从一道数学题谈起
福建中学数学
２ １ 年第 ８ ０１ 期
题 ．此类 题 型 要 求课 改 中的数 学 需 要 重视 研 究性 学
习课题的探究 ，同时要求学生在实施 研究性学 习的 过程 中重视对信息的收集、整理、分析 处理 以及得 出结论 的全 过程 ． （）加强学科纵横联系 ，提高把握数学基础功 ７ 能的能力 建 立 和 加 强 学科 之 间 知识 的纵 向 联 系和 横 向联 系，实现知识之 间的沟通 ，有利于学生建立 良好的 认 知 结 构 与体 系 ，有利 于 学 生 更深 刻 地认 识 数 学 ， 有 利 于 学 生 更好 地 提取 知 识 与运 用知 识 ，有 利 于 发 展 学 生 的思维 ． 例 ６（ 厦门中考题） 一个圆 台 形 物 体 的 上底 面积 是 下 底 面
从一道数 学题 谈起
刘晨 凡 １ 建省 莆 田第 六 中学 （５ １１ 福 ３ １１） 国家 中长期教 育 改 革和 发展 规 划纲 要 （０ ０ ２ １ — ２２ ０ ０年） 》明确提 出“ 负” 减 要求 ： 减轻 学 生过重课 业 “ 负担是全社会的共同责任 ，政府、学校 、家庭、社 会 必须 共 同努 力” ．由于 中学数 学教 学主 要 是解题 教 学 ，学 生在 学 习与考 试 过程 中 ，需 要经 历 各 种各 样 的问题 ，这 就意 味着 ，教 师如 何根 据课 堂教 学 实 际 ， 在 课 堂教 学或 练 习测 评 环 节 中 ，提 出合 理 而 又 有价 值 的问 题 ，应 该 是 落 实“ 负 ” 召 的行 之 有 效 的举 减 号 措．
基 础 ，既可 以体现 数 学 的基 础 功 能和 工 具 作 用 ，又
放，对桌面的压强是——帕 ． 分析 此题以物理知识为背景 ，提出了“ 压强” 这 个学生所熟悉 的概念 ，只要认真理解其深刻含义 ， 抓住 “ 无论 正放 还是 翻过 来放 ， 它对 桌 面 的压力 不变 ”
能考察学生综合运 用各科 知识 的能力 ，是实施综合 理科的一种尝试 ，这也是当今数学中考的热点之一 ． 其实 ，中考数学复 习课上，每堂课都有其“ 牵一 发 而 动全 身” 焦 点” 点 ，我们 应该 充 分发 挥教 师 的“ 特 的主 导作 用 ， 课 改 中的中考 “ 点” 示 出来 ， 将 焦 揭 引领 学 生 自主揣 度 ， 自主 联 想 ， 自主 生 发 ，将 数 学复 习 过 程 演 绎成 反 思 性 的学 习探索 过 程 ，引导 学 生触 摸 鲜 活 的 中考 中的数 学 ．这样 ，“ 究课 改 中的 中考 试 探 题 立 意 ，追 求 有效 的 中考数 学复 习” 这一 能 力难 点就 能 不 自觉地 成 了师 生运 筹 帷 幄 的手 中玩偶 ，学 生 才 能一路 闯关 ，在师生间、生生间思维火花 的激烈撞 击中，乘着 中考直通车“ 走南闯北” ，做 中考的主人 ， 达 到 预期 追求 的 目标 ．
一
纸片 ． 一般地 ， 当一张三角形纸片的内部有 ｎ 个点时 ， 如果连同原三角形纸片的顶点在 内的ｎ ３ ＋ 个点中无 三点共线 ，则能剪出 ２ ＋ 个小三角形纸片 ． １
．
图１
图２
２ １ 年第 ８ ０１ 期
福 建 中学数 学
３ ３
