上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年上学期高一数学期中考试卷及答案
上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．向量的单位向量是______. ()3,4a =【答案】34,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用结论：非零向量的单位向量为，可求得结果.aa a【详解】因为，则，()3,4a = 5a == 所以，向量的单位向量为. a()1343,4,555a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故答案为：.34,55⎛⎫⎪⎝⎭2．若，，当实数k ＝______时，.()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥ 【答案】4或0【分析】根据垂直向量的坐标表示，列出关于的方程求解即可．k 【详解】因为，，且，()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥所以，解得或， 240k k -+=0k =4k =故答案为：4或0．3．函数的两条对称轴之间距离的最小值为______. sin 2y x =【答案】π2【分析】求出函数的对称轴即可求解.【详解】由已知条件得，Z ，即，Z ， π2π+2x k =k ∈ππ24k x =+k ∈因为相邻的两条对称轴之间的距离最小， 所以分别令，得，， 0k =1π4x =3π4x =即相邻的两条对称轴之间的距离最小值为， 3πππ442-=故答案为：. π24．已知，则_________ 1sin cos 2αα+=sin 2α=【答案】34-【分析】原式两边平方后，即可计算的值.sin 2α【详解】因为，两边平方后， 1sin cos 2αα+=， ()2221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 24ααααααα+=++=+=所以. 3sin 24α=-故答案为：34-5．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________． 45【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可. αβsin 2απcos cos 2αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】设顶角为，底角为，则，， αβ2παβ+=4cos 5α=又， 2πcos 12sin,0,222ααα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭sin2α∴===. πcos cos sin 22ααβ-⎛⎫∴===⎪⎝⎭6．方程在区间上的解集为______.sin cos 2x x =[]0,π【答案】π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由得， sin cos 2x x =2sin 12sin x x =-即，解得或， 22sin sin 10x x +-=sin 1x =-1sin 2x =因为，所以或， []0,πx ∈π6x =5π6所以方程在区间上的解集为,sin cos 2x x =[]0,ππ5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭故答案为：.π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭7．将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对()sin 2y x ϕ=+4π4,03π⎛⎫⎪⎝⎭称，那么的最小值为__________．ϕ【答案】6π【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：，()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数图象关于点成中心对称，则：， 4,03π⎛⎫⎪⎝⎭()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈整理可得：， ()136k k Z πϕπ=-∈则当时，有最小值.2k =ϕ6π【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．函数的最小正周期为____________．sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭【答案】2π【详解】解析：当时，，=2,x k k Z π∈sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭当时，，其中且，2,x k k Z π≠∈sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭2x k ππ≠+2x k ππ≠+画出图象可得函数周期为．2π故答案为：.2π9．已知，都是定义在R 上的函数，若，其中m ，n 实数，则称()f x ()g x ()()()h x mf x ng x =+为，在R 上的生成函数.已知，，，，则()h x ()f x ()g x 1m =1n =-()sin f x x =()cos g x x =，在上的生成函数的单调增区间为______.()f x ()g x R ()h x【答案】,Zππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间()h x 即可.【详解】由题意可知，()sin cos x x h x =-则， ()()()()sin cos πsin πcos πh x x x x x h x +=+=-=-+所以是函数的周期，π()h x 又∵， ()()()()sin cos sin cos x x x h h x x x =-----==∴函数为偶函数， ()h x当时，，π02x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭此时函数的单调递增区间为，Z , πππ2π2π242k x k -≤-≤+k ∈解得，Z , π3π2π2π44k x k -≤≤+k ∈当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增，0k =π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，，ππ2x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭此时函数的单调递减区间为，Z ， ππ3π2π+2π242k x k ≤+≤+k ∈解得，Z , π5π2π+2π44k x k ≤≤+k ∈当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减，0k =π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦综上所述，函数的单调递增区间为,Z ,ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈故答案为：,Z .ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈10．已知向量的夹角为锐角，且满足、,a b a =b = ，都有成立，则的最小值为_______.{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=||1x y +≤a b ⋅v v 【答案】815【详解】分析：设单位向量的夹角为锐角，由，得,b aθ|1,0xa yb xy += ，由得出()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤，令，得出，求不()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭t cos θ=()()222116+41541t t -≥-等式的解集可得结果.详解：设向量的夹角为锐角，由，，得，∴,a bθ1xa yb += 0xy >22641664cos 1151515x y xy θ++=， ()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=即；又，由柯西不等式得()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤ ； ()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭令，则，化简得， cos t θ=()()222116+41541t t -≥-26460110t t -+≤解得，所以，即的最小值为，故答案为．111416t ≤≤328cos 1515a b θ⋅=≥ a b ⋅ 815815点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.二、单选题11．已知，则“”是“是直角三角形”的（ ） ABC A sin cos A B =ABC A A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】若，则或；若，则；由充分条件和必sin cos A B =2A B π+=2A B π=+2A π=sin cos A B ≠要条件的概念即可得解.【详解】若，则或，不能推出是直角三角形；sin cos A B =2A B π+=2A B π=+ABC A 若，则，所以是直角三角形不能推出;2A π=sin cos A B ≠ABC A sin cos A B =所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件. sin cos A B =ABC A 故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.12．为了使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )． A ．98πB ．π C ．π D ．100π19721992【答案】B【详解】试题分析：因为，使y=sinωx （ω＞0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值， 所以，49×T≤1，即≤1， 1419724πω⨯所以，ω≥π，故选B ． 1972【解析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质． 点评：简单题，根据正弦型函数的图象和性质，确定应满足的条件．2πω13．已知函数，其中表示不超过x 的最大整数，下列关于说法正确的是()[]πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭[]x ()f x （ ）①的值域为；②为奇函数；③为周期函数，且最小正周期；④()f x []1,1-12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x 4T =与的图像有且仅有两个公共点. ()f x 2y x =A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．①③【答案】C【分析】利用函数的奇偶性、周期性以及取整的定义求解即可. 【详解】由已知条件得：当时，，； 10x -≤<[]1x =-()1f x =-当时，，；当时，，； 01x ≤<[]0x =()0f x =12x ≤<[]1x =()1f x =当时，，；当时，，；…；23x ≤<[]2x =()0f x =34x ≤<[]3x =()1f x =-则，()[]π4sin 42f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭[][]()πππsin 4sin 222x x f x ⎛⎫⎛⎫+⨯== ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭所以为周期函数，且最小正周期，即③正确； ()f x 4T =由此可知的值域为，即①错误；()f x {}1,0,1-若为奇函数，则，12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，，12x =()110022f f ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭()111122f f ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭故当时，不成立，故不是奇函数，即②错误；12x =1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在一个周期内作出的图象，如下图所示，()f x由图象可知与的图像有且仅有两个公共点，分别为坐标原点和点, ()f x 2y x =O A 即④正确； 故选：C.14．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD 内接于半径为，，，则四边形ABCD 的周长为120A ∠=︒45B ∠=︒AB AD =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接AC ，BD ．利用正弦定理求出，6BD =AC =AB AD ==定理求出，即得解. BC CD +=【详解】连接AC ，BD ．由，及正弦定理，得，120A ∠=︒45B ∠=︒sin sin BD ACBAD ABC==∠∠解得，．6BD =AC =在中，，，，ABD △120BAD ∠=︒AB AD =6BD =所以AB AD ==因为四边形ABCD 内接于半径为 它的对角互补，所以， AC BD AB DC AD BC ⋅=⋅+⋅所以,所以， )BC CD =+BC CD +=所以四边形ABCD 的周长为． +故选：A ．三、解答题15．已知函数.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的单调增区间；()f x (2)求函数在的值域.()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】(1)7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2) ⎡-⎣【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 2π23x +【详解】（1）由可得， π2ππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 7ππ2π22π6,6k x k k -+≤≤-+∈Z 所以， 7ππππ,1212k x k k -+≤≤-+∈Z 所以函数单调递增区间为：；()f x 7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）令，由可得， 2π23t x =+2π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2π,2π3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又因为函数在单调递减，在单调递增，sin y t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭所以在时有最小值-1，又， sin y t =3π2t =2πsin 3=sin 2π0=所以，所以函数在上的值域为． sin [t ∈-()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎡-⎣16．已知函数，若对任意的实数x 都成立．()2cos ,(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()4f x f π⎛≤⎫ ⎪⎝⎭（1）求的最小值；ω（2）在（1）中值的条件下，若函数的最小正周期为，当时，ω()()1(0)g x f kx k =+>π0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦方程恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． ()g xm =【答案】（1）；（2）． 23ω=[1m ∈+【分析】（1）根据条件得到为函数的最大值，结合函数的最值求出即可．4f π⎛⎫⎪⎝⎭ω（2）根据条件求出的解析式，在同一坐标系中，作出函数和的图象，利用数形()g x ()y g x =y m =结合求解．【详解】（1）若对任意的实数x 都成立，则为函数的最大值，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭则，得，即， 2,46k k ππωπ-=∈Z 2,46k k ππωπ=+∈Z 28,3k k ω=+∈Z ∵，∴当时，取得最小值，最小值为； 0ω>0k =ω23ω=（2）在（1）中值的条件下，则，ω23ω=2()2cos 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2()()12cos 1,(0)36g x f kx kx k π⎛⎫=+=-+> ⎪⎝⎭∵的最小正周期为，∴，即，则，()g x π223k ππ=3k =()2cos 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭作出函数和的图象如图：()03y g x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭y m =，则，所以，则，03x π≤≤2662x πππ-≤-≤0cos 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭()13g x ≤≤且，()02cos 116g π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由图象知：要使恰有两个不同的解，则．()g x m =[1m ∈+【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．如图是函数图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两()sin(),(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC 的中点， (1)若点M 的坐标为（-1，0），求点C 、点N 和点D 的坐标(2)若点M 的坐标为（-,0）（>0），，试确定函数的解析式m m 2344MC MD π⋅=- ()f x【答案】(1) (2) (12),(30),(52)C N D -，，，π()2sin(+)4f x x =【分析】（1）根据中点坐标公式可得C,根据对称可得N ，D 点坐标（2）先根据中点坐标公式以及对称性可得C,D 坐标，再代入向量数量积坐标公式可得值，根据点坐标确定周期、振幅以及初m 始角，即得三角函数解析式【详解】(1)设点C (a ,b )，由中点坐标公式得由中点坐标公式可得解得a =1，b =2，∴点C (1,2)，∴点N (3,0),点D (5,−2)；(2)同样由E (0,1)是线段MC 的中点，得A =2，由M (−m ,0),得C (m ,2),D (5m ,−2)；∴，2124MC MD m ⋅=- 又， 2344MC MD π⋅=-解得m =； 4π由，解得ω=1， 282T m ππω===∴φ=； 4π∴函数f (x )的解析式为f (x )=2sin(x +).4π【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了平面向量数量积的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于综合题.18．已知常数，定义在R 上的函数.0a ≠()cos 2sin f x x a x =+(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x 的值；4a =-()y f x =(2)已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数a 及n 的值.n ∈N 1n ≥()y f x =()0,πn 【答案】(1)最大值为，； 3π2π,2x k k =-∈Z (2)，.1a =-1347n =【分析】（1）利用二倍角公式化简，利用二次函数的性质求其最值以及此时满足要求所有的()f x x 值；（2）利用换元法将零点问题转化为与的交点问题，先分析在一个周期内零点的个sin y x =y t =数，然后再分析多周期内零点的临界值即可求解.【详解】（1）当时，4a =-()cos 24sin f x x x =-212sin 4sin x x =--232(sin 1)x =-+则当时，，此时， sin 1x =-()max 3f x =π2π,2x k k =-∈Z （2），2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+令，，则，sin t x =[1,1]t ∈-2()21f t t at -+=+得，，则方程有两个不相等的实数根，()0f t =2210t at --=280a ∆=+>()0f t =由韦达定理得，即两根异号， 1212t t =-①当两根的绝对值在之间，，，在区间上均为偶数根，则不符合题()0,11sin t x =2sin t x =()0,πn 意；②当，，即，， 11t =212t =-12122a t t +=-=-1a =当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =π2x =1sin 2x =-7π6x =11π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]1[1347π,1348π]2所以在（）内恰有2021个根是不可能的， ()0f x =()0,πn n ∈N ③当，，即，， 11t =-212t =12122a t t +=-=--1a =-当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =-3π2x =1sin 2x =π6x =5π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]2[1347π,1348π]1所以在内恰有2021个根，()0f x =()0,1347π故满足题意，此时，. 1a =-1347n =。
2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期期中数学试题(解析版)
本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
2．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为 米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（1）求 的值;
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）利用倍角公式、辅助角公式将 化为 ，由两条相邻对称轴之间的距离为 可得周期为 ，再利用周期的计算公式计算即可；
纵坐标不变，得到函数 ，因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上存在零点，所以 ，
故实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查三角函数的图象及其性质的应用，涉及到倍角公式、辅助角公式、函数图象的变换、函数零点等知识，是一道容易题.
