幂指对函数专题复习
幂指对函数复习专题讲座
一．幂函数
幂函数的定义及性质：
二．指数函数和对数函数 1.幂的有关概念：
(1)规定：① ∈???=n a a a a n ( N *
);② )0(10≠=a a ;
③∈=-p a
a
p p
(1
Q ）;④m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n (2)指数运算性质： ①r a a
a a s
r s
r
,0(>=?+、∈s Q ）;②),,0(Q s r a a a
a s r s r
∈>=-；③r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）;
④∈>>?=?r b a b a b a r
r r ,0,0()( Q ）;⑤),0,0(Q s b a b a b a s s s
∈>>=??
? ??.
2．对数的概念：
(1)定义：?=N a b
,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数.
①常用对数N lg ，②自然对数N ln (2)基本性质：
①真数N 为正数（负数和零无对数）; ② 01log =a ;③1log =a a ;④对数恒等式：N a N
a =log .
(3)运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①N M MN a a a log log )(log +=;②N M N
M
a a a log log log -=;③M n M a n a log log =; ④n a n a =log ; ⑤N n N a a n log 1
log =
；⑥换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a a
N N m m a ⑦1log log =?a b b a ，⑧ N m
n
N a n
a m log log =
3.指数函数
（1）指数函数的定义
一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x
叫做指数函数. （2）指数函数的图象
O
x
y
O
x
y y =a x 11
a > ）
1y =a
x (
(0＜a ＜1)
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称. （3）指数函数的性质
①定义域：R ；②值域：),0(+∞；③过点)1,0(；④当1>a 时，R 上递增；当10< （1）对数函数的定义 函数)1,0(log ≠>=a a x y a 叫做对数函数. （2）对数函数的图象 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：),0(+∞；②值域：R ；③过点)0,1(；④当1>a 时),0(,+∞上递增；当10<=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象和性质如表． 三．典型例题 【例1】图中曲线是幂函数n x y =在第一象限的图象，已知2 1 ,2±±=n ，则相应于曲线4321,,,C C C C 的n 依次为（ ） 【例2】解答下述问题： 1 o 1 y x C 1 C 2 C 3 C 4 O x y y = l o g x a > O x y y = l o g x a 111 1 0( ()) A.2,21 ,21,2-- B.2,21 ,21,2-- C.21,2,2,21-- D.2 1,2,21,2-- （1）计算：25.021 213 25 .0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+--- （2）计算：1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2 3--+?. （3）化简： .)2(248533233 23 233 2 3 134a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- （4）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 【例3】已知函数)1,0)(1(log 2≠>++=a a mx x y a . (1)若定义域为,R 求m 的取值范围；(2)若值域为,R 求m 的取值范围. 【例5】 函数)1(||>=a a y x 的图象是（ ） 【例5】若,)(2b x x x f +-=且)1(2)]([log ,)(log 22≠==a a f b a f . （1）求)(log 2x f 的最小值及对应的x 值； （2）x 取何值时)1()(log ,2f x f >且)1()]([log 2f x f <. 幂指对函数练习题 一．选择题： 1.若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2.若0≠xy ，那么等式y xy y x 243 2-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> D 、0,0< =b a lg lg -；③b a b a lg )lg(212=；④ab lg =10 log 1ab A ．0 B ．1 C ．2 D ． 3 4.已知,12+= x 则=--)6(log 34x x （ ） A ． 23 B ．4 5 C ．0 D ． 2 1 5.已知0>m 时,1 lg )10lg(10,m m x +=则x 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 6.若,5log log 3=?a b a 则=b ( ) A ．3 a B ．5a C ．5 3 D ．3 5 7. 若(10)x f x =，则(5)f = （ ） A 、5 10 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg 5 8. 已知0,1a a >≠，下列说法中，正确的是 （ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 9. 已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、 2 31a a -- 10. 若21025x =，则10x -等于 （ ） A 、 15 B 、15- C 、150 D 、1625 11.若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有（ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 12.