一道数学题引发的思考
我的教学故事
我的教学故事
——一道数学题引发的思考在今天的数学练习课上，当我讲解完关于行程的例题后，鼓励学生结合生活实际，自己编一道关于行程的数学题。
同学们都很认真，不一会儿，有一半的同学都编出来了，我叫莉莉同学上来向大家展示她的作品，“一辆汽车0.5时行驶300千米，照这样的速度，5小时可以行使多少千米？”我同时还要求莉莉同学口述解题的思路，“先算出汽车的速度，然后再乘时间求出5小时行走的路程。
”她一边说一边在黑板上写出相对应的算式。
同学们都给予她鼓励的掌声，当我准备叫另外一个学生发言时，张明忽然站起来说：“老师，莉莉的题目出得不符合实际！”我愣了一下，“她的不对吗？”“不是她没有算对，而是她的题目出得不符合实际，在生活中还没有那么快的汽车，一小时能跑600千米的。
”同学们听了后，都会心一笑，我在表扬了张明同学爱动脑筋的同时，对同学们说：“是呀，今后我们做什么事都要结合生活实际，从实际出发，才能把事情做得更好。
”
课后，我把这道数学题引发的思考，写进了我的教学日记里。
空瓶换酒3(稿件)
空瓶换酒——由一道“生活中的数学题”引发的思考·邓忠洪摘要：既注重生活经验，又具有数学头脑的人，他不仅学会生活，而且能享受生活——用所有的空瓶，换最多的酒来畅饮！生活为我们数学提供了素材，创设了情景，只要我们学会用数学思维方法来解决中生活的数学问题，那么我们的学习和生活质量就会好，幸福指数就会高，生活就一定甜甜美美。
关键词：生活数学问题思考生活中有许多客观事物的存在，很多人都熟视无睹觉得理所当然没有必要进行深入的思考，更没有必要运用数学思维来思考，就像当年大家没有发现苹果为什么只往地上掉一样。
所以，我们教师尤其是数学教师必须有意引导，转变学生思考问题的观念——有意识地运用数学思维来思考解决生活中的问题。
生活为我们数学思维提供了丰富的素材，创设了情景，所以，我们非常有必要用数学思维方法来解决中生活的很多问题。
一、【现象】小学有这样一道“生活中的数学”题：“某商店出售啤酒，为了回收空瓶，规定每3个空瓶可以换一瓶啤酒。
爸爸买了11瓶啤酒，他最多可以喝多少瓶啤酒？（思路点睛：第一次喝完后的空瓶可再换啤酒。
）”笔者发现两种现象——收集到两种解答方案，一种是“商家”用他的生活经验设计的，这种现象（方案）还比较普遍，被大多数人所理解和接受；另一种是“消费者”结合生活，用我们的数学思想和方法来设计的，这种现象（方案）极其少见，多数人认为只是理论而已，不切实际，生活中根本行不通。
商家（生活经验）【思路点睛——第一次喝完后的空瓶可再换啤酒】：解：11－2＝9（瓶） 9÷3＝3（瓶） 3÷3＝1（瓶）1＋2＝3（瓶） 3÷3＝1（瓶） 11＋3＋1＋1＝16（瓶）答：他最多可以喝16瓶啤酒。
消费者（数学方法）【思路点睛——每（ ）个空瓶可以换一瓶啤酒喝】：买 第一次换第二次换第三次换酒喝了瓶子被换走 酒喝了瓶子还剩下“空瓶换酒”（生活经验）示意图每（2）个空瓶可以换一瓶啤酒（喝） “空瓶换酒”（数学方法）示意图 = =每3个空瓶可以换一瓶啤酒（走）解：11÷（3－1）＋11＝16.5（瓶）答：他最多可以喝16瓶半啤酒。
一道选择题引发的数学课堂教学思考
一道选择题引发的数学课堂教学思考【摘要】数学新课程标准的核心理念是“以人为本”，数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。
本文结合自己在课堂教学实践中的一些体会，谈了四点做法。
【关键词】课堂教学问题情境合作交流兴趣能力北师大版初三（上）数学第一章过关测试卷中，有一道选择题：等腰三角形的底角为15°，腰长为20，此三角形的面积为（）a、200b、400c、100d、当时，这道题的正确率在我所教的两个班中仅有5%，结果出乎我的意料之外。
其实，类似的题型在教科书第13页例2已出现，只不过教科书上是求一条腰上的高，这里是求三角形的面积。
为了更好地找出原因，我找来几位学生要他们写出解答的过程。
我归纳总结了一下，大致有三种解法：第一种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，∠bac=150°，ab=ac=20，∠cad=30°，，在中，，因只有选项d中含有，故选d。
