一轮复习配套讲义：第6篇 第4讲 基本不等式(2)

第4讲 根本不等式[最|新考纲]1．了解根本不等式的证明过程．2．会用根本不等式解决简单的最|大(小)值问题.知 识 梳 理1．根本不等式：ab ≤a ＋b2 (1)根本不等式成立的条件：a >0 ,b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b 的算术平均数 ,ab 称为正数a ,b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ) ,当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ) ,当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号) ,当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用根本不等式求最|值 x ＞0 ,y ＞0 ,那么(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时 ,x ＋y 有最|小值是2p (简记：积定和最|小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时 ,xy 有最|大值是s 24(简记：和定积最|大)．辨 析 感 悟1．对根本不等式的认识(1)当a ≥0 ,b ≥0时 ,a ＋b2≥ab .(√)(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×) 2．对几个重要不等式的认识(3)(a ＋b )2≥4ab (a ,b ∈R )．(√) (4)2ab a ＋b＝21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.(×)(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ,b ,c ∈R )．(√) 3．利用根本不等式确定最|值(6)函数y ＝sin x ＋4sin x ,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2的最|小值为4.(×) (7)(2021·福州模拟改编)假设x ＞－3 ,那么x ＋4x ＋3的最|小值为1.(√) (8)(2021·四川卷改编)函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0 ,a ＞0)在x ＝3时取得最|小值 ,那么a ＝36.(√) [感悟·提升]两个防范 一是在应用根本不等式求最|值时 ,要把握不等式成立的三个条件 ,就是 "一正 - -各项均为正；二定 - -积或和为定值；三相等 - -等号能否取得〞 ,假设忽略了某个条件 ,就会出现错误．对于公式a ＋b ≥2ab ,ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,要弄清它们的作用、使用条件及内在联系 ,两个公式也表达了ab 和a ＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)．二是在利用不等式求最|值时 ,一定要尽量防止屡次使用根本不等式．假设必须屡次使用 ,那么一定要保证它们等号成立的条件一致.学生用书第103页【例1】x ＞0 ,y ＞0 ,z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明 ∵x ＞0 ,y ＞0 ,z ＞0 ,∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0 ,x y ＋z y ≥2 xzy ＞0 , x z ＋y z ≥2 xyz ＞0 ,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．规律方法 利用根本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况 ,证明思路是从已证不等式和问题的条件出发 ,借助不等式的性质和有关定理 ,经过逐步的逻辑推理最|后转化为需证问题． 【训练1】a ＞0 ,b ＞0 ,c ＞0 ,且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0 ,b ＞0 ,c ＞0 ,且a ＋b ＋c ＝1 , ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9 ,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时 ,取等号．考点二 利用根本不等式求最|值【例2】 (1)(2021·山东卷)设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0 ,那么当xyz 取得最|大值时 ,2x ＋1y －2z 的最|大值为( )． A ．0 B ．1 C.94D ．3(2)(2021·广州一模)2x ＋2y ＝1 ,(x ＞0 ,y ＞0) ,那么x ＋y 的最|小值为( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8审题路线 (1)x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒变形得z ＝x 2－3xy ＋4y 2⇒代入zxy ⇒变形后利用根本不等式⇒取等号的条件把2x ＋1y －2z 转化关于1y 的一元二次函数⇒利用配方法求最|大值．解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0 ,得z ＝x 2－3xy ＋4y 2 , ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3.又x ,y ,z 为正实数 ,∴x y ＋4yx ≥4 , 当且仅当x ＝2y 时取等号 ,此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1 ,当1y ＝1 ,即y ＝1时 ,上式有最|大值1.(2)∵x ＞0 ,y ＞0 ,∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ,即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D规律方法 条件最|值的求解通常有两种方法：一是消元法 ,即根据条件建立两个量之间的函数关系 ,然后代入代数式转化为函数的最|值求解；二是将条件灵活变形 ,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子 ,然后利用根本不等式求解最|值．