华罗庚曾说 ：“ 善于退 ，足够地退 ，退到最原 始 而不 失 去重 要性 的地 方 ，是 学好 数 学 的一 个诀 窍 ！” 在 问题 的解 决过程 中 ， 用 了“ 采 以退 为进 ” 的策 略 ，不 先考虑在三角形纸片的内部有 ｌ ０个点 ，１０ ０ 个点， １０ 个点的情况， ０ ０ 而是把问题退到足够简单的情况 ， 考 虑 当三 角 形纸片 内部只 有 １ 点 ，２个 点 ，３个点 个 的情 况 ，这 里“ ” 目的 ，就 是要 为 了逐步 逼进 ，进 退 的 而 解 决更 一般 的问题 ． 在 高 中数学 教材 （ 选修 ２２ 推 理 与证 明 一 —） 章 中 ， 绍 了“ 拉公 式” 其发 现 的主 要线 索 ． 介 欧 及 欧拉 曾观 察 一 些特 殊 的多 面体 ，如 三棱 锥 、三棱 柱 、 四 棱锥、四棱柱等 ，猜想并证 明了 ：“ 简单多面体 （ 表 面 经 过连 续变 形 可变 为 球 面 的 多面 体 ） 的面 数 、 顶 点 数 、棱 数 Ｅ满足 ＋Ｆ— Ｅ＝２ ．本文 拟 从 上 ” 述 知识 与 方法 出发 ，试 编一 道 数学题 ． 问题 ２ ：对于简单多面体 ，给出如下四个判断 ： ① 面数 Ｆ随着 顶 点数 Ｖ的增 大而 增大 ； ②棱 数 随着 面 数 Ｆ的增大 而增 大 ； ③ 顶点 数 随着棱 数 Ｅ的增 大而 增大 ； ④ 顶点 数 与面 数 Ｆ之和 （ ＋Ｆ 随着棱 数 Ｅ的 ） 增大 而 增大 其 中正 确 的命 题 个数 有 （ ） Ａ．１ 个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 本题 为 湘教 版教 材例 ２ 的变 式 ，通 过 考查 棱柱 （ 角棱柱）和棱锥 ，容易判断①②③均不正确 ； 截 由欧 拉公 式可 知④ 正 确 ．选 Ａ． 问题 ３ 欧拉通过观察一些特殊 的多面体 ， ： 如三 棱 锥 、三 棱柱 、 四棱锥 、 四棱柱 等 ，猜 想并 证 明 了 ： “ 单 多 面 体 的 面 数 Ｆ 、 顶 点 数 、 棱 数 Ｅ 满 足 简
积 的 ，如 果如 图 ｌ 放在 桌 上 ， 对 桌 面 的压强 是 ２ ０帕 ， 过来 ０ 翻
图１
这 一解题 关键 ，利 用“ ” 一物 理公 式 ，即可 求 Ｐ＝ 这 得 压强 是 ６０帕 ． ０ 这 样 的 问题 设 置在 适 当渗透 相 关 学科 知识 的 同
时，能让学生明 白数学是学好物理 、化学等课程 的
林 芸
２ 福建省莆 田华侨 中学 （５ １５ ３ １１）
１０ ０ ０个 点 时 ，又该 如何 解决 呢 ，能 否得 出一 般性 的
结论 呢？ 当三角形 纸 片 的内部 只有 １ 点 时 ，如 图 １ 个 ，沿 这 １个点 与 ３个 顶 点 的连 线 能剪成 ３个 小三 角形 纸
片 ；当三角 形 的 内部 再增 加 １个点 （ 点与 其他 点 该 中无三 点共线 ）时 ，如 图 ２ ‘ 当于在 该 点 所在 的小 ，相 三 角形 纸片 内重 复上 述步 骤 ，得 到 ５个 小 三角形 纸 片 ；继 续研 究 下 去 ，可 以发 现 ：三 角形 的 内部每 增 加 １ 点 ，剪 出的小 三 角形纸 片就 增加 ２个 ，因此 ， 个 当三角形内部有 ｌ ０个点时，能剪出 ２ 个小三角形 １
Ｐ
图３
Ａ ． １ ０
图４
Ｂ． １ ４ Ｃ．１ ８