第二种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，ab=ac=20，∠cad=30°，，，，故选d。
第三种解法：与第一种方法类似地求得cd和ad，然后由求得，而不是直接利用公式求得，故选c。
由以上学生的几种解答过程看：第一种解法的同学是钝角三角形的面积公式中的底边理解错误；第二种解法是对所学知识“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，30°的对边找错；第三种解法虽然正确，但钝角三角形的面积公式不会运用，而是间接求得，所花时间较长。
以上三种情况不得不引起我们教育工作者的反思：数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己悟出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。
互动探究 交流展示 培养能力——一道高考题引发的思考
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再利用 向量共线定 理 ： 一 ｏ 此 步骤 与学生 ４ － ６（
相同） ．
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一
Ｉ Ｉ ｌｏ Ｉ ｃｓ一～ｎ ，
师： 很棒 ！此法很简捷． 在教学 中重视一题多解 ， 加强各 知识之间 的纵横联
生 １（ ： 自告 奋 勇 板 演 ） ａ与 ｂ的 夹 角 为 ０且 ０ 记 ∈
［ ，］ ０７ ． 【
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图 １
ａ与 ｂ的夹 角 为 １０． ２。
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（ ＋ ６ ｌ Ｉ， ｎ ）一 Ｃ
师（ 小结 ）本 小题 考查 向量 的几何 运算 、 ： 考查数 形 结合 的思想 ， 属于高考题 中的基础题．
即 ・吉 √ 一
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系， 能起 到 举 一 反 三 、 会 贯通 的作 用 ． 融
ｎ 一一 １ 即 ６ 或 一２舍 去 ） ， —２ （ ．
师 ： 天 大 家 表 现 得 很 好． 思 考 ： 例 ２中 的 今 请 若
师： 还有其他的方法吗？
学 生交 头 接 耳 ， 讨论 起 来 ． 又 生 ４ 胸有 成 竹 ） 老 师 ， 个 容 易 解 ， 是 利 用 ｌ （ ： 这 就
：
Ｂ耋 ）为 （ ） 又 怎 解 （， 改 Ｂ， ？ 该 么 ？ ＿詈 － ３呢 ４
生 ６不假思索） 利用平行 四边形法则解 （ ：
Ｉ 学生一片哗然． 然大家都知道学生 ６ 法不对． 显 说
Ｉ￣ ，Ｂ线段 中点 Ｄ： ＡＡ Ｂ的角平分线 Ｏ ｌ － ｏ Ａ － ￣ Ｏ Ｃ上，
刨根问底查错因 有的放矢去矫正——由一道数学题错解引发的思考
（ 一） 教 师 方 面
１ ． 教师钻研教材不深入． 苏科版七 年级上 册数学教 材“ ５ ． ２图形 的展 开与折 叠” 的教学 目标非 常 明确 ： 不仅 要研究 图形 的展 开 ， 而且 要研 究 图形 的折 叠． 第 一课 时 研究 图形 的展开 ， 第二课 时研 究 图形 的折 叠． 第 一课 时 研究 图形 的展开虽然没有介绍 图形 的侧面展 开 图， 但是 只要我们稍微 看 一下 教材 １ ３ ０页就 会发 现 中间有 这 么
１ ８ ４ 人， 占３ ０ ． ３ ６ ％； 选择 Ｂ的 １ ７ ５人 ， 占２ ８ ． ７ １ ； 选择 ｃ
的４ １ 人． 占６ ． ７ ７ ； 选择 Ｄ的 ２ ０ ６人 ， 占３ ３ ． ９ ９ ． 为什
么正确率如此之低？真 叫人不 可思议 ． 我们课 题组进行
研 究 分 析 出错 有 因．
误， 就 必 须 克 服 自我 ， 更新观念 ， 从“ 教学 生学会 ” 更 新 为 “ 教学生会学 ” ， 帮 助 学 生 查 找 出错 的 原 因 ， 建 立 错 题 档 案， 充 分 调 动 学 生 的学 习能 动 性 ， 启迪 学生思 维 ， 加 强 学 法指导． （ 三） 整合 教 学 资 源 ， 优 化 教 学 过 程