已知c a b 2 12 12 1log log log <<，则( ) A ． 2b >2a >2c B ．2a >2b >2c C ．2c >2b >2a D ．2c >2a >2b 13.设 1.5 0.9 0.48 12314,8 ,2y y y -?? === ? ?? ，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 14.函数4 3) 21(--=x y 的定义域为 （ ） A 、R x ∈ B 、21≠ x C 、21>x D 、2 1 1-x 的定义域为（ ） A ．（ 21，+∞） B ．［1，+∞) C ．（ 2 1，1] D ．（－∞，1） 16.函数x y -=1)2 1(的单调递增区间是 （ ） A 、),(+∞-∞ B 、),0(+∞ C 、),1(+∞ D 、)1,0( 17.下列等式中成立的是 （ ） A 、 x x x 5.055 <<-B 、 x x x -<<55.05 C 、x x x 5.055<<- D 、 x x x 555.0<<- 18.若函数()l o g (01) a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ） A 、 24 B 、2 2 C 、14 D 、12 19.若函数)1,0(1≠>-+=a a m a y x 的图象在第一、三、四象限内，则（ ） A 、1>a B 、1>a 且0 C 、010>< D 、10< 1 log 31log >>b a ，则a 、b 的关系是（ ） A ．a b <<1 B ．b a <<1 C ．10<< 21.当),1(+∞∈x 时,函数α x y =的图像恒在直线x y =的下方,则α的取值范围是（） (A)α＜1 (B)0＜α＜1 (C)α＞0 (D)α＜0 22.下图中曲线是对数函数x y a log =的图象,已知=a 431 3,,,3510 ,则相应于4321,,,C C C C 的a 值依次为( ) A ．101,53,34,3 B ．53,101,34,3 C ．101,53,3,34 D ．53 ,101,3,34 23.下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数α x y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 24.如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 25.函数)1(log )(2++=x a x f a 在]1,0[上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A ． 4 1 B ． 2 1 C ． 2 D ．4 26.函数)(x f 的图像沿x 轴向左平移一个单位,再沿y 轴翻折180o ,得到x y lg =的图像,则)(x f 为( ) (A))1lg()(x x f += (B))]1(lg[)(+-=x x f (C))1lg()(x x f -= (D))1lg()(x x f --= 1α 3α 4α 2α 27.下图中三条对数函数图像,若,132 1>==x x x c b a 则321,,x x x 的大小关系是 （ ） (A)321x x x >> (B)123x x x >> (C)213x x x >> (D)312x x x >> 28.函数)1,0(1)(≠>--=a a b a x f x 图像只在第一、三、四象限.则 ( ) (A)R b a ∈>,1 (B)0,10><>b a 二、填空题： 1.化简22log (123)log (123)++++-= . 2.[]643log log (log 81)的值为 . 3.若( ) log 211x -=-，则x = . 4.设1052==b a ,则 =+b a 1 1_________. 5. 函数)1,0(11≠>+=-a a a y x 的图象过定点_______;函数)1,0)(74(log ≠>-=a a x y a 必过定点______. 6.) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为 ;函数y=)1(log 5.0-x 的定义域是 . 7.若011log 2 2<++a a a ，则a 的取值范围是 . 8.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2 1 (- 内单调递增，则a 的取值范围是 . 9.已知函数=)(x f ?????<+≥, 4),1(, 4,)21(x x f x x 则=+)3log 2(2f 10.若直线a y 2=与函数)1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______________. 11.若函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 . 12.若关于x 的方程3 3 5-+= a a x 有负根，则实数a 的取值范围是_____________. 13.=)(x f )12(log 12+-x a 在（－ 2 1 ，0）上恒有,0)(>x f 则a 的取值范围_______． 17.当0>x 时，函数x a y )8(2-=的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________. 18.若,02log )1(log 2<<+a a a a 则a 的取值范围是__________. 19.函数|,lg |)(x x f =则)2(),3 1(),41(f f f 的大小关系是__________ 三、解答题 1.化简或求值： （1）33 22)1()1()1(a a a -+-+-； （2）2)5lg 2(lg 5064lg 2 1 58lg 500lg ++-+. 2.求3log 15.222ln 100 1 lg 25.6log ++++e ． 3.已知,522=+-x x 求（1）x x -+44；（2）x x -+88 4.已知,11log )(2 x x x f -+=则 （1）求)(x f 的定义域；（2）求使0)(>x f 的x 的取值范围。 5.设,3log log log ),1,0(32+-=∈x x y a a a a 函数,4 2 max = y 求x a ,. 6.已知,0322 941 ≤=?-+x x 求函数8 log 2log 212 1 x x y ?=的最大、最小值. 7.设x x e a a e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）证明)(x f 在),0(+∞上为增函数. 8.