图的棱数能取到最大值 ； （）当顶 点数 变化 时 ，相 应 凸 多面体 的棱 数有 怎样 ２ 的变化 规律 ． 观 察 图 ４和 图 ５中 凸多 面体 的棱 的数 量 关系可 以做出初步 的猜想 ，实 际上 ，当一个凸多面体有一 个面为 ｋ 形 （ 边 ｋ＞３）时 ，可 以取 这 个 多边 形 的一 个顶点并挪动它使之不在原 多面体的表面及其延伸 平面 内 ，如 由图 ４变换 为 图 ５ ，这样 的变 换过 程使 得 凸多面体 的顶点 数不 变 ， 面数 和棱 数各 增 加 ｌ 而 ，应 用该 方法 可 以证 明 ：当一 个 凸多面体 的顶点 数给 定 ， “ 且各 个 面均 为三 角形 时 ，棱 数 取到 最大 值” ． 考查 图 ３到 图 ５的变 化过 程 ，可知 当图形变 换 符合每次得到的新 的凸多面体 的各个面均为三角形 时 ，则顶 点数 每 增加 １个 ，其面 数增 加 ２个 ，棱 数 增加 ３条 ．因此 ，当一 个 凸多 面体 的顶 点数为 ８时 ， 其 棱 数 的最大 值为 ６ ４ ３ ８ ＋ ￣ ＝１ ．选 ｃ． 波利 亚在 怎样解 题 中指 出 ：“ 中学数 学教 学 的首 要 任 务就 是 加 强解 题 训 练 ，掌 握 数 学就 意 味着 善 于解 题” ．但是 在课 堂教 学 中应 当教 给 学生 怎样 的 数 学 ，是 我们 数 学教 师应 当认真 研 究 的一 个 重 要 问 题 ，本 文提 出 的 问题 ，着 力于 体 现 数 学家 发 现 数 学 问题 的过程 的真 实再 现 ，从 中让 学 生 了解 到 数 学探 究 的途 径与 方法 ，了解数 学概 念和 结论 产 生 的过 程 ． 高 中涉 及 的几 何 问 题 ，主 要 为 平行 、 垂直 问题 中研 究 的位 置 关 系 以及 长 度 、距 离 、 面积 、体 积 等 度 量 关 系 ．而 图形 变 换 问题 ，为 拓 扑 学 研 究 的范 畴．如果在 凸多面体 中选择一个面 ，并把它向四方 拉 大 ，使 空 间图 形变 换 为 平面 网络 图形 ，这 时 ，顶 点 变 为平 面 网络 图形 的节 点 ，棱 变 为平 面 网络 图形 中的线 段 ，每 个面 变 成 了平 面 多边 形 ，顶点 数 和 边 （ ）数 Ｅ不变 ，面 数 Ｆ少 １个 ，记为 Ｆ ，对 于 棱 该平 面 网络 图形 ，只需证 明 ＋Ｆ 一Ｅ＝１ 即可 ，这 就 是平 面 多边 形 中的欧 拉公 式 ． 据此，简单多面体 的欧拉公式与平面多边形的 欧拉 公式 是等 价 的 ，且 与 问题 １有相 似 之处 ．平 面 多边 形 的欧 拉公 式 的证 明 ，即可 以 用逐 步擦 除 网络 图形 内部 的点 以及 与该 点相 连 结 的线 段 的方法 （退” “ 的方法 ） ，亦可 以把 网络 图形 中的多边 形逐 步分 割成 三角形 （ 在不增加交点 的前提下 ，连结网络图形中 多边形的一条对角线 ）的方法 （ 化未知为 已知的策 略） ，无论 采 用何种 方法 ，均 能说 明变 换过 程 中 ，边 （ ）数与面数增加 或减少的数量相 同，据此可以 棱 证 明平 面 多边 形 的欧拉公 式 是正 确 的 ．
在 推理与证 明 一章的课堂教学过程 中，曾 遇 到这 样 的一道 题 ： 问题 １ ：一张三角形纸片内部有 ｌ 个点 ，如果 ０ 连 同原 三 角形 的顶 点在 内 的 ｌ 个 点 中无 三点 共线 ， ３ 则 以这 些点 为 三 角 形 的顶 点 ，把 三 角 形 纸片 剪 成小 三 角形 ，这 样 的三 角形 个数 是 拿到题 目， 似乎只有“ 画出图形数一数” 的方法 了，设想一下，如果三角形纸片的内部是 １０ ０ 个点 ，
一道数学题引发的思考优秀作文