句话“ 长方形纸片可 以卷成 圆柱侧 面” ， 就可 以领悟 到 “ 圆柱侧面展开 图是长方形” ． 我们再就 其发挥 就不难 知
一
道 圆锥 的侧 面展开 图是扇形 ； 三棱锥 的侧面展 开 图是 上 题选项 Ｂ对应 的图形 ； 三棱柱 的侧 面展开 图是上题选项
Ａ 对 应 的 图形 ， 三 棱 台 的 面 展 开 图是 上 题 选 项 Ｃ对 应 的
数学 ・ 教 学经 纬
新教改浅谈——由一数学题引发的思考
认为老子天下第一 。 认为对的就对 ， 的就错． 我 错 阅卷 老 师 也 照猫 画 虎 ， 送 来 的 什 么 答 案 我 就 照 着 打 错 对 ． 对 大 你 面 面积 的 同学 出现 的 同 一 问题 也 不 去 和 任课 教 师 反 馈 一 下 ，
就 那 么 置 若 罔闻 地 大 笔 一 挥 ，杀 、 、 ” 部 打 错 了 事 ． “ 杀 杀 全
下 各 四个 空 问共 是 ８个 ， 么 能说 只有 ７ 空 间 呢 ？ 怎 个
众 老师 ： 了吧． 算 教导处就别改去 了， 你给学生卷子 上
一
的、 团结 的战 斗 堡 垒 ， 培养 学 生 成 材 是 教 师 的项 目． 果 教 如
改 就 成 了．
师这个团体各 自为政 ， 不团结协作 ， 么培养 学生这 个项 那
目是 很难 搞 好 的 ． 以 ， 认 为 这 场 风 波 之 所 以 刮 起 的 第 所 我
一
Ａ 老 师 ： 不 是 分 不 分 的 问题 ． 一 ， 这 第 以后 我 如 何 给 学 生 上 课 ？ 第 二 ， 对 我 是 不 是 有 点 不 公 平 ？ 当 然 ， 先 给 这 我
个 原 因 就 是 教师 之 间缺 乏 合 作 精 神 ．
题 很快 审一 遍 ， 倘若 发 现 错 误 或 有 争 议 之 处 。 即 汇 报 教 立 导处 。 可 以 采 取 最 佳 方 案 进 行 纠 正 ． 后 在 改 卷 时 将 集 就 然
到 每 位 任 课 老 师 的 手 里 时 ， 老 师 大 吃 一 惊 。 来 她 的 两 Ａ 原
班 学 生 答 上 两 个 以 上 答 案 的 全 部 被 阅 卷 老师 打错 了 ， 班 两
育 局 印发 给 各 学 校 的 标 准 答 案 是 ７部 分 ． ）
一道浙江数学高考题引发的探究与教学启示
图1
&+y = m
+ 8kx + 4 - 4m二0,由韦达定理得xx + x2 =
FT乔g 滤 - 2%2,于是有I x2
丁,又由看=2岗得衍 1 + 4k
8丨 I 二
8
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1+4厂4山+缶
8 2
=2,当且仅当I k\ =*时等号成
处取得最大值4,即点B的横坐标的绝对值取得最大 值2.
点评：解法2主要由两点坐标间的关系代 入椭圆方程,通过“消元”思想把点B横坐标的平方 珂转化为关于参数m的一个二次函数，运用二次函 数性质快速求解出m以及丨靭丨的最大值，让人耳目
一新，瞬间觉得“山重水复疑无路，柳暗花明又一 村”.该解法有效地避免了分类讨论，巧妙地简化了 繁琐的代数运算，解法虽很优美，但难点是如何巧妙 “消元”、构造二次函数，基础一般的同学恐怕难以 想到这个思路.
3.换元法的视角（三角换元，快速突破） 解法3：由题意设点B坐标为（2 Jocose,
y/msinO）,于是由4P 二 2 PB 可得4（ - 40^cos&,3 2 v^sin^）,把力"两点坐标代入椭圆方程得
1.韦达定理模型的视角(韦达定理，凸显通法) 解法1：如图1分类讨论:①当直线的斜率不
2020年第2期
中学数学研究
・17・
存在时，由题知4（0, -伍）上（0,丽）,于是得TH =9 ,xB = 0.
②当直线AB的斜率存 在时，设AP方程为y =蠢+
方程组
1y = kx + 1, x*12 2 =（i 〃）/
解问题，使学生掌握一些合理设计算法形成简便运 算的方法,体会数学思想，培养核心素养.本教学片 段针对学生的运算困惑和解题思路给予了合理的指 导和点拨.