18．已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到的函数为奇函数．
（1）求 的解析式；
16．函数 的图象与其对称轴在 轴右侧的交点从左到右依次记为 在点列 ，中存在三个不同的点 使得 是等腰直角三角形，将满足上述条件的 值从小到大组成的数列记为 ，则 ________.
【答案】
【解析】不妨设 是以 为顶点的等腰直角三角型，由 的最值可得斜边 ，结合 的周期性及对称性可知 ，进一步得到 的表达式即可得到答案.
【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．
【解析】【详解】试题分析：（1）这是解三角形问题，图形中 ，已知 ，要求 ，因此由正弦定理知应该知道它们所对的两角，由题中已知的三个方位角，可求出 ， ， ，故易求得结论；（2）只要求出两船到达 点的时间即可， 国舰艇路程为 ，我渔政船路程为 ，这里要在 中求出 ，已知 ，因此应用余弦定理可求出 ，从而得出结论．
2020届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中数学试题一、单选题 1．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．12【答案】C【解析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.2．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u v 与AC u u uv 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>u u u v u u u v u u u v ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r |⇔|AB u u u r +AC u u u r |>|AB u u u r -AC u u ur |⇔|AB u u u r +AC u u u r |2>|AB u u u r -AC u u ur |2AB u u u r ⇔•AC u u u r >0AB u u u r ⇔与AC u u u r的夹角为锐角.故“AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r|”的充分必要条件,故选C. 【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.3．已知函数()()sin 0,0,f A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．C ．-2D ．2【答案】A【解析】根据所给的条件求出参数,,A ωϕ 的值，然后令3,8x π=代入到()f x 即可． 【详解】由()f x 为奇函数，可知(0)sin 0,f A ϕ== 由ϕπ< 可得0.ϕ= 由()f x 的最小正周期为π可得2,T ππω== 所以 2.ω= 则()sin 2.f x A x =将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()sin .g x A x =的图象，结合已知条件可得sin 44g A ππ⎛⎫==⎪⎝⎭可得A=2,则()2sin 2.f x x =所以332sin 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．4．已知EF 半径为C 上的一条动弦，且4EF =，D 为圆C 内接正三角形边上一动点，则ED DF ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．3B ．C ．4D ．【答案】C【解析】根据题意，设M 是动弦EF 的中点，判断M 点的轨迹是以C 为圆心、半径为2的圆，根据向量的线性运算法则，表达ED DF ⋅u u u r u u u r，即可求解. 【详解】由题意，EF 是半径为C 上的一条动弦，设M 是动弦EF 的中点，则2CM ==，故M 点的轨迹是以C 为圆心、半径为2的圆，则()()()2ED DF MD ME MF MD MD MF ME ME MF MD ⋅=--=+-⋅-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r uu u r u u u r u u u u r由M 是EF 的中点，则0ME MF +=u u u r u u u r r ，=ME MF ∴-u u u r u u u r则22=ED DF MF MD ⋅-u u u r u u u r u u u r u u u u r ，由2MF =u u u r ，则2=4ED DF MD ⋅-u u u r u u u r u u u u r因为D 是圆C 内接正三角形边上一动点，M 是动弦EF 的中点，所以当D 取M 点的轨迹与正三角形交点时，0MD =u u u u r是最小值， 此时()max4ED DF⋅=u u u r u u u r故选：C 【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积运算求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.二、填空题5．已知集合{}{}2430,21xA x x xB x =++≥<，则A B =I ____________ 【答案】(][),31,0-∞-⋃-【解析】根据一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，求出集合A 和集合B ，然后进行交集的运算，即可求解． 【详解】根据一元二次不等式的解法，可得集合(][),31,A =-∞-⋃-+∞， 由指数函数的单调性，可得集合(),0B =-∞，所以A B =I (][),31,0-∞-⋃-． 【点睛】本题主要考查了集合表示方法、一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．若1cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos(2)πα-=__________ ；【答案】79-【解析】由题意，2πα-是2πα-的2倍，根据余弦二倍公式，即可求解.【详解】 由题意-222ππαα⎛⎫=-⎪⎝⎭()27cos 2cos 22cos 1229πππααα⎛⎫⎛⎫∴-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：79- 【点睛】本题考查余弦二倍角公式，属于基础题.7．若(z a ai =+为纯虚数（i 是虚数单位），其中a R ∈，则71a i ai+=+________【答案】i -【解析】由已知求得a ，代入71a iai++，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】(z a ai =+Q 为纯虚数，a ∴=∴77313a i i i ai +-=====-+． 故答案为：i -． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 8．高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为___________．【答案】6π【解析】试题分析：底面积2,S πππ==底面半径1r =，侧面展开图周长为2226πππ⋅+⋅=.【考点】圆柱侧面展开图.9．6个不同的球，全部放到编号分别为1,2,3的盒子中，每个盒子中的球数和编号一致，有__________ 种方法； 【答案】60【解析】根据排列数计算即可求解. 【详解】由题意将6个不同的球，放到1,2,3盒子，共有66232360A A A =⋅故答案为：60 【点睛】本题考查排列数计算，属于基础题.10．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．【答案】50【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===L ，填50.11．在10201912x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，4x 项的系数为__________（结果用数值表示） 【答案】180【解析】式子表示10个因式201912x ⎛⎫⎪⎝⎭的乘积，其中有8，其余的2个因式取2，可得含4x 项，从而得到4x 项的系数． 【详解】由题意，可得含有4x 项为0822410201912180C x x ⎛⎫••-= ⎪⎝⎭，所以4x 项的系数为82102180C =． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，以及排列组合的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6m ，最低点B 处离地面3.5m .若从离地高2m 的C 处观赏它，则离墙______m 时，视角θ最大.【答案】6【解析】直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果． 【详解】解：如图所示，过点C 作CD DA ⊥于D ，设CD x =，则4, 1.5AD BD ==，4 1.52.5tan tan()41.561x x ACD BCD x x x xθ-∴=∠-∠==+⋅+当且仅当6x x=时，即当6x =6．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力．属于基础题型．13．已知O 为坐标原点，过椭圆2214x y +=上一点00(,)P x y 的切线0014x x y y +=分别交x y 、轴于A B 、两点，则当AB 最小时，=OP __________ ；【解析】设切点为()2cos ,sin θθ，则椭圆在切点处的切线方程为cos sin 12xy θθ⋅+⋅=，再求切线与x 轴、y 轴交点坐标，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意设切点为()2cos ,sin θθ，则椭圆在切点外的切线方程为cos sin 12xy θθ⋅+⋅=，令0x =则1sin y θ=，令0y =则2cos x θ=. 2222214sin cos AB x y θθ∴=+=+()222214sin cos sin cos θθθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2222cos 4sin 1459sin cos θθθθ=+++≥+=当且仅当222sin cos θθ=，即tan 2θ=，此时22222cos 12cos sin cos tan 13θθθθθ===++ 2min9AB∴=，min 3AB ∴=此时OP ==【点睛】本题考查参数方程解决椭圆最值问题，考查基本不等式的应用，综合性较强，有一定难度.14．已知实数x y 、满足22(2cos 3)(2sin 4)1x y αα--+--=，α∈R ，则22xy +的最大值是__________ ； 【答案】64 【解析】由题意22xy +的几何意义为动圆，()()222cos 32sin 41x x y x --+--=上一点到坐标原点的距离的平方，设动圆圆心P 坐标为()2cos 3,2sin 4x x +-，求圆心到坐标原点的最大值即可求解.【详解】22x y +的几何意义是动圆()()222cos 32sin 41x x y x --+--=上一点到坐标原点的距离的平方. 设动圆圆心为PP∴()2cos 3,2sin 4x x +-P 为动点，在圆()()22344x y -+-=上运动则22max 3427OP =++=()()222max7164x y ∴+=+=故答案为：64 【点睛】本题考查圆的参数方程最值问题，综合性较强，有一定难度.15．已知函数2()11f x x x a x =+-++，x ∈R 上有两个不同的零点，则a 的取值范围__________ ；【答案】()323,323---【解析】函数2()11f x x x a x =+-++在R 上有两个不同的零点可化为21y x x =+-与1y a x =-+在R 上有两个不同的交点，作函数图象求解.【详解】函数2()11f x x x a x =+-++在R 上有两个不同的零点可化为21y x x =+-与1y a x =-+在R 上有两个不同的交点，作函数22211=1x x y x x x x ⎧+-=+-⎨-+⎩11x x ≥<与(1)1=(1)a x y a x a x -+⎧=-+⎨+⎩ 11x x ≥-<-的图象如下，结合图象可知，函数(1)1=(1)a x y a x a x -+⎧=-+⎨+⎩11x x ≥-<-的右半部分与函数相交于两个不同交点，而左半部分不能与函数相交；当直线()1y a x =-+与21y x x =-+相切时为一个临界值，设切点为()2,1x x x -+，此时1x >-，则21k =()211x x f x x x -+'==-+切；解得1x =；故斜率3a ->；故3a <-当直线()1y a x =+与21y x x =-+相切时为另一个临界值，设切点为()2,1x x x -+，此时1x <-，则21k =()211x x f x x x -+'==-+切；解得1x =；故斜率3a >--故33a --<-故答案为：(3--- 【点睛】本题考查分段函数相切问题，考查转化与化归思想，将函数零点问题转化成交点问题，考查数形结合思想，综合性较强，属于难题.16．已知数列{}n a 满足:，1(22nn n a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()n *∈N ，其中[]x 表示不超过实数x的最大整数，设A 为实数，且对任意的正整数n ，都有121ni i i A a a =+≤∑(其中符号∑为连加号，如112ni i n ==+++∑L L)，则A 的最小值是__________ ；【答案】1288【解析】由题意，化简通项公式(((12222nnnn n a ⎡⎤⎛⎫=++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，根据取整函数定义，且(10212nn⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，可得((22nnn a =+，构造递推关系，214n n n a a a ++=+，可得212111114n n n n n n a a a a a a ++++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据裂项相消法，即可求解. 【详解】由题意，(((12222nn nn n a ⎡⎤⎛⎫=++-+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(((1222nnn i iin ini C N -*=⎡⎤+=+∈⎢⎥⎣⎦∑，且(10212nn⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，则((22nnn a =++，14a =，218a =，则有((((1114424222n n n nn na a ++++=+++++-()(()(812812n n=+++--((22222=n n n a +++=+即214n n n a a a ++=+，则有12221211211111144n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++⎛⎫-==⨯=- ⎪⎝⎭，裂项相消法求和，12121212111111144288ni i in n a a a a a a a a =+++⎛⎫=-≤⨯= ⎪⎝⎭∑ 即A 的最小值为1288故答案为：1288【点睛】本题考查构造地推公式，裂项相消法数列求和问题，考查计算能力，综合性较强，属于难题.三、解答题 17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB u u u r u u u r u u u r分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B B b =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值. 【详解】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB u u u r u u u r u u u r分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=u u u r u u u u r ，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==u u u r u u u u r u u u r，设111(,,)m x y z =u r是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩u u u v v v u u uv v ， 设222(,,)n x y z =r是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩u u u u v v v u u uv v ， 二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为11222m n m n⋅==⨯⋅u r ru r r ，所以二面角1B EC C --2131()2-=. 【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.18．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =14. 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b得()214sin A B -=详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此227sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214⨯-⨯= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.