根据市场调查，发现如果每台计算器的售价每上涨1元，每周就会少卖10台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元．（1）设每台售价上涨x元，每周的销售量为y台，则y与x之间的函数关系式为；（2）当计算器售价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元？21．（6分）某校初三年级一共有1600名学生，在一次体育模考后，为了了解本校初三学生体育成绩的情况，随机抽取了男生、女生各40名的成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：①满分60分，最低分40分；②数据分为A，B，C，D四个等级分别是：A：55≤x≤60，B：50≤x＜55，C：45≤x＜50，D：40≤x＜45．（单位：分）；③男生成绩在B组的分数分别为：50，50，51，51，51，51.5，52，52，52，52，52，52，53，53，53.5；④40名男生成绩的条形统计图和40名女生成绩的扇形统计图如图所示．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图，在扇形统计图中女生成绩为B等级对应的圆心角的度数为°；（2）所抽取的40名男生成绩的中位数为分；（3）估计该年级所有参加体考的学生，成绩为A等级的考生人数有多少人？22．（7分）大雁塔是西安的标志性建筑，也是世界文化遗产，在大雁塔南广场有一座玄奘法师铜像．五一期间，酷爱数学的小明和小亮来西安游玩，他俩站在玄奘法师的铜像前，想利用数学知识测量这座铜像的高度．于是，他们找来测量工具如图所示进行测量．小明站在点A处，用侧倾器测得大雁塔PQ的塔顶Q的仰角为21.3°，接着小明向前走了4米至点C处，此时视线正好被铜像EF挡住了大雁塔（即点D、F、Q三点共线），小亮测得此时小明距铜像21米．通过手机查阅大雁塔的高度约为64米，小明的眼睛距地面高度约1.6米，请根据以上数据求出玄奘法师铜像EF的高度．（参考数据：sin21.3°≈0.36，cos21.3°≈0.93，tan21.3°≈0.39）23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，延长BA交⊙O于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若AF＝6，，求⊙O的半径．24．（10分）2022年北京冬奥会的成功举办让更多的人参与到了冰雪运动中来!如图①是某处滑雪大跳台的实景图，建立如图②所示的平面直角坐标系，其中DC段可以近似的看作抛物线：（1≤x≤6）的一部分，BD∥x轴，点B在y轴上，点C在x轴上，且BD ＝1．某滑雪爱好者在一次滑雪比赛中沿斜坡AB加速至B处腾空而起，近似地沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在DC段上，已知当他运行的水平距离为2米时，达到离地面的最大高度为9米．（1）点B的坐标为；（2）求该滑雪爱好者腾空后的抛物线（BEF）的表达式；（3）若此次滑雪评分细则规定：当运动员的腾空高度与DC段之间的竖直最大距离不少于6米时，则该运动员在“腾空高度分”就可以给满分．请通过计算说明该滑雪爱好者的“腾空高度分”是否能得到满分．25．（12分）问题探究（1）一副三角板如图①所示放置，可得△ABD和△CBD的面积比为；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠B＝75°，∠D＝60°，AD＝CD，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是某市在建的休闲广场，按照设计要求，休闲广场要利用点B、D的两座凉亭，需建在BD的两边，且满足sin∠ABC＝，sin∠ADC＝，BC＝AB，经测量两座凉亭B、D 之间的距离为500米，若计划在建成的休闲广场内的△ACD区域内种植花卉，问能否使得种植花卉的面积最大？若能，求出种植花卉的最大面积；若不能，请说明理由．2024年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学五模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．【解答】解：∵，故选：C．【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．2．【分析】根据主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形判断即可．【解答】解：如图所示：“十”字是中心对称图形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，掌握三视图的画法是解答本题的关键．3．【分析】根据“两直线平行，同位角线段”求出∠MND＝∠1＝70°，根据角的和差求出∠END＝105°，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1＝70°，∴∠MND＝∠1＝70°，∵∠MND+∠END＝∠2＝175°，∴∠END＝105°，∵CD∥EF，∴∠END+∠3＝180°，∴∠3＝75°，故选：D．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．4．【分析】先写出一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称的函数解析式，然后再将点（2，1）代入即可求得b的值．【解答】解：∵函数解析式为一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称∴关于x轴对称的函数解析式﹣y＝﹣2x﹣b，即y＝2x+b．∵所得的图象经过点（2，1），∴1＝4+b．解得b＝﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查了一次函数图象的对称，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．5．【分析】根据矩形的性质及CF⊥BE，可证得△BCQ∽△ABE，从而求出BQ的长，再证得△BPQ∽△DPC，得出BP与DP之间的关系，由勾股定理求出BD的长，即可求出DP的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB∥CD，BC＝AD＝9，CD＝AB＝6，∴∠BCQ+∠BQC＝90°，∵CF⊥BE，∴∠BFQ＝90°，∴∠BQC+∠ABE＝90°，∴∠BCQ＝∠ABE，∴△BCQ∽△ABE，∴，∴，∴BQ＝3，∵AB∥CD，∴△BPQ∽△DPC，∴＝，设BP＝x，则DP＝2x，∴BD＝3x，在Rt△ABD中，由勾股定理得，∴x＝，∴DP＝2x＝，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质及定理是解题的关键．