一道数学题引发的思考优秀作文一道数学题引发的思考优秀作文（精选28篇）在我们平凡的日常里，大家都尝试过写作文吧，作文一定要做到主题集中，围绕同一主题作深入阐述，切忌东拉西扯，主题涣散甚至无主题。
那么一般作文是怎么写的呢？以下是店铺帮大家整理的一道数学题引发的思考优秀作文，欢迎阅读与收藏。
一道数学题引发的思考优秀作文篇1在七年级“数学报”第一期上，刊登了这样一道怪题：以前，美国举行了一次“全美数学能力测验”，有83万中学生参加，其中有这样一道题：有个三棱锥和一个正四棱锥，他们的棱长都相得，问他们重叠一个侧面后，还露出几个面？标准答案是七个面，因为两锥分开时有4+5=9（个）面。
当他重叠一个面后，有两个面被遮住了，所以标答案是七个面。
可是一位十七岁的中学生丹尼尔的回答却是五个面，阅卷者当然判他错。
丹尼尔为了证明自己的结论是对的，回家后做了个模型，当他把这个模型交给老师时，老师不得不承认丹尼尔的结论也是对的。
从上面似乎可以得知，有两个标准答案：一是原来的标准答案七个。
二是丹尼尔的答案五个。
我回家也做了两个模型，一推演，发现只要是在三棱锥和四棱锥棱长相等的特殊情况下，三棱准和四棱锥的侧面拼合起来时，不仅有连个面被遮住了，还有两对两个面恰好重合成了一个面的情况。
所以应是9-2-2=5（个）面单新的问题又来了，按照上面的推法，正三棱锥和正四棱锥侧面拼合后就不能是7个面了，也就是原来的标准答案错了。
我又仔细读了读题，发现以下三点构成了一个特例：1·正四棱锥2·它们的棱长相等（即底棱和侧棱都相等，并和上一条构成了特殊的正四棱锥和正三棱锥的形状）3·侧面（限定了贴合方式）只要有以上三点，就一定是5个面，而不能使7个面。
看来还真是“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行“呀！一道数学题引发的思考优秀作文篇2周六晚上，女儿完成了国庆节手抄报后，还意犹未尽，想再干点儿什么。
于是，就自己找了一张第一单元的数学试卷来做。
双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
一道小学数学题引发的思考
一道小学数学题引发的思考废话不多说，直接上图：这就是我们今天题目中所说的小学奥数题。
其实做这种题一点也不费时间，会的话只要一眼，不会的话让你做一天也白搭。
今天我的目的也不是要难为谁，我就告诉你“直线是没有宽度的”，想必答案大家应该都能知道了。
为什么直线没有宽度？我们先来看这样一个问题：我们用的笔有很多种吧，有小伙伴们自己削的铅笔、有圆珠笔、钢笔、水笔（笔芯还有0.38,0.5,0.7等等），还有水彩笔、蜡笔、毛笔等等，用不同的笔画出来的直线是不是宽度都不一样呢？再者说，每个人的力气都不一样，画出来直线的宽度也不尽相同，那么，这些难道不都是直线吗？在引申一下，每个人的笔迹按理说都是不一样的，那么同样一个字经不同的人的笔写出来，还是同一个字吗？我们再进一步，数学中定义f(x)为函数表达式，那么a(x)、b(x)、c(x)等等还是函数表达式吗？答案都是肯定的。
通过这个问题我们可以发现，人们的思维其实是走进了一个误区，那就是题目中所画出来的几条直线就是“直线”，我们对于直线的定义就仅仅局限于图示中的宽度了，但你们想一想，你用笔画出来的直线难道一定和图中的一样粗吗？要是把图中的每条直线都换成不一样的粗细，那这道题还会难吗？其实在这种情况下，我们是将自己置于了一个虚假的两难境地，即在还有其他选项时，却局限于两种极端的选择，就像我们上面那道题目中的这条是直线或者这条不是直线，从而将题目变成了很容易和根本不可能解决两种极端情况。