【答案】（1）不符合，原因见解析（2）a 的取值集合为{}910911912，， 【解析】（1）根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立；判断单调性及最值，即可求解； （2）由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和()5xf x ≤，即可求解参数范围，由a 为正整数，即可确定取值集合.【详解】（1）设奖励函数模型为()y f x =，按公司对函数模型的基本要求，函数()y f x =满足:当[10,1000]x ∈时，①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5x f x ≤恒成立.对于函数模型11005x y =-.当[10,1000]x ∈时，11005x y =-是增函数，max 1000149()(1000)910055f x f ==-=>所以()9f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，当10100x ≤≤时，()f x 在定义域[10,100]上是增函数，且()9f x ≤恒成立；当1001000x <≤时，10100()101010x a a f x x x ---==+++，只有1000410005110a a --<⎧⎪-⎨≤⎪⎩时，()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；要使()9f x ≤在[10,1000]x ∈恒成立，(1000)9f ≤，即100041000[100,912]5110(1000)9a aa f --<⎧⎪-⎪≤⇒∈⎨⎪≤⎪⎩；要使()5x f x ≤恒成立对[10,1000]x ∈恒成立，即11010010055101001000105x xx x a x x x ⎧-<≤≤⎪⎪⎨-⎪<<≤⎪+⎩，即24050x x a -+≥恒成立，所以910a ≥； 综上所述，910a ≥，所以满足条件的正整数a 的取值集合为{}910911912，， 【点睛】本题结合实际问题，考查了（1）函数的单调性，最值和恒成立问题；（2）由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、， （1）求椭圆C 的方程；（2）求BM BN ⋅u u u u r u u u r的取值范围；（3）设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值.【答案】（1）22163x y += （2）(2,3] （3）证明见解析【解析】（1）根据离心率和(2,1)A 代入椭圆方程可求得a 和c ，进而求得b ，方程可得；（2）由题意显然直线l 方程为()3y k x =-，联立直线与椭圆的方程22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222212121860kxk x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴>0∆，可得11k -<<，再用坐标表示出BM BN ⋅u u u u r u u u r，即可求取值范围.（3）由（2）用坐标表示出AM AN k k +化简即可. 【详解】（1）由题意得22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a =b =∴椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()3y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=.∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ， ∴()()()42221444121862410k kkk ∆=-+-=->，解得11k -<<.设M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则21221212k x x k+=+，212218612k x x k -=+， 又()113y k x =-，()223y k x =-，()()121233BM BN x x y y =--+⋅u u u u r u u u r()()21212139k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦ ()2223333122212k k k +==+++， ∵11k -<<，∴()233232212k <+≤+， ∴BM BN ⋅u u u u r u u u r的范围为(]2,3. （3）由（2）得121211=22AM AN y y k k x x --++-- ()()()()()()122112312312=22kx k x kx k x x x ---+-----()()()12121212251124=24kx x k x x k x x x x -++++-++()()()()()2222222186511212412=18624412k k k k k k k k k--+⋅+++--++2244=22k k -+- 2=-所以AM AN k k +为定值，=2AM AN k k +- 【点睛】本题考查主要考查椭圆的标准方程求解，运用韦达定理解决直线与椭圆相交问题，椭圆定点问题，考查逻辑推理能力和计算求解能力，综合性较强，有一定难度.21．已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件:121,a a a a =≠，当n *∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a k 、均为非零常数. （1）数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令1()n n n b a a n N *+=-∈，若11b =，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明:{}n a 数列是等比数列的充要条件是()(1)f x kx k =≠. 【答案】（1）1（2）n b ()1210n ka a -=-≠（3）证明见解析【解析】（1）由题意知1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-()2n ≥，得()()112n n n n a a k a n a --=-≥-，再由等差数列，即可求解k 值；（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，因此()()()1111n n n n n n n n b a a f a f a k a a kb +---=-=-=-=，由此可知，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.（3）先进行充分性证明：若()(1)f x kx k =≠则{}n a 数列是等比数列；再进行必要性证明：若{}n a 数列是等比数列，则()(1)f x kx k =≠. 【详解】（1）由已知()1n n a f a -=，()()()()112,3,4,n n n n f a f a k a a n ---=-=⋅⋅⋅， 得()()()()1112,3,4,n n n n n n a a f a f a k a a n +---=-=-=⋅⋅⋅， 由数列{}n a 是等差数列，得()112,3,4,n n n n a a a n a +-=-=-⋅⋅⋅， 所以，()11n n n n a a k a a ---=-，()2,3,4,n =⋅⋅⋅， 得1k =.（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠， 且当2n >时，()()()111n n n n n n n b a a f a f a k a a +--=-=-=-()1210n k a a -==-≠L ，所以，当2n ≥时，()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n f a f a k a a b a ak b a a a a a a --+-------====---， 因此，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.故通项公式为()1210n n b ka a -=-≠（3）{}n a 是等比数列的充要条件是()()1f x kx k =≠，充分性证明:若()()1f x kx k =≠，则由已知10a a =≠，()()12,3,4,n n a f a n -==⋅⋅⋅ 得()12,3,4,n n n a ka -==⋅⋅⋅，所以，{}n a 是等比数列. 必要性证明:若{}n a 是等比数列，由（2）知，()()1*21n n b ka a n N -=-∈，()()()12121211n n n b b b a a a a a a --++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()12n a a n =-≥， ()1121n n a a b b b -=+++⋅⋅⋅+.当1k =时，()()()12112n a a a a n n =+--≥.上式对1n =也成立， 所以，数列{}n a 的通项公式为:()()()()*1n a a f a an n N =+--∈.所以，当1k =时，数列{}n a 是以a 为首项，()f a a -为公差的等差数列. 所以，1k ≠.当1k ≠时，()()1121121n n k a a a a n k--=+-≥-. 上式对1n =也成立，所以，()11()1n n k a a f a a k --=+--1()(())11n f a a f a a k a k k---=+---. 所以，()0()1f a aa f a ka k-+=⇒=-.即，等式()(1)f x kx k =≠对于任意实数a 均成立. 所以()(1)f x kx k =≠. 【点睛】本题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.。
上海华师大第二附中2020届高三期中考试数学试卷答案解析与点睛(18页)
上海华师大第二附中2020届高三期中考试数学试卷数学试卷一. 填空题1.已知1sin23α=，则cos α=________. 【答案】79【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式计算可得cos α的值. 【详解】217cos 12sin 12299αα=-=-⨯=， 故答案为：79. 【点睛】本题考查二倍角的余弦，注意二倍角的余弦公式有3种形式，应根据半角的三角函数的形式选择合适的公式进行计算，本题属于容易题.2.双曲线2212x y -=的实轴长为________【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程以及实轴长为2a 求解即可.【详解】由2212x y -=得,22a =,故实轴长为2a =.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本量求解,属于基础题型.3.集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4M N =I ，则复数z =________. 【答案】4i - 【解析】 【分析】根据{}4M N =I 可得4M Î，从而可求z .【详解】因为{}4M N =I ，故4M Î，而{}1,2,M zi =， 所以4zi =，故44z i i==-，此时{}1,2,4M =，满足{}4M N =I . 故答案为：4i -.【点睛】本题考查集合的交以及复数的除法，注意根据集合元素的确定性来解决问题，本题属于容易题. 4.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x ＝a |＝1的图象只有一个交点，则a 的值为________＝ 【答案】12- 【解析】由已知直线2y a =是平行于x 轴的直线，由于y x a =-为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数1y x a =--的图象是折线，所以直线2y a =过折线顶点时满足题意，所以21a =-，解得12a =-，故答案为12-. 5.投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________. 【答案】19【解析】 【分析】求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式计算可得所求的概率. 【详解】投掷两颗均匀的骰子一次，我们用(),a b 表示两个骰子出现的点数对，则共有如下基本事件：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6， ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6， ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，所以基本事件的总数为36.设A 为事件“点数之和为5”，则A 中的基本事件如下：()()()()1,4,2,3,3,2,4,1，共4个基本事件，故()41369P A ==.故答案为：19【点睛】本题考查古典概型的概率计算，注意基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数可以用枚举法、树形图法等来计数，本题属于基础题. 6.已知函数21()x f x x a+=+1()2a ≠的图象与它的反函数的图象重合，则实数a =________.【答案】2- 【解析】 【分析】求出()f x 的反函数，令其与原函数相等，则可求实数a 的值.【详解】令21+=+x y x a ，则21+=+xy ay x ，所以12-=-ay x y ，故()112ax f x x --=-，因为()f x 的图象与它的反函数的图象重合，根据()()1f x f x -=，所以2112+-=+-x ax x a x ，整理得到恒等式()2222321x x ax a x a --=-+-+， 故2a =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查反函数性质及反函数的求法，注意函数与其反函数的图象关于y x =对称，求反函数的基本步骤是反解、互换，本题属于基础题.7.设1e u v ，2e u u v 为单位向量，且1e u v ，2e u u v 的夹角为π3，若123a e e =+uv u u v v ，12b e =u v v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为______．【答案】52【解析】 【分析】根据向量a r 在向量b r上投影为a b b⋅r r r ，然后分别算出a b ⋅r r 和b r ，代入求得结果. 【详解】由于123a e e =+uv u u v v ，12b e u v v =，所以2b v =，21121262652a b e e e ⋅=+⋅=+⨯=u v u v u u v v v ， 的所以向量a v 在b v 方向上的投影为5cos ,2a b a a b b⋅⋅==v v v v v v . 故答案为52【点睛】本题考查了向量的基本运算和向量数量积的几何意义，熟练运用公式是解题的关键，属于基础题. 8.若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭ ． 【答案】8 【解析】试题分析：由题意222n n na C -=，322118()(1)21n n n n a n n n n -==--⋅-，∴2323222nna a a ++⋅⋅⋅+= 111118[(1)()()]2231n n -+-++--L 88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．9.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为________． 【答案】7(1,)8-- 【解析】试题分析：由题意得：890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8d -<<- 考点：等差数列性质10.给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2log xf x x=-零点有且只有1个；③2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.【答案】④ 【解析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项.【详解】对于①，因为0y x =是幂函数，但它与1y =不是同一个函数，前者要求0x ≠，而后者x ∈R . 故1y =不是幂函数，故①错误.对于②，在同一坐标系画出22,log xy y x ==的图象（如图所示）：则22,log xy y x ==图象没有公共点，故2()2log xf x x =-没有零点，故②错误.对于③，1x =时不等式也成立，所以③错误.对于④，{}|1x x <是{}|2x x <的真子集，故“1x <”是“2x <”的充分非必要条件， 故④正确.对于⑤，若0a =，则1n S =-，故1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，该数列既不是等差数列也不是等比数列，故⑤错误. 故答案为：④.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到函数相同的判断、函数零点的个数判断、充分不必要条件的判断、无理不等式的解法、等差数列等比数列的判断等，注意函数零点的个数判断可以通过两个熟悉函数图象的交点个数来判断，本题属于综合题，有一定难度. 11.矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=，则ab =________.