6．【分析】连接OA、OB，根据垂径定理推论推出MN过点O，则AM＝BM＝AB＝，根据等腰三角形性质求出∠AOB＝2∠AOM，解直角三角形求出OA＝2，∠AOM＝60°，则∠AOB＝120°，根据弧长＝求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵AB为⊙O的弦，MN垂直平分AB，∴MN过点O，∴AM＝BM＝AB＝，∴∠AOB＝2∠AOM，∵MN＝3，MN＝ON+OM，ON＝OA，∴OM＝3﹣OA，在Rt△AOM中，OA2＝AM2+OM2，∴OA2＝+（3﹣OA）2，∴OA＝2，∵sin∠AOM＝＝，∴∠AOM＝60°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝，故选：A．【点评】此题考查了弧长的计算、垂径定理等知识，熟记弧长计算公式是解题的关键．7．【分析】依据题意，将A代入解析式求得b值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程x2+bx＝t﹣4（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t﹣1有交点，再由﹣1＜x ＜4时的临界函数值及对称轴处的函数值得出t的取值范围即可．【解答】解：由题意，将A（2，3）代入二次函数y＝x2+bx+3，∴b＝﹣2．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．∴一元二次方程x2+bx＝t﹣4有实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t﹣1有交点．∵方程x2﹣2x＝t﹣4在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，又当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；当x＝1时，y＝2，∴2≤t﹣1＜11．∴3≤t＜12．故选C．【点评】本题主要考查了二次函数与x轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）8．【分析】根据题意可知，点A在数轴上表示的数是﹣3，将点A向右平移2个单位长度，正好与点B重合，因此点B表示的数是：﹣3+2＝﹣1．【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是﹣3，将点A向右平移2个单位长度，正好与点B重合，∴点B表示的数是：﹣3+2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布情况是解题的关键．9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0.0000899＝8.99×10﹣5．故答案为：8.99×10﹣5．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40，解得n＝9．故答案为9．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．11．【分析】根据反比例函数k值的几何意义可知：S△OAD＝S梯形CEBD＝8，利用相似推导出S△OEB＝8+1＝9，继而得到k值即可．【解答】解：如图，作BE⊥y轴，垂足为E，＝S△OBE，根据反比例函数k值的几何意义可知：S△OAC∴S△OAD＝S梯形CEBD＝8，∵CD∥BE，∴△OCD∽△OEB，∴＝，＝x，则有：，解得x＝1，设S△OCD＝8+1＝9，∴S△OEB＝2×9＝18，∴丨k丨＝2S△OEB∵反比例函数图象在第四象限，∴k＝﹣18．故答案为：﹣18．【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．12．【分析】由勾股定理求出AB＝＝10，由∠AEB＝90°，得到E在以AB为直径是圆O上，连接OE，交AC于H，当OE⊥AC时，OH最小，由垂径定理得到AH＝CH＝AC＝4，由勾股定理求出OH＝＝3，求出EH最大值＝5﹣3＝2，由△EDH∽△BDC，得到ED：BD＝EH：BC＝DH：CD，求出的最大值＝，求出DH＝CH＝1，即可得到AD＝AH+DH＝4+1＝5．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴E在以AB为直径是圆O上，连接OE，交AC于H，当OE⊥AC时，OH最小，由垂径定理得到AH＝CH＝AC＝4，∵OA＝AB＝5，∴OH＝＝3，∵EH＝OE﹣OH，∴EH最大值＝5﹣3＝2，∵∠EHD＝∠C＝90°，∠EDH＝∠BDC，∴△EDH∽△BDC，∴ED：BD＝EH：BC＝DH：CD，∵BC＝6，EH的最大值是2，∴的最大值＝＝，∵CH＝4，DH：CD＝1：3，∴DH＝CH＝1，∴AD＝AH+DH＝4+1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是证明△EDH ∽△BDC，得到ED：BD＝EH：BC＝DH：CD．三、解答题（共13小题，计84分.解答应写出过程）13．【分析】首先计算负整数指数幂、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝6﹣1﹣3＝2．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．14．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项，系数化为1可得其解集．【解答】解：，去分母，得：9x﹣3＜4x﹣8，移项，得：9x﹣4x＜﹣8+3，合并，得：5x＜﹣5，系数化为1，得：x＜﹣1．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．15．【分析】方程两边都乘x﹣3得出x﹣3﹣1＝2﹣x，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘x﹣3，得x﹣3﹣1＝2﹣x，解得：x＝3，检验：当x＝3时，x﹣3＝0，所以x＝3是增根，即分式方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．16．【分析】过点D作∠ADE＝∠ABC，交AC于点E，连接BE，由平行线的判定可得DE∥BC，即可得S ＝S△BCD．