数学课堂—— 一道习题引发的思考
数学课堂——一道习题引发的思考在一堂数学课中我安排了几道习题，进行校对时，出现了“意外”。
习题：如图1，四边形ABCD和EFGC是两个边长分别为a、b的正方形，用a、b表示△AGE的面积。
这道习题课前已经布置，很多学生已经完成，我便想简单地校对一下，以便抓紧时间校对下面的题目．我叫学生A回答．学生A很高兴第一个被叫到，眼睛放出光芒，兴奋地说：“延长BA和FE，延长线交于点H．”(我根据学生A的描述画出示意图，如图2)学生A接着说：“这样我把图构成了矩形BGFH，则△AGE的面积可以看成是矩形BGFH和三个直角三角形(即Rt△ABG、Rt△AHE、Rt△EFG)的面积差．各个面积很容易求得．”我心里暗自叫道：“嘿，真有大局观!”并带头给学生A鼓掌．这时我本打算校对下一题，突然，学生B站起来，叫道：“老师，我认为Rt△EFG的面积可以不用求．”我说：“真的?”学生B：“是的，直接求梯BGEH与Rt△ABG、Rt△AHE 的面积差．”真好，省去多余的步骤，使解题过程简洁化．一波未平，一波又起．学生C：“我有一种解法根本不需要添加辅助线．”师：“继续说．”(赞叹学生的空间思维的敏锐性)学生C：“△AGE的面积可以看成是正方形ABCD、正方形EFGC、Rt △ADE面积的和与Rt△ABG、Rt△EFG的面积的差．”这时，全班开始变得活跃起来，很多学生开始尝试寻找其他的方法．学生D：“我来，我的方法更简单(如图3)．延长BA，与EF的反向延长线交于点H，与GE的延长线交于点K，易证△HEK是等腰直角三角形．HK＝HE＝AB＝α，AK＝BH＝b，所以根据△AGK与△AEK的面积的差求得△AGE的面积．”真棒!此时时间已经过去了半节课，可这只是这节课要讲的第一道题呀，突然，我想：这不正是学生自主探索的一个良好的契机吗，放手让学生想吧，后面可能还有更精彩的解法呢！于是，我说：“还有其他的方法吗？”果然，学生E又给出了另一种方法。
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一
道数学题引发的思考
＠ 王恒 川
镜子 。有如此多的学生不能顺利解决此题 ， 全是学生 的问题吗？
摘要 ： 以学生巩 固案 中一道作 业 引起 的思考为 明线 ， 分析 学 生的思维过程 ， 反思作业错误生成的原 因。 经反 思 ， 我们发现有 学 生学习的思维品质和 学习习惯的原 因， 也有教 师课堂教学的原 因。 本 文以几何语 言的课 堂学 习为暗线 ， 揭 示几何语 言在学 习几何 学
学生 是学 习的主体 ， 学 生对问题采取 的态度与方 法 ， 与其学
： 习的思维品质和学习习惯有关系 。
（ １ ） 学生在学习过程 中， 自主探究积极 主动 ， 合作 交流不足。 对 等 。解决此类题 目要把命题 即文字语 言运用几何语言表述出来 ，
再进行证 明。 ： 案例 中的问题 ， 问题本 身难度并不是 太高 ， 完全可 以通 过学生 并准确画 出图形 ， 间的合作交流顺利解决 。 所以在课 堂教学中 ， 营造 民主 、 科学 的合 几何语言在几何学学习 中有着重要的地位 ， 在教学 中采用什 作交 流学习环境 ， 不但可 以提高学生 的学习兴趣 ， 而且 能助于培 么办法可 以巩 固、 提 高学生 的几何语言应用能力呢？ 养学生寻求解决问题 的途径与方法 ， 增强发现问题 、 分析问题 、 解
一
（ ２ 蜾 堂教学束缚于学案 ， 淡化学生能力培养。目 前学案在许
多学校广泛使 用 ， 学 案特点之一是 容量大 ， 教师为 了完成 学案 内 容， 不愿挤 出更多的时间来对学生能力的培养 。案例 的背景是九
年级 图形 与证 明的第一课 时 ， 教学 目标要让学生经 历思考 、 猜想
、
案例呈现
答 案。 学生为何 想不到通过画图 ， 运用数形结合来解决问题呢？
二、 问题 思考
