江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析
江苏省苏州市高新区新区一中2020-2021学年七年级下学期3月月考数学考试(含答案解析)
江苏省苏州市高新区新区一中2020-2021学年七年级下学期3月月考数学考试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( )A ．B ．C ．D ． 2．如图，下列给出的条件中，能判定AC //DE 的是（ ）A ．∠A +∠2＝180°B ．∠1＝∠AC ．∠1＝∠4D ．∠A ＝∠3 3．一个多边形的每一个外角都是30,则这个多边形的边数为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．64．下列运算正确的是（ ）A ．428a a a ⋅=B ．()23624a a =C ．6233()()ab ab a b ÷=D ．22()()a b a b a b +-=+5．若22(2)(2)a b a b N +=-+，则代数式N 是（ ）A ．4abB ．8abC ．4ab -D ．8ab -6．若单项式8a x y -和214b x y 的积为562x y -，则ab 的值为（ ） A ．2 B ．30 C ．－15 D ．157．若一个三角形的三个内角的度数之比为10:13:24，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 8．如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，12∠=∠，34∠=∠，108BAC ∠=︒，则DAC ∠的度数为（ ）A ．80︒B ．82︒C ．84︒D ．86︒9．如图，//AD BC ，点P 是射线BC 上一动点，且不与点B 重合．AM 、AN 分别平分BAP ∠、DAP ∠，B α∠=，BAM β∠=，在点P 运动的过程中，当BAN BMA ∠=∠时、122αβ+的值为（ ）A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．无法确定 10．已知长方形ABCD 可以按图示方式分成九部分，在a ，b 变化的过程中，下面说法正确的有（ ）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD 的周长②长方形ABCD 的长宽之比可能为2③当长方形ABCD 为正方形时，九部分都为正方形④当长方形ABCD 的周长为60时，它的面积可能为100A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④二、填空题 11．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为_____毫米．12．20202021133⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭________．13．若220x y +-=，则255x y ⋅=________．14．如果关于x 的多项式2(1)4x b x +-+是一个完全平方式，那么b =______．15．如图，把ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在线段BC 上的点F 处，//BC DE ，若108A B ∠+∠=︒，则FEC ∠=_____度．16．如图，30A ∠=︒，42B ∠=︒，55C ∠=︒，DFE ∠=_______︒．17．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出()na b +（其中n 为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律，将()4a b +的展开式补充完整． ()1a b a b +=+()2222a b a ab b +=++ ()3322333a b a a b ab b +=+++ ()4434a b a a b +=++_______22344a b ab b ++18．如图，BD 、BE 分别是ABC 的高线和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH BE ⊥交BD 于点G ，交BC 于点H ．下列结论：①DBE F ∠=∠；②1()2F BAC C ∠=∠-∠；③2FGD ABE C ∠=∠+∠；④1()2BEF BAF C ∠=∠+∠．其中正确的为__________．三、解答题19．计算：（1）()22352x x x x x -+⋅-÷ （2）(2)(23)x y x y +-（3）2031( 3.14)(2)3π-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭ （4）2(2)(2)2(3)()x y x y x x y x y +--+++20．先化简，再求值：()3233212a bab ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，其中1,44a b == 21．若x ，y 满足2254x y +=，12xy =-，求下列各式的值． （1）x y +（2）44x y + 22．阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形的内角和 小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：如图1，已知：三角形ABC ．求证180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒证法一：如图2，过点A 作直线//DE BC ，∵//DE BC∴ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠证法一的思路是用平行线的性质得到ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180︒，这种方法主要体现的数学思想是转化思想，请运用这一思想将证法二补充完整．23．如图，某市有一块长(3)a b +米，宽为(2)a b +米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间空白处将修建一座雕像．（1）求绿化的面积是多少平方米．（2）当2,1a b ==时求绿化面积．24．如图，AD 为ABC 的中线，BE 为ABD △的中线，过点E 作EF 垂直BC ，垂足为点F ．（1）35ABC ∠=︒，18EBD ∠=︒，55BAD ∠=︒，求BED ∠的度数；（2）若ABC 的面积为30，5EF =，求CD ．25．我们规定：1(0)p p a a a -=≠，即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：22144-= （1）计算：25-=_____；2(2)--=_____；（2）如果128p -=，那么p =_____；如果212a -=，那么a =_____； （3）如果116p a -=，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值． 26．已知在四边形ABCD 中，A x ∠=，C y ∠=，(0180,0180)x y <<<<．()1ABC ADC ∠+∠=______(用含x 、y 的代数式直接填空)；()2如图1，若90.x y DE ==平分ADC ∠，BF 平分CBM ∠，请写出DE 与BF 的位置关系，并说明理由；()3如图2，DFB ∠为四边形ABCD 的ABC ∠、ADC ∠相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．①若120x y +=，20DFB ∠=，试求x 、y ．②小明在作图时，发现DFB ∠不一定存在，请直接指出x 、y 满足什么条件时，DFB ∠不存在．参考答案1．D【详解】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意．故选D．2．B【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A选项：∵∠A+∠2＝180°，同旁内角互补，两直线平行，∴AB//DF，不符合题意；B选项：∵∠1＝∠A，同位角相等，两直线平行，∴AC//DE，符合题意；C选项：∵∠1＝∠4，内错角相等，两直线平行，∴AB//DF，不符合题意；D选项：∵∠A＝∠3，同位角相等，两直线平行，∴AB//DF，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．3．A【分析】根据任意多边形的外角和均为360，即可求得结果．【详解】由题意得这个多边形的边数为：360°÷30°=12故选：A【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握正多边形外角和为360°，即可求得正多边形的边数．4．B根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式依次计算判断．【详解】A 、426a a a ⋅=，故该项错误；B 、()23624a a =，故该项正确； C 、4624()()ab ab a b ÷=，故该项错误；D 、22()()a b a b a b +-=-，故该项错误；故选：B ．【点睛】此题考查整式的计算法则，正确掌握整式的同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式是解题的关键．5．B【分析】根据已知等式得到22(2)(2)N a b a b =+--，再利用平方差公式化简即可．【详解】解：∵22(2)(2)a b a b N +=-+，∴22(2)(2)N a b a b =+--=()()()()2222a b a b a b a b ++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=24a b ⋅=8ab故选B ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式的灵活运用．6．D【分析】先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出a b ，再求ab 的值即可．单项式8a x y -和214b x y 的积为562x y -， 2215618224a b a b x y x y x y x y ++-=-=-， 25,16a b +=+=，3,5a b ==，=3515ab ⨯=．故选择：D ．【点睛】本题考查单项式与单项式相乘问题，掌握单项式与单项式的乘法法则，会用指数构造等式解决问题是本题解题关键．7．C【分析】设其三个内角分别是10k ，13k ，24k ．根据三角形的内角和是180°，列方程即可求得三个内角的度数，然后根据最大角的度数判断三角形的形状．【详解】解：设其三个内角分别是10k ，13k ，24k ．根据三角形的内角和定理，得：10k +13k +24k =180，解得：k =18047， ∴24k ≈92°，∴这个三角形是钝角三角形，故选：C ．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形．8．C【分析】设∠1=∠2=x ，利用三角形内角和定理构建方程求出x 即可解决问题．【详解】解：设∠1=∠2=x，∵∠4=∠3=∠1+∠2=2x，∴∠DAC=180°-4x，∵∠BAC=108°，∴x+180°-4x=108°，∴x=24°，∴∠DAC=180°-4×24°=84°．故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．9．B【分析】由角平分线的性质可得∠BAM=∠MAP=12∠BAP=β，∠DAN=12∠DAP，由三角形内角和定理可求∠BAM=∠ANB=β，由平行线的性质可求解．【详解】解：∵AM、AN分别平分∠BAP、∠DAP，∴∠BAM=∠MAP=12∠BAP=β，∠DAN=12∠DAP，∵∠BAM+∠B+∠AMB=180°，∠B+∠BAN+∠ANB=180°，∠BAN=∠BMA，∴∠BAM=∠ANB=β，∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠DAN=∠ANB=β，∴α+β+β+β+β=180°，∴12α+2β=90°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10．B【分析】根据矩形面积关系和整式运算法则进行分析即可.【详解】如图，根据平移性质可得，图中C1+C2+C3=C四边形ABCD,故①正确；若长方形ABCD的长宽之比为2，则2122a bb a+=+，2b+a=4a+2b,此等式不成立，故②错误；当长方形ABCD为正方形时，2a+b=2b+a，即a=b，所以九部分都为正方形，故③正确；当长方形ABCD的周长为60时，2a+b+2b+a=60，即a+b=20,所以四边形ABCD的面积=（2a+b）（2b+a）=2（a+b）2+ab=2×202+ab>60;故④错误；故选：B【点睛】考核知识点：整式运算的应用.理解矩形面积关系是关键.11．9×10﹣5【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：∵1纳米＝0.000001毫米，∴90纳米＝90×10-6毫米＝9×10-5毫米，故答案为：9×10-5；【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．3【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方法则计算即可．【详解】 解：20202021133⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=202020201333⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=20201333⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=3 故答案为：3．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方，解题的关键是灵活运用运算法则．13．25【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【详解】解：∵2x+y-2=0，∴52x •5y =52x+y =52=25．故答案为：25．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．14．-3或5【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出b 的值．【详解】解：∵关于x 的多项式2(1)4x b x +-+是一个完全平方式，∴b -1=±4，∴b =-3或5，故答案为：-3或5．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．36【分析】根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出结果．【详解】解：由折叠可知：∠AEF=2∠AED=2∠FED，∵∠A+∠B=108°，∴∠C=180°-108°=72°，∵BC∥DE，∴∠AED=∠C=72°，∴∠AEF=2∠AED=144°，∴∠FEC=180°-∠AEF=36°．故答案为：36．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质、平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理和平行线的性质．16．127【分析】在△AEC中由三角形外角的性质可求得∠BEF，在△BEF中，利用三角形外角的性质可求得∠DFE．【详解】解：∵∠BEF是△AEC的一个外角，∴∠BEF=∠A+∠C=30°+55°=85°，∵∠DFE是△BEF的一个外角，∴∠DFE=∠B+∠BEF=42°+85°=127°，故答案为：127．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的17．6【分析】观察本题的规律，下一行的数据是上一行相邻两个数的和，根据规律填入即可．【详解】解：4432234（）．=++++a ab a b ab ba+b464故答案为：6．【点睛】此题考查了完全平方公式，规律型：数字的变化类，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．①②④【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确．④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．③利用②的结论得出∠FGD=∠FEB，从而证明错误的．②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【详解】解：∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，即∠BEF=1（∠BAF+∠C），故④正确；2∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB =∠ABE +∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD =∠FEB ，∴∠FGD =∠CBE +∠C =∠ABE +∠C ，故③错误，∵∠ABD =90°-∠BAC ，∠DBE =∠ABE -∠ABD =∠ABE -90°+∠BAC =∠CBD -∠DBE -90°+∠BAC ，∠CBD =90°-∠C ， ∴∠DBE =∠BAC -∠C -∠DBE ，∵∠DBE =∠F ，∴∠F =∠BAC -∠C -∠DBE ，∴∠F =12（∠BAC -∠C ）；故②正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．