【答案】0的【分析】设(),P x y 在曲线22421x xy y ++=上，求出(),P x y 在矩阵11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下对应的点Q 的坐标，代入2221x y -=后整理得到的方程就是方程22421x xy y ++=，从而可求,a b 的值.【详解】设(),P x y 在曲线22421x xy y ++=上， (),Q x y ''为在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下对应的点，则x x ay y bx y=+⎧⎨=+''⎩，因为(),Q x y ''在2221x y -=上，故()()2221x ay bx y +-+=， 整理得到()()()2222122421bx a b xy ay -+-+-=，而22421x xy y ++=，故2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以0ab =.故答案为：0.【点睛】本题考查变换的求法，注意根据对应点的坐标关系得到同一个动点满足的两个等价的曲线方程，从而根据系数关系可得参数满足的方程组，此类问题属于中档题，有一定的思维要求. 12.已知函数22(1)1y x a x a =++++-的最小值大于5，则a 的取值范围是________.【答案】12a -<或2a > 【解析】 【分析】先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，然后就32a >、1322a ≤≤、12a <分三类求()f x 的最值，最后根据最值的范围可得实数a 的取值范围. 【详解】设()22(1)1f x x a x a =++++-，故22221(1),1()1(1),1x x a a x af x x x a a x a⎧++-++≥-=⎨--+++<-⎩， 若32a >，则112a -<-，此时()f x 在(],1a -∞-上为减函数，在11,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数， 故()2min11324f x f a a ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭， 因为32a >，故21991133544242a a +->+-=>，故32a >满足条件. 若1322a ≤≤，则11122a -≤-≤， 此时()f x 在[)1,a -+∞上为增函数，在(],1a -∞-上为减函数， 故()()2min122f x f a a =-=+，令22251322a a ⎧+>⎪⎨≤≤⎪⎩，故322a <≤. 若12a <，则112a ->，此时()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在[)1,a -+∞上为增函数，故()2min1724f x f a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 令275412a a a ⎧++>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，故12a -<.综上，a的取值范围为：12a -<或2a >.故答案为：12a -<或2a >. 【点睛】本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再依据函数的单调性求最值，本题属于难题.二. 选择题13.若1a b >>，01c <<，则（ ） A. c c a b <B. c c ab ba <C. log log b a a c b c <D. log log a b c c <【答案】C 【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误， 因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b a b a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<Q lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<Q 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.14.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C. D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，1=，解得43a =-，故选A.【考点】 圆方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．15.,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是( ) A. 若m n ⊥，m α⊥，n ∥β，则αβ⊥B. 若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥C. 若α∥β，m α⊆，则m ∥βD. 若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 【答案】A 【解析】 【分析】依据空间中位置关系的判定定理和性质定理逐个判断各选项中命题的真假后可得正确的选项. 【详解】对于A ，平面,αβ可能平行，故A 错；对于B ，存在平面β使得n β⊂且l αβ=I ，因为n ∥α，n ⊂平面β，故//n l ， 因为m α⊥，l α⊂，故m l ⊥，所以m n ⊥，故B 正确； 对于C ，根据面面平行的性质可知m ∥β，故C 正确；对于D ，根据线面角定义可知m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 故选：A.【点睛】本题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假判断，这类问题需根据位置关系的定义、判定定理、性质定理等来判断真假，必要时还要动态地考虑它们的位置关系，本题属于中档题.16.在ABC V 中，若 3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.17.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B.23C.D. 1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：200023263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y =时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件||2||PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．18.如图所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，1//l l ＝l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点，设y EB BC CD =++，弧FG 的长为x ＝0x π<<＝＝若l 从1l 平行移动到2l ，则()y f x =的图象大致是（ ＝A. B. C. D.【答案】D 【解析】由题意可知，随着l 从1l 平行移动到2l ，y EB BC CD =++单调递增，故可排除选项B ．由题意可得等边三角形的边长为3．当x =0时，3y BC ==，此时y 最小；当x =π时，3y AB BC CA =++==y 最大；当3x π=时，如上图，则3FOG π∠=，OFG ∆为等边三角形，此时AM OH ==， 在等边AED ∆中，AE =ED =DA =1，∴()3212y EB BC CD AB BC CA AE AD =++=++-+=-⨯=．又当3x π=时，下图中的0123y =+=>．故当3x π=时，对应的点(x ,y )在图中红色连线段的下方．结合选项可得选项D 正确．选D ． 点睛：本题为根据具体情境判断函数图象大体形状的问题，由于函数的解析式不易求出，因此在解题中运用取特殊值的方法对各选项进行排除，考查几个特殊的情况，计算出相应的函数值y ，结合给出的选项可得答案．这也是解决选择题的常用方法之一．三. 解答题19.如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，2AB =，已知AE 与平面ABC 所成的角为θ，且tan θ=；（1）求证:平面ACD ⊥平面ADE ；（2）记AC x =，(x)V 表示三棱锥A CBE -的体积，求(x)V 的表达式及最大值；【答案】（1）证明见解析；（2）()V x =(02)x <<，max ()V x =【解析】 【分析】（1）可证DE ⊥平面ACD ，从而得到平面ACD ⊥平面ADE .（2）可证EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角为θ，从而可得BE =BE ⊥平面ABC ，从而()ACB V x ∆=，利用基本不等式可求(x)V 的最大值. 【详解】（1）因为ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，所以AC CB ⊥， 因为四边形DCBE 为平行四边形，故//DE CB ，所以AC DE ⊥.因为DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故DC BC ⊥，所以CD DE ⊥， 因为DC AC C =I ，故DE ⊥平面ACD ，而DE ⊂平面ADE ， 故平面ACD ⊥平面ADE .（2）因为四边形DCBE 为平行四边形，故//BE CD ，由（1）可知DC AC ⊥，DC CB ⊥，故BE AC ⊥，BE CB ⊥， 因为AC BC C =I ，故BE ⊥平面ACB ，所以EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角，故EAB θ∠=.在Rt ABE ∆中，tan EAB ∠=，故BE AB ==故11()3326ACB V x BE S ∆=⨯=⨯=02x <<.由基本不等式有22422x x +-≤=，当且仅当x =故max ()V x =. 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，前者注意空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系转换，后者注意选择合适的顶点来计算体积，本题属于中档题.20.某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元； （1）求{}n a 的通项公式； （2）当38ab ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入? 【答案】（1）12,123((,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩））；（2）是. 【解析】 【分析】（1）由题设可知当2n ≥时，收入n a 由两部分构成：一部分是以a 为首项，公比为23的等比数列的第n 项，另一部分是以b 为首项，公比为32的等比数列的第1n -项，据此可求{}n a 的通项公式. （2）利用基本不等式可得()2n a a n >≥总成立，从而可判断这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【详解】（1）由题设有1a a =，223a ab =+，当2n ≥时，收入n a 由两部分构成，一部分是以a 为首项，公比为23的等比数列的第n 项， 另一部分是以b 为首项，公比为32的等比数列的第1n -项， 故当2n ≥时122332n n n a a b --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12,123((,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩））. （2）当38a b ≥时，121211232332332382342n n n n n n a a b a a a ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥+=+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由基本不等式可有11232342n n a a a --⎛⎫⎛⎫+⨯≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因不存在*,2n N n ∈≥，使得11213342n n --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立，故1123342n n a a a --⎛⎫⎛⎫+⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭总成立，所以一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【点睛】本题考查数列在实际问题中的应用，涉及到通项的求法、基本不等式的应用等，注意数列不等式的证明可以利用数列单调性来证明，也可以根据通项的结构形式选择基本不等式来证明，本题属于中档题.21.已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B . （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P FQ ⊥u u u v u u u v ，求直线l 的方程.【答案】＝＝＝2214133x y +=＝＝＝＝10x +-=或10x -=＝ 【解析】【详解】试题分析：（1）由112F B B ∆为等边三角形可得a=2b ，又c=1，集合222a b c =+可求22,a b ，则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C 的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把11F P FQ ⊥u u u r u u u r转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l 的方程可求试题解析：（1）112F B B ∆为等边三角形，则2222222433{{{1113a ab bc a b c b =-==⇒⇒-===椭圆C 的方程为：223314x y +=；（2）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=，当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()221{12y k x x y =-+=得()()2222214210k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+u u u r u u u r ∵11F P FQ ⊥u u u r u u u r ， ∴11·0F P FQ u u u r u u u r =， 即()()()()()2121212*********x x y y x x x x kx x +++=++++--()()()22221212271111021k k x x k x x k k -+--+++==+＝解得217k =，即7k =±， 故直线l的方程为10x +-=或10x --=.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系． 22.已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．【答案】（1）2π；（2）（ⅰ）()10sin 8g x x =-； （ⅱ）证明见解析. 【解析】【详解】（Ⅰ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （Ⅱ）（Ⅰ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象， 再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >， 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ， 使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．23.已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为1，记()(||)f x g x =；（1）求实数a ､b 的值；（2）若不等式2(log )(2)f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）定义在[,]p q 上的函数()x ϕ，设011i i n p x x x x x q -=<<<<<<=L L ，其中1x ､2x ､L ､1n x -将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得和式11|()()|nii i x xM ϕϕ-=-≤∑恒成立，则称函数()x ϕ为在[,]p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[0,4]上的有界变差函数?若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）1a =，0b =；（3）104k <<或4k >；（3）是，min 10M =. 【解析】 【分析】（1）根据()g x 在[]2,4上的单调性可得()g x 的最大值和最小值，结合已知条件可求,a b 的值.（2）不等式2(log )(2)f k f >等价于222log 2log 0k k ->，由后者可以得到2log 2k >，从而可求k 的取值范围.（3）对任意的[]0,4上的划分，必定存在k *∈N ，使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤=L L ，从而可得()()()11|()()|042nii k i f x f xf f f x -=-=+-∑，故可得11|()()|ni i i f x f x -=-∑的最大值，从而可判断()f x 是[]0,4上的有界变差函数且min 10M =.【详解】＝1＝因为2()21g x ax ax b =-++的对称轴为直线1x =，0a > 故()g x 在[2,4]为增函数，所以()max ()481g x g a b ==++，()min ()211g x g b ==+=，解得0b =，又819a b ⨯++=，解得1a =.所以1,0a b ==.（2）由（1）得2()(||)21f x g x x x ==-+，因为()21f =，所以2(log )(2)f k f >等价于222log 2log 11k k -+>，所以2log 2k >，故2log 2k >或2log 2k <-，解得104k <<或4k >. （3）当[]0,4x ∈时，()221f x x x =-+，此时()()max min 9,0f x f x ==，且()f x 在[]0,1为减函数，在[]1,4为增函数.设1x ､2x ､L ､1n x -将区间[0,4]任意划分成n 个小区间， 且01104i i n x x x x x -=<<<<<<=L L ，则存在k *∈N ， 使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤=L L ， 所以()()()()()()1011211|()()|nii k k i f x f xf x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑L()()()()()()1211k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-L ，整理得到()()()()()()101|()()|2042nii n k k i f x f xf x f x f x f f f x -=-=+-=+-∑，因为()0k f x ≥，()()()()()0420410k f f f x f f +-≤+=， 故11|()()|10nii i f x f x-=-≤∑，当且仅当()0k f x =即1k x =时等号成立，故()f x 是[]0,4上的有界变差函数，又10M ≥，所以min 10M =.【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，注意根据对称轴的位置确定函数的单调性从而研究其最值，对于含绝对值的代数式的最值问题，可根据函数的单调性来确定绝对值符号内的代数式的符号，有时也可以利用绝对值不等式来放缩求最值，本题属于难题.。