数形结合是初 中数学中重要 的数学思想方法之一 ， 我 国著名 数学 家华 罗庚 曾说 过 ： “ 数形 结合 百般好 ， 隔裂分家万事非 。 ” 数形
生从原有的知识结构中 ， 调用 出几何 图形 的画法这部分知识 。画 图过程中 ， 要关注题设 中的两个关键词 ， “ 腰上的高” 与“ 与底边 的
关键 词 ： 课 堂教 学； 学生作业 ； 几何语 言 图分类号： Ｇ ６ ３ ３ ６ 文献标识码： Ａ 文章编号： １ ９ ９ ２ － ７ ７ １ １ （ ２ ０ １ ４ ） ｏ １ － ０ ０ ７ ９ 作业是检验学生课 堂学 习效果 的有效 方式之一 ， 同时学生作 业 中的得 与失也能反 映出教 师的课堂教学效果 。
结 合可 以把抽 象的数学语 言 、 数量关系 与直观的几何 图形 、 位置 夹角” ， 只有准确理解这 两个关键词 ， 图形就不难得 出了。分析学 关系结合 起来 ， 使复杂 问题简单化 ， 抽 象问题具体化 ， 从而起到优 生不能画图原因有 二 ： 一是没有深刻理解题设 的中关键词所代表 化解 题途径的 目的 。此题学生如能准确出画 图形 ， 运用本节课知 识很容易解决 ， 为什 么画图会成 为学生学 习的难点 呢？
中的重要 地位 ， 并介绍 了笔者在课 堂教 学中的 两点做法 。
（ １ ） Байду номын сангаас堂教学放不开 ， 学生学习主体不能得到充分体现。课堂
是学生学 习的主要阵地 ， 教师是学 生课堂学 习的主导 ， 但 在实际 教学中教 师对学生 的课 堂学 习仍不够放心 ， 时常全全包办 。包办 的课堂教学束 缚了学生手脚 ， 学 习和积极性 、 主动性与创 造性不 能得到有 效的发挥 。包 办的课堂学生缺少 了活动的机会 ， 包办 的 课堂学生缺少 了合作交 流的可能 ， 包办 的课堂束缚 了学生 的学 习 思维 ， 因为这样 的课堂模仿多于创新。 当学 生遇 到新 的问题 。 运用 模仿 而获得 的知识解决不 了问题时 ， 往往不会再想其他 的办法。
是哪个角为呢？要 进行分类讨论 ， 顶角可以为 ７ ０ ｏ ， 底 角也可 以为 ７ Ｏ 。 。当顶角为 ７ ０ 。 或底 角为时 ７ Ｏ 。 ， 图形该如何 画呢？此时需要学
过 了解得 知 ， 不会做的 同学基本上是不能够根据题 意准确画出图 形， 或者根本没想到先 画图再进行解题 ， 渴望通过观察 、 思考得到
笔者今年 担任 九年 级数 学的教学 工作 ， 九上第 一章是图形与 证 明ｆ 二１ 。 在第一节课后学生巩固案有一道题 目： 等腰三角形的一 个 内角为 ７ Ｏ 。 ，求它一腰上 的高与底边所夹 的角 的度数 。学生 的 答案 大致 分为三类 ： 第一类 ， 能够 根据 题意准确画 出图形 ， 得到正 确答 案为 ３ ５ ￣ 、 ２ ０ ｏ ； 第二类 ， 只得 到一个答案的 ３ ５ 。 或２ Ｏ 。 的； 第三 类， 不会做 ， 而且人 数较 多。为何有这么多学生出错或不会 呢？通
等数学活 动 ， 并 能对操作活动 的合 理性进行证 明 ， 感受 合情推理
和演绎推理的重要性 ；培养学生灵 活转换 几何 三种语 言的能力。 课堂教学 中 ， 淡化 了该种能力的培养 ， 所 以在遇 到案 例中问题 时 ．
学生没有意识 、 没有能力想 到把文字语言转化成几何语言来解题 。 ３ ． 从 知识 内容本身来看 笔者认 为案例所带来最大 思考是学生不 擅长把文 字语 言转 化为图形语言 。等腰三角形 的一个 内角为 ７ Ｏ 。 ， 此处有悬疑 ， 具体
１ ． 从学生侧面来看 的含 义 ； 二是缺 少动手操作尝试 的胆量与经验 ， 所 以不 敢或不愿 动手尝试 。
其实几何语言间的转换教材 中已有渗透 ， 如教材后面 的练 习 中有几道证明定理或结论的题 目。 如“ 证明 ： 等边三角形的每个 内 角都等于 ６ ０ 。 ’ ’ 、 “ 线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等”