△BCE【解答】解：如图，过点D作∠ADE＝∠ABC，交AC于点E，连接BE，则DE∥BC，＝S△BCD，∴S△BCE则点E即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图、三角形的面积、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．【分析】由平行线的性质得∠B＝∠DCE，再证∠D＝∠ACB，然后证△ABC≌△ECD（AAS），即可得出结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE，∵∠ACD＝∠B+∠D＝∠ACB+∠DCE，∴∠D＝∠ACB，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．18．【分析】分别计算出绕边长为b的直角边旋转一周时，得到的圆锥的体积；绕边长为a的直角边旋转一周时，得到的圆锥的体积，然后再比较它们的大小即可得出结论．【解答】解：绕边长为a的直角边旋转一周得到的圆锥的体积较大，理由如下：绕边长为b的直角边旋转一周时，得到的圆锥的底面半径为a，高为b，则该圆锥的体积为：πa2b，绕边长为a的直角边旋转一周时，得到的圆锥的底面半径为b，高为a，则该圆锥的体积为：πb2a，∴πa2b﹣πb2a＝πab（a﹣b），∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴πab（a﹣b）＜0，即πa2b＜πb2a，故绕边长为a的直角边旋转一周得到的圆锥的体积较大．【点评】此题主要考查了平面图形的旋转，圆锥的体积计算，正确的计算出圆锥的体积并比较它们的大小是解决问题的关键．19．【分析】（1）由白球的个数及其频率的稳定值得出球的总个数，继而可得答案；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）由题意知，盒中球的总个数约为6÷0.3＝20（个），所以估计盲盒中红球大约有20﹣（6+7）＝7（个），故答案为：7；（2）列表如下：白白黄黄红白（白，白）（黄，白）（黄，白）（红，白）白（白，白）（黄，白）（黄，白）（红，白）黄（白，黄）（白，黄）（黄，黄）（红，黄）黄（白，黄）（白，黄）（黄，黄）（红，黄）红（白，红）（白，红）（黄，红）（黄，红）由表知，共有20种等可能结果，其中摸到两个球颜色相同的有4种结果，所以摸到两个球颜色相同的概率为＝．【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．【分析】（1）根据售价每上涨1元，每周就会少卖10台，即可得出结论；（2）根据商场每周的利润恰好为1680元，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）由题意得：y＝160﹣10x，故答案为：y＝160﹣10x；（2）由题意得：（30+x﹣20）（160﹣10x）＝1680，整理得：x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4，当x＝2时，30+x＝32，符合题意；当x＝4时，30+x＝34，不符合题意，舍去；答：当计算器售价为32元时，商场每周的利润恰好为1680元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找出数量关系，正确列出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．21．【分析】（1）将40减去B，C，D等级的人数，求出A等级的人数，再补全条形统计图即可；先将100%减去其他3组所占百分比的和求出B等级所占百分比，再乘以360°即可求出在扇形统计图中女生成绩为B等级对应的圆心角的度数；（2）根据中位数的意义确定所抽取的40名男生成绩的中位数即可；（3）将样本中成绩为A等级的考生所占比乘以1600即可作出估计．【解答】解：（1）男生A等级的人数为：40﹣15﹣6﹣3＝16（名），补全条形统计图如下：在扇形统计图中女生成绩为B等级对应的圆心角的度数为：（100%﹣35%﹣15%﹣5%）×360°=162°，故答案为：162；（2）所抽取的40名男生成绩的中位数应是数据有小到大排列第20，第21个数据的平均数，∵D，C等级共有9个数据，所以第20，第21个数据是B等级由小到大排列的第11数据52分，第12个数据52分的平均数，∴所抽取的40名男生成绩的中位数为：（52+52）÷2＝52（分），故答案为：52；（3）×1600＝600（人），∴估计该年级所有参加体考的学生，成绩为A等级的考生人数有600人．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，用样本估计总体，能从统计图中获取有效数据，掌握中位数的确定方法是解题的关键．22．【分析】连接BD交EF于点G，交PQ于点H，根据题意可得：AB＝CD＝EG＝HP＝1.6米，EF⊥BG，QP⊥BH，AC＝BD＝4米，CE＝DG＝21米，PQ＝64米，从而可得QH＝62.4米，然后在Rt△BQH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，从而求出DH的长，最后证明A字模型相似△FGD∽△QHD，从而利用相似三角形的性质求出FG的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：连接BD交EF于点G，交PQ于点H，由题意得：AB＝CD＝EG＝HP＝1.6米，EF⊥BG，QP⊥BH，AC＝BD＝4米，CE＝DG＝21米，PQ＝64米，∴QH＝QP﹣PH＝64﹣1.6＝62.4（米），在Rt△BQH中，∠QBH＝21.3°，∴BH＝≈＝160（米），∴DH＝BH﹣BD＝160﹣4＝156（米），∵EF⊥BG，QP⊥BH，∴∠FGD＝∠QHD＝90°，∵∠FDG＝∠QDH，∴△FGD∽△QHD，∴＝，∴＝，解得：FG＝8.4，∴EF＝FG+EG＝8.4+1.6＝10（米），∴玄奘法师铜像EF的高度约为10米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．【分析】（1）连接OD，AD，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到BD＝CD，则OD为△CAB的中位线，得到OD∥AB，再利用圆的切线的性质定理得到OD⊥DE，结论可得；（2）连接FC，利用圆周角定理，平行线的性质和三角形的中位线的性质得到DE＝FC，利用直角三角形的边角关系定理得到，设AD＝k，则BD＝2k，利用勾股定理，三角形的面积公式得到用k 的代数式表示出的线段FC，AC，最后利用勾股定理列出方程求得k值，则结论可求．【解答】（1）证明：连接OD，AD，如图，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴OD为△CAB的中位线，∴OD∥AB．