2020届上海市华东师范大学第二附中高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届上海市华东师范大学第二附中高三上学期期中数学试题一、单选题1．若()3nx y +展开式的系数之和等于()107a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为（ ）． A ．15 B ．10 C ．8 D ．5【答案】D【解析】二项式()3nx y +的展开式的各项系数的和为(13)4nnm =+=，()107a b +的二项式系数之和为102k =，由m =k ，即可求得n 的值. 【详解】设二项式()3nx y +的展开式的各项系数的和为m ，即x =1时满足题意，(13)4n n m ∴=+=，又设()107a b +的二项式系数之和为k ，则0121010101010102k C C C C =+++⋯+=，因为m =k ，所以1042n =，解得n =5. 故选：D. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，关键在于理解好二项式各项系数的和与二项式系数之和的含义，属基础题.2．已知平面α截一球面得圆M ，球中过小圆心M 的直径为AB ，过点M 且与AB 成30°角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（ ） A ．7π B ．9πC ．11πD ．13π【答案】D【解析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出OM 的长，找出线面角，从而求出ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆N 的半径，从而求出面积． 【详解】∵圆M 的面积为4π， ∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM ==∵过点M 且与AB 成30°角的平面β截该球面得圆N ， ∴∠OMN ＝30°，在直角三角形OMN 中，ON ＝12=∴圆N= ∴圆N 的面积为：13π． 故选：D ．【点睛】本题考查二面角的平面角，以及球的截面问题，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．3．使直线1ax by +=和2250x y +=只有整数公共点的有序实数对(),a b 的个数为（ ）． A ．72 B ．74C ．78D ．82【答案】A【解析】分析得到圆在第一象限的整数点有三个，结合图象和圆的对称性可知圆上有12个整数点，则可计算出经过其中任意两点的割线的数量和过每一点的切线的数量，根据条件，直线1ax by +=不过原点，故再去掉过原点的割线，即可求出结果. 【详解】根据题意，当0x ≥，0y ≥时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)、(5,5)、(7,1)， 根据题意画出图形，如图所示：根据圆的对称性得到圆上共有3412⨯=个点横纵坐标均为整数， 经过其中任意两点的割线有21266C =条，过每一点的切线共有12条， 上述直线中经过原点的有6条，则满足题意的直线共有6612672+-=条，每一条对应一个有序数对(,)a b ， 所以有序数对(,)a b 的个数为72. 故选：A. 【点睛】本题考查直线和圆的方程，着重考查排列组合的应用，注意题中直线不经过原点，这是易错点，属中档题.4．定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： （1）a a b ⊥⨯，b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；（2）a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅（,a b 表示向量a 、b 的夹角）； 如图，在正方体1111ABCD A B C D -，有以下四个结论：①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB AC BC AB ⨯=⨯；③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等；④()1AB AB CB ⨯⋅与正方体体积的数值相等. 这四个结论中，正确的结论有（ ）个 A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】根据外积的定义逐项判断即可得到结果. 【详解】对于①，根据向量外积的第一个性质可知1AB AC ⨯与1BD 方向相同，故①错误； 对于②，根据向量外积的第一个性质可知AB AC ⨯与BC AB ⨯方向相反，不会相等，故②错误；对于③，根据向量外积的第二个性质可知sin4ABCDBC AC BC AC Sπ⨯=⋅⋅=，则6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等，故③正确；对于④，1AB AB ⨯与CB 的方向相反，则()10AB AB CB ⨯⋅<，故④错误. 故选：D. 【点睛】本题考查正方体的性质和信息迁移，解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证，属难题.二、填空题5．抛物线2y ax =的准线方程是1,y a =-则的值为 。
【精准解析】上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题析
故答案为:-3
【点睛】本题考查了奇函数的定义,利用奇函数求函数值,属于基础题.
10.设集合 A，B 是 R 中两个子集，对于 x R ，定义:
m
0, x A,
1,
x
A,
n
0, x B
1,
x
B
.①若
A
B
；
则对任意 x R, m 1 n 0 ；②若对任意 x R, mn 0 ，则 A B ；③若对任意
【详解】解不等式 x2 4 得 x 2 或 x 2 ，
x x 2 或 x 2 x x 2 ，因此，“ x2 4 ”是“ x 2 ”的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分. 【点睛】本题考查必要非充分条件的判断，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算 能力与推理能力，属于基础题.
5.不等式 1 1的解集为__________ x
【答案】（-∞，0）∪[1,+∞） 【解析】
【详解】 1 1变形为 x 1 0 ，
x
x
x x 1 0
等价于
x
0
，
解得 x 1或 x 0 ，即不等式的解集为（-∞，0）∪[1,+∞）.
6.已知
x
1 ，则
x
4 x 1
的取值范围是__________.
∴函数 f x x 1 2 x0 的定义域是】x | x 1且 x 2 ．
即答案为】x | x 1且 x 2
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3.已知函数
f
x
3 x 1(x 1)
，则
x 3(x 1)
f
f
5
__________.
【答案】3
【解析】
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，则角为（ ）A ．A ．C ．D ．或2．若向量，，且，则（ ） A ． B ．C ．D ． 3．复数的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设两个单位向量，的夹角为，则（ ） A ．CD ．5．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ． 16或64 C. 64 D ．以上都不对6．若实数，，满足，则的值是（ ） A ．2B ．-3C ．D.17．在中，若，则的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知（，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．给出下列结论，则结论正确的为（ ）A ．若向量，，且，则B ．，，与的夹角为，则ABC △222a b c bc =++A 2π3π3π6π32π3(3,2)=a (1,)m =-b ∥a b m =23-233232-()2019i 12i z =--2i -2i +2i --2i -+a b 2π334+=a b 17x y ()()1i 1i 2x y ++-=xy 2-ABC △2cos sin sin B A C ⋅=ABC △221(32)i z m m m =-+-+m ∈R i 1m =-z (1,3)=a (2,)x =b ∥a b 6x =||2=a ||4=b a b 60°|2|+=a bC ．向量，，m.n=0则 D ．已知向量，，则与的夹角为 10．下列命题中，不正确的是（ ） A ．两个复数不能比较大小；B ．若，则当且仅当且时，为纯虚数；C ．，则；D ．若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．11．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（ ） A ．3B ．C ．D ．12．对于两个复数，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，且是实数，则实数等于 ．14．如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后，又从点测得斜度为，假设建筑物高，设山对于平地的斜度，则 ．(,2)x =m (4,2)x =+n 23x =-=a =b a b π6i(,)z a b a b =+∈R 0a =0b ≠z 221223()()0z z z z -+-=123z z z ==a i a ABC △,,A B C ,,a b c cos cos a A b B =2c =3sin 5C =ABC △231361α=-+122β=--1αβ=2αβ=||2||αβ=337αβ-=134i z =+2i z t =+12z z ×t A C 15︒100m B 45︒50m θcos θ=15．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积等于-------------------16．在中角，，的对边分别是，，，且，，若，则的最小值为 ．四·解答题：(本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．18. (12分）如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，BC ＝CE ＝2.上面是一个三棱锥，且AA 1⊥底面A 1B 1C 1，且AE ＝A1E ＝3，求组合体的表面积和体积．19.(12分）已知复数，m是实数，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．ABC△A B C a b c sin sin sin sin sin 3a Ab B cC B C +-=a =[1,3]b ∈c x 2(2i)2i 0x k x k ++++=k 22(232)(2)i z m m m m =+-++-m z z z 0z =20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 21.(12分)已知a =(1,2),b =(-3,1). (1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值;(3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求实数k 的值.22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．高一数学答案一．AACCB DCC二．9.ACD 10，ACD 11,AC 12,BCD17．（12分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．【答案】方程的实根为或值为或．【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的条件得，解得或∴方程的实根为，相应的值为或．ABC△,,A B C ,,a b c222sin sin sin sin sinA C A CB +-=B ABC △ABC △33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λx 2(2i)2i 0x k x k ++++=k x =x =k k =-k =0x 2000(2)(2)i 0x kx x k ++++=20002020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩0x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0x k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =x =k k =-k =18.19．（10分）已知复数，，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）． 【解析】（1）当，即或时，为实数． （2）当，即且时，为虚数．（3）当，解得，即时，为纯虚数．（4）令，解得，即时，．20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．22(232)(2)i z m m m m =+-++-m R Îm z z z 0z =2m =-1m =2m ≠-1m ≠12m =2m =-220m m +-=2m =-1m =z 220m m +-≠2m ≠-1m ≠z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩12m =12m =z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-=⎩2m =-2m =-0z =ABC △,,A B C ,,a b c 222sin sin sin sin sin A C A C B +-=（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，由正弦定理得，，，即，又∵，． （2）由（1）知，且外接圆的半径为，，解得， 由正弦定理得，又，， 21.(10分)已知a =(1,2),b =(-3,1).(1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求k 的值.【答案】（1）（7,0），（2）-√5050.（3）k=±√22.【解析】(1)a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ=a ·b|a |·|b |=√2√2=-√5050.(3)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直, 所以(a +k b)·(a -k b)=0,即a 2-k 2b 2=0,因为a 2=5,b 2=10,所以5-10k 2=0,解得k=±√22.B ABC △ABC △π3B =(5+⎤⎦222sin sin sin sin sin A C A C B +-=222a c acb +-=222a b b ac +-=222122a b b ac +-=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =π3B =323=⨯5b =2sin sin a c A C ===sin )a c A C +=+2π3A C +=2ππsin()]10sin()336a c A A A +=+-=+22．（12分）已知向量，，且． （1）求及；（2）若的最小值为，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由已知可得， ， ，，．（2）由（1）得，，．①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值， 由已知可得，解得，与矛盾， 综上所得，． 为锐角三角形，且， 又，得，，， 33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λcos2x ⋅=a b 2cos x +=a b 12λ=33coscos sin sin cos 22222x xx x x ⋅=⋅-⋅=ab +===a b π[0,]2x ∈Q cos 0x ∴≥2cos x ∴+=a b 222()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---π[0,]2x ∈Q 0cos 1x ≤≤0λ<cos 0x =()f x 1-01λ≤≤cos x λ=()f x 12λ--23122λ--=-12λ=1λ>cos 1x =()f x 14λ-3142λ-=-58λ=1λ>12λ=ABC △π02A <<π02C <<2π3C A =-ππ62A <<πsin()62A +∈(a c +∈⎤⎦故的周长的取值范围是．ABC△(5+⎤⎦。