那下面再让我们来看一个虚假的两难境地的例子：国会议员：今年我们不得不再次削减社会工程方面的支出。
你：为什么？国会议员：因为我们要么削减支出，要么承受巨额赤字，而我们不允许巨额赤字。
该例中，国会议员认为，要么承受巨额赤字，要么削减社会工程开支，而我们不允许出现巨额赤字，所以不得不减少社会工程支出。
但是，只有在“减少社会工程支出”是除了“出现巨额赤字”外的唯一选项时，这个推力才能成立。
当然，事实并非如此（如：增加税收或削减军费开支）。
初中数学题目解析与解题思路分享心得
初中数学题目解析与解题思路分享心得数学作为一门基础学科，对于初中学生来说是一门必修课程，也是很多学生觉得较为困难的科目之一。
当遇到数学题目时，不少学生可能会感到迷茫和无从下手。
本文将通过解析一些典型的初中数学题目，并分享一些解题思路，帮助学生更好地应对数学问题。
一、解析数学题目1. 解析代数题目代数题目在初中数学中占有很大的比重，解析代数题目需要理解常用的代数知识和技巧。
例如，一道典型的代数题目：已知实数x满足|x-1| < 3和|2x-3| ≤ 2，求x的取值范围。
解析：首先，分析|x-1| < 3这个条件。
根据绝对值的定义，这个条件可以转化为-3 < x-1 < 3。
进一步整理得-2 < x < 4。
其次，分析|2x-3| ≤ 2这个条件。
根据绝对值的定义，这个条件可以转化为-2 ≤2x-3 ≤ 2。
进一步整理得1 ≤ x ≤ 2。
综合以上两个条件，得到1 ≤ x < 2。
因此，x的取值范围为1 ≤ x < 2。
2. 解析几何题目几何题目在初中数学中也是常见的题型，解析几何题目需要运用几何知识和推理能力。
例如，一道典型的几何题目：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，切线CD交AO于点D，交⊙O于点E，若AC=5cm，O是⊙O的圆心，求OD的长。
解析：首先，根据半径和切线垂直的性质可知，∠CDE=90°。
其次，根据切线与半径的关系可知，∠CAD=∠CDE。
再次，根据圆上的弧与圆心角相等的性质可知，∠ACB=∠AEB。
综上所述，△DCE与△BDA相似。
由于AB是⊙O的直径，所以△ABO为直角三角形。
根据勾股定理可得，OA=√(OB²+AB²)=√(5²+10²)=√125=5√5。
由于△ABO与△CDO相似，所以OD/CD=OB/AB=1/2。
代入已知条件AC=5cm，可得OD=(1/2)*AC=(1/2)*5=2.5cm。
高中数学经典大题150道[由一道高中数学联赛题谈起]
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高中数学经典大题150道[由一道高中数学联赛题谈起]
1.试题（2022年全国高中数学联赛试题）“设f（某）是定义在
R上的奇函数，且当≥0时，f（某）=某2，若对任意的某∈[a，a+2]，
不等式f（某+a）≥2f（某）恒成立，则实数a的取值范围.”2分
析由题意可得f（某）=某2，（某≥0）-某2，（某|f（1）-f （0）|，求实数λ的取值范围. 分析本题的难点在于|f（α）-f（β）|>|f（1）-f（0）|，即不等式的左右两边不是关于“f”记号的单项式，
因而不能像例1和例2一样直接地利用函数的单调性来脱去“f”记号，
但若我们注意到α+β2=1+02，即由α，β所构成的区间与由0，1所构