【训练2】 (1)假设正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,那么3x ＋4y 的最|小值是( )． A.245B.285 C ．5 D ．6(2)(2021·浙江十校联考)假设正数x ,y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30 ,那么xy 的最|大值是( )． A.43B.53 C ．2 D.54解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1 ,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ,即x ＝1 ,y ＝12时 ,等号成立) , ∴3x ＋4y 的最|小值是5.(2)由x ＞0 ,y ＞0 ,得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立) ,∴12xy ＋3xy ≤30 ,即xy ≤2 ,∴xy 的最|大值为2. 答案 (1)C (2)C考点三 根本不等式的实际应用【例3】(2021·济宁期末)小|王大学毕业后 ,决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查 ,生产某小型电子产品需投入年固定本钱为3万元 ,每生产x 万件 ,需另投入流动本钱为W (x )万元 ,在年产量缺乏8万件时 ,W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时 ,W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析 ,小|王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定本钱－流动本钱)(2)年产量为多少万件时 ,小|王在这一商品的生产中所获利润最|大 ?最|大利润是多少 ?解 (1)因为每件商品售价为5元 ,那么x 万件商品销售收入为5x 万元 ,依题意得 ,当0＜x ＜8时 ,L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时 ,L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －30＜x ＜835－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x x ≥8.(2)当0＜x ＜8时 ,L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时 ,当x ＝6时 ,L (x )取得最|大值L (6)＝9万元 , 当x ≥8时 ,L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15 ,此时 ,当且仅当x ＝100x 时 ,即x ＝10时 ,L (x )取得最|大值15万元．∵9＜15 ,所以当年产量为10万件时 ,小|王在这一商品的生产中所获利润最|大．最|大利润为15万元．规律方法 (1)利用根本不等式解决实际问题时 ,应先仔细阅读题目信息 ,理解题意 ,明确其中的数量关系 ,并引入变量 ,依题意列出相应的函数关系式 ,然后用根本不等式求解．(2)在求所列函数的最|值时 ,假设用根本不等式时 ,等号取不到 ,可利用函数单调性求解．【训练3】 为响应国|家扩大内需的政策 ,某厂家拟在2021年举行促销活动 ,经调查测算 ,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动 ,那么该产品的年销量只能是1万件．2021年生产该产品的固定投入为6万元 ,每生产1万件该产品需要再投入12万元 ,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均本钱的1.5倍(产品本钱包括固定投入和再投入两局部)．(1)将该厂家2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时 ,厂家利润最|大 ? 解 (1)由题意有1＝4－k 1 ,得k ＝3 ,故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)．(2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12.由根本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6 , 当且仅当9t ＋12＝t ＋12 ,即t ＝2.5时等号成立 ,故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12 ≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t ＋12＝t ＋12时 ,等号成立 ,即t ＝2.5时 ,y 有最|大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时 ,该厂家利润最|大 ,最|大利润为21.5万元． 1．根本不等式具有将 "和式〞转化为 "积式〞和将 "积式〞转化为 "和式〞的放缩功能 ,常常用于比拟数(式)的大小或证明不等式 ,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点 ,选择好利用根本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格 ,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7 - -如何挖掘根本不等式中的 "相等〞【典例】(2021·天津卷)设a ＋b ＝2 ,b >0 ,那么12|a |＋|a |b 取得最|小值为________． [审题] 一审条件：a ＋b ＝2 ,b ＞0 ,转化为条件求最|值问题； 二审问题：12|a |＋|a |b 转化为 "1〞的代换； 三审过程：利用根本不等式时取等号的条件．解析 因为a ＋b ＝2 ,所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34 ,当且仅当b 4|a |＝|a |b ,a <0 ,即a ＝－2 ,b ＝4时取等号 ,故12|a |＋|a |b 的最|小值为34. 答案 34[反思感悟]在求解含有两个变量的代数式的最|值问题时 ,通常的解决方法是变量替换或常值 "1”的替换 ,即由条件得到某个式子的值为常数 ,然后将欲求最|值的代数式乘上常数 ,再对代数式进行变形整理 ,从而可利用根本不等式求最|值． 