19．（1）44x ；（2）2226x xy y +-；（3）-16；（4）234y xy --【分析】（1）（2）（4）根据整式的混合运算法则计算即可；（3）先算乘方，再算加减法．【详解】解：（1）()22352x x x x x -+⋅-÷ =4444x x x +-=44x ；（2）(2)(23)x y x y +-=222346x xy xy y -+-=2226x xy y +-；（3）2031( 3.14)(2)3π-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭ =198--=16-；（4）2(2)(2)2(3)()x y x y x x y x y +--+++=222224262x y x xy x y xy ---+++=234y xy --【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．20．3678a b ，56 【分析】直接利用整式的混合运算法则计算进而把已知代入得出答案．【详解】解：()3233212a b ab ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ =336618b b a a -⋅ =3678a b 当1,44a b ==时， 原式=3671484⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=56． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（1）12±；（2）1716 【分析】（1）原式利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值；（2）所求式子利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）∵2254x y +=，12xy =-， ∴()22251122424x y x y xy ⎛⎫+=++=-⨯-= ⎪⎝⎭， ∴x y +=12±； （2）44x y +=()222222x y x y +- =2251242⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1716． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．22．见解析【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，由平角的定义得到∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，等量代换即可得到结论．【详解】解：证明：∵CN ∥AB∴∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，∵∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，∴∠ACB +∠BAC+∠ABC =180°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 23．（1）5a 2+3ab ；（2）26平方米【分析】（1）绿化面积=长方形的面积-正方形的面积；（2）把a =2，b =1代入（1）求出绿化面积．【详解】解：（1）S绿化面积=（3a+b）（2a+b）-（a+b）2=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2=5a2+3ab；答：绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；（2）当a=2，b=1时，绿化面积=5×22+3×2×1=20+6=26．答：当a=2，b=1时，绿化面积为26平方米．【点睛】本题考查了多项式乘多项式及代数式求值，看懂题图掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．24．（1）72°；（2）3【分析】（1）根据∠ABC和∠EBD得到∠ABE，再根据三角形外角的性质得到结果；（2）根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE=152，根据三角形面积公式求得CD=BD=3．【详解】解：（1）∵∠ABC=35°，∠EBD=18°，∴∠ABE=35°-18°=17°，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=17°+55°=72°；（2）∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD=12S△ABC，又∵S△ABC=30，∴S△ABD=12×30=15，又∵BE为△ABD的中线∴S △BDE =12S △ABD ，∴S △BDE =12×15=152， ∵EF ⊥BC ，且EF =5∴S △BDE =12•BD •EF ， ∴12•BD ×5=152， ∴BD =3，∴CD =BD =3．【点睛】本题涉及到三角形外角的性质、及三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半的知识，涉及面较广，但难度适中．25．（1）125，14；（2）3，（3）a =16时，p =1；a =±4时，p =2；a =±2时，p =4 【分析】（1）根据负整数指数幂的计算法则计算即可求解；（2）根据负整数指数幂的计算法则找到指数即可求解；（3）根据负整数指数幂的计算法则找到底数和指数即可求解．【详解】解：（1）25-=125；2(2)--=14； （2）如果128p -=，则311228p -==， 那么p =3； 如果212a -=，则()22112a -==，那么a =（3）由于a 、p 为整数，所以当a =16时，p =1；当a =±4时，p =2； 当a =±2时，p =4． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，负整数指数幂：1p pa a -=（a ≠0，p 为正整数），注意：①a ≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（-3）-2=（-3）×（-2）的错误；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数；④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．26．(1)360x y --； （2）DE BF ⊥，理由见解析；(3) ①x=40°，y=80°；②∠DFB 不存在，理由见解析.【分析】（1）利用四边形的内角和进行计算即可；（2）由三角形外角的性质及角的平分线性质得出BF 和DE 的位置关系，进而作答；（3）①利用角平分线的定义以及三角形内角和定理，得出113022DFB y x ∠=-=︒ ，进而得出x ，y 的值；②当x=y 时，DC ∥BF ，即∠DFB=0，进而得出答案.【详解】()1360A ABC C ADC ∠+∠+∠+∠=，A x ∠=，C y ∠=，360ABC ADC x y ∴∠+∠=--．故答案为360x y --．()2DE BF ⊥．理由：如图1，DE 平分ADC ∠，BF 平分MBC ∠，12CDE ADC ∴∠=∠，12CBF CBM ∠=∠， 又()180180180CBM ABC ADC ADC ∠=-∠=--∠=∠，CDE CBF ∴∠=∠，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2020-2021江苏省苏州高新区第一中学高二上学期期初考试数学试题含答案
2020-2021学年江苏省苏州高新区第一中学高二上学期期初考试数学试题含答案2020—2021学年度上学期苏州新区一中高二期初考试数学（总分150分，完成时间120分钟)一、单选题（每题5分共40分，只有一个选项正确)1.某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学的成绩按01，02，03,…，60进行编号,然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是（注：下表为随机数表的第8行和第9行)（)错误!第8行错误!第9行A。
07 B. 25 C。
42 D。
52 2. 函数f（x)＝x sin x,x∈［－π,π］的大致图象是（）错误!错误!错误!错误!3。
若函数y＝f(x)的部分图象如图（1)所示，则图(2）所对应的函数解析式可以是(）图（1）图(2）A。
y＝f错误!B. y＝f（2x－1）C。
y＝f错误!D。
y ＝f错误!4. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计）的最小值为（ ）A . 2821πB 。
722πC 。
282πD . 以上结果都不对5。
已知3(,1),(1,log 4)a x b ==，若a b ，则3389221(log 9)(log 16)22x x x x x x --+++++的值为( ） A 。
143 B . 7 C . 103D 。
以上结果都不对6. 一半径为4。
8m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2.4m ，已知水轮每60s 逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P 0)开始计时，则（ )A 。
点P 第一次到达最高点需要10sB 。
在水轮转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m 共有10s 的时间C 。
2020年江苏省苏州市高新区第一中学高三数学理期末试卷含解析
2020年江苏省苏州市高新区第一中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数，且，的最小值是，则的单调递增区间是（）参考答案：A2. 已知幂函数的图像经过点，则的值为A．B．C．D．参考答案：A3. 设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A．ab<b2<1 B．<()a<()bC．a2<ab<1 D．log b<log a<0参考答案：B4. 设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为( )A. B. C. D.参考答案：答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。
依题当满足时，即时，得，此时又是连续的偶函数，∴，∴另一种情形是，即，得，∴∴满足的所有之和为5. 设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（）Ａ. B C.D.参考答案：D略6. 已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为A.3B.2C.D.参考答案：A易证得∽，则，即；同理∽，，所以，又，所以，整理，得，故选A.7. 己知是定义在R上的偶函数，在区间(－∞,0]为增函数，且，则不等式的解集为（）A. (－1,0)B. (－1,2)C. (0,2)D.(2,+∞)参考答案：B【分析】结合函数的奇偶性与单调性得f（x）在[0，+∞）上为减函数，由f（3）＝0，可得f （1﹣2x）＞0?f （1﹣2x）＞f（3）?|1﹣2x|＜3，解得x的取值范围即可．【详解】根据题意，因为f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，所以函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，由f（3）＝0，则不等式f （1﹣2x）＞0?f （1﹣2x）＞f（3）?|1﹣2x|＜3，解可得：﹣1＜x＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）.故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．8. 若则的值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D略9. 将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：D 10. 函数的零点所在的一个区间是（）A．（一2，一1） B．（一1，0） C．（0，1） D．（1，2）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x，y满足，则z＝2x＋3y的最小值是________．参考答案：9略12. 已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．参考答案：[4，12]【考点】三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．【分析】x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．代入z=x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．【解答】解：x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．∴y=sinθ，x=，∴z=x2+4y2==+6=2×（1﹣cos2θ）﹣+6=，∵∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故答案为：[4，12]．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. （不等式选做题）不等式的解集是；参考答案：14. 设A、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则x+y=（）A ．-1 B．1 C．0 D．2参考答案：B略15. 等比数列各项均为正数，，则．参考答案：20由，得所以16. 抛物线上到焦点的距离等于9的点的横坐标是．参考答案：617. 已知函数其中．那么的零点是_____；若的值域是，则的取值范围是_____．参考答案：和，当时，由得，.当时，由，得，所以函数零点为和.当时，，所以，当，，所以此时.若的值域是，则有，，即，即的取值范围是.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
专题07 三角函数(江苏精编)-2020-2021学年高一下学期数学期末冲刺卷(江苏专用)(解析版)
专题07 三角函数（共43题）一、单选题1．（2021·江苏启东市·高一期末）要得到函数2sin2x y =的图像，只需将函数()2sin 24x y π=-的图像（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 【答案】C 【解析】由三角函数图像平移变化规律求解即可解：因为()()12sin 2sin 2422x y x ππ=-=-，所以要得到函数2sin 2x y =的图像，只需将函数()2sin 24x y π=-的图像向左平移2π个单位长度即可，故选：C2．（2021·江苏苏州市·高一期中）已知()12sin a α=，，()cos ,sin b αα=，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若a b ，则α=（ ） A ．23π B ．56π C ．πD ．43π 【答案】C 【解析】利用向量平行的条件，求出α.∵()12sin a α=，，()cos ,sin b αα=，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b ， ∴1sin cos 2sin ααα⨯=⨯， 当α=π时， sin 0α=，此时()10a =，，()1,0b =-，满足a b ；当α≠π时， sin 0α≠，要使a b ，只需1cos 2α=，因为3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以无解. 综上：α=π.故选：C. 【点睛】若()()1122,,,a x y b x y ==，则有：（1）1221a b x y x y ⇔=∥（2）1212+0a b x x y y ⇔=⊥3．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高一期末）已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =【答案】B 【解析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．. 4．（2021·江苏淮安市·高一月考）使函数()sin()3cos()f x x x ϕϕ=++为偶函数的ϕ的一个值为（ ）A ．23π B ．3πC ．3π-D ．56π-【答案】D 【解析】利用辅助角公式化简，根据函数()f x 为偶函数，即可求得ϕ的值．()sin()3cos()2sin()3f x x x x πϕϕϕ=+++=++函数()f x 为偶函数，所以32k ππϕ+=（k 为奇数），当1k =-时，ϕ=56π-． 故选：D ．5．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高一期末）函数2()cos f x x x =-在区间(,1)k k +上存在零点，其中k ∈Z ，则k 的值为（ ） A ．-2 B ．-2或-1C ．-1D ．-1或0【答案】D 【解析】利用零点存在性定理判断选项.当2k =-时，()24cos20f -=->，()11cos10f -=->，并且函数()2cos f x x x =-在区间()2,1--单调递减，所以不存在零点；当1k=-时，()11cos10f -=->，()0cos010f =-=-<，此时区间()1,0-上存在零点；当0k =时，()11cos10f =->，()()010f f <，此时区间()0,1存在零点.故选：D6．