成的区间有相同的中点，根据函数图像的特征有|f（α）-f（β）|>|f （1）-f（0）||α-β|>|1-0|，进一步又有|λ1|>|λ+1|，从而
λ<0且λ≠-1. 【高考链接】（2005年辽宁卷理）已知y=f（某）是定
义在R上的单调函数，实数某1≠某2，λ≠-1，α=某1+λ某
21+λ，β=某2+λ某11+λ.若|f（某1）-f（某2）|由上面的“分析”、“说明”及“再例”使我们看到，当所求参数含在函数的“f”记号里面时，我们往往可以从函数的性质（主要是函数的单调性）入手，
结合所给函数的图像特征，脱去函数的“f”记号，从而得到关于该参数
的不等式（组）来完成解答.。
【通俗数学】拓扑学介绍——从萨姆·劳埃德的一道数学趣题谈起
【通俗数学】拓扑学介绍——从萨姆·劳埃德的⼀道数学趣题谈起⼀、萨姆·劳埃德的⼀道数学趣题萨姆·劳埃德是美国最杰出的趣题和智⼒玩具专家。
他死后由他⼉⼦印刷出版的《趣题⼤全》是⼀部包罗万象的开⼭巨作，我们现在所接触的趣题有相当⼀部分都是由⾥⾯的题⽬演化，延伸⽽来。
上⾯这本书就是马丁·加德纳从《⼤全》中精⼼挑选部分数学趣题编辑⽽成的。
我们今天要介绍的是其中的第82个数学趣题:不和睦的邻居们。
上图的三位邻居(他们的房⼦编号是A，B，C)住在同⼀个院⼦中，但他们不太和睦，经常吵架。
为了避免争执，他们决定分别从⾃⼰家门⼝修⼀条路到A，B，C三个⼤门，要求房⼦编号和⼤门编号相对应，且三条路互不相交。
问题1：如何画出这三条路吗？⼆、抽象成点和线的问题我们把院⼦简化成⼀个长⽅形，把三个房⼦和三个⼤门分别简化为A，B，C和A'，B'，C'六个点。
这时问题就变成：问题2：如何⽤三条互不相交的曲线分别连接AA',BB',CC'如果觉得这个问题很难的话，那是难在什么地⽅呢？嗯.....您可能会说A和C点的位置不好！呀，是的，如果A和C点对调⼀下，问题就简单了，三条线轻轻松松就连出来了。
三、慢慢地对调回去但我们还是要回到原先的问题中，所以我们要把A和C点对调回去。
但这次我们要慢慢地对调回去，⽽且始终让这三条线连着这六个点，且保持不相交。
这时，连接BB'的直线慢慢地被弯曲..........慢慢地被弯曲了............⼀直弯曲到A和C点的位置完全对调回去为⽌。
好了，这个时候问题的答案已经揭晓了！四、把院⼦变成⼀块巨⼤的橡⽪刚才，我们是将A和C点的位置对调后，连线，再慢慢对调回去，才找到答案。
现在我们将尝试另⼀种办法，把整个院⼦变成⼀块巨⼤的平⾯橡⽪。
我们假设这块平⾯橡⽪有⾜够好的弹性，可以被任意的形变，⽐如：弯曲，拉伸，收缩，挤压等，我们还假设橡⽪上不同的两个点不能被挤成⼀个点。
一道数学题引发的思考
一道数学题引发的思考在生活中，时不时会遇到一些看似简单却让人深思的数学问题。
近日我遇到了这么一道题目，让我对数学有了更深层次的认识。
这个问题是这样的：设有3个数a、b、c，已知它们的和是9，而a的平方加上b的平方加上c的平方等于29。
那么请问a、b、c分别是多少？一开始看到这个问题，我想到了直接解方程的方法。
设a=x，b=y，c=z，那么我们可以将问题转化成如下的方程组：x + y + z = 9x^2 + y^2 + z^2 = 29我在解这个方程组的过程中却陷入了困境。
无论是运用消元法还是代入法，都无法求出唯一解。
我开始怀疑是否有哪里出错了，于是我尝试了各种方法，但始终没有进展。
在经过一番思考后，我突然意识到这个问题可能并没有唯一解。