【自主体验】(2021·台州一模)设x ,y 均为正实数 ,且32＋x ＋32＋y＝1 ,那么xy 的最|小值为( )． A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 解析 由32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ,∵x ,y 均为正实数 ,∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立) ,即xy －2xy －8≥0 ,解得xy ≥4 ,即xy ≥16 ,故xy 的最|小值为16. 答案 D对应学生用书P303根底稳固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2021·泰安一模)假设a ,b ∈R ,且ab ＞0 ,那么以下不等式中 ,恒成立的是( )．A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋ab ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析 因为ab ＞0 ,即b a ＞0 ,a b ＞0 ,所以b a ＋ab ≥2b a ×ab ＝2.答案 C2．(2021·杭州一模)设a ＞0 ,b ＞0.假设a ＋b ＝1 ,那么1a ＋1b 的最|小值是( )． A ．2 B.14 C ．4 D ．8解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4 ,当且仅当ba＝ab,即a＝b＝12时,取等号,所以最|小值为4.答案 C3．(2021·金华十校模拟)a＞0 ,b＞0 ,a ,b的等比中项是1 ,且m＝b＋1a,n＝a＋1b,那么m＋n的最|小值是()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由题意知：ab＝1 ,∴m＝b＋1a＝2b ,n＝a＋1b＝2a ,∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.答案 B4．(2021·陕西卷)小|王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b) ,其全程的平均时速为v ,那么()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b ,∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0 ,∴v>a.答案 A5．(2021·兰州模拟)函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1) ,当x＝a时,y取得最|小值b ,那么a＋b＝()．A．－3 B．2 C．3 D．8解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5 ,由x＞－1 ,得x＋1＞0 ,9x＋1＞0 ,所以由根本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1 ,当且仅当x＋1＝9x ＋1 ,即(x ＋1)2＝9 ,所以x ＋1＝3 ,即x ＝2时取等号 ,所以a ＝2 ,b ＝1 ,a ＋b ＝3. 答案 C 二、填空题6．(2021·广州模拟)假设正实数a ,b 满足ab ＝2 ,那么(1＋2a )·(1＋b )的最|小值为________．解析 (1＋2a )(1＋b )＝5＋2a ＋b ≥5＋22ab ＝9.当且仅当2a ＝b ,即a ＝1 ,b ＝2时取等号． 答案 97．x ,y ∈R ＋ ,且满足x 3＋y4＝1 ,那么xy 的最|大值为______． 解析 ∵x ＞0 ,y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12 ,∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4 ,即当x ＝32 ,y ＝2时取等号． 答案 38．函数y ＝a 1－x (a ＞0 ,a ≠1)的图象恒过定点A ,假设点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上 ,那么1m ＋1n 的最|小值为________． 解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1) ,又∵A 在直线上 ,∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4 ,当且仅当m ＝n ＝12时 ,取 "＝〞 ,∴1m ＋1n 的最|小值为4. 答案 4 三、解答题9．a ＞0 ,b ＞0 ,a ＋b ＝1 ,求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明 1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ,∵a ＋b ＝1 ,a ＞0 ,b ＞0 ,∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4 , ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．x >0 ,y >0 ,且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最|大值； (2)求1x ＋1y 的最|小值． 解 (1)∵x >0 ,y >0 ,∴由根本不等式 ,得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20 ,∴210xy ≤20 ,xy ≤10 ,当且仅当2x ＝5y 时 ,等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝202x ＝5y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2 此时xy 有最|大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5 ,y ＝2时 ,u ＝lg x ＋lg y 有最|大值1. (2)∵x >0 ,y >0 ,∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020 , 当且仅当5y x ＝2xy 时 ,等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝205y x ＝2xy 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最|小值为7＋21020.