∵过点D作⊙O的切线，交AB于点E，∴OD⊥DE，∴DE⊥AB；（2）解：连接FC，∵AC为直径，∴∠AFC＝90°，∴CF⊥AB．∵DE⊥AB，∴DE∥FC．∵BD＝DC，∴DE为△BFC的中位线，∴DE＝FC．∵，tan B＝，∴，设AD＝k，则BD＝2k，∴AB＝＝k．∴AC＝AB＝k．∵AD•BD＝AB•DE，∴DE＝＝k，∴FC＝2DE＝k．在Rt△AFC中，∵AF2+FC2＝AC2，∴，∵k＞0，∴AC＝2×＝10，∴⊙O的半径为5．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，连接直径所对的圆周角，经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．24．【分析】（1）先求出D点坐标，再求出B点坐标；（2）用待定系数法求解析式即可；（3）设抛物线（BEF）上一点P，作PQ∥y轴，交抛物线（DC）于Q，设P（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，m2﹣m+），从而得出PQ＝﹣（m﹣）2+，由函数性质求出PQ的最大值与6比较即可．【解答】解：（1）∵BD＝1，∴当x＝1时，y＝×12﹣×1+＝5，∴D（1，5），则B（0，5），故答案为：（0，5）；（2）由题意知，顶点E为（2，9），设抛物线（BEF）的表达式为y＝a（x﹣2）2+9，把B（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+9得，5＝a×（0﹣2）2+9，解得a＝﹣1，∴抛物线（BEF）的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5；（3）设抛物线（BEF）上一点P，作PQ∥y轴，交抛物线（DC）于Q，设P（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，m2﹣m+），∴PQ＝﹣m2+4m+5﹣m2+m﹣＝﹣m2+m﹣＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，PQ最大，最大值为，∵＞6，∴该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分．【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．25．【分析】（1）作CE⊥BD于E，不妨设AD＝1，则BD＝AD＝，则CE＝，从而得出＝；（2）将△ADB绕点D逆时针旋转60°至△EDC，连接BD，BE，作EF⊥BC，交BC的延长线于F，可得出△BDE是等边三角形，∠BCE＝135°，进而得出∠EGF＝180°﹣∠BCE＝45°，从而得出EF ＝CF＝CE＝2，进而得出DE的长，从而得出等边三角形DBE的面积，进一步得出结果；（3）作△BCE∽△BAD，且，作DF⊥BE于F，作AG⊥CD，从而得出∠CBE＝∠ABD，∠ADB＝∠BEC，BE＝BD＝400，CE＝AD，AG＝AD，解三角形求得DE，可得出∠DCE＝90°，从而得出△CDE的面积最大值，根据（1）的结论求得结果．【解答】解：（1）如图1，作CE⊥BD于E，∵∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°﹣∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BE＝DE，∴CE＝BD，不妨设AD＝1，则BD＝AD＝，则CE＝，∴＝，故答案为：；（2）如图2，将△ADB绕点D逆时针旋转60°至△EDC，连接BD，BE，作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∴BD＝DE，∠BDE＝60°，∠DEC＝∠ABD，CE＝AB＝2，△BDE是等边三角形，∴∠BCE＝∠BDE+∠DBC+∠DEC＝60°+∠DBC+∠ABD＝60°+∠ABC＝60°+75°＝135°，∴∠EGF＝180°﹣∠BCE＝45°，∴EF＝CF＝CE＝2，∴BF＝BC+CF＝4，∴DE＝，＝BE2•sin60°＝＝5，∴S△DBES△BCE＝，＝S△BDE﹣S△BCE＝5；∴S四边形ABCD（3）如图3，作△BCE∽△BAD，且，作DF⊥BE于F，作AG⊥CD，∴∠CBE＝∠ABD，∠ADB＝∠BEC，BE＝BD＝400，CE＝AD，AG＝AD，∴∠DBE＝∠ABC，∴sin∠DBE＝sin∠ABC＝，∴sin∠BDF＝，∴DF＝BD•sin∠DBE＝400，BF＝BD•sin∠BDF＝300，∴EF＝BE﹣BF＝100，∴DE2＝DF2+EF2＝4002+1002＝170000，∵∠DCE＝∠DBE+∠BEC+∠BDC＝∠DBE+∠ADB+∠BDC＝∠DBE+∠ADC＝90°，＝＝＝42500m2，∴S△CDE最大由（1）知：＝，＝×42500＝31875m2．∴S△ACD最大【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形。
陕西省陕西师大附中2024年高三第二学期期末数学试题模拟试题
陕西省陕西师大附中2024年高三第二学期期末数学试题模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D．22+ 2．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤3．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．34．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c，已知1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或1206．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%7．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数） ①32e >；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．38．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭10．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩ 11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 211B ．52 C ．5D ．5112．