虽然这个问题看起来简单，但由于方程的个数比未知数的个数少，导致可能有多个解存在。
于是，我决定把这个问题从不同的角度去看待。
我发现，题目中并没有限定a、b、c都是实数，它们也可以是虚数。
这样一来，问题就可以进一步推广，不再局限于实数范围。
我重新审视了这个问题，考虑了虚数解的情况。
经过一番计算，我发现当a=1，b=2+√3i，c=2-√3i时，可以满足题目中的条件。
而且，这个答案也符合我们对方程组的解个数的推测。
这个问题给了我很大的启发。
它让我看到了数学中的未知数的多样性和灵活性。
有时候，方程组并没有唯一解，而是存在着多个解，甚至是无数个解。
在解题的时候，我们要善于审视问题，不能仅仅停留在一种思路上，还要考虑到其他可能性。
这个问题还让我思考到数学与现实生活之间的联系。
数学并不仅仅是一种抽象的概念，它贯穿了我们的日常生活。
数学问题的解答思路和方法，有时可以给我们提供解决问题的启示。
这道看似简单的数学题引发了我对数学的思考。
它让我认识到数学中的未知数是可以有多种解的，同时也提醒我在解题中要善用不同的思路和方法。
通过解答这个问题，我对数学的认识得到了一定的深化，也对数学如何联系到现实生活有了更深刻的理解。
从一道新加坡高中数学考试题谈起-精选文档
从一道新加坡高中数学考试题谈起新加坡来华东各省市招收高中后保送生，曾考过这样一道题目：题对x∈[0，1]，设ax2+bx+c≤1，求|a|+|b|+|c|的最大值.解设函数f（x）=ax2+bx+c，x∈[0，1]，则f0=cf（1）=a+b+cf12=14a+12b+c解这个关于a，b，c的三元线性方程组，即用函数值表达f （x）的系数，得a=2f（1）-4f12+2f0，b=4f12-f（1）-3f0，c=f0.因x∈[0，1]，f（x）≤1，故|a|=2f（1）-4f12+2f0≤2f（1）+-4f12+2f0≤2+4+2=8.同理，|b|≤8，c≤1.故|a|+|b|+c≤17，即所求最大值为17.相传，化学元素周期表的创始者门捷列夫（1834―1907）曾作过下列猜想：设x≤1，若一元n次多项式f（x）=anxn+…+a2x2+a1x+a0满足f（x）≤M，则导数的绝对值f′（x）≤Mn2.下面通过一道例题的两种解法（普通解法与门捷列夫猜想）来说明此类题的解法.例设x≤1时，ax2+bx+c≤1，求证：x≤1时，2ax+b≤4.证法1 设f（x）=ax2+bx+c，则f-1=a-b+cf（1）=a+b+cf0=ca=12f（1）+f-1-2f0，b=12f（1）-f-1.因x≤1时，f（x）≤1，故2ax+b=f（1）+f-1-2f0x+12f（1）-f-1=x+12f（1）+x-12f-1-2xf0≤x+12+x-12+2≤4证法2 利用本文所证结论，设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b.∵已知x≤1时，f（x）=ax2+bx+c≤1，∴当x≤1时，f′（x）=2ax+b≤1×22=4.【。
数学探究从“小”抓起——从一道习题的探究谈起
数 学 探 究 从 ， 起 ‘ ， ‘ 抓
— —
从 一 道 习题 的探 究谈起
厦 门市新店 中学 洪金铃
证法 ２ 同证法 】得方 程 Ｌ６＋ ＝ ． ： ４０ 由一元二 次方程根与 系数的关系， 可知 ｘ ｘ＝ ，ｌ ２ ． ｌ ２ Ｘ＊ ＝ ＋ ６ ｘ４
。
【 摘
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０： ・ ＝ ＝ 一 － ｉ 址 丝 ｎ ＝ １