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．x >0 ,y >0 ,且2x ＋1y ＝1 ,假设x ＋2y >m 2＋2m 恒成立 ,那么实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞ ,－2]∪[4 ,＋∞)B ．(－∞ ,－4]∪[2 ,＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0 ,y >0且2x ＋1y ＝1 , ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8 ,当且仅当4y x ＝x y ,即x ＝4 ,y ＝2时取等号 ,∴(x ＋2y )min ＝8 ,要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立 , 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立 , 即8>m 2＋2m ,解得－4<m <2. 答案 D2．(2021·郑州模拟)正实数a ,b 满足a ＋2b ＝1 ,那么a 2＋4b 2＋1ab 的最|小值为( )．A.72 B ．4 C.16136 D.172解析 因为1＝a ＋2b ≥22ab ,所以ab ≤18 ,当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ,所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 18单调递减 ,所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12. 答案 D 二、填空题3．(2021·南昌模拟)x ＞0 ,y ＞0 ,x ＋3y ＋xy ＝9 ,那么x ＋3y 的最|小值为________． 解析 由 ,得xy ＝9－(x ＋3y ) ,即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22,令x ＋3y ＝t ,那么t 2＋12t －108≥0 ,解得t ≥6 ,即x ＋3y ≥6. 答案 6三、解答题4．(2021·泰安期末考试)小|王于年初用50万元购置一辆大货车 ,第|一年因缴纳各种费用需支出6万元 ,从第二年起 ,每年都比上一年增加支出2万元 ,假定该车每年的运输收入均为25万元．小|王在该车运输累计收入超过总支出后 ,考虑将大货车作为二手车出售 ,假设该车在第x 年年底出售 ,其销售价格为(25－x )万元(国|家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底 ,该车运输累计收入超过总支出 ?(2)在第几年年底将大货车出售 ,能使小|王获得的年平均利润最|大 ?(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元 , 那么y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10 ,x ∈N ) , 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10 ,x ∈N ) ,由－x 2＋20x －50＞0 ,解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3 ,故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出 ,所以销售二手货车后 ,小|王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ,而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9 ,当且仅当x ＝5时等号成立 ,即小|王应当在第5年将大货车出售 ,才能使年平均利润最|大．方法强化练 - -不等式 (对应学生用书P305)(建议用时：75分钟)一、选择题1． "|x |＜2”是 "x 2－x －6＜0”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 不等式|x |＜2的解集是(－2,2) ,而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3) ,于是当x ∈(－2,2)时 ,可得x ∈(－2,3) ,反之那么不成立 ,应选A. 答案 A2．(2021·青岛一模)假设a ,b 是任意实数 ,且a ＞b ,那么以下不等式成立的是( )．A ．a 2＞b 2B.b a ＜1 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b解析 ∵0＜13＜1 ,∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数 ,又a ＞b ,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b . 答案 D3．(2021·杭州二中调研)假设不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等 ,那么实数a ,b 的值分别为( )． A ．a ＝－8 ,b ＝－10 B ．a ＝－4 ,b ＝－9 C ．a ＝－1 ,b ＝9 D ．a ＝－1 ,b ＝2解析 据题意可得|8x ＋9|＜7的解集是{x |－2＜x ＜－14} ,故由{x |－2＜x ＜－14}是一元二次不等式ax 2＋bx ＞2的解集 ,可知x 1＝－2 ,x 2＝－14是ax 2＋bx －2＝0的两个根 ,根据根与系数的关系可得x 1x 2＝－2a ＝12 , ∴a ＝－4 ,x 1＋x 2＝－b a ＝－94 ,∴b ＝－9 ,应选B. 答案 B4．(2021·浙江温岭中学模拟)以下命题错误的选项是( )． A ．假设a ≥0 ,b ≥0 ,那么a ＋b2≥ab B ．假设a ＋b2≥ab ,那么a ≥0 ,b ≥0 C ．假设a ＞0 ,b ＞0 ,且a ＋b2＞ab ,那么a ≠b D ．假设a ＋b2＞ab ,且a ≠b ,那么a ＞0 ,b ＞0解析 假设a ＋b2＞ab ,且a ≠b ,那么a ＝0 ,b ＞0或a ＞0 ,b ＝0或a ＞0 ,b ＞0.故D 错误． 答案 D5．(2021·长沙诊断)实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0 x ＋2y ≥03x ＋y －5≤0 那么2x ＋y 的最|大值是( )．