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2024届陕西省西安市碑林区西安交通大学附属中学高三下学期期末“3+1”质量调研数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒2．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+ D3．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩4．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④5．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=6．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0B ．55C ．66D ．787．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ） A ．183B ．163C ．143D ．1238．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3)B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅10．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．111．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．412．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A ．2B ．3C ．1D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数()12x f x =-的定义域是__________．14．已知F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，P 为C 上一点，M （﹣4，3），则△PMF 周长的最小值是_____.15．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), P 为正方体表面上的动点,当弦MN 的长度最大时, PM PN ⋅的取值范围是______.16．已知复数()()12z i a i =++,其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等,则实数a 的值为__________． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在中，角的对边分别为,且.（1）求的值； （2）若,求的取值范围.18．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点()00,P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，001,x y e ==.（1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆于点,A B （,A B 不重合）.设1122,AF F P BF F P λμ==，求λμ+的最小值.19．（12分）已知1()252f x x x =+--. （1）求不等式()1f x 的解集；（2）记()f x 的最小值为m ，且正实数,a b 满足44a b a mb b ma+=+--.证明：2a b +.20．（12分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为n （单位：瓶）时，y 的数学期望的取值范围？21．（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望值．附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++22．（10分）已知曲线1C ：sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭和2C ：x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. （1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的方程化为极坐标方程；（2）设1C 与x，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与1C ，2C交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 【解题分析】根据椭圆的定义可得14PF =，12F F =，再利用余弦定理即可得到结论. 【题目详解】由题意，12F F =，126PF PF +=，又22PF =，则14PF =， 由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯.故12120F PF ︒∠=.故选：C. 【题目点拨】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题. 2．A 【解题分析】画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到222x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案. 【题目详解】画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，所以AOB 的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2π， 由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ，故选A 项.【题目点拨】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题. 3．C 【解题分析】对选项逐个验证即得答案. 【题目详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确；对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误. 故选：C . 【题目点拨】本题考查函数的基本性质，属于基础题. 4．