定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()2(x f x f -=+当(]1,0∈x 时,1 42)(+=x x x f . (1)求证:)(x f 是以4为周期的周期函数；(2)求)(x f 在[-1,0]上的解析式; 9.已知过原点O 的一条直线l 与函数x y 8log =的图象交于A 、B 两点.分别过A 、B 作y 轴的平行线与x y 2log =的图象交于C 、D 两点. (1)证明C 、D 和原点在同一条直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. 10.设定义在(0,)+∞上函数()f x 满足下列两个条件：①对一切正实数1m 、n ，都有()()()m f f m f n n =-；②当x ＞1时，()f x ＜0. （1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并加以证明； （3）若1212,(0,),,x x x x ∈+∞≠且试比较12121 [()()]()22 x x f x f x f ++与的大小. 3 幂函数知识点归纳 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α 系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 练习：做出下列函数的图像： 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、 幂函数的性质 y=x 3 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 四、 幂函数类型题归纳 （一） 定义应用： 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的 解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){} |M x f x g x ==，则集合M 中 元素的个数是（ ） （Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二） 图像及性质应用 1、 右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则 ,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ） ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n < b c 指对幂函数试卷四 一、选择题 1.设的大小关系是、、，则，，c b a c b a 243.03.03log 4log -=== 0的x 的集合是 . 3. )2log (2)9(log )(91-==-f f x x f a ，则满足函数的值是_____. ? 4.函数 1e 1e +-=x x y 的反函数的定义域是_________. 江苏省东台市三仓中学2015届高三数学幂函数专题复习教案 §2.8幂函数 导学目标： ①了解幂函数的概念； ②结合函数 1 232 1 ,,,, y x y x y x y y x x ===== 的图像，了解它们的变化情况． 自主梳理 1.幂函数的定义 形如_____________()R α∈的函数称为幂函数，其中x是______，α为______. 2. 幂函数的图象 3. 幂函数的性质函数 特征性质y x =2 y x =3 y x =12 y x =1 y x- = 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 自我检测 1．（课本题改编）当 }3,1, 2 1 ,1 {- ∈ α 时，则使函数 α x y=的的定义域为R且为奇函数的所 有α的值为. 2.已知幂函数α x k x f ?=)(的图象经 过点) 22,21(，则α+k = . 3. 幂函数 )(x f y =的图象经过点1 (2,) 8--，则满足()27f x =的x 的值是 。 4. 6 .12.02.02.02,2,2.0,4.0的大小顺序为 。 5. 函数 245 ()a a f x x --=（a 为常数）是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则整数a 的 值是 ． 6．幂函数()f x 的图象经过点(3,27)，则()f x 的值域是 。 探究点一 幂函数的定义及其应用： 已知)32()22(1 1 2 2 -+-+=-n x m m y m 是幂函数，求n m ,的值. 【变式训练】已知 m x m m x f m m ,)2()(1 22 -++=为何值时，)(x f 是： （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数. (指对幂函数)专题复 习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 指对幂函数 一、 指对数运算 【知识点】 1、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0 _____=?s r a a _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a a n m ， 2、 对数计算公式：)0,0,10(>>≠>M N a a 且 （1） 指对数互化：N a x =_______? （2） _____1log =a _____log =a a ______log =n a a ______log =n a a （3） _____log log =+N M a a _____log =n a M _____log log =-N M a a _____log =M m a （4） 换底公式：_____log =b a （常用：a b b a lg lg log = a b b a log 1log =） 【练习一】 指对数的运算 1、计算下列各式的值 （1）3 log 9 log 28 （2）)]81(log [log log 345 （3）2log 4log 3log 432?? （4）)3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷- （5）7 4log 2 1 7+14log 50 1 log 2log 235log 55 2 1 5--+ 2、解下列方程 （1）2 3 27log x = （2）0)(log log 25=x 3、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2 整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈. (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。