A ．0B ．3C ．4D ．5解析 设z ＝2x ＋y ,得y ＝－2x ＋z ,作出不等式对应的区域 ,平移直线y ＝－2x ＋z ,由图象可知当直线经过点B 时 ,直线的截距最|大 ,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝03x ＋y －5＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2 即B (1,2) ,代入z ＝2x ＋y ,得z ＝2x ＋y ＝4. 答案 C6．(2021·北京海淀一模)设x ,y ∈R ＋ ,且x ＋4y ＝40 ,那么lg x ＋lg y 的最|大值是( )．A ．40B ．10C ．4D ．2解析 ∵x ,y ∈R ＋ ,∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ,当x ＝4y ＝20时取等号 , ∴xy ≤100 ,lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 D7．某种生产设备购置时费用为10万元 ,每年的设备管理费共计9千元 ,这种生产设备的维修费为第|一年2千元 ,第二年4千元 ,第三年6千元 ,而且以后以每年2千元的增量逐年递增 ,那么这种生产设备最|多使用多少年报废最|合算(即使用多少年的年平均费用最|少)( )． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由 ,得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ,即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由根本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3 ,当且仅当10x ＝x10 ,即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最|合算 ,年平均费用为3万元． 答案 C8．(2021·天水一模)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1 y ≤a (a >1)x －y ≤0 假设目标函数z ＝x ＋y 取得最|大值4 ,那么实数a 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D.32 解析作出可行域 ,由题意可知可行域为△ABC 内部及边界 ,y ＝－x ＋z ,那么z 的几何意义为直线在y 轴上的截距 ,将目标函数平移可知当直线经过点A 时 ,目标函数取得最|大值4 ,此时A 点坐标为(a ,a ) ,代入得4＝a ＋a ＝2a ,所以a ＝2. 答案 C9．(2021·湖州模拟)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0 y ≥0.假设目标函数z ＝ax＋by (a ＞0 ,b ＞0)的最|大值为12 ,那么2a ＋3b 的最|小值为( )．A.256B.83C.113 D ．4解析 不等式表示的平面区域如下图阴影局部．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0 ,b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时 ,目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0 ,b ＞0)取得最|大值12 ,即4a ＋6b ＝12 ,即2a ＋3b ＝6. 所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时等号成立)． 答案 A10．(2021·金丽衢十二校联考)任意非零实数x ,y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立 ,那么实数λ的最|小值为( )．A ．4B ．5 C.115D.72解析 依题意 ,得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2) ,因此有3x 2＋4xyx 2＋y2≤4 ,当且仅当x ＝2y 时取等号 ,即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最|大值是4 ,结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2 ,故λ≥4 ,即λ的最|小值是4. 答案 A 二、填空题11．(2021·烟台模拟)关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 12 ,那么不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 12知a <0 ,且－13 ,12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根 ,由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝ca ,解得a ＝－12 ,c ＝2 ,∴－cx 2＋2x －a >0 ,即2x 2－2x －12<0 ,其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)12．(2021·武汉质检)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3xx ≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫13xx ＜0那么不等式f (x )＜9的解集是________．解析 当x ≥0时 ,由3x ＜9得0≤x ＜2. 当x ＜0时 ,由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＜9得－2＜x ＜0.故f (x )＜9的解集为(－2,2)． 答案 (－2,2)13．(2021·湖北七市联考)点P (x ,y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0 x ＋y ≤3y ≥x ＋1表示的平面区域内 ,假设点P (x ,y )到直线y ＝kx －1(k ＞0)的最|大距离为2 2 ,那么k ＝________. 