C 【解题分析】根据函数()f x 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【题目详解】()f x 的定义域为R .由于()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于sin cos sin cos 666444f f ππππππ⎛⎫⎛⎫-=+=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，64f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不是单调递增函数，所以②错误.当0x ≥时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=±=±≤ ⎪⎝⎭，且存在4x π=，使sin cos 444f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以当0x ≥时，()f x ≤；由于()f x 为偶函数，所以x ∈R 时()f x ≤，所以()f x ，所以③错误.依题意，(0)sin 0cos01f =+=，当02x π<≤时，()3sin cos ,0,2223sin cos ,22x x x x f x x x x πππππ⎧+<≤≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或，所以令sin cos 0x x +=，解得74x π=，令sin cos 0x x -=，解得54=x π.所以在区间(]0,2π，()f x 有两个零点.由于()f x 为偶函数，所以()f x 在区间[)2,0π-有两个零点.故()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【题目点拨】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 5．A 【解题分析】根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合1C 和2C的离心率之积为2，即可得,a b 的关系，进而得双曲线的离心率方程. 【题目详解】椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，则椭圆离心率1e =2e = 由1C 和2C的离心率之积为2，即12e e ==，解得2b a =±，所以渐近线方程为2y x =±，化简可得0x ±=，故选：A. 【题目点拨】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题. 6．D 【解题分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【题目详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122⨯=（）78= 故选：D 【题目点拨】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题. 7．B 【解题分析】设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积． 【题目详解】将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则34863R ππ=，得6R =ABCD 的外接球和正方体的3a=226R =a=22．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD 2a=2224=，因此，这个正四面体的表面积为2341634a ⨯=故选：B ． 【题目点拨】本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题． 8．B 【解题分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系. 【题目详解】若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行； 当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行. 所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件， 当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件， 故选：B. 【题目点拨】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.9．C【解题分析】 先化简7{|(27)0}|02N x x x x x⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭，再求M N ⋃. 【题目详解】 因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭， 又因为{|13}M y y =-<<，所以71,2M N ⎛⎤⋃=- ⎥⎝⎦， 故选：C.【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.10．D【解题分析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可.【题目详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==. 故选：D. 【题目点拨】 本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11．D【解题分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x =+-，利用均值不等式得到答案. 【题目详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x y x x PM P P M x F x Q P x x -+-+====+≥-， 当4x x=，即2x =时等号成立. 故选：D .【题目点拨】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.12．B【解题分析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．【题目详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l =++=．故选：B ．【题目点拨】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。