（2021·江苏泰州市·高一期末）现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④【答案】D【解析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断．左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ． 故选：D ． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．7．（2021·江苏苏州市·高一期中）函数()222cos 3f x x x =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．5D ．6【答案】B 【解析】利用三角恒等变换思想化简函数解析式为()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出26x π+的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值.()222cos 32cos 242sin 246f x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，因为02x π≤≤时，72666x πππ≤+≤， 所以，当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值，即()min 712sin 424362f x π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sinx ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 8．（2021·江苏宿迁市·高一期末）要得到函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（ ）．A ．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移3π个单位，然后横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）；B ．纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向左平移6π个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；C ．纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向右平移6π个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D ．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移3π个单位，然后横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）．【答案】D 【解析】直接利用三角函数的图象变换知识求解.将函数()sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到2sin()6y x π=-，再把函数2sin()6y x π=-的图象上向左平移3π个单位，得到2sin()2sin()366y x x πππ=+-=+，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到2sin(2)6y x π=+.故选：D 【点睛】结论点睛：三角函数图像的平移变换和上下变换： 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 把函数()y f x =向上平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向下平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 伸缩变换：①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的1w 倍得()y f x ω=(01)ω<< ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1w倍得()y f x ω=(1)ω>③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ϖ倍得()y f x ω=(1)ω> ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的ϖ倍得()y f x ω=(01)ω<< 9．（2021·南京市秦淮中学）函数()(1)cos π=-f x x x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】取特殊区间进行判断函数在该区间上的正负，利用排除法可得答案解： 当102x <<时，10x -<，cos 0x π>，所以()0f x <， 当12x =时，()0f x =， 当112x <<时， 10x -<，cos 0x π<，所以()0f x >，所以排除A ，C ， 当102x -<<时，10x -<，cos 0x π>，所以()0f x <，所以排除D故选：B10．（2021·江苏南通市·高一期末）已知函数()f x 满足()()2f x f x π=+，且当[],x ππ∈-时，()2sin ,02,0x x f x ax x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪-≤<⎩，则2021f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12BC．2D ．2π 【答案】B 【解析】利用周期性求出a 后可求2021f a -⎛⎫⎪⎝⎭的值.因为()()2f x f x π=+，故()()f f ππ-=，故()2sin2a ππ=⨯-， 故2a π=-，所以202120211010222f f f f a ππππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.11．（2020·江苏连云港市·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()0,1A -，()3,1B 是其图象上的两点，那么|(2sin 1)|1f x +≤ 的解集为（ ）A ．,33xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ B ．722,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ C ．,63xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ D ．722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 【答案】D【解析】 由题意可得()01f =-，()31f =，所要解的不等式等价于()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤，再利用单调性脱掉f ，可得02sin 13x ≤+≤，再结合正弦函数的图象即可求解.由|(2sin 1)|1f x +≤可得1(2sin 1)1f x -≤+≤，因为()0,1A -，()3,1B 是函数()f x 图象上的两点，所以()01f =-，()31f =，所以()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤，因为()f x 是定义在R 上的增函数，可得02sin 13x ≤+≤，解得：1sin 12x -≤≤， 由正弦函数的性质可得722,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以原不等式的解集为722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将要解得不等式转化为()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤利用单调性可得02sin 13x ≤+≤.12．（2021·江苏盐城市·高一期末）古希腊地理学家埃拉托色尼（Eratosthenes ，前275一前193）用下面的方法估算地球的周长（即赤道周长）．他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城，立杆可测得日影角大约为7︒（如图），埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因是地球是圆的，并且因为太阳距离地球很远（现代科学观察得知，太阳光到达地球表面需要8.3s ，光速300000km/s ），太阳光平行照射在地球上．根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，他又派人测得两地距离大约5000希腊里，约合800km ：按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为（ ）A ．72000km 7πB ．5600kmC ．134000km 7πD ．144000km 7π【答案】D 【解析】根据7AOB ∠=︒，对应的弧长为800km ，可求得地球的周长，代入公式，即可求得答案.由题意得：7AOB ∠=︒，对应的弧长为800km ，设地球的周长为C ，地球半径为R ，则7800360C =，解得80036028800077C ⨯==， 又2C R π=，所以28800027R π=，解得1440007R π=，所以按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为144000km 7π， 故选：D13．（2021·江苏徐州市·高一期末）智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音，已知某噪音的声波曲线()sin y A x ϕ=+（0A >，02πφ≤<）的振幅为2，经过点36π⎛ ⎝，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）A ．2sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 6πy x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．2sin y x =D ．2sin y x =-【答案】B 【解析】由振幅去确定2A =，再由点36π⎛⎝确定ϕ的值，再结合该噪声的声波曲线与反向波叠加后相抵消得出所求解析式.因为振幅为2，所以2A = 由2sin 36πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭整理得3sin 62πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为02πφ≤<，所以6π=ϕ，故某噪音的声波曲线2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由于该噪声的声波曲线与反向波叠加后相抵消，故反向波曲线应为2sin 6πy x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：B14．（2021·江苏宿迁市·高一期末）声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A wt =．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数sin y A wt =中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有（ ）．A ．函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin100234100y x x x x x =+++++不具有奇偶性； B ．函数111()sin sin 2sin 3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； C ．若某声音甲对应函数近似为111()sin sin 2sin 3sin 4234f x x x x x =+++，则声音甲的响度一定比纯音1()sin 22h x x =响度大； D ．若某声音甲对应函数近似为1()sin sin 22g x x x =+，则声音甲一定比纯音1()sin 33h x x =更低沉． 【答案】B 【解析】A.结合奇偶性的定义判断即可B.用正弦型函数的单调性作出判断 CD 可取特值说明A. ()1111sin sin 2sin 3sin 4sin100234100f x x x x x x =+++++ ()()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 100234100f x x x x x x f x -=-+-+-+-++-=-，()f x 为奇函数 B.,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，333,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，4,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故sin ,sin 2,sin 3,sin 4x x x x 在,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均为增函数 故111()sin sin 2sin 3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C. ()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++ ()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 4034g f h ππππππ=-=++=故声音甲的响度不一定比纯音1()sin 22h x x =响度大D. ()11()()sin sin 2sin 323h x g x h x x x x =-=+- ()11()()sin sin 2sin 3023h g h ππππππ=-=+-=甲不一定比纯音1()sin 33h x x =更低沉故选：B 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 15．（2021·江苏省锡山高级中学高一期末）函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>图像上一点()(),22P s t t -<<向右平移2π个单位，得到的点Q 也在()f x 图像上，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，且满足()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为（ ） A ．(2,2⎤--⎦B ．2,2⎡⎤--⎣⎦C ．)2,2⎡⎣D ．2,2⎡⎤⎣⎦【答案】A 【解析】首先根据已知条件分析出22PQ T π==，可得2ω=，再由()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得()y f x =对称轴为8x π=，利用()02f f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭可以求出符合题意的一个ϕ的值，进而得出()f x 的解析式，再由数形结合的方法求a 的取值范围即可.如图假设()0,0P ，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，则2PQ π=，所以由分析可得22PQ T π==，所以T π=，可得222T ππωπ===， 因为()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以488f x f x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以8x π=是()f x 的对称轴，所以()282k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即()4k k Z πϕπ=+∈，()()2sin 2sin 02sin 2f f ππϕϕϕ⎛⎫-=-+=->= ⎪⎝⎭， 所以sin 0ϕ<，可令1k =-得34πϕ=-， 所以()32sin 24x x f π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令332,444x t πππ⎡⎤-=∈-⎢⎥⎣⎦，则()2sin f x t =，3,44t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 作()f t 图象如图所示：当34t π=-即0x =时3y =-2t π=-即8x π=时，2y =-，由图知若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为(2,2-，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点()0,0P 便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出()f x 的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.16．（2021·江苏扬州市·扬州中学高一开学考试）已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f -=-，当,1,1a b 且0a b +≠时()()0f a f b a b+>+.