解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y ＝kx －1的大概位置 ,如下图 ,因为k ＞0 ,所以由图可知 ,点(0,3)到直线y ＝kx －1的距离最|大 ,因此|0－1－3|k 2＋1＝2 2 ,解得k ＝1(负值舍去)．答案 114．(2021·湘潭诊断)向量a ＝(x －1,2) ,b ＝(4 ,y ) ,假设a ⊥b ,那么9x ＋3y 的最|小值为________．解析 由a ⊥b 得a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0 ,即2x ＋y ＝2.所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 615．(2021·宁波十校联考)设a ,b ∈(0 ,＋∞) ,a ≠b ,x ,y ∈(0 ,＋∞) ,那么a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ,当且仅当a x ＝b y 时 ,上式取等号 ,利用以上结论 ,可以得到函数f (x )＝2x＋91－2x(x ∈(0 ,12))的最|小值为________． 解析 根据结论 ,f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25 ,当且仅当22x ＝31－2x ,即x ＝15∈(0 ,12)时 ,f (x )取最|小值为25. 答案 25 三、解答题16．(2021·长沙模拟)f (x )＝2xx 2＋6. (1)假设f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2} ,求k 的值； (2)假设对任意x >0 ,f (x )≤t 恒成立 ,求实数t 的范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0 , 由其解集为{x |x <－3或x >－2} ,得x 1＝－3 ,x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根 , 所以－2－3＝2k ,即k ＝－25. (2)∵x >0 ,f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66 , 由f (x )≤t 对任意x >0恒成立 ,故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66 ＋∞.17．(2021·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状) ,高度恒定 ,它的后墙利用旧墙不花钱 ,正面用铁栅 ,每米长造价40元 ,两侧墙砌砖 ,每米长造价45元 ,顶部每平方米造价20元 ,求：仓库面积S 的最|大允许值是多少 ?为使S 到达最|大 ,而实际投资又不超过预算 ,那么正面铁栅应设计为多长 ? 解 设铁栅长为x 米 ,一侧砖墙长为y 米 ,那么顶部面积S ＝xy ,依题设 ,得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200 ,由根本不等式 ,得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ,那么S ＋6S －160≤0 ,即(S －10)(S ＋16)≤0 ,故0＜S ≤10 ,从而0＜S ≤100 ,所以S 的最|大允许值是100平方米 ,取得此最|大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100 ,解得x ＝15 ,即铁栅的长应设计为15米． 18．(2021·泉州调研)函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时 ,讨论f (x )的单调性；(2)假设x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 ,求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时 ,f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0 ,得x ＝2－1或2＋1.当x ∈(－∞ ,2－1)时 ,f ′(x )＞0 ,f (x )在(－∞ ,2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1 ,2＋1)时 ,f ′(x )＜0 ,f (x )在(2－1 ,2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0 ,f (x )在(2＋1 ,＋∞)上是增函数． (2)法一 ∵当x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 , ∴3ax 2≥－x 3－3x －1 , ∴a ≥－x 3－1x －13x 2 ,设g (x )＝－x 3－1x －13x 2 ,∴求g (x )的最|大值即可 ,那么g ′(x )＝－13＋1x 2＋23x 3＝－x 3＋3x ＋23x 3,设h (x )＝－x 3＋3x ＋2 ,那么h ′(x )＝－3x 2＋3 ,当x ≥2时 ,h ′(x )＜0 , ∴h (x )在[2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g ′(x )在[2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g ′(x )≤g ′(2)＝0 , ∴g (x )在(2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g (x )max ＝g (2)＝－54 , ∴a ≥－54.法二 因为x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 ,所以由f (2)≥0 ,得a ≥－54. 当a ≥－54 ,x ∈(2 ,＋∞)时 ,f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0 , 所以f (x )在(2 ,＋∞)上是增函数 ,于是当x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥f (2)≥0. 综上 ,a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－54 ＋∞. 学生用书第105页教育工作中的百分之一的废品 ,就会使国|家遭受严重的损失 .- -马卡连柯教师应当善于组织 ,善于行动 ,善于运用诙谐 ,既要快乐适时 ,又要生气得当 .教公众号：惟微小筑。