上海市华东师范大学第二附属2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析
华二附中高一月考数学试卷一.填空题1.已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限 【★答案★】三 【解析】 【分析】利用终边相同的角的公式{}360,S k k Z ββα==+⋅∈化简可得. 【详解】2020θ=︒,2020=5360+220θ∴=︒⨯220在第三象限，2020θ=︒在第三象限.故★答案★为：三【点睛】本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}360,S k k Z ββα==+⋅∈或{}2,S k k Z ββαπ==+∈．2.已知θ的终边在第三象限，且1cos 3θ=-，则3cos()2πθ-=________ 【★答案★】223【解析】 【分析】先由条件可得22sin 3θ=-，再由诱导公式可得3cos()sin 2πθθ-=-，得出★答案★.【详解】θ的终边在第三象限，且1cos 3θ=-，则2122sin 1cos 193θθ=--=--=-322cos()cos 2cos sin 2223πππθπθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故★答案★为：223【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系和诱导公式，解题时注意角的范围，属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 中，202020a =，202020a =，则该等差数列的公差的大小为________【★答案★】1- 【解析】 【分析】利用等差数列的性质直接求解．【详解】解：等差数列{}n a 中，202020a =，202020a =，∴20120201192020201920a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12039a =，1d =-． 故★答案★为：1-．【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4.若函数()sin()6f x x πωπ=-(0)>ω的最小正周期为15，则1()3f =________ 【★答案★】12- 【解析】 【分析】根据周期公式可求出ω，即可得到解析式，从而可求出1()3f ． 【详解】因为215T πωπ==，所以10ω=，即()sin(10)6f x x ππ=-，∴1101()sin sin 3sin 336662f πππππ⎛⎫⎛⎫=-=+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故★答案★为：12-． 【点睛】本题主要考查周期公式，诱导公式的应用，以及三角函数求值，属于容易题． 5.已知公比为q (0)q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2223S a =+，4423S a =+，则3a =________【★答案★】12- 【解析】 【分析】用两个已知等式相减可得3422a a a =-，再用等比数列的通项公式可解得2q，再利用2223S a =+可解得13a =-，最后利用等比数列的通项公式可解得312a =-.【详解】由题意可得34424222a a S S a a +=-=-，即3422a a a =-，所以231112a q a q a q =-，因10a ≠，0q >， 所以220q q --= ，解得2q或1q =-（舍去），由2223S a =+得12223a a a +=+，得123a a =+， 所以113a a q =+，即1123a a =+，解得13a =-，所以2313412a a q ==-⨯=-.故★答案★为：12-.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了等比数列的前n 项和，属于基础题. 6.已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____．【★答案★】91050【解析】 【分析】先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值. 【详解】由于α为锐角，且4cos 5α=，故23sin 1cos 5αα=-=，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故22222cos 1cos cos cos sin 1tan ββββββ===++91050=. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题. 7.若数列{}n a 的通项公式为cos 2n n a n π=⋅()n ∈*N ，其前n 项和为n S ，则2020S =________ 【★答案★】1010 【解析】 【分析】结合三角函数周期性，利用分组求和方法得结果. 【详解】因为cos2n y π=的周期为4 所以2020(10213041)(50617081)S =⨯-⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯+(20170201812019020201)+⨯-⨯+⨯+⨯22225051010=+++=⨯=故★答案★为：1010【点睛】本题考查三角函数周期性以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知函数11()[sin ][sin ][sin ]23f x x x x =++++，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则()f x 的值域为________【★答案★】{3,2,1,0,1,2,3}--- 【解析】 【分析】由正弦函数的值域可知，[]sin 1,1x ∈-，即可根据题意，依据11121,,,0,,,12323---七个分段点分类讨论，即可求出．【详解】当sin 1x =-时，()()1113y =-+-+-=-； 当1sin 1,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()()1113y =-+-+-=-； 当1sin 2x =-时，()1012y =-++-=-； 当11sin ,23x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()1012y =-++-=-； 当1sin 3x =-时，1001y =-++=-； 当1sin ,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，1001y =-++=-； 当sin 0x =时，0000y =++=；当1sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0000y =++=；当1sin 2x =时，0101y =++=； 当12sin ,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0101y =++=；当2sin 3x =时，0112y =++=； 当2sin ,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0112y =++=； 当sin 1x =时，1113y =++=． 所以函数()f x 的值域为{3,2,1,0,1,2,3}---．故★答案★为：{3,2,1,0,1,2,3}---．【点睛】本题主要考查高斯函数的理解和运用，以及正弦函数的值域的应用，意在考查学生分类讨论思想的应用能力，属于基础题．9.如图所示，三个全等的三角形ABF 、BCD 、CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=________【★答案★】7326【解析】 【分析】设()0AE k k =>，则2EF k =，由题意可得3CAE πθ∠=-，3CE k =，在CAE 中，运用正弦定理可得3tan 7θ=，结合22tan sin 2tan 1θθθ=+可得结果. 【详解】设()0AE k k =>，则2EF k =，由ACE θ∠=， 由于三角形ABF 、BCD 、CAE 全等， ∴FAB θ∠=，CD k =，2DE k =， 又∵ABC 为等边三角形，∴3CAE πθ∠=-，在CAE 中，由正弦定理可得：sin sin AE CEACE CAE=∠∠，即3sin sin 3kkπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，313sin cos sin 22θθθ=-， 化简得3tan 7θ=， ∴222322sin cos 2tan 737sin 23sin cos tan 126149θθθθθθθ⨯====+++， 故★答案★为：7326. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用正切求齐次式的值，属于中档题. 10.若函数()sin cos2f x a x x =+在区间(0,)n π()n ∈*N 内恰有2019个零点，则n =________ 【★答案★】1346 【解析】 【分析】根据零点的定义可知，方程()sin cos20f x a x x =+=，即2sin 2sin 1a x x =- 在(0,)n π内有有2019个根，显然sin 0x =不满足方程，所以12sin sin a x x=- 令sin t x =，再研究直线y a =与函数12y t t=-的交点个数，即可解出．【详解】令()sin cos20f x a x x =+=，即有2sin 2sin 1a x x =-，因为sin 0x =不满足方程，所以12sin sin a x x=-，令[)(]sin 1,00,1t x =∈-，∴12a t t=-．∵函数12y t t =-在[)1,0-上递增，在(]0,1上递增，由图象可知，直线y a =与函数12y t t=-的图象至少有一个交点．当1a >时，直线y a =与函数12y t t=-的图象只有一个交点，此时()1,0t ∈-，sin t x =在一个周期()0,2π内的(),2ππ上有两个解，所以在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解； 当1a <-时，同理可得，在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当11a -<<时，直线y a =与函数12y t t=-的图象有两个交点，一个()11,0t ∈-，一个()20,1∈t ，所以sin t x =在一个周期()0,2π内，()0,π有两个解，(),2ππ有两个解，所以在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当1a =-时，直线y a =与函数12y t t=-的图象有两个交点，一个()10,1t ∈，一个21t =-，所以sin t x =在一个周期()0,2π内，()0,π有两个解，(),2ππ有一个解，即一个周期()0,2π内有三个解，所以20193673÷=，即67321346n =⨯=． 当1a =时，同理可得，1346n =． 故★答案★为：1346．【点睛】本题主要考查根据函数的零点个数求参数，二倍角公式的应用，考查转化思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用，属于较难题． 二.选择题11.设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件、 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】C 【解析】【详解】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列 若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C12. 如图所示，在直角三角形ABC 中，A ∠为直角，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧交BC 于点D ，若AD 将ABC 的面积分成相等的两部分，设ABC α∠=（弧度），则（ ）A. sin 2cos αα=B. 2sin cos αα=C. t n a αα=D. t n 2a αα=【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意得到2ABC S S ∆=扇ABD ，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到★答案★. 【详解】解：因为AD 将ABC 的面积分成相等的两部分， 所以，2ABC S S ∆=扇ABD所以，11222AD AB AC l AB ⋅⋅=⋅⋅⋅, 所以，11tan 222AB AB AB AB αα⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，化简得：tan 2αα=. 故选：D.【点睛】本题主要考查扇形的面积公式、弧长公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题.13.在ABC ∆中，tan A 是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 以上均错【★答案★】B 【解析】 【分析】本题首先可以根据“t nA a 是以4-为第三项，1-为第七项的等差数列的公差”计算出t nA a 的值，然后可以根据“tanB 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比”计算出tanB 的值，然后根据t nA t nB a a 、的值计算出tanC 的值，最后根据t nA t nB t nC a a a 、、的值得出A B C 、、的取值范围，最终得出结果．【详解】因为t nA a 是以4-为第三项、1-为第七项的等差数列的公差，所以143t nA 44a -+==， 因为tanB 是以12为第三项、4为第六项的等比数列的公比，所以31tanB 422=÷=， 因为A B C 、、是ABC 的内角，所以()()t nA tanBtanC tan 180tan 1t nA tanBa A B A B a ︒+=--=-+=--3211432124+=-=-， 因为t nA t nB t nC a a a 、、都大于0，所以A B C 、、都属于()090︒、， 所以ABC 是锐角三角形．故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数，考查正切函数的相关性质以及三角恒等变换公式的运用，考查推理能力．如果三个角A B C 、、在三角形内，则有A B C 180︒++=．14.已知ABC 中，cot A 、cot B 、cot C 成等差数列，则以下结论中正确的是（ ） A. 角B 有最大值 B. 角B 有最小值 C. ABC 为锐角三角形 D. ABC 为钝角三角形【★答案★】A 【解析】 【分析】先根据等差数列性质列等量关系，再根据两角和正弦公式、正弦定理以及余弦定理化得边的关系，最后根据余弦定理确定角B 范围，结合范围判断选择. 【详解】因为cot A 、cot B 、cot C 成等差数列， 所以2cos cos cos 2cos sin()2cot cot cot sin sin sin sin sin sin B A C B A C B A C B A C B A C+=+∴=+∴=2cos sin sin sin sin B BB A C∴=222222222cos 2ac B b a c b b a c b ∴=∴+-=∴+=222221cos 242a c b a c B ac ac +-+∴==≥（当且仅当a c =时取等号）(0,)(0,]3B B ππ∈∴∈，因此角B 有最大值，无最小值当ABC正三角形时满足题意，所以排除D当22222222cos 0(,)2222b bc a c b c A A bc bc ππ+--<⇒==<⇒∈即ABC 为钝角三角形，也满足题意，所以排除C 故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列性质以及两角和正弦公式，考查基本分析转化判断能力，属中档题. 三.解答题15.已知函数2()3sin(2)2sin ()612f x x x ππ=-+-()x ∈R .（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）求使得()f x 取得最大值时x 的集合. 