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学教科书 （ 试验修订本・ 必修） 数 学第二册 （ （ 上） 人教版） 。 例 ２ Ｐ。 。 ）
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证法 ５ 设过交点与原点的直线方程为 ｙ ｋ ≠１ 将 ｙ ｋ ： ＝ｘ ） ＝ｘ
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证法 ６ ：设过交点与原点的直线方程为 ｙ ｋ ，将 ｙｋ ＝ｘ ＝ｘ与
联立，
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与 ｙ ２ 立， 一 联
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证法 １ ：将 中 ， 得
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２ 入 代
解 得
：
一 ） ２． 化 简 得 ２２ ｘ － ＝
助 于学 生 初 步 了解 数学 概念 和 结 论 产生 的过 程 ， 步 理 解 直 观 初
一道数学题引发的思考
一道数学题引发的思考曾经有一道著名的数学题引发了无数人的思考和争论，该题目是这样的：小明手中有一根绳子，问如何用这根绳子测量地球的周长？这道题目看似简单，但却蕴含着极大的挑战和深刻的思考。
在探讨这道题目的解决过程中，人们会考虑到不同的数学知识，这就引发了更加深入的思考和探讨。
我们可以考虑地球的形状。
地球是一个近似于椭球形的天体，其周长是无法直接测量得出的。
借助数学知识，我们可以通过测量地球的半径和通过数学模型和计算得出地球的周长。
这就引出了数学中的几何学和三角学知识，如何通过测量地球上的某些点之间的距离来得出地球的周长呢？我们可以思考如何利用绳子来测量地球的周长。
通过思考，我们可以得出，测量地球周长的关键在于如何利用绳子来测量地球表面的长度。
我们可以想到，通过绕地球一周，然后测量绳子的长度，我们就可以得出地球的周长。
这种方法会有很多问题，比如绳子会受到重力的影响而不是处于完全拉直状态，同时在地球表面走一圈也并不是直线距离的测量。
通过这个过程，我们可以引申出对于空间几何和传统几何的思考和讨论，如何利用绳子来测量地球的周长，会激发人们对于几何学和测量学的兴趣和思考。
而在解决这道题目的过程中，还可以引发出更多关于数学知识的思考和探讨。
如何利用数学模型和数据计算来估算地球的周长？如何通过实践和实验来检验数学模型的准确性和可行性？这都是数学知识所涉及到的问题，并且具有很高的研究和实践价值。
更进一步地，这道数学题所引发的思考，还可以延伸到哲学和科学的领域。
人们可以在思考中深入探讨地球的形状和大小对于人类的意义和影响，如何通过科学研究和技术手段来更加深入地了解地球的特性和结构。
这就引发了人们在哲学和科学领域的思考和探讨，使得这道数学题所引发的思考具有了更加深远和广泛的意义。
一道数学题所引发的思考，并不仅仅局限于数学知识的范畴，还能够引发人们在其他领域的深入思考和探讨。
通过解决这道数学题，人们不仅可以锻炼自己的数学思维和解决问题的能力，还可以在探讨的过程中开拓自己的思维，促进各学科领域的交叉融合和综合应用。