已知,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,26ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由奇偶性分析条件可得()f x 在[]1,1-上单调递增，所以()max 1f x =，进而得2143sin 2cos θθ<+-，结合角的范围解不等式即可得解.因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以当,1,1a b 且0a b +≠时()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，根据,a b 的任意性，即,a b -的任意性可判断()f x 在[]1,1-上单调递增，所以()max (1)(1)1f x f f ==--=，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则2143sin 2cos θθ<+-，整理得(sin 1)(2sin 1)0θθ++>，所以1sin 2θ>-， 由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,62ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题. 17．（2021·江苏高一单元测试）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2220a c ac b ++-=，则2coscos 222A C C的取值范围为（ ）A ．（B ．13,44⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】利用余弦定理求出B 的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围．由2220a c ac b ++-=，可得222a c b ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为(0,)B π∈，可得23B π∈，又由2111cos cos (cos 21)cos sin()2222232A C C C A A π=+=-+1111cos sin()42262A A A π=-+=-+，因为03A π<<，所以666A πππ-<-<，所以11sin()262A π-<-<， 所以1113sin()42624A π<-+<，即2coscos 222A C C 的取值范围为13(,)44. 故选：B.18．（2021·江苏南通市·高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A ．B ．CD 【答案】D 【解析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16ABC ∠=，结合同角三角函数的基本关系可求出sin ABC ∠=，从而可求出()0,0B ，()4,0C ，118A ⎛ ⎝⎭，设(),0Mx ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC++的表达式，进而可求出最小值.解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以sin ABC ∠=== 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ，因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，sin 2AB ABC ⋅∠==则118A ⎛⎝⎭，所以118MA x ⎛=- ⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-，因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=-⎪⎝⎭，43020+⨯+⨯=所以2743292MA MB MC x ⎛++=-⎝⎭， 则27432MA MB MC ⎛++= 227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 当32x =时等号成立，所以315432MA MB MC ++≥，故选:D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.二、多选题 19．（2021·江苏高一月考）已知函数()|sin |3|cos |f x x x =+，则下列说法中正确的有（ ）A ．函数()f x 的值域为[3,2] B ．直线0x=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的最小正周期为πD ．函数()f x 在910,109ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】BC 【解析】先利用函数周期性的定义判断()f x 的最小正周期为π，利用偶函数的定义判断直线0x =是函数()f x 图象的一条对称轴，对()|sin |3|cos |f x x x =+的解析式在[]0,x π∈上进行化简，研究其性质.作出()|sin |3|cos |f x x x =+图像如图示：∵()|sin |3cos |f x x x =+，∴()()()|sin |cos |=|sin |cos |=()f x x x x x f x πππ+=++，∴函数()f x 的最小正周期为π，故C 正确；在一个周期内，sin 0,2()sin ,2x x x f x x x x πππ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩， 即2sin 0,32()2sin ,32x x f x x x πππππ⎧⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦=⎨⎛⎫⎛⎤⎪-∈ ⎪ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦⎩∴在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，[]2sin 1,23x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故A 错误； ∵()()()|sin |cos |=|sin |cos |=()f x x x x x f x -=--，所以()f x 为偶函数，故直线0x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 正确； 函数()f x 在9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，在10,9ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题； (2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式． 20．（2020·江苏南京市·南京一中高一期中）关于函数()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中正确命题是（ ）A ．()y f x =的最大值为B ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数C．将函数y x =的图像向左平24π个单位后，将与已知函数的图像重合 D ．()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】ABD【解析】先把()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为()5212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直接对四个选项一一验证.()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2626x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭264x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭显然A 、B 选项正确C 选项: 将函数y x 的图像向左平24π个单位得到212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图像不会与原图像重合，故C 错误； D 选项:当13,2424x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则532,1222x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减成立． 故选：ABD 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题； (2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．21．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高一期末）对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ）A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )取得最大值1【答案】AC 【解析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4tx x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值；解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin2cos22sin2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减，所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，2,2t ⎡⎤∈-⎣⎦，当2t =时()f t 取得最大值()max 21f t =+，令2sin 24t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值21+，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数； 22．（2021·江苏南通市·高一期末）如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ≤）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，3OCB π∠=，||2OA =，221AD =.则下列说法正确的有（ ）.A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增【答案】ACD【解析】sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据||AD =，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论．解：由题意可得：|||OB OC =，∴sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ．(12D πω∴+，sin )2A ϕ，||AD =，∴22228(1)243A sin πϕω-+=， 把|sin |)A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω． 解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==． sin()03πϕ∴+=，||2πϕ，解得3πϕ=-．可知：B 不对．∴sin()|263A π-=+，0A >，解得163A =．∴函数16()sin()363f x x ππ=-， 可知C 正确．(14,17)x ∈时，()(263x πππ-∈，5)2π，可得：函数()f x 在(14,17)x ∈单调递增． 综上可得：ACD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．23．（2021·江苏苏州市·星海实验中学高一月考）已知集合{(,)()}Mx y y f x ==∣，若对于()()1122,,,x y M x y M ∀∈∃∈，使得12120x x y y +=成立则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合{}{}21234(,)1;{(,)(,);{(,)sin 1}x M x y y x M x y y M x y y e M x y y x ==+======+∣∣∣∣．其中是“互垂点集”集合的为（ ） A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【解析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'．，结合函数图象进行判断．由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '．所以所以1M 不是“互垂点集”集合，1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'． 所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '．所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题考查命题真假的判断与应用，考查对新定义的理解与应用，属于较难题． 三、填空题24．（2021·江苏高一期中）若函数()sin 23cos2f x m x x =+的图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则实数m =_______．【答案】3 【解析】解方程33sin(2)3cos(2)088m ππ⨯+⨯=，即得解.由题得33sin(2)3cos(2)088m ππ⨯+⨯=，所以3()0,22m ⨯+⨯-= 所以3m =. 当3m =时，函数()sin 23cos2f x m x x =+的图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故答案为：325．（2021·江苏高一课时练习）函数()()sin f x x x x R =∈的值域是________.【答案】[]22-,【解析】首先利用辅助角公式将函数化简为()sin y A x b ωϕ=++，再根据正弦函数的有界性计算可得；解：()1sin 2sin 2sin 223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[]sin 1,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以()[]2,2f x ∈-故答案为：[]22-,26．（2021·江苏高一课时练习）函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期为________. 【答案】π 【解析】利用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后求周期、f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x＋1＝1cos 22x -＋12sin 2x ＋1＝12 (sin 2x －cos 2x )＋323)42x π-+， ∴T ＝π.． 故答案为：π．27．（2021·江苏高一课时练习）如果函数y ＝cos 2ωx ﹣sin 2ωx 的最小正周期是4π，那么正数ω的值是__． 【答案】14直接利用二倍角的余弦函数，化简函数的表达式，通过函数的周期的求法求解即可．因为函数y ＝cos 2ωx ﹣sin 2ωx ＝cos2ωx ，它的最小正周期是4π，所以24|2|ππω=， 解得||ω14=．所以正数14ω=. 故答案为：1428．（2021·高邮市临泽中学高一开学考试）已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+-<<的图象的一条对称轴是直线6x π=，则ϕ的值为______.【答案】56π- 【解析】 将6x π=代入()22x k k Z πϕπ+=+∈结合0πϕ-<<即可求解.将6x π=代入()22x k k Z πϕπ+=+∈可得()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()6k k Z πϕπ=+∈，因为0πϕ-<<，所以1k =-，56ϕπ=-，故答案为：56π-.29．（2021·江苏镇江市·高一期末）“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为603米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.【答案】(40303)π+如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得3sin QPO ∠=，可求,QPO QPT ∠∠的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点， 连结PO ，可得PO QT ⊥，由条件可知603QT=，60PQ = 所以3sin QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙泉的周长(260303403033l πππ=⨯+⨯=+. 