【★答案★】（1）减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z （2）5{|,}12x x k k ππ=+∈Z【解析】 【分析】（1）利用两角差的三角公式化简函数的解析式，在根据正弦函数的性质计算可得． （2）当()f x 取最大值时，sin(2)13x π-=，22()32x k k Z πππ-=+∈，解出x 即得所求．【详解】解：（1）因为2()3sin(2)2sin ()612f x x x ππ=-+-所以()3sin(2)1cos2()612f x x x ππ=-+--312sin(2)cos(2)12626x x ππ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦2sin[(2)]166x ππ=--+ 2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由3222232k x k πππππ+-+，k Z ∈解得5111212k x k ππππ++，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）当()f x 取最大值时，sin(2)13x π-=，此时22()32x k k Z πππ-=+∈，即5()12x k k Z ππ=+∈， 所以所求x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查三角函数的周期性和最值，求正弦函数的单调区间，化简函数的解析式，是解题的突破口，属于基础题．16.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且139,,a a a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项；(2)设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和S n . 【★答案★】(1)a n ＝n . (2)S n ＝2n ＋1－2.【解析】【详解】(1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d d++， 解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2=2n a n nb =，由等比数列前n 项和公式得 S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝()21212n --＝2n ＋1－2.点评：掌握等差、等比数列的概念及前n 项和公式是此类问题的关键．17.如图，岛A 、C 相距107海里．上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C 103海里的E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市．（Ⅰ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-，5sin 5ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为(21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？【★答案★】（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需16535元.【解析】【分析】（Ⅰ）在CDE ∆中，由余弦定理得DE ，进而得客轮的航行速度1V ，在ACE ∆中，由余弦定理得AE ，分别求出客轮和小张到岛A 所用的时间，比较即可；（Ⅱ）根据条件求得sin sin BAC B ∠，，再由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B =∠，求得BC ，进而求得总费用为()215351150501535122f V V V V V V ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式求最值即可.【详解】（Ⅰ）如图，根据题意得： 10CD =，103CE =，107AC =，704030DCE ∠=-=．在CDE ∆中，由余弦定理得， ()222232cos 10103210103102DE CD CE CD CE DCE =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=, 所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）．因为CD DE =，所以30DEC DCE ∠=∠=，所以18030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠，整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）．所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时， 小张到岛A 所用的时间至少为21077303t ==小时． 由于2116t t >+， 所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，5sin 5ACB ∠=, 所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，25cos 5ACB ∠=． 所以()()0sin sin 180sin sin cos cos sin B BAC ACB BAC ACB BAC ACB BAC ACB ⎡⎤=-∠+∠=∠+∠=∠∠+∠∠⎣⎦3254525555525=⨯-⨯=. 由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B=∠, 所以3107515352525BC ⨯==,所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为()21535115050153511653522f V V V V V V ⎛⎫⎛⎫=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ((]0,30V ∈)， 当且仅当1502V V =，即10V =时，()min 16535f V =（元）. 所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需16535元．18.若数列{}n a 共有k (,4)k k ∈≥*N 项，且同时满足120k a a a ++⋅⋅⋅+=，12||||||1k a a a ++⋅⋅⋅+=，则称数列{}n a 为()P k 数列.（1）若等比数列{}n a 为(4)P 数列，求1a 的值；（2）已知m 为给定的正整数，且2m ≥，①若公差为d (0)d >的等差数列{}n a 是(23)P m +数列，求公差d ；②若数列{}n b 的通项公式为1131212n n q n m b m nm n m-⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪+≤≤⎪⎩()n ∈*N ，其中常数1q <-，判断数列{}n b 是否为(2)P m 数列，并说明理由.【★答案★】（1）14±；（2）①1(1)(2)d m m =++；②不是，详见解析 【解析】【分析】（1）根据新定义结合等比数列即可求出1a 的值；（2）①设等差数列的公差为d ，根据新定义以及等差数列的性质即可求出公差d 的值；②若数列{}n a 是(2)P m 数列，根据新定义，对m 的值分奇数和偶数两种情况讨论，即可判断出数列{}n a 是否为(2)P m 数列.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，∵数列{}n a 为(4)P 数列，∴12340a a a a +++=，∴2310q q q +++=，即()()2110q q ++=，∴1q =-， 又∵12341a a a a +++=，∴141a =，解得114a =±； （2））①设等差数列的公差为d ，∵数列{}n a 是()23P m +数列，∴12230m a a a +++⋯+=，即()()1232320m a a m +++=， ∵()12322m m ++=+，∴12322m m a a a +++=，∴()2230m m a ++=，即20m a +=， 又∵12231m a a a +++⋯+=，且0d >，∴()()12134231m m m m a a a a a a ++++-++⋯++++⋯+=，即()()211m m d ++=，解得()()112d m m =++，∴等差数列{}n a 的公差为得()()112d m m =++；②若数列{}n a 是()2P m 数列，则有：1220m a a a ++⋯+=，1221m a a a ++⋯+=， ∵1**,1,3,12,12n n q n m n N a m n m n m n N -⎧≤≤∈⎪⎪=⎨-⎪+≤≤∈⎪⎩，且1q <-， ∴11(1)03124m q m m q -+⨯-=-（*）， 11||(1)131||24m q m m q -+⨯+=-（**）， 当m 为偶数时，在（*）中，13101m q q -⨯<-，()1024m m +-<，所以（*）不成立， 当m 为奇数时，由（*）+（**）得：11 311mm q q q q --+=--， 又∵1q <-，∴11 311m m q q q q -++=-+，解得21321m q q +=-， ∵()2m m ≥为奇数，∴14m q q +≥， ∴2431 2q q -≥，整理得：()()222110q q --≤，即21 12q ≤≤，与1q <-矛盾， 综上可知，数列{}n a 不是()2P m 数列.【点睛】本题主要考查了新定义，以数列为载体，又考查的等比数列和等差数列的性质，理解新定义是解题的关键，属于难题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
上海市上海师范大学附属中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.填空题1.已知集合{}{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==，则A B =_________.【答案】{}3,9 【解析】 【分析】根据集合的交集运算定义可得.【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==, 所以AB ={3,9}.故答案为: {}3,9【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2.函数()()02f x x =+-的定义域为______.【答案】{|1x x ≥-且}2x ≠ 【解析】 【分析】由中根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不为0，联立不等式组求解． 【详解】由1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且x≠2．∴函数()()02f x x =+-的定义域是】{|1x x ≥-且}2x ≠．即答案为】{|1x x ≥-且}2x ≠【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.已知函数()1(1)3(1)x f x x x >=-+≤⎪⎩，则()5f f -=⎡⎤⎣⎦__________.【答案】3 【解析】【分析】先计算(5)8f -=,再计算(8)3f =.【详解】因为()31(1)3(1)x x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩,所以(5)(5)38f -=--+=, 所以3(8)813f =+=. 故答案为:3【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题. 4.“24x >”是“2x >”的________条件. 【答案】必要非充分 【解析】 【分析】解不等式24x >，利用集合的包含关系判断即可. 【详解】解不等式24x >得2x <-或2x >，{2x x <-或}2x >{}2x x >，因此，“24x>”是“2x >”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的判断，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 5.不等式11x≤的解集为__________ 【答案】（-∞，0）∪[1,+∞） 【解析】【详解】11x≤变形为10x x -≥， 等价于()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得1x ≥或0x <，即不等式的解集为（-∞，0）∪[1,+∞）. 6.已知1x >，则41x x +-的取值范围是__________.【答案】[5,)+∞ 【解析】 【分析】化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得. 【详解】因为1x >,所以10x ->,所以41x x +-411151x x =-++≥=-,当且仅当411x x -=-,即3x =时取等号.故答案为:[5,)+∞.【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.7.不等式()2212(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围为________. 【答案】01a <≤ 【解析】 【分析】讨论2x 项的系数,根据二次函数的图象和性质列不等式组可解得答案. 【详解】当1a =时,不等式化为:10-<,符合题意; 当1a =-时,不等式化为:410x -<,解得14x <,不符合题意; 当1a ≠±时,要使不等式()2212(1)10a x a x ----<的解集为R, 必有224(1)4(1)0a a -+-<且210a -<,解得01a <<, 综上所述: 实数a 的取值范围为:01a <≤. 故答案为 01a <≤【点睛】本题考查了分类讨论思想,二次函数的图象和性质,属于基础题.8.已知{(,)|1},{(,|},{(,)|,}M x y y x N x y y x U x y x R y R =≠+=≠-=∈∈，则()U C M N =________. 【答案】11{(,)}22-【解析】 【分析】根据摩根律()()()U U U C M N C M C N ⋃=⋂计算可得答案.【详解】因为{(,)|1},{(,|},{(,)|,}M x y y x N x y y x U x y x R y R =≠+=≠-=∈∈, 所以{(,)|1}U C M x y y x ==+,{(,)|}U C N x y y x ==-, 所以()()()U U U C M N C M C N ⋃=⋂=1{(,)|}y x x y y x=+⎧⎨=-⎩11{(,)}22=-.故答案为: 11{(,)}22-【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,属于基础题. 9.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(x f x x m m =++为常数)，则()f m 的值为__________.【答案】3- 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域中有0,可得(0)0f =,根据0x ≥时的解析式求得(0)1f m =+,从而可求得1m =-,再根据奇函数可得(1)(1)f f -=-,根据解析式可求得.【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-,所以(0)0f =, 又0(0)220f m =+⨯+,所以10m +=,所以1m =-, 所以()221x f x x ,所以1()(1)(1)(2211)3f m f f =-=-=-+⨯-=-, 故答案为:-3【点睛】本题考查了奇函数的定义,利用奇函数求函数值,属于基础题.10.设集合A ，B 是R 中两个子集，对于x ∈R ，定义: 0,,0,1,,1,x A x B m n x A x B ⎧∉∉⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩.①若A B ⊆；则对任意(),10x R m n ∈-=；②若对任意,0x R mn ∈=，则A B φ⋂=；③若对任意,1x R m n ∈+=，则A ，B 的关系为R A C B =.上述命题正确的序号是______. (请填写所有正确命题的序号) 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①,按照x A ∈和x A ∉两种情况讨论,可得①正确;对于②,根据,m n 不可能都为1,可得x 不可能既属于A ,又属于B 可得②正确;对于③,根据,m n 中的一个为0,另一个为1,可得x A ∈时,必有x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,由此可知③正确.【详解】对于①,因为A B ⊆,所以当x A ∉时,根据定义可得0m =,所以(1)0m n -=, 当x A ∈,则必有x B ∈,根据定义有1n =,所以(1)0m n -=, 故对于任意x ∈R ,都有(1)0m n -=,故①正确;对于②,因为对任意,0x R mn ∈=,所以,m n 中不可能都为1,即x A ∈和x B ∈不可能同时成立,所以A B φ⋂=,故②正确;对于③,因为对任意,1x R m n ∈+=,所以,m n 中的一个为0,另一个为1,即x A ∈时,必有x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,所以R A C B =,故③正确.综上所述: 所有正确命题的序号为:①②③. 故答案为①②③【点睛】本题考查了元素与集合,集合与集合之间的关系,对新定义的理解能力,属于中档题. 11.