规律：底数a 保持不变 幂值 真数 （二）对数的运算性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = （5）对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). a b b a log 1 log = (a ＞0,且 b ＞0). （6）指数恒等式：a N a N l o g = （由②N log b ①N a a b ==，,将②代入①得a N a N l o g =） 一、选择题（每小题 4分，共 计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （） A ．71 7 7)(m n m n =B ． 3 3 39=C ．4 343 3)(y x y x +=+D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 613 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 1 ) 2()5(--+-=x x y （） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 3.幂函数 1.幂函数定义： 只要满足n y x =的形式的函数我们就称为幂函数，其中x 称为底数，且为自变量；n 称为指数，为常量。 注：当0n =时，0x ≠。 【例】若函数()() 223m f x m m x =--为幂函数，求实数m 的值 2.常见的幂函数图像规律 与其他函数只有一种图像不一样，幂函数根据n 不一样，有很多不同的类型。常 见的n 有以下类型：1 1,2,3,1,,22 n =-- （1）. 1n = （2） 2n = y x =2y x = 定义域： x R ∈定义域： x R ∈ 值域： y R ∈值域： [)0,y ∈+∞ 单调性 单调递增单调性： 单调递增 奇偶性 奇函数 奇偶性： 偶函数 对称性 关于原点对称 对称性 关于y 轴对称 （3）. 12n = y = （4） 1n =-1y x = 定义域： [)0,x ∈+∞定义域： ()(),00,x or ∈-∞+∞ 值域： [)0,y ∈+∞值域： ()(),00,y or ∈-∞+∞ 单调性 单调递增单调性：()(),00,x ∈-∞+∞减，减 奇偶性 非奇非偶函数 奇偶性： 奇函数 对称性 无对称性 对称性 关于原点对称 （5）. 3n =3y x = （6） 2n =-2y x -= 定义域： x R ∈定义域： ()(),00,x or ∈-∞+∞ 值域： y R ∈值域： [)0,y ∈+∞ 单调性 单调递增单调性：()(),00,x ∈-∞+∞增，减 奇偶性 奇函数 奇偶性： 偶函数 对称性 关于原点对称 对称性 关于y 轴对称 3.幂函数的公式 公式1 =公式2 = 公式3：()n n n a b ab ?=公式4：n n n a a b b ?? ÷= ??? 4：常规图像及性质的讨论 ()1.n y x =的指数n 如果满足：0n >，()()0,n y x x =∈+∞单调递增； 0n <，n y x =()()0,x ∈+∞单调递减； ()2.n y x =的指数n 如果满足：0n >，()()0,01,1n y x =图像过定点与 0n <，()0,0n y x =图像过只定点 ()3.n y x =的指数n 如果满足：1n >，()()0,1,1,+,n n x y x y x x y x y x ?∈==??∈∞==??图像在下方图像在上方 高一指数函数和对数函数、幂函数练习（1） 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 243 2-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 2021-2022年高考数学复习：幂函数高考数学专题辅导 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。$22163 5693 嚓A21270 5316 化23672 5C78 屸K22248 56E8 囨33772 83EC 菬a 33688 8398 莘25373 631D 挝20100 4E84 亄25542 63C6 揆34026 84EA 蓪 高一数学指数对数幂函数知识点 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 函数 指数函数 名称 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法：②减法： ③数乘：④ ⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 函数 名称 对数函数 定义函数且叫做对数函数图象 定义域 值域 幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13 -=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则 b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 243 2-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 2015高考数学专题复习：指数函数 一，定义： 函数 叫做指数函数， R x ∈ 指出下列哪些是指数函数 （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y 4-= （4）x y )4(-= （5）x y π= （6）24x y = （7）x x y = （8） )121 ()12(≠> -=a a a y x 且. 填空：1.=?n m a a 2.=n a a 3. ()=m ab 4.=-m a = 5.=m n a 6.=- m n a 7.() =n m a = 8.= ? ? ? ??-m b a ()x a x f =，则有()()=?n f m f ()()=n f m f ()()=n m f 指出下列函数所经过象限及值域： （1）131 -=+x y （2）21 - =-x e y （3）23.0-=x y ()14+=x y π 练习： 1.下列命题中，正确的是 （ ） A ．函数x y 2=，当0专题13幂函数知识点归纳
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