故答案为：(40303π+【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题. 30．（2021·江苏扬州市·扬州中学高一月考）若函数()sin 23cos2f x x x =在(3πα-，)α上单调递减，则α的取值范围是_______． 【答案】(,]64ππ【解析】先将函数化简为()2sin(2)3f x x π=+的形式，然后根据区间(3πα-，)α的中点为6π，找到()f x 含6π的递减区间，构造出α的不等式组即可．()sin 23cos22sin(2)3f x x x x π==+，区间(3πα-，)α的中点为6π， 令3222,232k x k k Z πππππ+++∈，所以7,1212k x k k Z ππππ++∈， 由题意，6π属于该单调递减区间，因此，当0k =时可得6π所在的单调区间为7[,]1212ππ，所以要使()f x 在(3πα-，)α上单调递减，只需312712ππαπα⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，并且3παα-<，解得64ππα<，故α的范围是(,]64ππ．故答案为：(,]64ππ． 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求参数的取值范围，本题的关键是求出函数的单调递减区间后，确定含有6π的减区间，转化为子集问题求参数的取值范围. 31．（2021·江苏南通市·高一期末）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()π06f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，若()f x 在[)0,t 上没有最大值，则实数t 的取值范围是__________.【答案】511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】依题意得到2()sin(2)3f x x π=+，然后根据()f x 在[0，)t 上没有最大值可得，7252332t πππ<+，解出t 的范围即可．解：因为()()sin 2f x x ϕ=+的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以sin 206πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()26k k Z πϕπ⨯+=∈，所以()3k k Z πϕπ=-+∈，所以()()sin 23f x x k k Z ππ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，又由(0)6f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()sin sin 3k k πππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以k 为奇数，不妨取1k =，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则当[0x ∈，)t 时，2222[,2)333x t πππ+∈+， ()f x 在[0，)t 上没有最大值，∴7252332t πππ<+， ∴511612t ππ<，t ∴的取值范围为：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦． 故答案为：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦． 32．（2021·江苏盐城市·高一期末）已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，()11f x =，()20f x =，12min 4x x π-=，对任意x ∈R 恒有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调增区间______. 【答案】50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 根据()11f x =，()20f x =，12min 4x x π-=，得到44T π=，进而求得2ω=，再由对任意x ∈R 恒有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得到5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而求得函数解析式，然后利用正弦函数的性质求解.因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，()11f x =，()20f x =，12min 4x x π-=，所以44T π=，,2T πω==， 又因为对任意x ∈R 恒有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以55sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以5262k ϕπ=π+π+， 解得23k πϕπ=-，又因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调增区间是50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦33．（2021·江苏省天一中学高一期末）设函数2cos ,[6,6]3()12,(,6)(6,)x x f x x xπ⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎪⎩，若关于x 的方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同的实根.则实数a 的取值范围是_______.【答案】52a <-或52a =或2a =- 【解析】 作出函数()f x 的图象，设()f x t =，分关于210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t ，和两相等实数根进行讨论，当方程210t at ++=有两个相等的实数根0t 时，2a =±再检验，当方程210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t 时，()1222,0t t =-∈-，或[)120,22t t ∈>，，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.作出函数()f x 的简图如图，令()f x t =，要使关于x 的方程()()21f x af x ++⎡⎤⎣⎦()0a =∈R 有且仅有6个不同的实根，（1）当方程210t at ++=有两个相等的实数根0t 时， 由240a ∆=-=，即2a =±，此时01t =±当2a=，此时01t =-，此时由图可知方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有4个实数根，此时不满足.当2a =-，此时01t =，此时由图可知方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有6个实数根，此时满足条件.(2)当方程210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t 时，则()1222,0t t =-∈-，或[)120,22t t ∈>，当12t =-时，由4210a -+=可得52a =则25102t t ++=的根为12122t t =-=-，由图可知当12t =-时，方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有2个实数根当212t =-时，方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有4个实数根，此时满足条件. 当[)120,22t t ∈>，时，设()21g t t at =++由()010g=> ，则()2520g a =+<，即52a <-综上所述：满足条件的实数a 的取值范围是 52a <-或52a =或2a =- 故答案为：52a <-或52a =或2a =- 【点睛】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程210t at ++=的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.四、解答题34．（2021·江苏高一期中）已知函数()()0,<22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象相邻两个最高点的距离为π． （1）求ω和ϕ的值；（2）若2263f αππα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）2，6π-；（2）18.【解析】（1）利用周期求ω，利用图象关于直线3x π=对称求ϕ；（2）先求出6πα-的正弦、余弦值，再把3πα-拆成66ππα--，利用两角差的余弦公式求值即可.（1）∵()y f x =图象相邻两个最高点的距离为π， ∴()y f x =的最小正周期为π， ∴2ππω=，又0>ω解得：2ω=.∵的()y f x =图象关于直线3x π=对称，∴232k ππϕπ⨯+=+，又<22ππϕ-≤，解得：6πϕ=-.（2）由（1）知，()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴26f απα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为263ππα<<，所以062ππα<-<，所以cos 64πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以cos cos 366πππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6666cos cos sin sin ππππαα-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-114242=+⨯=【点睛】(1)求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解. (2)利用三角公式求三角函数值的关键：①角的范围的判断；②根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 35．（2021·江苏苏州市·南京师大苏州实验学校高一月考）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，向量()4,5cos a α=，()3,4tan b α=-，a b ⊥．（1）求a b +的值；（2）求cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）（2）10．【解析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示可求得sin α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得cos α、tan α的值，再利用平面向量的模长公式可求得a b +的值；（2）利用两角和的余弦公式可求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，向量()4,5cos a α=，()3,4tan b α=-，a b ⊥，则sin 1220cos tan 1220cos 1220sin 0cos a b αααααα⋅=-=-⋅=-=，可得3sin 5α=，所以，4cos 5α==，sin 3tan cos 4ααα==，则()4,4a =，()3,3b =-，所以，()7,1a b +=，因此，27+=+a b（2）43cos cos cos sin sin 44425510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】结论点睛：当向量a 与b 是坐标形式给出时，即11,a x y ，22,bx y ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=.36．（2021·江苏高一月考）已知函数()sin cos f x x x =+，()()sin 2g x x f x =-．（1）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；（2）设()9191x x h x -=+，当()0,x ∈+∞时，不等式()02x mh h x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，设实数m 的取值范围对应的集合为M ，若在（1）的条件下，恒有()agx M ∉（其中0a >），求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()0,2． 【解析】 （1）()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，首先求出()11f x -≤≤，令()sin cos f x x x μ==+，然后可得2sin 21x μ=-，然后()2215124y g x μμμ⎛⎫==--=-- ⎪⎝⎭，然后可求出答案；（2）由()02x mh h x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭可得()()223131xx m +>+，令3xt =，则1t >，211m t t>++，然后可得{}2M m m =≥，由（1）可得()54a ag x a -≤≤，然后可得答案.（1）()πsin cos 4f x x x x ⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭， 当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，πsin 4x ⎫⎛≤+≤⎪⎝⎭，π114x ⎫⎛-≤+≤ ⎪⎝⎭， 即()11f x -≤≤，令()sin cos f x x x μ==+，则21sin 2x μ=+，2sin 21x μ=-，[]1,1μ∈-，由()()sin 2gx x f x =-，得()2215124y g x μμμ⎛⎫==--=-- ⎪⎝⎭，[]1,1μ∈-，∴当12μ=时，()y g x =有最小值54-，当1μ=-时，()y g x =有最大值1，∴当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）当()0,x ∈+∞，不等式319103191x x x x m --->++恒成立，0x时，310x ->，910x ->，()()223131x x m +∴>+恒成立，令3x t =，则1t >，()2222211222111111t t t t m t t t t t +++∴>==+=+++++，又21121t t+≤+=+，当且仅当1t t=即1t =时取等号，而1t >， ()22121t t +<+∴，即2m ≥，{}2M m m ∴=≥．又由（1）知，()514g x -≤≤， ∴当0a >时，()54a ag x a -≤≤，∴要使()ag x M ∉恒成立，只需02a <<，a ∴的取值范围是()0,2．【点睛】方法点睛：（1）常用分离变量法解决恒成立问题，（2）在解决复杂函数的问题时，常用换元法将其转化为常见的函数处理.37．（2021·江苏高一月考）已知函数2()sin cos f x x x x =⋅．。
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
4.1圆的方程-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典(人教A版必修2)(解析版)
A． (x 2)2 ( y 4)2 4
B． (x 2)2 ( y 4)2 16
C． (x 2)2 (y 4)2 4
D． (x 2)2 ( y 4)2 16
【答案】D
【解析】 圆 C 的圆心在直线 y 2x 上， 可设 C a, 2a ， 圆 C 与 x 轴正半轴相切与点 A ，a 0 且
1．（2020·湖南雨花高一期末）圆心在 y 轴上，半径为 2，且过点 2, 4 的圆的方程为（ ）
A． x2 y 12 4
B． x2 y 22 4
C． x2 y 32 4
D． x2 y 42 4
【答案】D
【解析】根据题意，设圆心的坐标为 0, b ，则有 0 22 b 42 4 ，解可得 b 4 ，则圆的方程为
圆 C 的半径 r 2a ， Aa, 0 . A 到直线 x y 4 0 的距离 d
2 ，d
a04 11
2 ，解得：
a 6 或 a 2 ， A2, 0 或 A6, 0 ， A 在直线 x y 4 0 的左上方， A2, 0 ，C 2, 4 ，r 4 ，
圆 C 的标准方程为： x 22 y 42 16 .
A． x 32 y 12 4
B． x 12 y 12 4
C． x 32 y 12 4
D． x 12 y 12 4
【答案】B
【解析】因为过点
A1, 1 与
B 1,1
，所以线段
AB
的中点坐标为 0, 0
， kAB
1 1
1 1
1 ，所以线
段 AB 的中垂线的斜率为 k 1，所以线段 AB 的中垂线的方程为 y x ，又因为圆心在直线 x y 2 0 上，
x2 y 42 4。
江苏省泰州中学2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试卷 Word版含答案