设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 【答案】32a = 【解析】 【详解】当时，代入题中不等式显然不成立当时，令，，都过定点考查函数，令，则与轴的交点为时，均有也过点解得或（舍去），故12.设关于x 的不等式()()222222224704547x a x a a x a a x a a ++-+-<++--+-的解集是一些区间的并集， 且这些区间的长度和(规定:(),a b 的长度为b a -)不小于12，则a 的取值范围为__________. 【答案】1a ≤-或5a ≥. 【解析】 【分析】 设222(22)470x a x a a ++-+-= 的根为:()1212,x x x x <，()22245470x a a x a a ++--+-=的根为: ()3434,x x x x <，根据根与系数的关系,分析可知1324x x x x <<<,再用1234,,,x x x x 表示不等式的解集,根据这些区间的长度和不小于12列不等式可解得.【详解】设222(22)470x a x a a ++-+-= 的根为: ()1212,x x x x <，()22245470x a a x a a ++--+-=的根为: ()3434,x x x x <，则()212212220470x x a x x a a ⎧+=-+<⎪⎨=-+-<⎪⎩,所以1200x x <⎧⎨>⎩,且()23423445470x x a a x x a a ⎧+=-+-⎪⎨=-+-<⎪⎩,所以3400x x <⎧⎨>⎩,又()()()()22234124522470x x x x a a a a a +-+=-+-++=-+>，且22123447(2)30x x x x a a a ==-+-=---<,所以1234,,,x x x x 的大小关系为:1324x x x x <<<, 由()()()()()()22212222342247004547x a x a a x x x x x x x x x a a x a a ++-+---<⇒<--++--+-,故由数轴穿根法得原不等式的解集是: ()()1324,,x x x x ⋃,由题意可得()()()()()()22314234124522x x x x x x x x a a a -+-=+-+=-+-++2247124501a a a a a =-+≥⇒--≥⇒≤-或 5a ≥.故答案为: 1a ≤-或5a ≥.【点睛】本题考查了根与系数的关系,一元二次不等式,高次不等式的解法,分式不等式的解法,属于中档题. 二.选择题13.A ， B ， C 三个学生参加了一次考试，已知命题p :若及格分高于70分，则A ， B ， C 都没有及格.则下列四个命题中为p 的逆否命题的是（ ） A. 若及格分不高于70分，则A ，B ， C 都及格 B. 若A ，B ， C 都及格，则及格分不高于70分 C. 若A ，B ， C 至少有一人及格，则及格分不高于70分 D. 若A ， B ， C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义,直接写出命题p 的逆否命题即可. 【详解】根据原命题与它的逆否命题之间的关系知, 命题p :若及格分高于70分，则A ， B ， C 都没有及格,则p 的逆否命题是:若,,A B C 至少有一人及格,则及格分不低于70分. 故选C【点睛】本题考查了由原命题写其逆否命题,属于基础题. 14.下列各组不等式中解集相同的是（ ）A. 22311x x x x -<--与223x x -<B. (3)(1)01x x x -+>+与30x ->C. 5x <与221153232x x x x x +<+-+-+D.(3)(1)03x x x -+>-与10x +> 【答案】B 【解析】 【分析】对各组不等式中的不等式求解可知答案.【详解】对于A ,根据分母不为0,可知22311x x x x -<--的解集中没有元素1,而223x x -<的解集中有元素1,故A 不正确; 对于B ,由(3)(1)01x x x -+>+得30x ->且1x ≠-,即3x >,由30x ->得3x >,故选项B 正确; 对于C ,由221153232x x x x x +<+-+-+整理得5x <且2320x x -+≠,即5x <且1x ≠且2x ≠,故选项C 不正确; 对于D ,由(3)(1)03x x x -+>-得10x +>且30x -≠,即1x >-且3x ≠,故D 不正确.故选:B【点睛】本题考查了分式不等式的解法,属于基础题.15.观察下列四个函数的图象，其中值域为[]0,4的函数是（ ）A. B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据函数的值域的定义,观察图象可知选D. 【详解】对于A,由图象观察可知,值域为(0,4],故A不正确; 对于B,观察图象可知,值域不是[0,4],故B不正确; 对于C,观察图象可知,值域不是[0,4],故C不正确; 对于D,观察图象可知,值域是[0,4],故D正确; 故选:D 【点睛】本题考查了函数的值域的定义,属于基础题. 16.已知非空集合,A B满足以下两个条件：（ⅰ）{}1,2,3,4,5,6A B =，A B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，,A B的个数为（）则有序集合对()A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】【分析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．【详解】根据条件：A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素1、当集合A 只有一个元素时，集合B 中有5个元素，1A ∉且5B ∉，此时仅有一种结果{5}A =，{1,2,3,4,6}B =；2、当集合A 有两个元素时，集合B 中有4个元素，2A ∉且4B ∉，此时集合A 中必有一个元素为4，集合B 中必有一个元素为2，故有如下可能结果：（1）{1,4}A =，{2,3,5,6}B =；（2）{3,4}A =，{}1,2,5,6B =；（3）{}5,4A =，{}1,2,3,6B =；（4）{}6,4A =，{}1,2,3,5B =．共计4种可能．3、可以推测集合A 中不可能有3个元素；4、当集合A 中的4个元素时，集合B 中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A 、B 互换即可．共计4种可能．5、当集合A 中的5个元素时，集合B 中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A 、B 互换即可．共1种可能．综上所述，有序集合对（A ，B ）的个数为10．答案选A ．【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键． 三.解答题17.已知集合{|A x y ==，集合{}2|7120B x x x =--->，集合{|121}C x m x m =+≤≤-.(1)求AB ；(2) 若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()4,3--； (2) 2m <或6m ≥. 【解析】 【分析】(1) 根据定义域求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，再根据数轴求交集;(2) 先将条件转化为集合包含关系: C ⊆A ，再根据空集进行讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系. 【详解】(1)25140x x --≥，2x ∴≤-或7x ≥,即(,2][7,)A =-∞-⋃+∞,227120,7120,x x x x --->++<所以43x -<<-即(4,3)B =--,(4,3)A B ∴⋂=--(2) A C A ⋃=,所以 C ⊆A ,当211m m -<+时,即2m <时,C 为空集满足条件:2m <,当211m m -≥+,即2m ≥时,212m -≤-或17m +≥， 解得12m ≤-,或6m ≥, 又2m ≥,所以6m ≥,综上2m <或6m ≥.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,子集关系,分类讨论思想,容易遗漏空集,属于基础题.18.记关于x 的不等式30ax x a -≤+的解集为P . (1)若1a =，求P ；(2)若1P ∉，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|13}P x x =-<≤；(2) (,1](3,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】(1)解分式不等式可得,注意分母不为0;(2) 1P ∉转化为301a a->+或10a +=后可解得. 【详解】(1)当1a =时,30ax x a -≤+化为301x x -≤+,即(3)(1)0x x -+≤且10x +≠, 所以13x -<≤,故{|13}P x x =-<≤.(2)因为1P ∉,所以301a a->+或10a +=,解得1a <-或3a >或1a =-,故实数a 的取值范围是(,1](3,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法,注意分母不为0,属于基础题. 19.2019年10月1日为庆祝中国人民共和国成立70周年在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有580台（套）装备、160余架各型飞机接受检阅，受阅装备均为中国国产现役主战装备，其中包括部分首次公开亮相的新型装备.例如，在无人作战第三方队中就包括了两型侦察干扰无人机，可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌方通讯设施的电磁压制和干扰，甚至压制敌人的防空系统.某作战部门对某处的战场实施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离之比成正比，比例系数为常数k （0k >），现已知相距36km 的A 、B 两处配置两架无人机干扰源，其对敌干扰的强度分别为1和a （0a >），它们连线段上任意一点C 处的干扰指数y 等于两机对该处的干扰指数之和，设AC x =（km ）.（1）试将y 表示为x 的函数，指出其定义域；（2）当25a =，1k =时，试确定“干扰指数”最小时C 所处位置.【答案】（1）36k ka y x x =+-，（036x <<）；（2）距离A 点6公里处 【解析】【分析】（1）根据干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离之比成正比，比例系数为常数k ，以及AC x =，分别得到C 受A 干扰指数，点C 受B 干扰指数，再求和即可.（2）根据036x <<，将函数转化为()125112536363636y x x x x x x ⎛⎫=+=+-+ ⎪--⎝⎭再变形，利用基本不等式求解.【详解】（1）根据题意，点C 受A 干扰指数为k y x =，点C 受B 干扰指数为36ka y x =-， 所以点C 处干扰指数为：(),03636k ka y x x x=+<<-. （2）因为036x <<， 所以()125112536363636y x x x x x x ⎛⎫=+=+-+ ⎪--⎝⎭，136251125261363636x x x x ⎛-⎛⎫=+++≥+= ⎪ -⎝⎭⎝当且仅当362536x x x-=-，即6x =时，取等号， 所以“干扰指数”最小时C 所处位置在距A 点6公里处.【点睛】本题主要考查函数的实际应用以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知函数()1()||3,,0m f x x m R x x-=+-∈≠. (1)判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；(2)若对于任意的[]()1,4,1x f x ∈≥-恒成立，求满足条件的实数m 的最小值M .(3)对于(2)中的M ，正数a ，b 满足22a b M +=，证明: 2a b ab +≥.【答案】(1) 当1m =时，()f x 为偶函数, 当1m ≠时，既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析；(2)2；(3) 证明见解析.【解析】【分析】(1)对m 分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;(2)将不等式转化为212m x x -≥-+对任意的[1,4]x ∈都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;(3)由(2)知2M =,所以1ab ≤,2a b +≤变形可证. 【详解】(1)(i)当m=1时，()||3f x x =-，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,因为()||3||3()f x x x f x -=--=-=,所以()f x 为偶函数；(ii)当1m ≠时,(1)3f m =-,(1)1f m -=-,(1)(1)f f ≠-,(1)(1)f f ≠--,所以既不是奇函数也不是偶函数.(2) 对于任意的[]()1,4,1x f x ∈≥-,即131m x x-+-≥-恒成立， 所以212m x x -≥-+对任意的[1,4]x ∈都成立,设2()2,[1,4]g x x x x =-+∈,则()g x 为[1,4]上的递减函数,所以1x =时,()g x 取得最大值1,所以11m -≥,即2m ≥.所以2M =.(3)证明: 由(2)知2M =, 222a b ab +≥，所以22ab ≥,1ab ∴≤,1≤，当且仅当a b =时取等号，①又1,22a b ab a b +≤∴≤+ 2ab a b ∴≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，12ab a b ≤+, 所以2a b ab +≥,【点睛】本题考查了函数奇偶性的讨论,不等式恒成立问题,不等式的证明问题,属于中档题.21.符号[]x 表示不大于x 的最大整数()x R ∈，例如:[][][]1.31,22, 1.22==-=-.(1)解下列两个方程[][]3,23x x ==-； (2)设方程: [|||1|]3x x +-=的解集为A ，集合{}22|211150B x x kx k =-+≥，A B R =，求实数k 的取值范围；(3)求方程2440[]510x x -+=的实数解.【答案】(1)[3,4)，3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；(2) 1245,{0},2556k ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(3) x =；2x =；x =x =. 【解析】【分析】(1)根据对符号[]x 的定义理解可得答案;(2)将[|||1|]3x x +-=化为3|||1|4x x ≤+-<,再分三种情况去绝对值解不等式可得集合A ,然后对k 分类讨论解得集合B ,再根据A B R =,列式可求得k 的范围;(3)先判断出[]0x ≥,再将[][]1x x x ≤<+平方得222([])([]1)x x x ≤<+,再结合方程2440[]510x x -+=可得不等式224([])40[]514([]1)x x x ≤-<+,解不等式可得[]2x =或[]6x =或[]7x =或[]8x =,分别代入方程2440[]510x x -+=可解得答案.【详解】(1) []3,[3,4)x x =∴∈3[2]3,2[3,2),,12x x x ⎡⎫=-∴∈--∴∈--⎪⎢⎣⎭, (2) [|||1|]3x x +-=，3|||1|4x x ≤+-<,当1x ≥时，有314x x ≤+-<,解得 522x ≤<, 当01x <<时，有314x x ≤+-<,[|||1|]3x x +-=无解,当0x ≤时，有314x x ≤--+<,解得: 312x -<≤- 综上所述:35,12,22A ⎛⎤⎡⎫=-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 因为{|(25)(3)0}B x x k x k =--≥当0k >时，5,[3,)2k B k ⎛⎤=-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ 因为A B R =，所以552322k k ≤<≤，解得4556k ≤≤； 当k 0<时，5(,3],2k B k ⎡⎫=-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭， 因为A B R =,所以353122k k -≤<≤-，解得: 1225k -≤≤-， 当0k =时，B R =,A B R =成立，综上: 实数k 的取值范围1245,{0},2556⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (3)因[][]1x x x ≤<+， 又[]0x <时,方程2440[]510x x -+=不成立,所以[]0x ≥,所以222([])([]1)x x x ≤<+,所以224([])40[]514([]1)x x x ≤-<+, 224([]1)40[]5104[]40[]510x x x x ⎧+-+>∴⎨-+≤⎩, 所以224[]32[]5504[]40[]510x x x x ⎧-+>⎨-+≤⎩所以(2[]5)(2[]11)0(2[]3)(2[]17)0x x x x -->⎧⎨--≤⎩, 所以11[]2x >或5[]2x <且317[]22x ≤≤, 所以35[]22x ≤< 或1117[]22x <≤, 所以[]2x =或[]6x =或[]7x =或[]8x =,当[]2x =时,原方程化为24290x -=,所以2x =,当[]6x =时,原方程化为241890x -=,所以2x ==,当[]7x =时,原方程化为242290,x x -==,当[]8x =时,原方程化为242690,x x -==， 经检验知，这四个值都是原方程的解.故方程2440[]510x x -+=的实数解为:2x =或2x =或2x =或2x =. 【点睛】本题考查了对新定义的理解,一元二次不等式的解法,属于难题.。