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注：资料封面，下载即可删除江苏省泰州中学高一年级第一次质量检测数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.用“book ”中的字母构成的集合中元素个数为（ ） A.1B.2C.3D.42.二次函数2416y x =-的零点为（ ） A.()20±，B.2±C.()40±，D.4±3.能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合{}20|N x R x x =∈-=关系的Venn 图是（ ）A. B. C. D.4.命题“存在实数x ，使1x >”的否定是（ ） A.对任意实数x ，都有1x > B.存在实数x ，使1x ≤ C.不存在实数x ，使1x ≤ D.对任意实数x ，都有1x ≤5.“1a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A.11a b> B.22a b > C.a b >-D.11a b a>- 7.己知05x <<，()5y x x =-，则下列说法中正确的是（ ）A.y 的最大值为52 B .y 的最小值为52 C.y 的最大值为254D.y 的最小值为2548.若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是具有伙伴关系的集合.集合11,0,,2,52M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A.1B.3C.7D.31二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列命题能表述“x R ∃∈，23x >”的有（ ） A.有一个x R ∈，使得23x >成立 B.对有些x R ∈， 使得23x >成立 C.任选一个x R ∈，都有23x >成立 D.至少有一个x R ∈，使得23x >成立10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A.0a >B.0b >C.0c >D.0a b c -+>11.下列不等式中恒成立的是（ ） A.222(1)a b a b +--B.111a b ab + 4(5)x >-D.2ab ab a b+12.已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠，则下列说法中正确的是（ ） A.若不等式的解集为3{}2|x x x ->-或，则25k =-B.若不等式的解集为1R,x x x k ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，则6k =C.若不等式的解集为R ，则k <D.若不等式的解集为∅，则k ≥三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13.已知12a ≤≤，36b ≤≤，则32a b -的取值范围是______.14.已知x R ∈，集合{}23,,1A x x =-+，{}23,21,1B x x x =--+，且{3}AB =-，则A B =______.15.下列所给的各组p ，q 中，p 是q 的充分条件的有______，p 是q 的必要条件的有______.（填序号） ①:R p x ∈，:N q x ∈；②p ：四边形是矩形，q ：四边形是正方形；③p ：方程()200ax bx c a ++=≠有两个不等的实数解，2:40q b ac ->；④:0p ab =，22:0q a b +=. 16.已知0x >，0y >，且3622x y+=.若247x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围为______. 四、解答题：共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10分）已知20p x ->:，:40q ax ->，其中a R ∈且0a ≠.（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 18.（12分）解下列不等式： （1）251360x x +-< （2）21202x x -++< （3）5132x x +≤- （4）()()()12253x x x x --<-+19.设集合{}2320A x x x =-+=，(){}222(1)50B x x a x a =+++-=.（1）若{2}A B =，求实数a 的值；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围；20.（12分）给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合14{|}P x x =≤≤，1{}1|S x m x m =-≤<+，则x P ∈是x S ∈的条件.若存在实数m ，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y （台）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数10500y x =+.（1）设他每月获得的利润为W 元，写出W 与X 之间的函数关系式.（2）根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?22.（12分）已知集合P 中的元素有()*3n n N ∈个且均为正整数，将集合P 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P AB C =，A B =∅，A C =∅，B C =∅，其中{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，{}12,,,n B b b b =⋅⋅⋅，{}12,,,n C c c c =⋅⋅⋅.若集合A ，B ，C 中元素满足12n c c c <<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”，（1）若集合3{}12P =,,，1,23456{}Q =,,,,，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”?并说明理由. （2）若集合1356}4{P x =,,,,,为“完美集合”，求正整数x 的值.江苏省泰州中学高一年级第一次质量检测数学试卷（答案）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.用“book ”中的字母构成的集合中元素个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C2.二次函数2416y x =-的零点为（ ） A.()20±， B.2±C.()40±，D.4±【答案】B3.能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合{}20|N x R x x =∈-=关系的Venn 图是（ ）A. B. C. D.【答案】B4.命题“存在实数x ，使1x >”的否定是（ ） A.对任意实数x ，都有1x > B.存在实数x ，使1x ≤ C.不存在实数x ，使1x ≤ D.对任意实数x ，都有1x ≤ 【答案】D5.“1a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A提示 若方程x 的方程230x x a -+=有实数根，则940a ∆=-≥， 即94a ≤，所以“1a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的充分不必要条件 6.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A.11a b> B.22a b > C.a b >-D.11a b a>- 【答案】D提示 因为0a b <<，所以0b ->，从而0a a b <-<，所以11a b a<-. 7.己知05x <<，()5y x x =-，则下列说法中正确的是（ ）A.y 的最大值为52 B .y 的最小值为52 C.y 的最大值为254D.y 的最小值为254【答案】C 8.若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是具有伙伴关系的集合.集合11,0,,2,52M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A.1 B.3C.7D.31【答案】B提示 因为1M -∈，所以111M =-∈-；因为2M ∈，所以12M ∈. 因此，M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有{}1-，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭，11,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列命题能表述“x R ∃∈，23x >”的有（ ） A.有一个x R ∈，使得23x >成立 B.对有些x R ∈， 使得23x >成立 C.任选一个x R ∈，都有23x >成立D.至少有一个x R ∈，使得23x >成立 【答案】ABD10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A.0a > B.0b > C.0c >D.0a b c -+>【答案】BC11.下列不等式中恒成立的是（ ） A.222(1)a b a b +--B.111a b ab + 4(5)x >-D.2ab ab a b+【答案】ACD提示 对于A ，22222(1)(1)(1)0a b a b a b +---=-+-.对于B ，当0a <，0b <时，110a b +，10ab>.对于C 4=当且仅当1x =-时取“=”. 对于D ，当0a <，0b <时，0a b +<，左边0<，右边>0； 当0a >，0b >时，2a b ab +，所以2abab a b+.12.已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠，则下列说法中正确的是（ ） A.若不等式的解集为3{}2|x x x ->-或，则25k =-B.若不等式的解集为1R,x x x k ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，则k =C.若不等式的解集为R ，则6k <-D.若不等式的解集为∅，则k ≥ 【答案】ACD三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13.已知12a ≤≤，36b ≤≤，则32a b -的取值范围是______.【答案】[90]-，14.已知x R ∈，集合{}23,,1A x x =-+，{}23,21,1B x x x =--+，且{3}A B =-，则A B =______.【答案】{0,1,2,3,4}AB =--.15.下列所给的各组p ，q 中，p 是q 的充分条件的有______，p 是q 的必要条件的有______.（填序号） ①:R p x ∈，:N q x ∈；②p ：四边形是矩形，q ：四边形是正方形；③p ：方程()200ax bx c a ++=≠有两个不等的实数解，2:40q b ac ->；④:0p ab =，22:0q a b +=. 【答案】.③ ①②③④ 16.已知0x >，0y >，且3622x y+=.若247x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围为______. 【答案】(,3)(4,)-∞+∞提示由题意及基本不等式可得136132414(4)12(121222222y x x y x y x y x y ⎫⎛⎫⎛+=++=++⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当32x =，6y =时取“=”，所以2127m m >-，解得4m >或3m <. 四、解答题：共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10分）已知20p x ->:，:40q ax ->，其中a R ∈且0a ≠.（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【解析】设命题p 对应的集合为{}20|A x x =->，即{}|2A x x =>. 命题q 对应的集合为{}40B x ax =->.（1）因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB ，即0,42,a a>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得2a >，故实数a 的取值范围为(2)+∞，（2）因为p 是q 的必要不充分条件，所以BA .①当0a >时，由B A ，得42a>，解得02a <<； ②当0a <时，显然不满足题意. 综上，实数a 的取值范围为(0)2，. 18.（12分）解下列不等式： （1）251360x x +-< （2）21202x x -++< （3）5132x x +≤- （4）()()()12253x x x x --<-+解：（1）23,5⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）x <x > （3）[)13,3-（4）1x ≠19.设集合{}2320A x x x =-+=，(){}222(1)50B x x a x a =+++-=.（1）若{2}A B =，求实数a 的值；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围；解：∵2320x x -+=，∴1x =或2x =，故集合2{}1,A =. （1）∵{2}AB =，∴2B ∈，代入B 中的方程，得24301a a a ++=⇒=-或3a =-.当1a =-时，2{}2B =-,，满足条件； 当3a =-时，{}2B =，满足条件. 综上，实数a 的值为-1或-3.（2）对于集合B ，()224(1)458(3)a a a ∆=+--=+. ∵AB A =，∴A B ⊆①当0∆<，即3a <-时，B =∅，满足条件； ②当0∆=，即3a =-时，{}2B =，满足条件； ③当0∆>，即3a >-时，{}12B A ==,才能满足条件， 则由根与系数的关系，得2122(a 1)12a 5+=-+⎧⎨⨯=-⎩，解得25,27,a a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩矛盾. 综上，实数a 的取值范围是{}3a a -.20.（12分）给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合14{|}P x x =≤≤，1{}1|S x m x m =-≤<+，则x P ∈是x S ∈的条件.若存在实数m ，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】：若选择①，即x P ∈是x S ∈的充分不必要条件，则PS 则S ≠∅，即11m m -≤+，解得0m ≥，且11,14,m m -≤⎧⎨+≥⎩两个等号不同时成立，解得3m ≥，故3m ≥，即实数m 的取值范围是[3,)+∞. 若选择②，即x P ∈是x S ∈的必要不充分条件，则S P .当S ≠∅时，11m m ->+，解得0m <. 当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥，且11,14,m m -≥⎧⎨+≤⎩两个等号不同时成立，解得0m ≤，所以0m =. 综上，实数m 的取值范围是(],0-∞.若选择③，即x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,14,m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件21.为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y （台）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数10500y x =+.（1）设他每月获得的利润为W 元，写出W 与X 之间的函数关系式.（2）根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?【解析】：（1）依题意可知每台的销售利润为()10x -元，每月的销售量为()10500x -+台，所以每月获得的利润W 与销售单价X 之间的函数关系式为()()1010500W x x =--+.（2）由每月获得不少于3000元的利润，得()()10105003000x x --+≥，化简得2608000x x -+≤，解得2040x ≤≤.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以2025x ≤≤.设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则()()121010*********p x x =-⋅-+=-+.由2025x ≤≤，得500201000600x ≤-+≤.故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为]500[600,元22.（12分）已知集合P 中的元素有()*3n n N ∈个且均为正整数，将集合P 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P A B C =，A B =∅，A C =∅，B C =∅，其中{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，{}12,,,n B b b b =⋅⋅⋅，{}12,,,n C c c c =⋅⋅⋅.若集合A ，B ，C 中元素满足12n c c c <<， k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”，（1）若集合3{}12P =,,，1,23456{}Q =,,,,，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”?并说明理由.（2）若集合1356}4{P x =,,,,,为“完美集合”，求正整数x 的值. 【解析】：（1）对于集合3{}12P =,,，取{}1A =，{}2B =，{}3C =，满足P A B C =，A B =∅，A C =∅，B C =∅，且111a b c +=，所以集合P 为“完美集合”.若1,23456{}Q =,,,,为“完美集合”，则存在A ，B ，C ， 使得Q A B C =，A B =∅，A C =∅，B C =∅.设A 中各元素的和为M ，B 中各元素的和为N ，C 中各元素的和为L ，则12345621M A L ++=+++++=且M A L +=，所以212L =，它不是整数， 故Q 不是“完美集合”.（2）因为1356}4{P x =,,,,,为“完美集合”，由（1）可知7x ≥. 根据定义可知n c 为P 中的最大元素，故2c x =.又C 中各元素的和为134561922x x L ++++++==，所以C 的另一个元素为192x -， 它是1，3，4，5，6中的某个数，所以x 的值可能为17，13，11，9，7.当7x =时，}7{6C =,，}3{1A =,，}4{5B =,，满足定义要求：当9x =时，}9{5C =,，}3{1A =,，}6{4B =,，满足定义要求；当11x =时，11{4}C =,，}5{1A =,，}6{3B =,，满足定义要求；当13x =或17x =时，13{3}C =,或17{1}C =,，3和1没办法写成两个元素的和， 故不满足定义要求.综上，x 的值为7，9，11。
江苏省苏州市昆山一中2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
江苏省苏州市昆山一中2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下各组对象，不能构成集合的是（ ）. A ．不小于3的自然数 B ．地球上的小河流 C ．周长为10cm 的三角形D ．截止到2020年1月1日，参加“一带一路”的国家 2．函数0()(1)f x x =+-的定义域是（ ）.A ．[-1，2]B ．(-1，1)∪(1，2)C ．[-1，1)∪(1，2]D ．(-1，2)3．设x ，y 是正实数，满足x +2y =1，那么224y x +的最小值为（ ） A ．1B ．23C ．14D ．124．若一系列函数的解析式相同､值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.那么函数解析式为2,y x =值域为{4}的“孪生函数”共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若集合A ={x |x =5k -1，k ∈Z }，B ={x |x =5k +4，k ∈Z }，C ={x |x =10k -1，k ∈Z }.则A ，B ，C 的关系是（ ） A ．A ⊆C ⊆B B ．A =B ⊆CC ．B ⊆A ⊆CD ．C ⊆A =B6．“|2x -1|≤3”是“102x x+≥-”的（ ）条件. A ．充要 B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要7．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若对R 上的任意实数1212,,(),x x x x ≠恒有()1212-()-(]0[)x x x f x f <成立.那么a 的取值范围是（ ）A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]8．不等式11ax x b+>+的解集为(-∞，-1)∪(4，+∞).则01x a bx +≥-的解集为（ ）A ．1[6,]4-- B ．[-1，1)C ．1[6,)4--D ．1[,1]4-二、多选题9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题不正确是（ ） A ．若a >b ，则11a b< B ．若b <a <0，m <0，则b m ba m a +<+ C ．若a >b ，c <d ，则a bc d>D ．若a >b ，c >d ，则a -c >b -d10．下列函数f (x )中，满足对任意12,(1,),x x ∈+∞有1212()()0f x f x x x ->-的是（ ）A ．2()2(1)2f x x =--B ．1()1f x x=- C ．1()1f x x=+D ．f (x )=|x -1|11．下列关于二次函数2()22f x x x =-+的说法正确是（ ） A ．∀x ∈R ，f (x )>0 B ．∀a <1，∃x ∈R 使f (x )=a C ．∀a ≥1，∃x ∈R 使f (x )<aD ．2121,,,x x x x ∃∈≠R 使得12()()f x f x =12．已知函数()248f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，则k 可能的取值范围是（ ）A ．(35，40]B ．[20，25]C ．(40，100)D ．[70，160)三、填空题13．函数()f x =__. 14．若正数a ，b 满足141,a b+=则a +2b 的最小值为_____. 15．设A ，B 是两个非空集合，定义A ×B ={x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }.已知A ={x |0≤x ≤5}，B ={y |y >4}，则A ×B =________.16．已知函数f (x )=x |x -2|.若1<n <m ，且f (n )=f (m )，则m 的取值范围为________.四、解答题17．已知集合2{|0},9x A x x +=≤-B ={x |a -3≤x <2a +5}，全集U =R .（1）当3a =时，求AB ､()()U U B A ⋂.（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的必要不充分条件，求a 的取值范围. 18．（1）已知0,0,0.a b c d f >><<<求证：.f fa cb d>--（2）已知x >0.求证：423x x--的最大值为2- 19．已知34().f x x x=-（1）证明：函数()f x 在(0，+∞)上是增函数；（2）定义在(0，+∞)上的函数()()2g x f x =+，满足()()132g a g a ->-.求a 的取值范围20．解关于x 的不等式：22(1)0.ax a x a -++≤ 21．已知函数2().f x x ax b =-++（1）若关于x 的不等式f (x )>0的解集为{x |-1<x <3}，求实数a ，b 的值. （2）当b =-4时，0[1,1],x ∃∈-使得0()0.f x >求a 的取值范围.22．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元. 税率与速算扣除数见下表；（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y=f(t)，并画出图象.（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险､基本医疗保险､失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别为8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？注：“综合所得”包括工资，薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险､基本医疗保险､失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育､继续教育､大病医疗､住房贷款利息或者住房租金､赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用､专项扣除､专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用，参考答案1．B【分析】利用集合的特征即可求解.【详解】对于B，地球上的小河流，集合中的元素不确定，故不能构成集合. 对于A、C、D，集合中的元素确定.故选：B【点睛】本题考查了集合的特征，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 2．B【分析】使函数有意义，即22010x xx⎧-++>⎨-≠⎩，解不等式组即可求解.【详解】由题意，只需22010x xx⎧-++>⎨-≠⎩，解得12x-<<且1x≠，所以函数的定义域为(-1，1)∪(1，2).故选：B【点睛】本题考查了求具体函数的定义域，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 3．D【分析】利用常见的重要不等式：22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭即可求解.【详解】由x+2y=1，且2222422x y x y++⎛⎫≤⎪⎝⎭，即221 24y x≥+，当且仅当12x =，14y =时，取等号，所以224y x +的最小值为12故选：D 【点睛】本题考查了根据条件利用基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 4．C 【分析】根据题意，值域相同、对应关系相同，求出定义域的所有情况即可求解. 【详解】由题意只需求出函数的定义域， 函数解析式为2,y x =值域为{4}时，它的定义域可以是{}2-，{}2，{}2,2-，共有3种不同的情况. 故选：C 【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了函数的新定义，属于基础题. 5．D 【分析】对于集合A ：()()()10125110421n k n x k n Z n k n ⎧-=⎪=-=∈⎨+=+⎪⎩，对于集合B ：()511,1x k k Z =+-+∈，对于集合C ：101,x k k Z =-∈，即可判断选项.【详解】对于集合A ：()()()10125110421n k n x k n Z n k n ⎧-=⎪=-=∈⎨+=+⎪⎩， 对于集合B ：()511,1x k k Z =+-+∈， 对于集合C ：101,x k k Z =-∈， 则C A B ⊆=. 故选：D.本题主要考查了集合的包含关系.属于较易题. 6．C 【分析】先求出两个不等式的解，再判断选项即可. 【详解】由213x -≤得12x -≤≤，由102x x+≥-得12x -≤<， 故“|2x -1|≤3”是“102x x+≥-”的必要不充分条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件.属于容易题. 7．D 【分析】根据题意可得函数()f x 为减函数，再利用分段函数的单调性可得()3020352a a a a ⎧-<⎪>⎨⎪-+≥⎩，解不等式即可求解. 【详解】任取12x x <，则120x x -<， 可得()()120f x f x ->，()()12f x f x ∴>，所以函数()y f x =在R 上为减函数，由题意可得()3020352a a a a ⎧-<⎪>⎨⎪-+≥⎩，解得02a <≤，因此实数a 的取值范围是(]0,2.【点睛】本题考查了分段函数的单调性求参数的取值范围，考查了基本运算求解能力，属于较易题. 8．C 【分析】将不等式的解集化为()()10ax x b x b --++>，即()()10ax x b x b --++=的两个根为11x =-，24x =，代入求出,a b ，再利用分式不等式的解法即可求解.【详解】 不等式11ax x b+>+转化为()()110a x b x b --++>⎡⎤⎣⎦ 其解集为(-∞，-1)∪(4，+∞)，所以1a >，且方程()()10ax x b x b --++=的两个根为11x =-，24x =，则11040a b b -+-+=⎧⎨+=⎩ 或441010a b b --+=⎧⎨-+=⎩，解得64a b =⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去）， 所以600141x a x bx x ++≥⇒≥--- ()()6410410x x x ⎧+--≥⇒⎨--≠⎩，解得164x -≤<-.所以不等式的解集为1[6,)4--. 故选：C 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 9．ACD 【分析】对于选项A C D ：直接用特殊值代入验证即可判断；对于选项B ：利用做差法比较大小即可判断.对于选项A ：令1,1a b ==-，则11a b>，故A 不正确； 对于选项B ：()()()()()a b m b a m a b mb m b a m a a a m a a m +-+-+-==+++， 由b <a <0，m <0，可得0,0a b a m ->+<， 故0b m b b m b a m a a m a++-<⇒<++，故B 正确； 对于选项C ：令1,0,2,1a b c d ===-=-，则a bc d<，故C 不正确； 对于选项D ：令3,2,2,1====a b c d ，则a c b d ->-不成立，故D 不正确； 故选：A C D. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及利用做差法比较大小.属于较易题. 10．ABD 【分析】由题意可得只需满足函数在区间(1,)+∞上单调递增即可. 【详解】对任意12,(1,),x x ∈+∞有1212()()0f x f x x x ->-，则函数在区间(1,)+∞上为增函数，对于A ，2()2(1)2f x x =--，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A 可选； 对于B ，1()1f x x=-，根据幂函数的性质，函数在区间(1,)+∞上为增函数，故B 可选； 对于C ，1()1f x x=+，函数在区间(1,)+∞上为减函数，故C 不选； 对于D ，()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，显然函数在区间(1,)+∞上为增函数，故D 可选； 故选：ABD 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、幂函数的单调性、分段函数的单调性，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 11．AD 【分析】根据()2()111f x x =-+≥，可判断选项AB ；当1a =时，不存在x ∈R 使()1f x <可判断选项C ，特殊值代入可判断选项D. 【详解】由()22()22111f x x x x =-+=-+≥，对于选项A ：对于∀x ∈R ，()1f x ≥，故A 正确； 对于选项B ：对于∀x ∈R ，()1f x ≥， 故不存在x ∈R 使()=1f x a <，故B 不正确； 对于选项C ：当1a =时，不存在x ∈R 使()1f x <，故C 不正确；对于选项D ：由()()022f f ==，可判断D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了二次函数的恒成立问题.属于较易题. 12．AB 【分析】根据二次函数性质得对称轴与区间位置关系，解不等式得结果. 【详解】因为函数()248f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，又函数()f x 的对称轴为：8k x =， 所以208k ≥或58k≤， 即得：160k ≥或40k ≤， 故选：AB.【点睛】本题主要考查了二次函数单调性的性质，考查基本分析求解能力，属于容易题. 13．[]3,8 【分析】首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】21660x x +-≥，解得28x -≤≤，所以函数的定义域为[]2,8-，令()222166616325y x x x x x =+-=-++=--+， 二次函数开口向下，对称轴为3x =，由y =所以函数()f x =[]3,8. 故答案为：[]3,8 【点睛】本题考查了复合函数的单调区间，注意首先求函数的定义域，属于基础题.14．9+ 【分析】由()1422a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求解. 【详解】 由141,a b+=则()1424221899b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+=+⎪⎝⎭，当且仅当1a =，4b =+故答案为：9+【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 15．[]()0,45,+∞【分析】先求出,A B A B ⋃⋂，再利用新定义即可得解. 【详解】由A ={x |0≤x ≤5}，B ={y |y >4}， 得(][0,),4,5AB A B =+∞=，所以[]()A =0,45,B ⨯+∞. 故答案为：[]()0,45,+∞.【点睛】本题主要考查集合的并集和交集计算，考查集合的新定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.属于较易题. 16．21m << 【分析】先求出()()()()()22112112x x f x x x ⎧-->⎪=⎨--+≤⎪⎩，利用二次函数的单调性，分2n m <<，12n m <<≤，12n m <<<三种情况讨论即可得出结果.【详解】()()()()()221122112x x f x x x x x ⎧-->⎪=-=⎨--+≤⎪⎩， 当2x >时，函数()f x 在()2,+∞单调递增； 故当2n m <<时，不存在()()f n f m =； 当12x <≤时，函数()f x 在(]1,2单调递减； 故当12n m <<≤时，不存在()()f n f m =； 当12n m <<<，()()211f n n =--+， 由12n <<得()01f n <<，则()()20111f m m <=--<，解不等式得：21m <<.故答案为：21m <<. 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的单调性求参数的取值范围问题.属于较易题. 17．（1）{}09x x ≤<；()[),211,-∞-+∞；（2）(](],81,2-∞. 【分析】（1）当3a =时，得到{|29}A x x =-≤<，{|011}B x x =≤<，再计算AB ，()()UU B A ⋂即可得到答案.（2）将必要不充分条件转化为B ⫋A ，再讨论B =∅和B ≠∅两种情况，分别计算即可得到答案. 【详解】（1）当3a =时，{|29}A x x =-≤<，{|011}B x x =≤<，则{}09A B x x ⋂=≤<； 由()[),011,UB =-∞+∞， ()[),29,U A =-∞-+∞，得()()()[),211,UUB A =-∞-+∞.故{}09A B x x ⋂=≤<；()()()[),211,UUB A =-∞-+∞.（2）∵x ∈A 是x ∈B 成立的必要不充分条件， ∴B ⫋A ，①若B ＝∅，则325a a -≥+，解得8a ≤-； ②B ≠∅，由B ⫋A ，得到：3253212259a a a a a -<+⎧⎪->-⇒<≤⎨⎪+≤⎩， 综上所述：a 的取值范围是(](],81,2-∞.【点睛】本题主要考查了集合的运算，利用必要不充分条件求参数的问题，将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系是解题的关键.属于中档题. 18．（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【分析】（1）利用不等式的性质即可证明. （2）利用基本不等式即可证明. 【详解】（1）由0c d <<，则0c d ->->， 又0a b >>，所以0a c b d ->->， 所以11b d a c>--， 又因为0f <， 所以.f f a c b d>-- （2）44232322x x x x ⎛⎫--=-+≤-=- ⎪⎝⎭当且仅当3x =时取等号. 所以423x x--的最大值为2- 【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 19．（1）证明见详解；（2）23,34⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；（2）由（1）可得函数()g x 在(0，+∞)上是增函数；可得10320132a a a a ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解不等式组即可得出结果.【详解】（1）证明：设1212,0,x x x x ><，()()212121333321124444f x f x x x x x x x x x -=--+=-+-- ()()22212121331241x x x x x x x x ⎛⎫++ ⎪=-+ ⎪⎝⎭， 又()22212121331240,0x x x x x x x x++->>，所以()()()()21210f x f x f x f x ->⇒>， 所以函数()f x 在(0，+∞)上是增函数； （2）()()2g x f x =+，由（1）函数()f x 在(0，+∞)上是增函数； 可得函数()g x 在(0，+∞)上是增函数； 又()()132g a g a ->-，则102332034132a a a a a ->⎧⎪->⇒<<⎨⎪->-⎩， 所以a 的取值范围是：23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了证明函数的单调性，利用函数的单调性解不等式.属于较易题. 20．答案见详解 【分析】原不等式化为()()10ax x a --≤，通过对a 与0的大小关系，1a与a 的大小关系分类讨论即可得出． 【详解】原不等式化为()()10ax x a --≤，①0a =时，原不等式化为0x -≤，所以原不等式的解为[)0,+∞； ②0a >时，原不等式化为()10x x a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭， ⑴01a <<时，1>a a ，所以原不等式的解为1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ⑵1a =时，原不等式化为()210x -≤，所以原不等式的解为{}1x x ≠； ⑶1a >时，101a <<，所以原不等式的解为1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ③0a <时，原不等式化为()10x x a a ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭， ⑴10a -<<时，1a a <，所以原不等式的解为[)1,,a a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；⑵1a =-时，原不等式化为()210x +≥，所以原不等式的解为R ； ⑶1a <-时，1a a >，所以原不等式的解为(]1,,a a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. 综上可得：原不等式的解为：①⑴10a -<<时，原不等式的解为[)1,,a a⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；⑵1a =-时，原不等式的解为R ； ⑶1a <-时，原不等式的解为(]1,,a a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭； ②0a =时，原不等式的解为[)0,+∞； ③⑴01a <<时，原不等式的解为1,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑵1a =时，原不等式的解为{}1x x ≠； ⑶1a >时，原不等式的解为1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论等基础知识与基本技能方法，注意分类的标准和不重复、不遗漏的原则，属于中档题． 21．（1）2,3a b ==；（2）5a <-或5a >. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集可知20x ax b -++=的两根为1,3-，再利用韦达定理即可求解.（2）将不等号转化为240x ax -+->在区间[]1,1-上有解，讨论a 的取值范围，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）函数2()f x x ax b =-++，不等式f (x )>0的解集为{x |-1<x <3}，∴20x ax b -++=的两根为1,3-，132a ∴=-+=，()133b -=-⨯=-，即3b =，所以2,3a b ==，（2）b =-4时，0[1,1],x ∃∈-使得0()0.f x > 即240x ax -+->在区间[]1,1-上有解， 即240x ax -+<在区间[]1,1-上有解， 设()24=-+g x x ax ，开口向上，对称轴2a x =， 当12a≤-，即2a ≤-时，只需()10g -<，即140a ++<， 解得5a <-， 当112a-<<，即22a -<<时，所以>0∆，即()2160a -->，解得4a >或4a ，此时a 无解；当12a≥，即2a ≥时， 则()10g <，即140a -+<，解得5a >，此时5a >. 综上所述，a 的取值范围为5a <-或5a >. 【点睛】本题考查了根据一元二次不等式的解集求参数、一元二次不等式能成立问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.22．（1）()0.03,0360000.12520,360001440000.216920,1440003000000.2531920,3000004200000.352920,4200006600000.3585920,6600009600000.45181920,960000t t t t t t f t t t t t t t t t ≤≤⎧⎪-<≤⎪⎪-<≤⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎪-<≤⎪⎪->⎩；（2）1029.6【分析】（1）根据个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数和表中的数据即可得到y 关于t 的函数解析式.（2）将图中数据代入应纳税所得额公式即可得出小王的应纳税所得额为189600600003792052800456034320----=（元），再代入（1）中的表达式即可求解. 【详解】（1）根据表格，可得函数()y f t =的解析式为()0.03,0360000.12520,360001440000.216920,1440003000000.2531920,3000004200000.352920,4200006600000.3585920,6600009600000.45181920,960000t t t t t t f t t t t t t t t t ≤≤⎧⎪-<≤⎪⎪-<≤⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎪-<≤⎪⎪->⎩ ，函数图像如图所示：（2）根据题意，小王全年应纳税所得额为()00000000189600600001896008219528004560t =--+++--0.818960011736034320=⨯-=，将t 的值代入（1）表达式可得0.03343201029.6y =⨯=， 所以全年应缴纳综合所得个税税额为1029.6元. 【点睛】本题考查了函数模型及其应用，考查了分析能力、数据处理能力，属于基础题.。
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江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若平面向量两两所成的角相等，且，则等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或参考答案：C【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由，由此分别求得、、的值，再根据==，运算求得结果【解答】解：由于平面向量两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由，①若平面向量两两所成的角相等，且都等于120°，∴=1×1×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣．====2．②平面向量两两所成的角相等，且都等于0°，则=1×1=1，=1×3=3，=1×3=3，====5．综上可得，则=2或5，故选C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．2. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的且样本容量是160，则中间一组的频数为（）A.32B.0.2C.40D.0.25参考答案：A3. 已知是R上的单调递增函数，则实数的取值范围( )A．B．C．D．参考答案：D略4. 已知一元二次不等式的解集为,则的解集为（）A．B．C．D．参考答案：D5. 已知集合，，则下列对应关系中不能看作从到的映射的是( )．A．B．C．D．参考答案：C略6. 从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A.A与C互斥B.任何两个均互斥C.B与C互斥D.任何两个均不互斥参考答案：A略7. 函数的单调递增区间为（）A. (－∞,1]B. (－∞,2]C. [2,+∞)D. [1,+∞)参考答案：D8. 如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限参考答案：B【考点】指数函数的图象变换．【专题】转化思想．【分析】先考查 y=a x的图象特征，f（x）=a x+b 的图象可看成把 y=a x的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，即可得到 f（x）=a x+b 的图象特征．【解答】解：∵a＞1，∴y=a x的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），f（x）=a x+b 的图象可看成把 y=a x的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，故函数f（x）=a x+b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，故选 B．【点评】本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．9. 已知，，，那么（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略10. （5分）已知f（x）=x7+ax5+bx﹣5，且f（﹣3）=5，则f（3）=（）A．﹣15 B．15 C．10 D．﹣10参考答案：A考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：设g（x）=x7+ax5+bx，则可证明其为奇函数，从而f（x）=g（x）﹣5，先利用f（﹣3）=5求得g（3），再代入求得f（3）即可解答：设g（x）=x7+ax5+bx，∵g（﹣x）=﹣x7﹣ax5﹣bx=﹣g（x），即g（﹣x）=﹣g（x）∵f（﹣3）=g（﹣3）﹣5=5∴g（﹣3）=10，∴g（3）=﹣g（﹣3）=﹣10∴f（3）=g（3）﹣5=﹣10﹣5=﹣15故选 A点评：本题考查了利用函数的对称性求函数值的方法，发现函数f（x）为奇函数加常数的特点，是快速解决本题的关键二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等比数列中，已知，则_________.参考答案：12. = ．参考答案：6略13. 已知函数的图象必过定点，则点的坐标为▲ .参考答案：略14. 若sin α是方程x2 +x– 1 = 0的根，则sin 2 ( α +)的值是______________。
参考答案：– 415. 已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）= ．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】已知两等式两边分别平方，相加得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，将得出的关系式代入计算即可求出值．【解答】解：已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=，（sinα+sinβ）2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=，∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，即cosαcosβ+sinαsinβ=，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=．故答案为：．16. 如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是_________（写出所以正确结论的序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°．参考答案：②④略17. 的图象如图所示，则__参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （19）（本小题满分12分）P是平行四边形ABCD外的一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ．（要求画出图形）参考答案：证明：如图，连结AC交BD于O∵ABCD是平行四边形，∴AO＝OC连结OQ，则OQ平面BDQ，且OQ是△APC的中位线∴PC∥OQ，又PC在平面BDQ外∴PC∥平面BDQ．略19. 已知函数f（x）=，（1）求f（2）+f（）；f（3）+f（）的值；（2）猜想：f（x）+f（）的值（不用证明）；（3）求f（2）+f（3）+f（4）+…+f+…+f（）+f（）+f（）的值．参考答案：【考点】函数的值．【分析】（1）直接利用函数的表达式，求解f（2）+f（）；f（3）+f（）的值，即可．（2）通过（1）猜想f（x）+f（）的值．（3）利用倒序相加法，借助（2）求出结果即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，∴f（2）+f（）===1；f（3）+f（）===1．（2）猜想f（x）+f（）=1．（3）令S=f（2）+f（3）+f（4）+…+f+…+f（）+f（）+f（）…①∴S=f（）+f（）+f（）+…+f（）+f+…+f（3）+f（2）…②由f（x）+f（）=1以及①+②得：2S=4030×1，S=2015．即f（2）+f（3）+f（4）+…+f+…+f（）+f（）+f（）的值为：2015．20. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．21. 已知函数（1）求函数的值域；（2）若时，函数的最小值为，求的值和函数的最大值。
参考答案：解：设（1）在上是减函数所以值域为…… 6分（2）①当时，由所以在上是减函数，或（不合题意舍去）当时有最大值，即②当时，，在上是减函数，，或（不合题意舍去）或（舍去）当时y有最大值，即综上，或。
当时f（x）的最大值为；当时f（x）的最大值为。
略22. 求过两直线和的交点, 且分别满足下列条件的直线l的方程（1）直线l与直线平行；（2）直线l与直线垂直.参考答案：。